DROITES, PLNS ET VECTEURS DE L ESPCE I- Droites et plans de l espace 1. Positions relatives de droites et de plans (a) Position relative de deux droites Deux droites distinctes de l espace peuvent être soit coplanaires soit non coplanaires. Si elles sont non coplanaires, alors elles n ont aucun point commun (elles ne sont pas sécantes). d 2 d 1 Si elles sont coplanaires, il y a deux situations possibles : soit elles sont sécantes (elles ont un point commun) ; d 2 d 1 soit elles sont parallèles (elles n ont aucun point commun). 1
d 2 d 1 ttention Deux droites distinctes de l espace sont parallèles si elles sont coplanaires et si elles n ont aucun point commun. Deux droites de l espace qui ne sont pas sécantes ne sont pas nécessairement parallèles. (b) Position relatives d une droite et d un plan Soit une droite et un plan de l espace, il y a a trois situations possibles : soit la droite et le plan ont un point commun, on dit qu ils sont sécants ; d P soit la droite et le plan n ont aucun point commun, on dit que la droite est strictement parallèle au plan ; 2
d P soit la droite est contenue dans le plan. d P (c) Position relative de deux plans Soit deux plans distincts de l espace, il y a deux situations possibles : les deux plans n ont aucun point commun, on dit qu ils sont parallèles ; P 1 P 2 l intersection des deux plans est une droite, on dit qu ils sont sécants. 3
P 1 P 2 2. Parallélisme Définition 1 Soit deux droites D 1 et D 2 de l espace. On dit que D 1 et D 2 sont parallèles lorsqu elles sont distinctes et parallèles (strictement parallèles) ou confondues. Définition 2 Soit une droite D et un plan P de l espace. On dit de D est parallèle à P lorsque D P = ou D P. Définition 3 Soit deux plans P 1 et P 2 de l espace. On dit que P 1 et P 2 sont parallèles lorsque P 1 P 2 = (strictement parallèles) ou lorsque P 1 et P 2 sont confondus. Propriété 1 Soit trois droites D 1, D 2 et D 3 de l espace. Si D 1 est parallèle à D 2 et D 2 parallèle à D 3, alors D 1 est parallèles à D 3. Théorème 1 Une droite d est parallèle à un plan P si et seulement si elle est parallèle à une droite contenue dans ce plan P. Démonstration Si d est parallèle à P et que d n est pas contenue dans P, on cherche une droite de P qui soit parallèle à d. Soit un point de P et Q le plan passant par et contenant. Les plans P et Q sont sécants : ils ont le point en commun et ils ne sont pas confondus car d P =. Soit la droite d intersection de P et Q. est une droite de P. 4
et d sont coplanaires et, comme d P =, on a d =, donc et d sont parallèles. Réciproquement, si il existe une droite de P parallèle à d et que d n est pas contenue dans P, on va montrer par l absurde que P d =. Soit Q le plan contenant d et. Supposons qu il existe un point P d, alors P Q, c est-à-dire, ce qui est absurde puisque d et sont strictement parallèles. On en conclut que d est parallèle à P. d P Propriété 2 Soit D une droite de l espace et P 1, P 2 deux plans de l espace. Si les plans P 1 et P 2 sont parallèles et si D est parallèle à P 1, alors elle est aussi parallèle à P 2. Propriété 3 Soit deux droites D 1 et D 2 de l espace et P un plan de l espace. Si les droites D 1 et D 2 sont parallèles et si D 1 est parallèle à P, alors D 2 est également parallèle à P. Théorème 2 Un plan P 1 est parallèle à un plan P 2 si et seulement si il contient deux droites sécantes d 1 et d 1 parallèles au plan P 2. Démonstration Si les plans P 1 et P 2 sont parallèles, considérons deux droites d 1 et d 1 de P 1 sécants en un point 1 et un point 2 du plan P 2. Soit Q le plan passant par 2 contenant d 1 et Q le plan passant par 2 contenant d 1. Q coupe P 2 suivant une droite d 2 et Q coupe P 2 suivant une droite d 2. Les droites d 2 et d 2 sont deux droites sécantes du plan P 2 respectivement parallèles à d 1 et d 1. Réciproquement si P 1 contient deux droites sécantes d 1 et d 1 parallèles respectivement à deux droites sécantes d 2 et d 2 du plan P 2, démontrons par l absurde que P 1 et P 2 sont parallèles. 5
