M - Mahémaiques Appliquées à l Économie e à la Finance Universié Paris 1 Spécialié : Modélisaion e Méhodes Mahémaiques en Économie e Finance Calcul Sochasique Annie Mille 15 14 13 1 11 1 9 8 7 6 5 4 3 1 1...4.6.8 1. 1. 1.4 1.6 1.8.
Table des maières 1. Processus d Iô de dimension quelconque.............. 1 1.1. Rappels............................. 1 1.. Variaion quadraique - Croche d une maringale locale...... 4 1.3. Processus d Iô réel........................ 1 1.4. Processus d Iô de dimension d - Formule d Iô générale...... 13 1.4.1. Processus d Iô de dimension d................. 13 1.4.. Formule d Iô générale.................... 15 1.5. Propriéés du Brownien...................... 17 1.5.1. Caracérisaions de Lévy................... 17 1.5.. Propriéés de Markov..................... 19 1.6. Exercices.............................. Équaions différenielles sochasiques.............. 4.1. Soluion fore - Diffusion..................... 5.. Soluion faible........................... 3.3. Quelques propriéés des diffusions................. 33.3.1. Flo sochasique e Propriéé de Markov............ 33.3.. Généraeur infiniésimal.................... 35.3.3. Théorème de comparaison................... 38.4. Processus de Bessel........................ 39.5. Lien avec les EDP......................... 4.5.1. Problème parabolique..................... 4.5.. Formule de Feynman-Kac................... 41.6. Exemples en finance........................ 44.6.1. Problème de Surm-Liouville - Temps d occupaion........ 44.6.. Inroducion à la formule de Black & Sholes........... 46.7. Exercices............................. 49 3. Théorème de Girsanov....................... 54 3.1. Changemen de probabilié.................... 54 3.. Formule de Cameron Marin.................... 55 3.3. Théorème de Girsanov...................... 57 3.4. Condiion de Novikov e généralisaions.............. 58 3.5. Exisence de soluions faibles................... 61 3.6. Exemples d applicaion à des calculs d espérance.......... 6 3.7. Théorème de représenaion prévisible.............. 64 3.8. Exercices............................. 66 4. Applicaions à la finance...................... 68 4.1. Modélisaion d un marché financier en emps coninu........ 68 4.1.1. Modélisaion d un marché à d acifs risqués e k faceurs...... 68 4.1.. Descripion des sraégies................... 69
4.1.3. Absence d opporunié d arbirage - Mesure maringale équivalene.. 7 4.1.4. Probabilié risque neure.................... 71 4.. Modèle de Black & Sholes généralisé............... 73 4..1. Absence d opporunié d arbirage e changemen de probabilié - Prime de risque....................... 73 4... Compléude du marché.................... 76 4..3. Calcul du porefeuille de couverure dans le modèle de Black & Sholes 78 4..4. Volailié.......................... 81 4.3. Modèle de Cox-Ingersoll-Ross.................. 8 4.3.1. Processus de Bessel généraux.................. 8 4.3.. Modèle de Cox-Ingersoll-Ross................. 84 4.3.3. Calcul du prix d un zéro-coupon................ 85 4.4. Exercices............................. 86
1 1 Processus d Iô de dimension quelconque Le bu de ce chapire es d éendre les noions de mouvemen Brownien, de processus d Iô e la formule d Iô de la dimension 1 à une dimension d arbiraire. 1.1 Rappels Nous rappelons ou d abord quelques définiions e noaions du cours de Calcul Sochasique 1. La filraion donne «l informaion» don on dispose à chaque insan. Définiion 1.1 Soi Ω, F, P un espace probabilisé. i Une filraion es une famille croissane F, de sous-ribus de F, c es à dire elle que F s F F si s. ii On di que la filraion F saisfai les condiions usuelles si elle es : coninue à droie, i.e., F = F + := s> F s. complèe, i.e., oues les ribus F coniennen les ensembles négligeables, ce qui revien à demander que PA = enraîne A F. Convenion. Dans oue la suie on se donne un espace probabilisé filré Ω, F, F,, P e on suppose que sa filraion F saisfai les condiions habiuelles. On supposera de plus que la ribu F es la compléée de la ribu riviale {, Ω}, ce qui enraîne que les v.a. F mesurables son presque sûremen consanes. Ceci ne sera pas rappelé dans les énoncés. Définiion 1. Un processus sochasique à valeurs dans R d es une famille X, de variables aléaoires X : Ω, F R d, R d. i Le processus sochasique X es F -adapé si X es mesurable de Ω, F dans R d, R d pour ou insan. ii Le processus sochasique X es progressivemen mesurable ou progressif si pour ou insan, l applicaion s, ω X s ω es mesurable de B, ] F dans R d, R d. iii Soi X un processus sochasique. Sa filraion naurelle es F X, où F X = σσx s, s, ], N où N désigne les ensembles négligeables. Si le processus X es coninu à droie, sa filraion naurelle F X saisfai les condiions habiuelles. Théorème 1.3 Soi X un processus sochasique à valeurs dans R d, adapé e coninu à droie. Alors X es progressif. La noion de emps d arrê joue un rôle crucial dans la héorie. Définiion 1.4 Une variable aléaoire τ : Ω, + ] es un emps d arrê relaivemen à la filraion F, ou F -emps d arrê, si {τ } F pour ou. Si τ es un emps d arrê relaivemen à F, on noe F τ = {A F : A {τ } F,, + }. Enfin si X es un processus F -adapé, on noe X τ ω = X τω ω; si le processus X es coninu à droie e adapé, X τ 1 {τ<+ } es F τ -mesurable. Les exemples suivans de emps d arrê son imporans. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
