Chapitre VII. Produit scalaire. Activité introductive

Chapitre VII Produit scalaire VII1 VII11 Introduction Activité introductive EXERCICE I A, B, C sont trois points et a, b, c désignent respectivement les distances : BC ; CA ; AB Partie A Extension du théorème de Pythagore 1 Faire une figure et calculer, AB + AC BC, dans chacun des cas suivants On a : AB + AC BC = c + b a a a,b,c =,3,4 On a : AB + AC BC = 4 + 3 = 16 + 9 4 = 1 C 3 A 4 B b a,b,c = 5,3,4 On a : AB + AC BC = 4 + 3 5 = 16 + 9 5 = 0 1

Première 9 /6 Lycée Pontus de Tyard C 3 5 A 4 B c a,b,c = 6,3,4 On a : AB + AC BC = 4 + 3 6 = 16 + 9 36 = 11 C 3 6 A 4 B Dans cette question, aucune justification n est attendue ABC est un triangle On cherche à étendre le théorème de PYTHAGORE Que peut-on dire en terme de signe de, AB + AC BC, dans chacun des cas suivants a Lorsque BAC est aigu b Lorsque BAC est droit c Lorsque BAC est obtus Lorsque BAC est aigu : AB + AC BC > 0 Lorsque BAC est droit : AB + AC BC = 0 Lorsque BAC est obtus : AB + AC BC < 0 Partie B Avec le projeté orthogonal Au lycée, un scalaire est un nombre réel Le produit scalaire de deux vecteurs est un procédé qui à deux vecteurs u et v associe un nombre noté, u v, défini par : u v = 1 u + v v u 1

Dans le cas de vecteurs déterminés par deux points, il vient : 1 AB AC = 1 u est un vecteur quelconque a Calculer : u u On a : u u = 1 AB + AC BC u + u u u = u b Calculer : u 0 On a : u + 0 u 0 = 0 u 0 = 1 Calculer AB AC dans les cas de la question A1 a AB AC = 10,5 b AB AC = 0 c AB AC = 5,5 3 H désigne le projeté orthogonal de C sur AB Démontrer que : AB AC = AB AH On pourra faire une ou plusieurs figure et utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles HCA et HCB D après le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles HCA et HCB, C A H B On a : AB + AC BC = AB + AH + HC CH + HB = AB + AH HB Première 9 3/6 Lycée Pontus de Tyard

En divisant membre à membre par, il vient : AB AC = AB AH 4 Que peut-on dire de, u v, lorsque : u v Lorsque, u v, on a : u v = 0 5 a Démontrer que si AB et AC sont colinéaires et de même sens : AB AC = AB AC D après la définition du produit scalaire, AB AC = AC AB, ainsi quitte à échanger le rôle de B et C, on peut supposer que, B [AC], on a alors : AC = AB + BC On en déduit que : 1 AB AC = AB + AC BC 1 AB AC = AB + AB + BC BC 1 AB AC = AB + AB + AB BC AB AC = AB + AB BC AB AC = ABAB + BC AB AC = AB AC b Démontrer que si AB et AC sont colinéaires et de sens contraires : AB AC = AB AC De même, si AB et AC sont colinéaires et de sens contraires alors A est un point du segment [BC] On en déduit que : 1 AB AC = AB + AC BC 1 AB AC = AB + AC BA + AC 1 AB AC = AB + AC AB AB AC AC AB AC = AB AC c A, B, C sont trois points non alignés Démontrer que : AB AC = AB AC cos BAC On pourra introduire H comme en B3 et distinguer les cas proposés en A Désignons par H le projeté orthogonal de C sur AB, d après A3 : AB AC = AB AH Première 9 4/6 Lycée Pontus de Tyard

