HPTR 10 Vecteurs Translation et rotation bjectifs Établir une relation entre les vecteurs et la translation. onstruire un représentant du vecteur somme à l aide d un parallélogramme. onstruire et caractériser la composée de deux symétries centrales de centres différents. onstruire les images de figures par une rotation donnée. Les gravures et dessins de.. scher expriment diverses symétries, translations ou rotations. v omment caractérise-t-on les symétries, les translations et les rotations?.. SHR 1898-1972 v Quels outils géométriques.. scher a-t-il utilisés dans ses œuvres?
es outils pour démarrer 1. Symétrie orthogonale v L image d un point par la symétrie orthogonale d axe d est le point tel que d est la médiatrice du segment [ ] si n est pas sur d. v Une droite d est axe de symétrie d une figure si les deux parties de la figure se superposent par pliage le long de cette droite. d d est axe de symétrie. d Les deux figures se superposent par pliage le long de la droite d. 2. Symétrie centrale v L image d un point par la symétrie centrale de centre ( ) est le point tel que le point est le milieu de [ ]. v Un point est centre de symétrie d une figure s il est le milieu du segment reliant deux points correspondants de la figure. Un demi-tour est centre de symétrie. eux figures sont symétriques par rapport au point si, en faisant tourner une figure d un demi-tour autour du point, on obtient le symétrique de la figure. v La symétrie orthogonale et la symétrie centrale conservent les longueurs, l alignement, les angles et les aires. 3. Parallélogramme v Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. v Un parallélogramme a un centre de symétrie qui est le point d intersection des diagonales. v ans un parallélogramme : les diagonales se coupent en leur milieu ; les côtés opposés ont la même longueur ; les angles opposés sont égaux. Le centre du parallélogramme est centre de symétrie. 102 THÉTQUS - 3 e ÉUVRT PRFSSLL
Un Q... pour faire le point Pour chaque ligne, indiquer la (ou les) bonne(s) réponse(s). 1 2 Si = alors : Le symétrique d un segment [] par rapport à une droite d est un segment : RÉPSS est le milieu de [] parallèle à [] le triangle est isocèle de même longueur que [] est sur la médiatrice de [] perpendiculaire à la droite d 3 ans quel(s) cas le triangle vert et le triangle bleu sont-ils symétriques par rapport au point? 4 ans quel(s) cas le drapeau vert et le drapeau bleu sont-ils symétriques par rapport à la droite rouge? 5 Le mot a un axe de symétrie a deux axes de symétrie a un centre de symétrie 6 ffectuer un demi-tour, c est tourner de : 45 90 180 7 ffectuer un quart de tour, c est tourner de : 40 90 180 8 Si est un parallélogramme, alors : = = () // () 9 Les diagonales d un paralléllogramme : se coupent en leur milieu sont perpendiculaires ont même longueur le parallélogramme le carré le triangle équilatéral 10 Les figures ayant un centre de symétrie sont : 11 Un triangle équilatéral : a trois angles qui mesurent 60 est inscrit dans un cercle dont le centre est le point d intersection de ses médiatrices a un centre de symétrie VTURS TRSLT T RTT 103
es activités pour découvrir ctivité 1 e la translation au vecteur a. Reproduire le dessin représentant un téléphérique sur une feuille de papier quadrillé. b. onstruire l image de la cabine du téléphérique après un glissement appelé «translation» qui amène en. c. Tracer en vert les «segments fléchés» de à, de à, de à et de à. d. es segments fléchés ont-ils même longueur? Sont-ils parallèles? nt-ils le même sens? e. Quelle est la nature des quadrilatères,, et? ctivité 2 omposition de deux translations : somme de deux vecteurs Ö a. Reproduire la figure Ö sur une feuille de papier quadrillé. 104 THÉTQUS - 3 e ÉUVRT PRFSSLL