1 Processus d Iô de dimension quelconque Proposiion 1.5 Soi X, un processus à valeurs dans R d, F -adapé e A R d. Rappelons la convenion inf = +. i Si A es fermé e X es coninu, D A = inf{ : X A} es un F -emps d arrê. ii Si A es un ensemble ouver e X es coninu à droie, alors le emps d aeine de A noé T A = inf{ > : X A} es un F +-emps d arrê. Démonsraion. i De façon évidene, la coninuié de X. e le fai que A es fermé enraînen {D A } = {ω : inf s Q,s dx s ω, A = } F, où dx, A = inf y A dx, y. ii Pour vérifier {T A } F +, il suffi de vérifier que {T A < } F pour ou. De plus, si s < e X s ω A, la coninuié à droie de X. ω e le fai que A es ouver enraînen qu il exise ε ], s el que pour ou r s, s + ε, X r ω A, d où {T A < } = s<,s Q {X s A} F. Remarquons que T A n es pas nécessairemen un F -emps d arrê. Les maringales jouen un rôle cenral dans la héorie; elles on la propriéé fondamenale consammen uilisée en finance : le processus X,, T] es complèemen déerminé par sa valeur X T à l insan erminal T. Définiion 1.6 Un processus réel F -adapé X = X, es une F -maringale si E X ] < + auremen di X L 1 Ω pour ou. EX F s ] = X s pour ou s. Si X es une F -maringale elle que EX < + pour ou, on di que X es une maringale de carré inégrable. On peu définir une maringale sans filraion préalable, en demandan que ce soi une F X - maringale où F X es la ribu naurelle de X. Clairemen, si X es une F -maringale, c es aussi une F X -maringale. Enfin, un processus X = X i, i = 1,, d, à valeurs dans Rd es une F -maringale si chacune de ses composanes X, i, i = 1,, d es une F -maringale. Rappelons qu une F -maringale X par rappor à une filraion F qui saisfai les condiions habiuelles adme une modificaion coninue à droie e limiée à gauche cadlag. Toues les maringales que nous considérerons seron donc coninues à droie. Le héorème d arrê s éend aux maringales coninues à droie. Théorème 1.7 Théorème d arrê Soi M une F -maringale coninue à droie. i Soi S, T des F -emps d arrê bornés par une consane K, i.e., els que S T K. Alors M T es inégrable e EM T F S = M S p.s. ii Soi T un emps d arrê. Le processus arrêé M T, défini par M T = M T 1.1 es encore une F -maringale. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
1.1 Rappels 3 Démonsraion. i Pour ou n 1, soi S n ω = k n sur {S k 1 n, k n }, k K n + 1 e T n défini de façon similaire. Alors S n e T n son des F -emps d arrê qui ne prennen qu un nombre fini de valeurs e els que S S n T n, lim n S n = S e lim n T n = T. Si A F Sn, en découpan l ensemble A suivan les valeurs prises par S n e en uilisan la propriéé de maringale, on voi que M A S n dp = k M A {S n=k} KdP, c es à dire que M Sn = EM K F Sn. Puisque F Sn F Tn, on a donc EM Tn F Sn = EEM K F Tn F Sn = M Sn. On en dédui que pour A F S F Sn, M A S n dp = M A T n dp. De plus, les suies de emps d arrê S n, n 1 e T n, n 1 éan décroissanes, le calcul précéden monre que les suies M Sn, F Sn e M Tn, F Tn son des maringales descendanes, donc uniformémen inégrables. Puisque la maringale M es coninue à droie, M T = lim n M Tn e M S = lim n M Sn p.s. e dans L 1. On en dédui que pour ou A F S, M A SdP = M A TdP, ce qui ermine la démonsraion. On remarque que cee démonsraion s éend aisémen au cas où S e T son des emps d arrê non bornés els que S T si la maringale M es uniformémen inégrable, donc fermée. ii Si s, il suffi d appliquer la parie i aux emps d arrê s T T, pour déduire que M T es une F T -maringale. Monrons que ce processus F -adapé inégrable es encore une F -maringale. Soi A F s. De façon évidene, A {T > s} F s T, e puisque EM T F s T = M s T, M T dp = M s T dp. A {T >s} A {T >s} De plus, sur {T s}, M T = M T = M s T ; on en dédui M A TdP = M A s TdP, ce qui ermine la démonsraion. Cee proposiion jusifie la définiion suivane qui perme de «localiser» la noion de maringale en inroduisan une suie croissane de emps d arrê. Définiion 1.8 Un processus F -adapé e coninu à droie M es une F -maringale locale s il exise une suie croissane τ n de F -emps d arrê elle que τ n e M τn := M τn, es une F -maringale pour ou n. Remarque 1.9 1 Soi M une maringale locale. En remplaçan la suie de emps d arrê τ n par τ n n on voi que l on peu demander que chaque maringale M τn soi uniformémen inégrable. Pour ou n 1, soi S n = inf{ : M n}. Alors S n es un emps d arrê e si la maringale locale M es coninue, on peu, en remplaçan τ n par τ n n S n, demander que la maringale M τn soi bornée. Même si M es une maringale locale inégrable, ce n es pas nécessairemen une maringale. On pourra voir un conre-exemple dans 11], page 18. Définiion 1.1 Le processus B, es un mouvemen Brownien sandard réel - ou unidimensionnel si les propriéés a-c son vérifiées : a PB = = 1 le mouvemen Brownien es issu de l origine. b Pour s, B B s es une variable réelle de loi gaussienne, cenrée de variance s, noée N, s. c Pour ou n e 1 n, les variables aléaoires B, B 1 B,, B n B n 1 son indépendanes. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