Première 9 5/6 Lycée Pontus de Tyard C C A H B H Examinons les cas possibles : si BAC est droit alors, cos BAC = 0 et AB AC on en déduit que : AB AC = 0 = AB AC cos BAC ; si BAC n est pas droit alors, AH = AC cos HAC, donc : si BAC est aigu, alors HAC = BAC et AH et AB ont le même sens, on en déduit que : A AB AC = AB AH AB AC = AB AH AB AC = AB AC cos HAC AB AC = AB AC cos BAC si BAC est obtus, alors HAC et BAC sont supplémentaires et AH et AB sont de sens contraires, on en déduit que : AB AC = AB AH AB AC = AB AH AB AC = AB AC cos HAC AB AC = AB AC cos BAC B Partie C Expression dans une base orthonormée 1 Le plan est muni d un repère orthonormé direct O; ı, j x x On donne u et v y y Exprimer u v en fonction de x, x, y, y On a : u = x + y ; v = x + y ; v u = x x + y y, v u = x xx + x + y y y + y v u = xx y y + x + y + x + y v u = xx + y y + u + v

Ainsi : u v = 1 u + v v u = x x + y y a Les nombres x, x, y, y dépendent-ils du repère O; ı, j? Oui, les nombres x, x, y, y dépendent du repère O; ı, j b Le nombre, xx + y y, dépend-il du repère O; ı, j? Le nombre, xx + y y, est le produit scalaire de u et v, il est donc indépendant du repère orthonormé O; ı, j VII1 Définitions et propriétés Dans le reste du chapitre, le plan est muni d un repère orthonormé direct O; ı, j D après l activité menée en VII11 on peut donner différentes définitions du produit scalaire de deux vecteurs Elles sont équivalentes lorsqu aucun des vecteurs n est nul DÉFINITIONS VII11 x x Soit u et v y y deux vecteurs, A un point, B et C les images de A par les translations respectives de vecteurs u et v et H le projeté orthogonal de C sur AB lorsque u 0 1 u v = 1 u + v v u u v = xx + y y 1 3 AB AC = AB + AC BC Si u 0 4 AB AC = AB AH, avec, AB AH = AB AH, si AB et AH ont le même AB AH = AB AH, si AB et AH sont de sens contraires sens et, Si u 0 et v 0 5 u v = u v cos u ; v 6 AB AC = AB AC cos BAC Notations et vocabulaire Le nombre, u u est appelé carré scalaire de u On le note : u On a donc : u = u Première 9 6/6 Lycée Pontus de Tyard

Remarque D après les items 5 et 6 des définitions VII11, lorsque u 0 u v et v 0 : cos u ; v = u v AB AC et cos BAC = AB AC Exercice VII1 Le plan est muni d un repère orthonormé direct O ; ı, j On donne A7 ; 1 et B ; 4 Déterminer cos AOB Solution On a : OA = 7 + 1 = 50 = 5 ; OB = + 4 = 0 = 5 et OA OB = 7 + 1 4 = 18 OA OB Donc : cos AOB = OA OB = 18 10 10 = 9 5 10 = 9 10 50 On sait que si deux vecteurs ont la même direction alors ils sont colinéaires, mais que la réciproque de cette implication est fausse car 0 est colinéaire à tout vecteur et n a pas de direction De la même façon deux vecteurs ayant des directions orthogonales seront orthogonaux, mais 0 sera considéré comme orthogonal à tout vecteur DÉFINITION VII1 Deux vecteurs orthogonaux sont deux vecteurs dont le produit scalaire est nul u v u v = 0 Remarque Avec la définition VII1 le théorème de PYTHAGORE et sa réciproque s écrivent : AB AC AB + AC = BC THÉORÈME VII11 Pour tous vecteurs u, v, w du plan et tout nombre réel λ, on a : 1 u v + w = u v + u w ; u λ v = λ u v ; 3 u v = v u ; on dit que le produit scalaire est symétrique ; 4 u = 0 u = 0 ; on dit que le produit scalaire est défini ; 5 u 0 ; on dit que le produit scalaire est positif Démonstration Soit u, v, w du plan ; x ; y ; x ; y ; x ; y leurs coordonnées respectives dans une base orthonormée et λ un nombre réel Première 9 7/6 Lycée Pontus de Tyard