b. onstruire l image Ö de la figure Ö par la translation de vecteur ù puis l image Ö de Ö par la translation de vecteur ù. c. Quelle translation transforme directement la figure Ö en la figure Ö? d. onstruire l image du point par la translation de vecteur ù. e. Quelle est l image de par la translation de vecteur ù? f. Quelle est la nature du quadrilatère? ctivité 3 omposition de deux symétries centrales J Ö a. Reproduire la figure Ö et les points et J sur une feuille de papier quadrillé. b. À l'aide du quadrillage, dessiner : l image du point et l image Ö de la figure Ö par la symétrie de centre ; l image du point et l image Ö de la figure Ö par la symétrie de centre J. c. Par quelle transformation passe-t-on directement de la figure Ö à la figure Ö? d. esurer et comparer les longueurs des segments [ ] et [J]. e. Tracer les vecteurs ùet Jù. es vecteurs ont-ils même direction et même sens? f. ompléter l'égalité suivante : ù = Jù. ctivité 4 Rotation Pour chacun des pavés, décalquer un motif de base et décrire un procédé permettant de le réaliser. n ne tient pas compte des couleurs des motifs. VTURS TRSLT T RTT 105
Ù ctivité 5 Propriétés d une rotation n a schématisé ci-dessous les quatre ailes du moulin à vent. F G H a. Reproduire les ailes du moulin sur une feuille de papier et sur un calque. b. n fait tourner les ailes autour du point d un angle de 45 dans le sens de la flèche. Sur la feuille de papier, construire les images,, des points,, par la rotation de centre et d angle 45. Tracer d une autre couleur l image obtenue des quatre ailes. c. Les droites () et (GH) sont parallèles. Leurs images sont-elles deux droites parallèles? d. À l aide du papier calque, comparer : les distances et ; les angles et Ù ; les aires des triangles et. ctivité 6 Polygones réguliers a. u compas et à la règle, tracer un carré de 5 cm de côté et un triangle équilatéral FG de 5 cm de côté. Tracer leurs cercles circonscrits de centre. ndiquer le centre et l angle des rotations par lesquels chaque point de chacune des deux figures a pour image un point de la figure (l angle de la rotation doit être le plus petit possible). b. Tracer un cercle de centre et de rayon 5 cm. Placer sur ce cercle un point. Soit la rotation de centre et d angle 60. onstruire les images de, de, de, de et F de. Quel est le nom du polygone F? 106 THÉTQUS - 3 e ÉUVRT PRFSSLL
L essentiel à retenir 1. Translation et vecteur v Vecteur Par la translation qui transforme en, les points et ont pour images les points et. Les couples (, ), (, ) et (, ) définissent la même translation : la translation de vecteur ù, ou de vecteur ù, ou de vecteur ù : ù = ù = ù. e vecteur peut se noter uü. Le vecteur uü, représenté par une flèche, est défini par : sa direction : celle de la droite ( ) ; sa longueur : celle du segment [ ] ; son sens : de vers. v Vecteurs égaux Les vecteurs ù et ù sont égaux ; ils ont même direction, même sens et même longueur : le quadrilatère est un parallélogramme ; les segments [] et [] ont même milieu. v Somme de deux vecteurs La composée de la translation de vecteur ù suivie de la translation de vecteur ù est la translation de vecteur ù. n dit que le vecteur ù est la somme des vecteurs ù et ù : ù + ù = ù. La somme des vecteurs ù et ù est le vecteur ù tel que est un parallélogramme : ù + ù Si ù = ù = ù alors ( ) // ( ) // ( ) et = =. est un parallélogramme donc : ù = ù ; ù = ù ; ù = ù ; ù = ù. uü uü + vü La somme des vecteurs uü et vü est le vecteur noté uü + vü. uü vü ù = ù + ù = ù + ù 2 Jù 3 Remarque : La somme de deux vecteurs opposés est le vecteur nul, noté 0ù : ù + ù = ù =0ù et ù + ù = ù =0ù. 1 J v omposition de deux symétries centrales La composée de la symétrie centrale de centre suivie de la symétrie centrale de centre J est la translation de vecteur 2 Jù. 2 La figure 3 est l image de la figure 1 par la translation de vecteur 2 Jù. VTURS TRSLT T RTT 107