4 1 Processus d Iô de dimension quelconque Rappelons que les rajecoires du Brownien B son p.s. coninues, e même Höldériennes d ordre α < 1, mais p.s. qu elles ne son pas dérivables ni même des foncions de classe C. 1 On supposera souven que la ribu F considérée es la ribu naurelle de B, noée F B, e saisfai donc le héorème d arrê 1.7. La propriéé c monre que pour ou s <, l accroissemen B B s es indépendan de la ribu Fs B = σσb u, u s, N. Le mouvemen Brownien es donc une F B -maringale. Rappelons des propriéés du Brownien qui seron d un usage consan, e pourron êre monrées à ire d exercice. Proposiion 1.11 Soi B un Brownien. Alors i Scaling Pour oue consane c >, le processus cb /c es un mouvemen Brownien e B es un mouvemen Brownien. ii B, es FB -maringale. iii Pour ou θ R, le processus exp θb θ, es une F B-maringale. La figure suivane monre rois exemples de rajecoires de B obenues par simulaion. 5 4 3 1 1 3 4 5..5 1. 1.5..5 3. 3.5 4. 4.5 5. 1. Variaion quadraique - Croche d une maringale locale Rappelons les noaions suivanes. Définiion 1.1 Soi Ω, F, F,, P un espace filré. Pour a = 1, e T ], + ] on noe : { } H a F = h progressivemen mesurable el que pour ou, E h s a ds <, { } Ha loc F = h progressivemen mesurable el que pour ou, h s a ds < p.s., { T } Ha T F = h progressivemen mesurable el que E h s a ds < +. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
1. Variaion quadraique - Croche d une maringale locale 5 En pariculier soi h un processus cadlag F -adapé; si pour ou > on a h s ds < + p.s., alors h H loc, si E h sds < pour ou, alors h H F,... Lorsque la filraion F es la filraion naurelle F B d un mouvemen Brownien B, on noera simplemen H1 loc := H1 loc F B, H loc := H loc F B,... La propriéé suivane des inégrales sochasiques par rappor au mouvemen Brownien es fondamenale. Théorème 1.13 Soi B un mouvemen Brownien e F B sa filraion naurelle. Soi h H ; alors le processus I = h sdb s es une F B -maringale de carré inégrable e à rajecoires p.s. coninues. Soi h H loc par exemple un processus cadlag, F B-adapé el que h sds < + p.s. Alors l inégrale sochasique I = h sdb s peu êre consruie comme une maringale locale coninue. Rappelons la noion de variaion saisfaie par les inégrales de la borne supérieure déerminises. Définiion 1.14 i Soi s < e f : s, ] R. La foncion f es à variaion bornée sur s, ] si V s,] f < +, où { } V s,] f := sup f i+1 f i : {s = < 1 < < n } subdivision de s, ]. i La foncion f :, + es à variaion finie sur, + si elle es à variaion bornée sur ou inervalle, T]. ii Le processus X es à variaion bornée sur s, ] resp. à variaion finie si ses rajecoires son p.s. à variaion bornée sur s, ] resp. p.s. à variaion finie. De façon évidene, si b H1 loc F, le processus I = b sds es à variaion finie; en effe pour ou T, V,T] I T b d. Le comporemen des inégrales sochasiques es ou aure. Proposiion 1.15 Soi M une F -maringale locale p.s. coninue à variaion finie. Alors pour ou la variable aléaoire M es presque sûremen consane égale à M. Démonsraion. Puisque M es p.s. consane, en remplaçan M par M M, on peu supposer M =. i Fixons T e supposons que M es une maringale coninue e que sa variaion V,T] M es p.s. bornée par C. Soi = { = < 1 < < n = T } une subdivision de, T], = sup n 1 i= i+1 i son pas e pour k n 1 soi X k = M k+1 M k. Alors n 1 E M T = E M T M = EXk + k= 1 i<j n 1 EX i X j. Si i < j, X i es F i mesurable, donc indépendane de X j e EX i X j = EX i EX j F i =. Donc E M T = n k= EX k CE sup k M k+1 M k e par coninuié des rajecoires de M, p.s. la foncion M ω es uniformémen coninue sur, T]. Quand, on a donc sup k:k+1 M k+1 M k p.s. andis que sup k:k+1 M k+1 M k C. En 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
6 1 Processus d Iô de dimension quelconque appliquan le Théorème de convergence dominée, on en dédui E sup k M k+1 M k quand. On en dédui E M T = ce qui enraîne M T = p.s. ii Supposons que M es une maringale p.s. coninue. Pour ou n, soi τ n = inf{, T] : V,] M n} T avec la convenion inf = +. La définiion de V,] monre que c es un processus F - adapé, coninu. La Proposiion 1.5 i monre que τ n es une suie de F -emps d arrê; de façon évidene, τ n es croissane e converge vers T. Le héorème d arrê 1.7 monre que le processus M τn = M τn, es une F -maringale. De plus, par consrucion, V,T] M τn n p.s. Soi, T]; la parie i monre donc que M τn = p.s. puis la coninuié p.s. de M perme, en faisan endre n vers l infini, d en déduire que M = p.s. iii Soi mainenan M une maringale locale coninue e soi τ n une suie de emps d arrê qui croi vers T elle que M τn, es une maringale coninue. Pour ou n cee maringale es à variaion bornée sur, T] e es donc nulle p.s. d après ii. On conclu de nouveau par passage à la limie en n en uilisan la coninuié p.s. de M. La proposiion précédene monre que le mouvemen Brownien n es p.s. pas à variaion bornée sur, T] e que l inégrale sochasique σ sdb s ne peu pas êre définie ω par ω e n es pas à variaion finie, sauf si elle es nulle. La «bonne noion» pour les inégrales sochasiques, ou comme pour le Brownien, es celle de variaion quadraique. Pour ou processus X défini sur, T], T e oue subdivision = { = < 1 < < k = T }, k 1 T X = X i+1 X