1 u v + w = x x + x + y y + y = xx + y y + xx + y y = u v + u w ; u λ v = x λx + y λy = λ xx + y y = λ u v ; 3 u v = xx + y y = x x + y y = v u ; 4 nous savons qu une somme de nombres positifs est nulle si, et seulement si tous les nombres sont nuls, nous en déduisons que : u = 0 x + y = 0 x ; y = 0;0 u = 0 ; 5 On sait que : u = u ; donc : u 0 Remarque Nous tirons des trois premières propriétés que pour tous vecteurs u, v, w du plan et tous nombres réels α, β : u α v + β w = α u v + β u w et α u + β v w = α u w + β v w On dit que le produit scalaire est bilinéaire Notations et vocabulaire complément En optique on utilise parfois la notion de mesure algébrique Soit A, B, C, D des points d une droite δ orientée par un vecteur unitaire, u Les vecteurs, AB et AB u, ont la même direction et la même norme, on a donc, AB = AB u ou AB = AB u, suivant que leur sens soient le même ou opposés La mesure algébrique, AB est alors le nombre défini par : { AB si AB et u ont le même sens AB = AB sinon On a alors : AB = AB u et AB CD = AB u CD u = AB CD Ainsi le produit ou le rapport de mesures algébriques est indépendant de l orientation choisie sur δ La définition 4 des définitions VII11 s écrit alors : AB AC = AB AH Les autres propriétés de la mesure algébrique sont : AA = 0 ; BA = AB et AB + BC = AC Exercice VII13 Sur la droite ci-dessous les graduations vont de un en un A B C D Calculer, AB CD, AB DB et AC DC Solution 1 re méthode Orientons la droite de A vers B On a : AB = ; CD = 4 ; DB = 7 ; AC = 5 ; DC = 4 On en déduit que : AB CD = AB CD = 8 AB DB = AB DB = 14 AC DC = 0 Première 9 8/6 Lycée Pontus de Tyard

Première 9 9/6 Lycée Pontus de Tyard e méthode Orientons la droite de B vers A On a : AB = ; CD = 4 ; DB = 7 ; AC = 5 ; DC = 4 On en déduit que : AB CD = AB CD = 8 AB DB = AB DB = 14 AC DC = 0 VII13 Exercices VII1a Calculer u v u et v dans cacun des cas suivants 1 3 a u et v 4 5 6 b u et v 7 4 5 c u 4 3 1 et v 3 45 + d u 3 + 3 et v 5 + 3 VII1b u et v sont deux vecteurs unitaires tels que : u ; v = π 3 1 Calculer : u ; v ; u v Calculer : u + 3 v 3 u v 4 VII1c On donne u et v 1 3 1 Calculer : u ; v ; u v Calculer : u + 3 v 3 u v VII1d 1 ABCD est un carré de côté et E est le symétrique de A par rapport à B Calculer : AC AE ; AC DA et AC DE I est le milieu de[cd] Démontrer que les droites AI et DE sont perpendiculaires VII1e Sachant que : AB = 4 ; AC = 5 et BAC = π ; calculer : AB 4 AC VII1f Sachant que : AB = 4 ; AC = 5 et BAC = π ; calculer : AB 3 AC et BC VII VII1 Autres propriétés Identités remarquables

Première 9 10/6 Lycée Pontus de Tyard THÉORÈME VII1 Pour tous vecteurs u, v du plan : 1 u + v = u + u v + v ; u v = u u v + v ; 3 u + v u v = u v ; Démonstration Ces trois propriétés se démontrent de la même façon, par application du théorème VII11 démontrons la première : u + v = u + v u + v = u u + u v + v u + v v = u + u v + v COROLLAIRE VII Pour tous vecteurs u, v du plan : 1 u v = 1 u + v u v ; u v = 1 u + v u v ; Démonstration Ces propriétés sont équivalentes aux propriétés 1 et du théorème VII1 ; mais 1 est la définition initiale du produit scalaire et se déduit de 1 en remplaçant v par v Exercice VII1 Sachant que : u = ; v = 3 et u v = 5 ; calculer : 4 u + 5 v Solution 4 u + 5 v = 16 u + 40 u v + 5 v = 16 4 + 40 5 + 75 9 = 539 Produit scalaire et projection orthoganale THÉORÈME VII3 Soit A, B deux points d une droite et C, D les projetés orthogonaux respectifs de deux points C et D sur cette droite On a : AB CD = AB C D