Supposons que P 1 et P 2 sont sécants et soit d la droite d intersection de ces deux plans. d 1 est parallèle à P 2 et d 1 parallèle à P 1 donc d 1 est parallèle à d. De même, d 1 est parallèle à P 2 et d 1 est parallèle à P 1 donc d 1 est parallèle à d. On a alors d 1 parallèle à d 1, ce qui est absurde, doncles deux plans P 1 et P 2 sont parallèles. d 1 P 1 d 1 P 2 Propriété 3 Soit trois plans P 1, P 2 et P 3 de l espace. Si P 1 est parallèle à P 2 et P 2 parallèle à P 3, alors P 1 est parallèle à P 3. Théorème 3 Soit P 1 et P 2 deux plans strictement parallèles. lors tout plan qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont parallèles. Démonstration Soit Q un plan sécant avec P 1 suivant une droite d 1, alors Q est sécant avec P 2 suivant une droite d 2. d 1 et d 2 sont coplanaires. Si elles étaient sécantes en un point, serait un point de P 1 P 2, ce qui est absurde, donc d 1 et d 2 sont parallèles. P 2 d 1 P P 1 d 2 Théorème 4 6
Soit deux plans P et Q sécants suivant une droite et une droite d parallèle à P et à Q, alors d est parallèle à. P 2 d P 1 Démonstration Soit un point de et d la droite passant par parallèle à d. d passe par P et d est parallèle à P donc d est contenue dans P. De même, d passe par Q et d est parallèle à Q donc d est contenue dans Q. d = P Q c est-à-dire d =, et on a d parallèle à. Théorème 5 (théorème du toit) Soit deux plans P 1 et P 2 sécants suivant une droite. Si d 1 est une droite du plan P 1 et d 2 une droite du plan P 2 telles que d 1 et d 2 sont parallèles, alors est parallèle à d 1 et à d 2. 7
d 2 P 2 d 1 P 1 Démonstration d 1 est parallèle à d 2, elle est donc parallèle au plan P 2, elle est également parallèle à P 1, elle est donc parallèle à la droite d intersection de ces deux plans. On a donc d 1 et d 2 parallèles à. Exemple SBCD est une pyramide dont la base BCD est un parallélogramme. S D C B L intersection des plans (SB) et (SCD) est la droite passant par S parallèle à (B) et à (CD). Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite. passe par S. 8
(B) est une droite du plan (SB). (CD) est une droite du plan (SCD). Comme BCD est un parallélogramme, (B) et (CD) sont parallèles. D après le théorème du toit, est la parallèle à (B) et à (CD) passant par S. II- Vecteurs de l espace 1. Notion de vecteur de l espace - Opérations sur les vecteurs de l espace La notion de vecteur vue en géométrie plane se généralise à l?espace. tout couple de points (, B) du plan on associe le vecteur B. Si B, B est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (B)) ; son sens (de vers B) ; sa norme ( B = B). Un vecteur non nul de l espace pourra se noter u, u est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme. Soit quatre points, B, C et D de l?espace. B = CD si et seulement si BDC est un parallélogramme. Soit u un vecteur de l espace et un point de l espace, il existe un unique point B tel que B = u. Les règles de calculs sont les mêmes qu avec les vecteurs du plan. En particulier, le vecteur nul, noté 0, est le vecteur tel que, pour tout vecteur u de l?espace, u + 0 = 0 + u = u. Exemple 1 BCDEFGH est un cube. H G E F D C B EH = D et D = BC donc EH = BC, on en déduit que EBCH est un parallélogramme et que EH = BC. Exemple 2 BCDEFGH est un cube. 9