i. i= Définiion 1.16 Soi X :, T] Ω R un processus sochasique défini sur, T]. On di que X es de variaion quadraique finie si pour ou, T], X, X = lim T exise en probabilié, c es à dire que pour oue suie n de subdivisions de, T] don le pas end vers, la suie T n converge en probabilié vers une limie noée X, X. Les deux résulas suivans donnen les rappors enre processus à variaion bornée e à variaion quadraique finie. Proposiion 1.17 Soi X un processus coninu à variaion bornée sur, T]. Alors X es de variaion quadraique nulle sur, T]. Démonsraion. Soi = { = < 1 < < k = T } une subdivision de, T]. Alors k 1 k 1 X i+1 X i X i+1 X i sup X i+1 X i. i<k i= i= La coninuié uniforme p.s. de X sur l inervalle, T] enraîne sup i k 1 X i+1 X i p.s. quand. De plus p.s. k 1 i= X i+1 ω X i ω V,T] X. ω < +, ce qui ermine la démonsraion. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
1. Variaion quadraique - Croche d une maringale locale 7 On remarque d ailleurs que la démonsraion précédene e le Théorème de convergence dominée enraînen que si V,] X C p.s. où C es consane, T converge vers dans L 1. Le résula suivan a éé monré dans le cours de Calcul Sochasique 1. Théorème 1.18 Le mouvemen Brownien B es de variaion quadraique finie sur ou inervalle, T] e B, B =. Plus précisémen, lorsque, E T B, c es à dire que la convergence a lieu dans L. De plus, si σ H loc, le processus σ sdb s, es de variaion quadraique σ s ds sur chaque inervalle, ]. Nous allons ou d abord le généraliser à des maringales locales coninues. Noaion Soi = { = < 1 < < } une subdivision de, + elle que pour ou >,, ] ne comprend qu un nombre fini de poins. Par analogie avec les noaions précédenes, pour ou > en ajouan à la subdivision e pour ou processus X noons T X = i+1 X i i X. 1. Le processus X es à variaion quadraique finie si pour ou la famille de processus T X converge en probabilié vers X, X quand le pas de la subdivision sur, ] end vers. Le résula suivan es fondamenal. Il relie la variaion quadraique à une maringale associée au carré du processus. Théorème 1.19 Soi M une F -maringale locale coninue. Alors M es de variaion quadraique finie e sa variaion quadraique M, M es l unique processus croissan, adapé, coninu, nul en zéro el que M M, M, es une F maringale locale. De plus, pour s < e oue suie n de subdivisions don le pas n end vers, la suie sup s Ts n M M, M s converge vers en probabilié. Si de plus, M es une maringale de carré inégrable c es à dire que EM < + pour ou, alors M M, M, es une F maringale coninue elle que pour ou couple de emps d arrê bornés S T C, EM T M S F S = E M T M S F S = E M, M T M, M S F S. Démonsraion. L unicié de la décomposiion découle de la Proposiion 1.15. En effe, soi M = Y + A = Z + B où A, B son des processus coninus à variaion finie e nuls en, Y, Z son des maringales locales, coninues puisque M., A. e B. le son. Alors la différence Y Z = B A es une maringale locale coninue à variaion finie nulle en, donc es nulle d après la Proposiion 1.15. Pour prouver l exisence, nous disinguerons plusieurs éapes. Pour alléger les noaions, nous ne ferons pas référence à la filraion pour les emps d arrê, maringales,... En remplaçan M par M M, qui es aussi une maringale ou une maringale locale, nous supposerons que M =. 1 On suppose que M es une maringale bornée par C. Pour oue subdivision, s <, noons i e k les eniers els que i s < i+1 e k < k+1. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
8 1 Processus d Iô de dimension quelconque Alors si i = k, la propriéé de maringale de M enraîne que Si i < k, E T M T s M Fs = E M M i M s M i F s = E M M s F s = EM M s F s. E M i+1 M i F s = E Mi+1 M s F s + Ms M i. Avec la convenion n j=n 1 x j = si n 1 > n, on en dédui E T M T s M Fs = E M i+1 M s + D aure par, pour ou s a < b c < d, k 1 j=i+1 M j+1 M j + M M k Fs. EM b M a M d M c F s ] = EM b M a EM d M c F c ] F s ] =. En décomposan M M s comme somme d accroissemens sur les poins {s, i+1,, k, } on obien donc E M M s F s = E M i+1 M s + k 1 j=i+1 M j+1 M j + M M k Fs, On en dédui que E M M s F ] ] s = E M M s F s = E T M Ts M F s]. 1.3 Le processus M T M, es donc une maringale de carré inégrable e EM = ET M pour ou. Soi M une maringale coninue bornée par C. Fixons a en noons n une suie de subdivisions de, a] don le pas end vers. Monrons que la suie Ta n M, n converge dans L, c es à dire es de Cauchy dans L. Soi e deux subdivisions; noons la subdivision obenue en prenan l union des poins de e. Noons X = T M T M. Puisque M T M, es une maringale, X es égalemen une maringale nulle en elle que X, a es bornée. Le calcul précéden appliqué à X au lieu de M monre que ] ] EXa = E Ta M Ta M = E T a X. De plus, T a X T a T M + T a T M ]. Pour vérifier que la suie Ta n M es de Cauchy, il suffi donc de vérifier que E T a T M ] converge vers quand +. Soi s k e l l unique élémen de el que l s k < s k+1 l+1. Alors T s k+1 M T s k M = M sk+1 M l M sk M l = M sk+1 M sk M sk+1 +M sk M l. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