Première 9 11/6 Lycée Pontus de Tyard C D A B C D Démonstration Les vecteurs CC et D D sont orthogonaux à AB, donc en utilisant la relation de Chasles, il vient : AB CD = AB CC + C D + D D = AB CC + } {{ AB } C D + AB D D } {{ } =0 =0 Coordonnées d un vecteur dans une base orthonormée complément Soit u un vecteur dont on cherche les coordonnées, x ; y dans une base orthonormée e 1 ; e On a : u e 1 = x e 1 + y e = x e1 = x et u e = x e 1 + y e = y e = y Nous en déduisons le théorème suivant THÉORÈME VII4 Les coordonnées d un vecteur u relativement a une base orthonormée e 1 ; e du plan sont : u e 1 ; u e Exercice VII Le plan est muni d un repère orthonormé O ; ı, j On considère les vecteurs e 1 ; et e ; 1 Démontrer que 0 ; e 1, e est un repère ortonormé Déterminer les coordonnées de ı et j dans la base e 1, e 3 Soit M un point du plan, x ; y ses coordonnées dans le repère O ; ı, j et X ; Y ses coordonnées dans le repère 0 ; e 1, e Exprimer x et y en fonction de X et Y 4 Un ensemble H a pour équation, x y =, dans le repère O ; ı, j Déterminer une équation de H dans le repère 0 ; e 1, e

Solution 1On a : e 1 = + = 1 + 1 = 1 ; e = + = 1 + 1 = 1 et e 1 e = + = 1 1 = 0 ; donc : e 1 = e = 1 et e1 e 0 ; e 1, e est un repère orthonormé e 1 = 1 re méthode On a : ı + j e = ı + j ı = e 1 e j = e 1 + e Dans la base e 1, e : ı ; et ; donc : { j ; e 1 + e = j e 1 e = ı ; d où : e méthode On a : ı e 1 = 1 ı e = 1 + 0 + 0 = = ı ; On a : j e 1 = 0 + 1 = j e = 0 + 1 = et ; donc dans la base e 1, e : et ; donc dans la base e 1, e : j ; Première 9 1/6 Lycée Pontus de Tyard

Première 9 13/6 Lycée Pontus de Tyard 3 On a : x = OM ı = X e 1 + Y e e 1 e = X y = OM j = X e 1 + Y e e 1 + e = X + Y et Y ; donc : x = y = X X + Y Y 4 Soit M un point du plan, x ; y ses coordonnées relativement au repère O; ı, j et X ;Y ses coordonnées relativement au repère 0; e 1, e On a : M H x y = X Y X + Y = 1 X XY + 1 Y 1 X XY 1 Y = XY = XY = 1 On sait que 0 1, donc cette dernière équation n a pas de solution vérifiant : X = 0 H est l hyperbole équilatère 1 d équation : Y = 1 X VII Exercices VIIa u et v sont deux vecteurs unitaires tels que : u ; v = π 3 1 Calculer : u + v et u + v Calculer : u + 3 v et 3 u v 4 VIIb On donne u et v 1 3 1 Calculer : u ; v ; u v Calculer : u + 3 v 3 u v VIIc ABCD est un carré de côté et E est le symétrique de A par rapport à B Calculer : 5 AC 7AE 1 Une hyperbole équilatère est une hyperbole dont les asymptotes sont perpendiculaires