H G E F D C B Placer les points M, N, P, Q, R tels que : M = B + DH ; N = E + B + D ; P = FE + DG ; Q = 1 B + 1 D + E ; CR = 1 B D + 1 E. 2 2 2 2 2. Caractérisation d une droite - Vecteurs colinéaires et droites parallèles Définition Deux vecteurs u et v de l?espace sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que u = k v ou un réel k tel que v = k u. Cela signifie, lorsque u et v sont non nuls, qu ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l espace. Propriété 1 Soient, B, C et D quatre points de l?espace tels que B et C D. Les droites (B) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs B et CD sont colinéaires. Propriété 2 Soit, B et C trois points de l?espace. Les points, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs B et C sont colinéaires. Exemple BCDIJKL est un parallélépipède rectangle. G est le centre de gravité du triangle BIK. 10
L K B I J G D C B Démontrer que les points J, D et G sont alignés. On va montrer que les vecteurs JD et JG par exemple sont colinéaires en les exprimant en fonction des vecteurs B, D et I. On sait que G est le centre de gravité du triangle BIK. Si B? est le milieu de [IK], on a 2 BG = BB = 2 3 3 1 2 ( BI + BK) = 1 3 ( BI + BK). BG = 1 3 ( 1 B + I) + BC + CK = ( B + D + 2I). 3 On en déduit : JG = JB + 1 BG = I B + 1 D + 2 I. 3 3 3 JG = 1 B + 1 D 1 I. 3 3 3 JD = JI + I + D = B + D I. On remarque que : JD = 3 JG. Les vecteurs JG et JD sont colinéaires donc les points J, G et D sont alignés. Propriété 3 Caractérisation vectorielle d une droite Soit deux points distincts et B de l?espace. Un point M de l espace appartient à la droite (B) si et seulement si il existe un réel k tel que M = k B. u D u B Soit un point de l espace et u un vecteur non nul. L ensemble D des points M de l?espace tels que M et u sont colinéaires est une 11
droite, la droite passant par de vecteur directeur u. Par exemple si B est le point tel que B = u, D est la droite (B). 3. Vecteurs coplanaires - Caractérisation d un plan Définition Soit u, v, w trois vecteurs de l espace, un point de l?espace et B, C et D les points tels que B = u, C = v et D = w. On dit que les vecteurs u, v et w sont coplanaires lorsqu il existe un plan qui contient les points, B, C et D. On dit que les points, B, C et D sont coplanaires. Exemple BCDEFGH est un cube. H G E F D C B Les vecteurs B, C et D sont coplanaires. Les vecteurs B, D et G ne sont pas coplanaires. Théorème Soit trois vecteurs u, v, w de l espace tels que u et v ne soient pas colinéaires. u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que w = a u + b v. Démonstration Soit un point de l espace, B et C les points tels que B = u et C = v. v C w D u B 12
Comme u et v ne sont pas colinéaires, les points, B et C ne sont pas alignés, ils définissent un plan (BC) et (; u, v) est un repère du plan (BC). Soit D le point tel que D = w. Si u, v et w sont coplanaires, alors D est un point du plan (BC), et il existe un couple de réels (a; b) tel que w = D = a u + b v, c est le couple de coordonnées du point D dans le repère (; u, v). Réciproquement si il existe un couple (a; b) de réels tels que w = a u + b v, soit D le point du plan (BC) de coordonnées (a; b) dans le repère (; u, v). On a D = a u + b v donc D = w. Les points, B, C et D sont coplanaires donc les vecteurs u, v et w sont coplanaires. Propriété Caractérisation vectorielle d un plan Soit trois points non alignés, B et C de l espace. Un point M de l espace appartient au plan (BC) si et seulement si il existe un couple de réels (a; b) tel que M = a B + bc. M C B Soit un point de l espace, u et v deux vecteurs non colinéaires. L ensemble P des points M de l espace tels que M, u et v sont coplanaires est un plan, le plan passant par de vecteurs directeurs u et v. v M P u Par exemple si B est le point tel que B = u et C le point tel que C = v, P est le plan (BC). Exemple 13