1. Variaion quadraique - Croche d une maringale locale 9 On en dédui T a T M T a M sup M sk+1 + M sk M l. k Puisque M es coninue bornée, le héorème de convergence dominée enraîne que E sup M sk+1 + M sk M l 4 quand +. k Il suffi d après l inégalié de Schwarz de prouver que E T a M rese bornée par une consane, c es à dire que sup E Ta M < +. Soi une subdivision qui conien a = n. Alors T a M = n 1 M i+1 M i i= n 1 n = M i+1 M i 4 + i= i= i= i= n 1 M i+1 M i j=i+1 M j+1 M j n 1 n = M i+1 M i 4 + M Mi+1 i T a M T i+1 M. L équaion 1.3 monre que E T a M T i+1 M F i+1 ] = E Ma M i+1 F i+1 ]. Puisque M i+1 M i es F i+1 -mesurable, on en dédui n 1 E Ta M = E M i+1 M i 4 i= n 1 + i= n 1 E M i+1 M i E T a M T i+1 M F i+1 ] n 1 = E M i+1 M i 4 + E M i+1 M i M a M i+1 ] i= E sup k i= ] M k+1 M k + sup M a M k Ta M. k Puisque sup M C e M =, l équaion 1.3 pour e a enraîne que ET a M C e donc E T a M 1C ET a M 1C4. 1.4 La suie Ta n M, n 1 es donc de Cauchy dans L ; elle converge dans L donc aussi en probabilié vers une limie noée M, M a. 3 Soi M une maringale coninue bornée par C. Il rese à vérifier que le processus M, M a les propriéés annoncées. Soi n une suie de subdivisions don le pas n end 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
1 1 Processus d Iô de dimension quelconque vers. Pour ou m < n, le processus T n M T m M es une maringale e l inégalié de Doob enraîne que E Ts n M Ts m M 4E Ta n M Ta m M ]. sup s a Soi mk un enier el que pour ou m mk, E Ts m M T mk s M k. On peu supposer que la suie mk es sricemen croissane e, d après le lemme de Borel Canelli, de la suie T. n M, n 1 on peu donc exraire une sous-suie T mk. M, k 1 qui converge p.s. uniformémen sur l inervalle, a]. Par un procédé diagonal, on peu faire en sore d exraire une nouvelle sous-suie qui converge uniformémen sur ou inervalle, N] pour ou enier N. La limie M, M es donc p.s. coninue. De plus, la limie éan indépendane de la suie de subdivisions choisie, on peu faire en sore que la suie de subdivisions soi elle que n n+1 e que n n soi dense dans, +. Alors, si s < son des poins de n n, il exise n el que s, n pour ou n n. On en dédui alors de façon évidene que Ts n T n pour n n, d où M, M s M, M e que le processus M, M es croissan par coninuié. Enfin, en faisan endre n vers l infini dans l équaion 1.3 écrie pour la subdivision n e en uilisan l inégrabilié uniforme de la suie T n M, n 1 qui découle du fai que cee suie es bornée dans L d après 1.4, on dédui que M M, M es une maringale. 4 Soi M une maringale locale coninue e T n une suie de emps d arrê qui croî p.s. vers + e elle que pour ou n le processus Xn = M Tn défini par 1.1 es une maringale coninue bornée. La démonsraion précédene monre qu il exise un processus croissan An nul en el que pour ou n, Xn An, es une maringale. De plus la maringale arrêée Xn + 1 An + 1 Tn = Xn An + 1 Tn es une maringale e An + 1 Tn es un processus croissan nul en. L unicié monrée en 1 perme de déduire que An + 1 Tn = An Tn p.s. Ceci perme de définir sans ambiguïé un processus croissan M, M = An pour ou T n. L unicié vien de l unicié sur ou inervalle, T n ]. Fixons >, ε > e δ >. La suie de emps d arrê T n end vers +, donc pour n assez grand S = T n es el que PS < δ e la maringale M S es bornée. La première parie monre que lorsque le pas de la subdivision end vers, T MS converge vers M S, M S en probabilié. Puisque Ts M S = Ts M e M S, M S s = M, M s pour s, S], on en dédui que pour assez pei P sup Ts M M, M s ε δ + P sup Ts MS M S, M S s ε δ. s s 5 Supposons enfin que M es une maringale es de carré inégrable. D après l inégalié de Doob, E sup M s E M. s D aure par, soi T n une suie de emps d arrê qui croî p.s. vers + e elle que pour ou n le processus X n = M Tn es une maringale coninue bornée. Pour ou, E M, M Tn = Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
1. Variaion quadraique - Croche d une maringale locale 11 E M Tn e la suie M Tn, n es une F Tn, n maringale bornée dans L qui converge dans L vers M. De plus, le héorème de convergence monoone monre que E M, M = lim n E M, M Tn = lim n E M Tn. Enfin la maringale discrèe M Tn, n 1 es fermée par M L e converge dans L vers M puisque n F Tn = F ; on a donc E M, M = EM < +. L inégalié de Doob monre alors que pour ou s, Ms M, M s sup Mr + M, M r L 1. r L exercice 1.4 ii monre que cee maringale locale coninue uniformémen inégrable es une maringale. Il suffi d appliquer le Théorème d arrê 1.7 pour conclure la démonsraion. Le croche de deux maringales locales coninues M e N es défini par polarisaion. Théorème 1. Soi M e N des F -maringales locales coninues. Il exise un unique processus coninu, adapé, à variaion finie M, N nul en el que M N M, N, soi une maringale locale coninue. De plus pour oue suie n de subdivisions de, ] don le pas end vers, la suie sup s M i+1 s M i sn i+1 s N i s M, N s converge vers en probabilié. i n Démonsraion. L unicié découle de la proposiion 1.15. Pour l exisence, il suffi de vérifier que M, N = 1 ] M + N, M + N M N, M N. 4 a les propriéés annoncées. C es la différence de deux processus croissans e c es donc un processus à variaion finie. Définiion 1.1 On di que le processus M, N es le croche de M e N e que le processus M, M aussi noé M es le processus croissan associé à M. Définiion 1. Un processus X es une semi-maringale coninue s il adme la décomposiion X = X +M +A pour ou, où M es une F -maringale locale coninue, A es un processus coninu à variaion finie, M = A =. On dédui aisémen la Proposiion 1.3 La variaion quadraique d une semi-maringale coninue X = X +M+ A es finie e égale M, M. La décomposiion de X es unique à indisinguabilié près. On noe donc X, X = M, M e on di que ce processus croissan es le croche de X. De même, si X = X + M + A e Y = Y + N + B son des semi-maringales coninues avec les maringales locales coninues M, N e les processus à variaion finie A e B on défini le croche de X e Y comme X, Y = M, N = 1 ] X + Y, X + Y X Y, X Y. 4 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