Première 9 14/6 Lycée Pontus de Tyard VIId Sachant que : AB = 4 ; AC = 5 et BAC = π 4 ; calculer : AB 3AC VIIe Sachant que : AB = 4 ; AC = 5 et BAC = π 3 ; calculer : 3 AB + 4AC VII3 VII31 Applications du produit scalaire Équation d une droite de vecteur normal n DÉFINITIONS VII31 Soit D une droite du plan et M un point de D 1 La normale à D en M est la perpendiculaire à D issue de M Un vecteur normal à D est un vecteur directeur d une droite normale à D Remarques 1 Un vecteur normal à une droite est orthogonal à tous vecteur de cette droite Pour qu un vecteur non nul soit normal à une droite, il suffit qu il soit orthogonal à un vecteur directeur de cette droite a di- b 3 En particulier, dans le plan muni d un repère orthonormé, si u b rige une droite D, alors n est normal à D a En effet : u n = ab + b a = 0 ; donc : n u 4 Pour connaître une droite, il suffit d en connaître un point et un vecteur normal On dit qu une droite est déterminée par un point et un vecteur normal Plus précisément, la droite passant par un point H et de vecteur normal, n, est l ensemble des points, M, vérifiant : HM n = 0 THÉORÈME VII31 Soit a, b deux nombres réels non tous nuls et A x A ; y A un point du plan muni d un repère orthonormé

Première 9 15/6 Lycée Pontus de Tyard a 1 La droite issue de A et de vecteur normal n a pour équation : b a x x A + b y y A = 0 Toute droite de vecteur normal n ax + by + c = 0, a a une équation de la forme : b où c est un nombre réel 3 Soit c un nombre réel, l ensemble d équation : ax + by + c = 0 ; a est une droite de vecteur normal n b Démonstration 1 a normal n b M D Soit Mx ; y un point du plan et D la droite issue de A et de vecteur x xa, donc : AM a pour coordonnées y y a AM n AM n = 0 a x xa +b y y A = 0 Soit D a une droite de vecteur normal n et B x b B ; y B un point de D D a pour équation : a x x B + b y y B = 0 ; c est-à-dire, après avoir développé réduit et ordonné le premier membre : ax + by + ax B by B = 0 } {{ } =c 3 Désignons par E l ensemble d équation : ax +by +c = 0 Introduisons le point C de c coordonnées a ;0 si a 0 0; c si a = 0 b Le point C est bien défini car on sait que si a est nul alors b ne l est pas De plus : a c + a b 0+c = c +0+c = 0 et a 0+b c +c = 0 c +c = 0 ; donc C est un point de E Afin de b ne pas avoir à discuter les cas où a est nul ou non, désignons par x c ; y c es coordonnées de C On a alors : ax C + by C + c = 0 Soit Mx ; y un point du plan On a : M E ax + by + c = 0 ax + by + c = ax C + by C + c M E a x x C +b y y C = 0 n CM = 0 CM n E est donc la droite de vecteur normal n passant par C M Dans la démonstration ci-dessus, l ensemble E était défini par une équation et pour le déterminer nous avons procéder en deux étapes : On dit que les coordonnées de C sont une solution particulière de l équation de E

a Nous avons déterminer une solution particulière C b Nous avons injecté les coordonnées de C dans l équation de E Plus généralement, cette méthode est souvent décisive pour résoudre une équation équivalente à une équation du type, P = 0, où P est une expression polynomiale de degré 1 dont les indéterminées sont les inconnues dans la démonstration ci-dessus : P = ax + by + c Exercice VII31 Donner un vecteur normal à la droite d équation : x 3y + 4 = 0 Solution n 3 Exercice VII3 de la médiatrice, δ, de [AB] Solution On donne A ; 3 et B4 ; 7 Déterminer une équation cartésienne 1 re méthode δ est la droite de vecteur normal, AB, passant par le milieu, I3;5, de [AB], donc pour tout point Mx ; y du plan 4 : M δ 1 IM AB AB IM x 3 + y 5 = 0 δ : x + y 13 = 0 e méthode Pour tout point Mx ; y du plan : M δ AM = BM AM = BM Exercice VII33 de A x + y 3 = x 4 + y 7 x 4x + 4 + y 6x + 9 = x 8x + 16 + y 14x + 49 4x + 8y 5 = 0 δ : x + y 13 = 0 On donne A ; 11 et B7 ; 1 δ est la perpendiculaire à OB issue Première 9 16/6 Lycée Pontus de Tyard