BCDEFGH est un cube. I est le milieu de [BE] et J le milieu de [FG]. Démontrer que les vecteurs EF, IJ et BG sont coplanaires. H G J E F I D C B Les vecteurs EF et BG ne sont pas colinéaires. Cherchons donc à exprimer IJ en fonction de EF et BG. IJ = IE + EF + FJ. Comme I est le milieu de [BE], IE = 1 BE. 2 Comme J est le milieu de [FG], FJ = 1 FG. 2 Donc : IJ = 1 BE + 2 EF + FG. 2 2 Or BE = BF + FE = BF EF. On en déduit : IJ = 1 EF + 2 ( 1 BF EF + FG) = EF + 1 BG. 2 2 Les vecteurs IJ, EF et BG sont donc coplanaires. III- Repérage dans l espace 1. Décomposition d un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires Théorème Soit i, j et k trois vecteurs non coplanaires. lors, pour tout vecteur u, il existe un unique triplet (x; y; z) de réels tels que u = x i + y j + z k. Démonstration Existence Soit O un point de l espace, M le point tel que OM = u. Soit P le plan passant par O et dirigé par les vecteurs i et j. 14
M k O i j y x H P Comme les vecteurs i, j et k ne sont pas coplanaires, la droite passant par M de vecteur directeur k et le plan P sont sécants. Soit H leur point d intersection. OM = OH + HM. HM est colinéaire à k donc il existe un réel z tel que HM = z k. (O; i, j ) est un repère du plan P et H est un point de P donc il existe deux réels x et y tels que OH = x i + y j. On a donc déterminé trois réels x, y et z tels que OM = x i+y j+z k soit u = x i+y j+z k. Unicité Supposons qu il existe deux triplets de réels (x; y; z) et (x ; y ; z ) tels que u = x i + y j + z k et u = x i + y j + z k. On a alors (x x ) i + (y y ) j + (z z ) k = 0. Supposons que z z. On a alors : k = x x z z i y y z z j. Les vecteurs i, j et k seraient coplanaires, ce qui contraire à l hypothèse donc z = z. On a alors : (x x ) i + (y y ) j = 0. Supposons que y y. On a alors : j = x x y y i. Les vecteurs i et j seraient colinéaires, ce qui est contraire à l hypothèse donc y = y. On a alors : (x x ) i = 0. Comme i 0, on a x x = 0, soit x = x. Il existe donc un seul triplet (x; y; z) tel que u = x i + y j + z k. 2. Repères Définition Un repère de l espace est constitué d un point O et de trois vecteurs i, j et k non coplanaires. On le note (O; i, j, k). 15
i k O j 3. Coordonnées d un point et d un vecteur Soit (O; i, j, k) un repère de l espace. Définition 1 Soit u un vecteur de l espace. Le triplet (x; y; z) de réels tels que u = x i + y j + z k est le triplet de coordonnées de u dans le repère (O; i, j, k). Définition 2 Soit M un point de l espace. Le triplet (x; y; z) de réels tels que OM = x i + y j + z k est le triplet de coordonnées de M dans le repère (O; i, j, k). z M k i O j y x H 4. Calculs sur les coordonnées Tous les résultats de la géométrie plane s étendent à l espace en ajoutant une troisième coordonnée. Dans un repère (O; i, j, k) on considère les vecteurs u(x; y; z) et v(x ; y ; z ) : pour tout réel k, le vecteur k u a pour coordonnées (kx; ky; kz) ; 16
le vecteur u + v a pour coordonnées (x + x ; y + y ; z + z ). On considère deux points (x ; y ; z ) et B(x B ; y B ; z B ) dans le repère (O; i, j, k)) : le vecteur B a pour coordonnées (xb x ; y( B y ; z B z ) ; x + x B le point I milieu de [B] a pour coordonnées ; y + y B ; z ) + z B. 2 2 2 Exemple 1 On considère les points (1; 2; 3), B( 1; 3; 3) et C(4; 1; 2) dans un repère (O; i, j, k)) de l espace. D est le point tel que BCD est un parallélogramme. Calculer les coordonnées de D, puis les coordonnées du centre I du parallélogramme. BCD est un parallélogramme signifie que B = DC. Soit (x; y; z) les coordonnées de D. B( 2; 1; 6) et DC(4 x; 1 y; 2 z). B = DC 2 = 4 x 1 = 1 y 6 = 2 z x = 6 y = 2 z = 4 donc D(6; 2; 4). Le centre I du parallélogramme est le milieu du segment [C] par exemple. x I = 1 + 4 = 5 2 2 Les coordonnées de I sont : y I = 2 1 = 1 ( 5 soit I 2 2 z I = 3 + 2 = 1 2 ; 1 ) 2 ; 1. 2 2 2 Exemple 2 BCDIJKL est un parallélépipède rectangle. G est le centre de gravité du triangle BIK. Démontrer analytiquement en choisissant un repère que les points J, D et G sont alignés. L K B D C I J G B 17