Ù Ù Ù 2. Rotation v éfinition : L image d un point ( ) par la rotation de centre et d angle a est le point tel que : = et Ù = a. Remarques : L image de est. n dit que est invariant. La rotation de centre et d angle 180 est la symétrie centrale de centre. v Propriété : Une rotation conserve les longueurs, les alignements, les angles et les aires. pplication aux polygones réguliers Un polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle dont tous les côtés ont la même longueur. Les sommets consécutifs s obtiennent par une même rotation dont le centre est le centre du polygone. arré 90 est l image de par la rotation de centre et d angle 90, puis l image de Triangle équilatéral 120 est l image de par la rotation de centre et d angle 120, puis l image de a a Les figures sont superposables. Hexagone régulier 60 Sens + a = 45 Le sens positif de rotation est indiqué par la flèche (sens inverse des aiguilles d une montre) est l image de par la rotation de centre et d angle 60, puis l image de F 3. ngle inscrit et angle au centre ans un cercle, la mesure de l angle au centre est le double de celle de l angle inscrit qui intercepte le même arc ı. = 2 Ù 108 THÉTQUS - 3 e ÉUVRT PRFSSLL
es exercices pour s entraîner onvention : le sens de rotation choisi sera le sens positif c est-à-dire le sens contraire de celui des aiguilles d une montre. J SS F et F sont deux parallélogrammes tels que et F sont les milieux respectifs des segments [] et []. n utilisant seulement les points de la figure, donner : a. les vecteurs égaux au vecteur ù ; b. le vecteur égal au vecteur ù ; 1 Translation et notation c. les vecteurs opposés au vecteur ù ; d. les vecteurs égaux au vecteur Fù + Fù ; e. les vecteurs égaux au vecteur ù + ù. 4 Translations et losange a. Tracer un losange. et F sont des parallélogrammes. Recopier et compléter les phrases suivantes : a. L image de par la translation de vecteur ù est. b. est l image de par la translation de vecteur ù. c. L image de par la translation de vecteur ù est. d. est l image de F par la translation de vecteur ù. e. Par la translation de vecteur ù, est l image de. 2 F Parallélogramme et vecteurs b. onstruire : l image 1 du losange par la translation de vecteur ù ; l image 2 du losange par la translation de vecteur ù ; l image 3 du losange par la translation de vecteur ù. 5 Translation ou rotation? ans chacun des cas, passe-t-on du triangle bleu au triangle vert par une translation ou par une rotation? 1 2 Recopier et compléter les phrases suivantes : a. T est l image de H par la translation de vecteur ù donc TH est un. b. Les vecteurs ù et HTù sont donc TH est un parallélogramme. c. Si ù = HTù alors les segments [T] et [H] ont le. d. Hù = Tù donc T est l image de par la. e. TH est un parallélogramme donc les vecteurs Hù et Tù ont même, même et même ; la somme ù + Hù =. 3 H Vecteurs T F 3 5 4 VTURS TRSLT T RTT 109
6 J PPLQU Translations et pavage a. Parmi les pavés numérotés, quels sont ceux qui sont images du pavé 1 par une translation? ans chaque cas, préciser la translation. b. Parmi les pavés numérotés, quels sont ceux qui sont images du pavé 9 par une translation? ans chaque cas, préciser la translation. 