Première 9 17/6 Lycée Pontus de Tyard 1 Déterminer une équation cartésienne δ Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal, H, de A sur OB 3 Déterminer la distance entre A et OB Solution 1 δ a pour vecteur normal OB Soit Mx ; y un point du plan M δ AM OB AM OB = 0 7x + 1y 11 = 0 δ : 7x + y 5 = 0 7 et passe par A; 11 1 Les vecteurs OH et AB sont colinéaires, il existe donc un réel t tel que : OH = t OB On en déduit que les coordonnées de H sont : 7t ; t Mais H est un point de δ, donc : 4 7t + 7 t 5 = 0 ; d où : t = 1 En remplaçant t par sa valeur dans l expression des coordonnées de H, il vient : 7 H ; 1 3 Distance entre A et OB est la distance AH et AH 3 1 d A ; OB 3 1 = + = 9 + 441 = 15 VII3 Déterminations d un cercle Un cercle est le plus souvent déterminer par son centre et son rayon ou par deux points diamétralement opposés

Première 9 18/6 Lycée Pontus de Tyard THÉORÈME VII3 Dans le plan muni d un repère orthonormé, le cercle de centre A x A ; y A et de rayon R a pour équation canonique : x x A + y y A = R Démonstration Désignons par Γ le cercle de centre A et de R Soit Mx ; y un point du plan Le vecteur x xa AM a pour coordonnées : Nous savons que les distances sont y y A positives, nous en déduisons que : M Γ AM = R AM = R x x A + y y A = R Exercice VII34 1 Déterminer une équation du cercle Γ de centre Ω 4 ; 3 et rayon 5 L origine du repère est-elle un point de Γ? 3 A ; est-il un point de Γ? Solution 1 Soit Mx ; y un point du plan M Γ ΩM = 5 x + 4 + y 3 = 5 Γ : x + y + 8x 6y = 0 Le couple 0;0 vérifie l équation ci-dessus, donc : 3 Pour x ; y = ;, on a : O Γ x + y + 8x 6y = 4 + 4 16 + 1 = 4 A Γ THÉORÈME VII33 Soit a, b, c des nombres réels Dans le plan muni d un repère orthonormé, l ensemble d équation, x + y + ax +by +c = 0, est soit un cercle, soit un point, soit l ensemble vide

Démonstration Désignons par E cet ensemble Soit Mx ; y un point du plan On a : M E x + y + ax + by + c = 0 Introduisons le point I a ; b ; on a : x + a + y + b = a 4 + b 4 c si a 4 + b 4 M E IM = a 4 + b 4 c c > 0 M E IM = E est le cercle de centre I et de rayon si a 4 + b c = 0 M E IM = 0 4 E = {I} si a 4 + b 4 c < 0 M E IM < 0 E est l ensemble vide a 4 + b 4 c a 4 + b 4 c Exercice VII35 Déterminer les ensemble de points suivants a E a : x + y + 4x 3y + 13 4 = 0 b E b : x + y + 4x 3y + 5 4 = 0 c E c : x + y + 4x 3y + 35 4 = 0 Solution a On a : x + y + 4x 3y + 13 4 = x + x + + y 3 3 y + 1 4 = x + + y 3 3 Introduisons le point Ω ; 3 Pour tout point Mx ; y du plan, on a : M E a ΩM = 3 ΩM = 3 E a est le cercle de centre Ω ; 3 et de rayon 3 b Pour tout point Mx ; y du plan, on a de même : M E b ΩM = 0 Première 9 19/6 Lycée Pontus de Tyard