On choisit le repère (; B, D, I). Les sommets du parallélépipède ont pour coordonnées dans ce repère : (0; 0; 0) ;B(1; 0; 0) ; C(1; 1; 0) ; D(0; 1; 0) ; I(0; 0; 1) ; J(1; 0; 1) ; K(1; 1; 1) et L(0; 1; 1). Calculons les coordonnées du( point G, centre de gravité du triangle BIK. 1 Soit B le milieu de [IK]. B 2 ; 1 ) 2 ; 1 2. BG = BB ( 3 BB 1 2 ; 1 ) 2 ; 1 donc 2 ( BB 1 3 3 ; 1 3 ; 2 ). 3 Soit (x; y; z) les coordonnées de G. BG(x 1; y; z). x 1 = 1 x = 2 2 3 Par conséquent : BG = BB y = 1 3 y = 1 donc 3 3 z = 2 3 z = 2 ( 3 3 2 G 3 ; 1 3 ; 2 ). 3 On calcule les coordonnées des vecteurs JG et JD : JG ( 1 3 ; 1 3 ; 1 ) et JD( 1; 1; 1). 3 On constate que JD = 3 JG, les vecteurs JD et JG sont colinéaires donc les points J, G et D sont alignés. Remarque : on n a pas de condition de colinéarité analogue à celle qu on a dans le plan. 5. Repésentation paramétrique d une droite L espace est muni d un repère (O; i, j, k). Théorème et définition La droite d passant par le point (x 0 ; y 0 ; z 0 ) de vecteur directeur u(a; b; c) est l ensemble des points M(x; y; z) tels que : x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct, t R Ce système d équations est une représentation paramétrique de la droite d. Démonstration M(x; y; z) si et seulement si il existe un réel t tel que M = t u. Cette condition équivaut à : x x 0 = at y y 0 = bt, t R z z 0 = ct d où le résultat. Exemple 18
Soit une droite d de représentation paramétrique : x = 2t y = t 1, t R z = t + 2 Le point (0; 1; 2) est un point de d. Le vecteur u(2; 1; 1) est un vecteur directeur de d. Le point M de d de paramètre 1 est M(2; 0; 3). Le point P ( 6; 4; 1) est-il un point de d? P est un point de d si et seulement si il existe un réel t tel que : t = 3. P est un point de d. 6 = 2t 4 = t 1 1 = t + 2 6. Représentation paramétrique d un plan Théorème et définition Le plan P passant par le point (x 0 ; y 0 ; z 0 ) et dirigé par les vecteurs u(a; b; c) et v(a ; b ; c ) est l ensemble des points M(x; y; z) tels que : x = x 0 + at + a t y = y 0 + bt + b t z = z 0 + ct + c t, t R t R Ce système d équations est une représentation paramétrique du plan P. Démonstration M(x; y; z) si et seulement si il existe deux réels t et t tels que M = t u + t v. Cette condition équivaut à : x x 0 = at + a t y y 0 = bt + b t, t R t R z z 0 = ct + c t d où le résultat. 7. Exemple x = 2 + 3t Soit P : y = 1 + t, t R t R (1). z = 4 + t t (3; 2; 1) est le point de P de paramètre 0. Soit u(3; 0; 1) et v(0; 1; 1). Les coordonnées de u et v ne sont pas proportionelles donc les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires. Soit M(x; y; z) un point du plan. M P si et seulement si il existe deux réels t et t tels que M = t u + t v, P est donc le plan passant par et dirigé par les vecteurs u et v. B(3; 2; 1) est-il un point de P? On résout le système d inconnues t et t : 19
2 + 3t = 3 1 + t = 2 4 + t t = 1 t = 1 3 t = 3 4 + 1 3 3 = 1 Ce système n admet pas de solution (la dernière égalité est fausse)donc M P. C(5; 2; 6) est-il un point de P? On résout le système d inconnues t et t : 2 + 3t = 5 t = 1 1 + t = 2 t = 1 4 + t t = 6 4 1 + 3 = 6 vraie). { t = 1 t = 1 (la dernière égalité est On en conclut que C P. 20