8 Somme de deux vecteurs a. ans chacun des cas suivants, reproduire les vecteurs uü et vü sur une feuille de papier quadrillé. Placer un point et construire le vecteur ù = uü + vü. uü 1 2 vü vü uü 6 7 8 3 4 F G H uü uü 5 1 9 J K L vü vü 4 3 2 7 arré et vecteurs P b. ans chacun des cas suivants, placer les points,,, et sur une feuille de papier quadrillé en respectant leur disposition. onstruire le point F tel que Fù = ù + ù. 1 est un carré de centre. a. n utilisant la figure, compléter les égalités vectorielles suivantes. Pour chaque réponse, utiliser un seul vecteur. ù = ; ù = ; ù = ; ù + ù = ; ù + ù = ; ù + ù = ; ù + ù =. b. Les vecteurs ù et ù sont-ils égaux? Pourquoi? c. Reproduire la figure sur une feuille et construire : le point tel que : ù = ù + ù ; le point F tel que : Fù = ù + ù ; le point tel que : ù = ù. 9 2 hercher l erreur Trois élèves d une classe de Troisième ont tracé l image P du triangle P par la rotation de centre et d angle 90 dans le sens positif (voir page suivante). Un seul des trois élèves a réalisé une construction correcte. Lequel? 110 THÉTQUS - 3 e ÉUVRT PRFSSLL
Pour les deux autres élèves, indiquer les erreurs de construction. J ÎTRS Vincent 11 Vu au revet P Soit S un triangle isocèle de sommet S. Soit le symétrique de par rapport au point S. Soit F le symétrique de par rapport au point S. a. Faire la figure. b. Quelle est la nature du quadrilatère F? Justifier. Floriane P c. n utilisant les points de la figure, citer : un vecteur égal à Fù ; un vecteur égal à Sù. d. Recopier et compléter les égalités suivantes : P ù + Sù = ; ù + Fù =. 12 hercher la rotation P ans chacun des cas, la figure verte est l image de la figure bleue par une rotation de sens positif. écalquer les figures et trouver le centre et l angle de chaque rotation. avid ide : Le centre de la rotation est le point d intersection des médiatrices des segments [ ] et [ ]. 1 2 P P 10 Rotations 3 4 Reproduire les figures et construire les images des figures par une rotation de centre et d angle a donné dans le sens positif. 1 ngle a = 30 2 ngle a = 120 5 3 ngle a = 90 VTURS TRSLT T RTT 111
Ù Ù 13 La grande roue 16 es écureuils (dessin.. scher) La roue effectue un quart de tour. a. essiner la nouvelle position de la nacelle. b. omment obtient-on cette image? 14 L essuie-glace n a schématisé un essuieglace de bus. La vitre est verticale, et sont des points fixes, est un parallélogramme articulé. a. Quand l essuie-glace fonctionne, où se déplacent les F points,, et F? b. Reproduire le schéma sur une feuille et représenter l essuie-glace dans une autre position F par une rotation de 120. 15 arrelage La figure suivante est constituée de dix hexagones réguliers numérotés de 1 à 0. L hexagone 5 est noté F. Le point est le milieu du segment []. 1 2 3 4 5 6 7 F 120 8 0 9 Sans justification, répondre aux questions suivantes : a. Quelle est l image de l hexagone 8 par la symétrie de centre? b. Quelle est l image de l hexagone 0 par la symétrie orthogonale d axe ()? c. Quelle est l image de l hexagone 9 par la translation de vecteur ù? d. Quelle est l image de l hexagone 8 par la rotation de centre et d angle 120 dans le sens inverse des aiguilles d une montre? st-ce par une symétrie, une translation ou une rotation que l on passe : de l écureuil 3 à l écureuil 1? de l écureuil 1 à l écureuil 2? de l écureuil 3 à l écureuil 2? de l écureuil 4 à l écureuil 3? de l écureuil 4 à l écureuil 1? éfinir chacune d elles. 17 Pentagone Un pentagone régulier est un polygone à cinq côtés égaux. a. ompléter l égalité : 360 = 5 b. onstruire un pentagone régulier dont les sommets sont sur un cercle de centre de rayon égal à 4 cm. 18 3 Vu au revet 1 éterminer les mesures des angles du triangle sachant que = 50 et = 150. Le point est le centre du cercle passant par les points, et. es méthodes pour savoir faire 4 omment : a. construire un représentant du vecteur somme à l aide d un parallélogramme? b. construire l image d un point, d un segment, d un cercle par une translation? c. construire l image d un point, d un segment, d un cercle par une rotation? d. déterminer le centre et l angle d une rotation? 2 112 THÉTQUS - 3 e ÉUVRT PRFSSLL