E b = {Ω} c Pour tout point Mx ; y du plan, on a de même : M E c ΩM = 10 4 E c = THÉORÈME VII34 Le cercle de diamètre [AB] est le lieu des points M du plan vérifiant : AM BM Démonstration Désignons par E l ensemble des points M du plan vérifiant, AM BM et par I le milieu de [AB] Le cercle, Γ, de diamètre [AB] est le cercle de centre I et de rayon IA Pour tout point M du plan : M E AM BM AI BI + IM + IM = 0 IM IA IM + IA = 0 IM IA = 0 IM = IA IM = IA M Γ Le cercle de diamètre [AB] est donc le lieu des points M du plan vérifiant : AM BM Exercice VII36 On donne, A 1 ; 3 et B ; 4 Déterminer une équation du cercle, C, de diamètre [AB] Solution Soit Mx ; y un point du plan On a : AM x + 1 et BM y 3 M C AM BM AM BM = 0 x + 1x + y 3y 4 = 0 x x + y 7y + 1 = 0 C : x + y x 7y + 10 = 0 x y + 4 Première 9 0/6 Lycée Pontus de Tyard

Première 9 1/6 Lycée Pontus de Tyard Exercice VII37 A et B sont deux points du plan tels que, AB = 4 Déterminer géométriquement l ensemble E des points M vérifiant : MA + MB = 16 Solution D après le théorème de Pythagore et sa réciproque, on a pour tout point Mx ; y du plan, on a : M E MA + MB = AB AM BM E est le cercle de diamètre [AB] VII33 Formules de trigonométrie Formules d addition Sur la figure ci-contre, M et N sont les images respectives de deux nombres α et β sur le cercle trigonométrique Les vecteurs unitaires OM et ON ont respectivement pour coordonnées : De plus : cosα sinα et cosβ sinβ OM ; ON = β α On en déduit que : O j Nβ β α ı Mα cosβ α = cosβ α OM ON = OM ON = cosα cosβ + sinα sinβ On en déduit le théorème ci-dessous THÉORÈME VII35 Pour tous nombres réels a et b : 1 cosa + b = cos a cosb sin a sinb cosa b = cos a cosb + sin a sinb 3 sina + b = sin a cosb + cos a sinb 4 sina b = sin a cosb cos a sinb Démonstration a été démontrée en introduction du paragraphe VII33 Démontrons 1 D après et les formules de symétries : cosa + b = cos a b = cos a cos b + sin a sin b = cos a cosb sin a sinb

Démontrons 4 D après 1 et les formules de symétries : π π π sina b = cos a + b = cos a cosb sin a sinb = sin a cosb cos a sinb Démontrons 3 D après 4 et les formules de symétries : sina + b = sin a b = sin a cos b cos a sin b = sin a cosb + cos a sinb Exercice VII38 Calculer le cosinus de 5π 1 Solution Nous avons : 5π 1 = 3π 1 + π 1 = π 4 + π 6 ; donc : cos 5π 1 = cos π 4 cos π 6 sin π 4 sin π 6 = 3 1 = 6 4 Formules de duplication Le corollaire suivant est l expression des formules 1 et 3 du théorème VII35 lorsque, b = a COROLLAIRE VII36 Pour tous nombres réels a et b : 1 cosa = cos a sin a = cos a 1 = 1 sin a sina = sin a cos a Exercice VII39 Déterminer le sinus et le cosinus de π 1 cos π Solution On a : 1 π sin 1 = cos π 3 6 = cos π 1 + π sin 1 = 1 Donc : cos π 1 = + 3 et sin π 4 1 = 3 4 Or l image de π sur le cercle trigonométrique est dans le premier quadrant, le cosinus et le sinus de ce nombre sont positifs 1 cos π 1 = + 3 et sin π 1 = 3 On peut aussi remarquer que : 3 = 6 et 4 + 3 = 6 + 4 Première 9 /6 Lycée Pontus de Tyard