1 1 Processus d Iô de dimension quelconque Démonsraion. Soi X = X + M + A une semi-maringale coninue. Si X adme une aure décomposiion X = X + M + Ā où Ā es un processus à variaion finie, M es une maringale locale coninue, M = Ā =, on a X = X, le processus M M = Ā A es une maringale locale coninue à variaion finie, es es donc nulle p.s. d après la Proposiion 1.15. Soi une subdivision de, ]. D après la Proposiion 1.17 le processus A es à variaion quadraique nulle e pour prouver que la variaion quadraique de X es celle de M, il suffi de vérifier que M i+1 M i A i+1 A i sup M i+1 M i V ar,] A. i i Puisque les rajecoires de M son p. s. coninues donc uniformémen coninues sur, ] e que V ar,] A < + on dédui que p.s., le majoran end vers quand. 1.3 Processus d Iô réel. Définiion 1.4 Soi B un mouvemen Brownien, F B sa filraion naurelle, x R, b H1 locfb e σ Hloc FB. Le processus X défini par X = x + σ s db s + b s ds 1.5 es un processus d Iô; il es à rajecoires coninues. Le processus b es sa dérive, le processus σ es le coefficien de diffusion e x es la condiion iniiale. L équaion 1.5 es souven égalemen noée { dx = b d + σ db, 1.6 X = x. Le Théorème 1.13 monre que M = σ sdb s es une F B -maringale locale coninue. Un processus d Iô X = x + σ sdb s + b sds es donc une semi-maringale locale coninue. On di que σ sdb s es sa «parie maringale» même si c es seulemen une maringale locale e que x + b sds es sa «parie à variaion finie». La parie maringale de X es une «vraie» F B -maringale si le coefficien de diffusion σ es cadlag el que E < + pour ou >, ou plus généralemen si σ H F B. C es une σ sds maringale bornée dans L si σ H F. Les résulas de la secion précédene donnen donc immédiaemen quelques propriéés imporanes des processus d Iô. Corollaire 1.5 i Le croche d un processus d Iô X = x + σ sdb s + b sds es défini par X, X = σ sds pour ou. ii Plus généralemen, le croche croisé de deux processus d Iô X = x + σ sdb s + b sds e Y = y + σ sdb s + b s ds es celui de leurs paries maringales, soi X, Y = σ s σ s ds. iii Soi X = x + σ sdb s + b sds = x + σ sdb s + b s ds, un processus d Iô, où b, b H1 loc F B, σ, σ H loc F B, x, x R. Alors, x = x, b = b ds dp p.p. e σ = σ ds dp p.p., c es à dire que la décomposiion de X es unique. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
1.4 Processus d Iô de dimension d - Formule d Iô générale 13 iv Soi X un processus d Iô qui es une F B es nulle ds dp p.p. -maringale locale. Alors sa dérive b Démonsraion. i e ii son des conséquences immédiaes de la Proposiion 1.17, du Théorème 1.18 e de la polarisaion. iii La différence D = b s b s ds = σ s σ s db s es don un processus à variaion bornée sur, T] à cause de l inégrale déerminise e une maringale locale coninue à cause de l inégrale sochasique e du Théorème 1.13. La Proposiion 1.17 monre que la variaion quadraique de l inégrale sochasique de σ σ es nulle p.s. sur ou inervalle, ], soi σ s σ s ds =, e σ = σ ds dp p.p. sur, ] Ω. On en dédui que b s b s ds = pour ou, ce qui ermine la démonsraion puisque X = x = x. iv Le processus d Iô X = x+ σ sdb s + b sds es coninu. Puisque x+ σ sdb s es une F B -maringale locale coninue, par différence le processus b sds es une maringale locale coninue e es à variaion finie sur ou inervalle, ]. Il es donc consan e égal à p.s. d après la Proposiion 1.15 1.4 Processus d Iô de dimension d - Formule d Iô générale 1.4.1 Processus d Iô de dimension d Nous éendons ou d abord la définiion du mouvemen Brownien réel au cas d un processus de dimension quelconque. Définiion 1.6 Soi B = B 1, B,...,B r, un processus r-dimensionnel e F une filraion. On di que B es un F -Brownien sandard r-dimensionnel si les processus B i, 1 i r son des F -Browniens réels indépendans, c es à dire : B = e pour s i B B s sui une loi normale N, sid r. ii l accroissemen B B s es indépendan de la ribu F s. Quand la filraion n es pas précisée, on di que B es un Brownien sandard d-dimensionnel si c es un mouvemen Brownien pour sa filraion naurelle F B. Si B es un Brownien sandard pour la filraion F, c es aussi un Brownien sandard pour sa filraion naurelle F B. Le Brownien es un processus gaussien à accroissemens indépendans. Nous commerons l abus de noaion consisan à idenifier un veceur x 1,, x r R r e la marice colonne de ses composanes dans la base canonique. Nous noerons donc B = B 1. B r. Nous généralisons de même la noion de processus d Iô. Noons Md, r l ensemble des marices d r à d lignes e r colonnes. On di qu un processus X = Xj i : 1 i d, 1 j r, à valeurs dans Md, k apparien à H1 locf resp. H locf, H F, H F si chaque composane Xk i es un processus réel qui apparien à Hloc 1 F resp. H loc F, H F, H F. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
14 1 Processus d Iô de dimension quelconque Définiion 1.7 Soi B un F -Brownien sandard de dimension r, σ = σk i : 1 i d, 1 k r : Ω, + Md, r H loc, b = b 1,, b d : Ω, + R d H1 loc, e x = x 1,, x d R d. Le processus X à valeurs dans R d es un processus d Iô de condiion iniiale x, de coefficien de diffusion σ e de coefficien de dérive b si pour ou i = 1,, d, r X i = xi + σk i sdbk s + b i sds. 1.7 k=1 En noaion maricielle, si on comme l abus de noaion qui consise à idenifier un veceur x = x 1,, x d de R d e la marice colonne de ses coefficiens dans la base canonique, l équaion 1.7 peu s écrire où on noe X = X 1. X d, x = x 1. x d X = x +, σs = σsdb s + σ 1 1s.. σ1 dd bsds, σ 1 rs. σd r s, bs = b 1 s. b d s. Considérons les processus d Iô unidimensionnels ξ = x + r k=1 σ k sdb k s + bsds e ξ = x + r σ j sdbs k + k=1 bsds, pour b, b H1 loc e σ k, σ k H loc. Alors le processus bsds es coninu à variaion finie, andis que le processus r k=1 σ ksdbs k es une maringale locale coninue comme somme de maringales locales coninues. Les processus ξ e ξ son donc des semi-maringales. Pour rouver leurs croches, on remarque ou d abord que pour chaque indice k = 1,, r, le processus σ ksdbs k σ ks ds, es une F -maringale locale. Soi k l ; supposons d abord que les processus σ k e σ l son éagés, c es à dire n 1 σ k = ξk i 1 ] i, i+1 ] e σ l = i= n ξl i 1 ] i, i+1 ], = < 1 < e ξk i, ξj l F i -mesurables. i=1 Soi s < ; sans pere de généralié, on peu supposer que les insans s e son ajoués à la lise des i, avec s = I e = n. Alors, E σ k udbu k σ l udbu l n 1 n 1 F s = E ξk i ξ j l Bk i+1 B k i ]B l j+1 B l j ] F s = i= j= s σ k udb k u s σ l udb l u. En effe l indépendance de F i, B k i+1 B k i e B l i+1 B l i, enraîne par exemple que : si I i = j, puisque EB k i+1 B k i B l i+1 B l i F i = EB k i+1 B k i B l i+1 B l i ] =, on en dédui Eξ i k ξi l EBk i+1 B k i B l i+1 B l i F i FI =. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
1.4 Processus d Iô de dimension d - Formule d Iô générale 15 L indépendance de B l j+1 B l j e de F j enraîne : si i < I j, ξ i k Bk i+1 B k i Eξ j l EBl j+1 B l j F j F I =, si I i < j, Eξk ibk i+1 B k i ξ j l EBl j+1 B l j F j FI =, Cee propriéé s éend ensuie à des processus σ k e σ l de HF pour lesquels on dédui que r σ k sdbs k r σ k s ds, k=1 k=1 es une F -maringale. Par localisaion, on monre enfin que ce processus es une F - maringale locale si on sai seulemen que les processus σ k, 1 k r appariennen à H loc F. Le croche des processus ξ e ξ es donc celui de leurs paries maringales m = r k=1 σ ksdbs k, e m = r k=1 σ ksdbs k soi ξ, ξ r = m, m = σ k s σ k sds. Le croche de la maringale locale m es égal à celui de ξ, soi ξ, ξ = m, m = k=1 r σ k s ds = k=1 σs ds, où σs désigne la norme euclidienne dans R r du veceur σ 1 s,, σ r s. 1.4. Formule d Iô générale Les résulas de la secion précédene son résumés dans la Proposiion 1.8 Soi B un F -Brownien sandard à valeurs dans R r, X un processus d Iô à valeurs dans R d de la forme 1.7. Alors X es à rajecoires coninues. Pour chaque i = 1,, d, le processus bi sds, es coninu à variaion finie c es à dire que chacune de ses composanes es à variaion finie, nul en. Le processus σsdb s es une maringale locale coninue c es à dire que chacune de ses composanes es une maringale locale coninue nulle en. La décomposiion es unique. Le croche des composanes X i e X j, 1 i, j d es X i, X j = r σk i sσj k sds. k=1 La formule d Iô, monrée pour un processus d Iô réel dans le cours de Calcul Sochasique 1, se généralise immédiaemen à des processus d Iô mulidimensionnels. Rappelons la ou d abord en dimension 1 sous sa forme la plus simple. Théorème 1.9 Soi X = x+ σsdb s+ bsds, où x R, B es un F -Brownien, b H1 loc, σ H loc. Soi f : R R une foncion de classe C. Alors pour ou, fx = fx + = fx + f X s dx s + 1 f X s d X, X s 1.8 f X s σsdb s + f X s bx s + 1 ] f X s σ s ds. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
16 1 Processus d Iô de dimension quelconque On peu donc formellemen poser dfx = f X dx + 1 f X d X, X où X, X = σ sds. La formule d Iô adme la version suivane en dimension quelconque, don la démonsraion similaire à celle en dimension 1, es omise. Noons A la ransposée de la marice A. Théorème 1.3 Soi B un F -Brownien sandard de dimension r, σ un processus à valeurs dans Md, r qui apparien à H loc F, b un processus à valeurs dans R d qui apparien à H1 locf e x R d. Noons X = x + σsdb s + b sds le processus d Iô défini par les équaions 1.7 pour ou i = 1,, d e soi f : R d R une foncion de classe C. Alors si on noe as = σsσs la marice d d définie par a i,j s = r k=1 σi k sσj k s pour i, j {1,, d}, on a : d f fx = fx + X s dxs i + 1 d f X s d X i, X j s 1.9 x i x i x j = fx + i=1 k j=1 d i=1 i,j=1 f X s σ i x jdbs j + i d i=1 f x i X s b i sds + 1 d f X s a i,j sds. 1.1 x i,j=1 i x j Noons f la marice carrée symérique f x x i x j, 1 i, j d,, le produi scalaire dans R d e f f la marice colonne don les