Première 9 3/6 Lycée Pontus de Tyard VII34 Géométrie du triangle Dans toute cette partie ABC désigne un triangle, A, B, C, désignent respectivement les angles géométriques BAC, ABC, ACB ; a, b, c désignent respectivement les distances BC, CA et AB et A désigne l aire du triangle ABC Théorème d AL KASHI THÉORÈME VII37 Soit ABC un triangle, on a : 1 a = b + c bc cosa b = c + a ca cosb 3 c = a + b ab cosc Démonstration 1 On a : a = BC = AC AB = AC + AB AC AB = b + c bc cosa On démontre de même et 3 Remarques 1 Lorsque l un des angles est droit, on retrouve le théorème de PYTHA- GORE ; en effet si par exemple l angle A est droit, 1 devient : a = b + c Le théorème des sinus VII39 et le théorème d AL KASHI VII37 permettent lorsqu elle est possible la résolution des triangles 3 3 Le théorème d AL KASHI est parfois appelé : «théorème des cosinus» Exercice VII310 Dans le triangle ABC sachant que BAC = π, AB = 5 et AC = 10, 3 déterminer BC Solution D après le théorème d AL KASHI : BC = AB + AC AB AC cos BAC = 100 + 5 50 1 = 75 BC = 75 = 5 3 3 Résoudre un triangle : étant donnés un certain nombre d angles et de côtés d un triangle, déterminer les angles et les côtés non donnés

Première 9 4/6 Lycée Pontus de Tyard Théorème de la médiane THÉORÈME VII38 Soit ABC un triangle et A le milieu de [BC], on a : 1 AA = AB + AC 1 BC ; AA = AB AC + 1 4 BC Démonstration 1 On a : AA = AB + BA + AC + CA 1 1 = AB + BC + AC BC = AB + 1 4 BC + BC AB + AC + 1 4 BC + BC CA = AB + AC + 1 BC + BC CB En utilisant 1, il vient : 1 BC = 1 1 AC AB = d où l on tire : AA = 1 AB AC + 4 BC = AB + AC 1 BC AB + AC AB AC = 1 AA + 1 BC AB AC ; Remarque La propriété du théorème VII38 est donnée en complément Exercice VII311 A et B sont deux points du plan tels que, AB = 4 Déterminer géométriquement l ensemble E des points M vérifiant : MA + MB = 3 Solution Soit I le milieu de [AB] et M un point du plan D après le théorème de la médiane dans le triangle ABM : MI = MA + MB 1 AB = MA + MB 8 Donc : M E MA +MB = 3 MI = 3 8 MI = 1 MI = 3 E est le cercle de centre I et de rayon 3

Première 9 5/6 Lycée Pontus de Tyard Aire d un triangle Chacun sait que l aire d un triangle se calcule par la formule : base hauteur A = Dans le triangle ABC ci-contre, si on choisit AC pour base alors la hauteur BH est déterminée par : C H BH = ABsinBAC = c sina b a On en déduit que : A = 1 bc sina A c B Plus généralement : A = 1 bc sina = 1 ca sinb = 1 ab sinc Théorème des sinus complément THÉORÈME VII39 Soit ABC un triangle et A son aire et R le rayon de son cercle circonscrit, on a : A sina sinb sinc abc = a = b = = 1 c R Démonstration En multipliant membre à membre par, il vient : abc A sina sinb sinc abc = a = b = c Les trois angles du triangle ABC ne peuvent être tous droits ou obtus, car sinon leur somme serait strictement supérieure à un C angle plat On en déduit que l un des angles au moins est aigu, par exemple C Soit I le milieu du segment [AB] et O le centre du cercle circonscrit Le triangle OAB est isocèle en O et, d après le théorème de l angle inscrit, AOB = ACB On en déduit que le triangle OBI est rectangle en I et que : BOI = C ; d où il vient : A I c sinc = BI = RsinC ; donc : c = 1 R O R B

VII35 Exercices Équations de droites VII3a 1 Déterminer une équation de la droite, δ, issue de A1; et de vecteur normal n 3 4 VII4 Exercices VII1 Calculer u v dans cacun des cas suivants Première 9 6/6 Lycée Pontus de Tyard