composanes son les dérivées parielles x x i. On peu alors écrire formellemen la formule d Iô f dfx = x X, dx + 1 Trace σσ f x X d. Si la foncion f dépend aussi du emps, on a la seconde version de la formule d Iô. Théorème 1.31 Soi B un F -Brownien sandard de dimension r, σ un processus à valeurs dans Md, r qui apparien à H locf, b un processus à valeurs dans R d qui apparien à H1 loc F e x R d. Noons X = x + σsdb s + b sds le processus d Iô défini par les équaions 1.7 pour ou i = 1,, d e soi f :, + R d R une foncion de classe C 1,, c es à dire de classe C 1 par rappor à la première variable e de classe C par rappor à la seconde variable x. Alors si as = σsσs, on a : f d f, X = f, x + s, X f sds + s, X s dxs i x i + 1 = f, x + + d i,j=1 i=1 f x i x j s, X s d X i, X j s ds 1.11 r k=1 d i=1 f s, X s + f x i s, X s σ i k sdbk s d i=1 f x i s, X s b i s + 1 d i,j=1 ] f s, X s a i,j s ds. x i x j Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
1.5 Propriéés du Brownien. 17 De nouveau, l équaion 1.11 peu s écrire de façon compace sous la forme df, X = f f, X d + x, X, dx + 1 Trace σσ f x, X d. Un cas pariculier rès simple de cee formule es le résula suivan qui es une «formule d inégraion par paries». On la monrera comme exercice. Si f :, + R es de classe C 1 e B es un Brownien sandard unidimensionnel, fsdb s = fb B s f sds. La formule d Iô perme de monrer que si B es un Brownien sandard unidimensionnel e si X es un processus F B-adapé, p 1+ e T > son els que E T X s p ds < +, alors T p T E X s db s pp 1] p T p 1 E X s p ds 1.1 On pourra monrer cee inégalié rès uile dans l exercice 1.8. Le résula suivan renforce la conclusion. L une des inégaliés es monrée dans l exercice 1.8. Théorème 1.3 Théorème de Burkholder-Davies-Gundy Pour ou p 1, + il exise des consanes universelles k p > e K p > qui ne dépenden que de p elles que oue F - maringale coninue M de carré inégrable e pour ou T >, k p E M p T E sup M s p K p E M p T. 1.13 1.5 Propriéés du Brownien. 1.5.1 Caracérisaions de Lévy s T Remarquons que si B es un Brownien sandard d-dimensionnel, pour ou i, j = 1,, d les processus B i, e Bi Bj δ i,j, son des F B -maringales avec δ i,j = pour i j e δ i,i = 1. La démonsraion es faie dans l exercice 1.7 Nous allons monrer que ces propriéés caracérisen le Brownien, ce qui sera fondamenal pour raier des changemens de probabilié. Noons u, v le produi scalaire des veceurs u, v R d e u la norme euclidienne de u, Théorème 1.33 Caracérisaion de Paul Lévy Soi X = X = X 1,, Xd, un processus F -adapé à valeurs dans R d. i On suppose pour ou u R d, les processus X e exp u, X u /] son des F -maringales. Alors, X es un F -Brownien sandard de dimension d. ii On suppose que le processus défini pour j = 1,, d par M j = X j X j es une F -maringale locale coninue nulle en M i = pour ou i e que les croches de M i e M j son M i M j = δ i,j. 1.14 Alors M es un F -Brownien sandard de dimension d. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
18 1 Processus d Iô de dimension quelconque Démonsraion. i Il fau monrer que pour s <, le veceur aléaoire X X s sui une loi N, sid e es indépendan de F s. Soi Z un veceur gaussien de loi N, sid. Puisque la foncion caracérisique caracérise la loi, il suffi de vérifier que pour ou u R d E e iu,x Xs F s = E e iu,z = e u s. 1.15 En effe, supposons que 1.15 es vraie e noons Φx = e iu,x ; pour ou A F s on a E1 A ΦX X s ] = PAEΦZ]. On en dédui que pour oue foncion borélienne bornée f : R d R e ou A F s, on a E 1 A fx X s ] = PAEfZ]. Ceci prouve l indépendance de X X s de la ribu F s e monre égalemen que la loi de X X s es égale à celle de Z. Pour prouver 1.15, fixons ou d abord v R d. Par hypohèse, si s <, E exp X X s, v ] F s = exp X s, v + v v s = exp. E exp X, v v Fs ] Un argumen de récurrence finie reposan sur le caracère analyique des deux membres de 1.15 comme foncion de l une de variables v k C, les aures composanes de v éan fixées dans R ou C monre que l équaion précédene s éend du cas v R d au cas v C d. Cee égalié appliquée au veceur v don les composanes son v k = iu k monre 1.15. ii Nous ne monrerons cee caracérisaion que dans le cas où X es un processus d Iô, c es à dire X = X + HsdB s avec H H loc. Le cas général nécessie une noion d inégrale sochasique plus générale que celle par rappor au Brownien présenée en Calcul Sochasique 1. Pour ou j = 1,, d e >, le croche de X j à l insan es donné par X j, X j = = r k=1 Hj k s ds, ce qui enraîne que r k=1 Hj k s = 1 p.s. pour presque ou s. De plus, si j l, pour ou >, le croche X j, X l = r k=1 Hj k shl k s ds =, ce qui enraîne que r k=1 Hj k shl k s = p.s. pour presque ou s. On en dédui que H H e que X, T es une maringale. De plus, les égaliés précédenes monren que les veceurs H j s, 1 j d formen une famille orhonormée donc libre de R r, ce qui enraîne d r. Pour ou A F s e λ R d, soi f = E 1 A exp iλ, M M s ] D après la parie i, il suffi de monrer que f = PA exp λ s]. En appliquan la formule d Iô séparémen à la parie réelle e à la parie imaginaire de la foncion x = x 1, x d exp i d j=1 λj x, j on dédui que pour s <, ce qui enraîne e iλ,m e iλ,m Ms = 1 + i d j=1 k=1 = e iλ,ms + i d j,l=1 k=1 d j=1 k=1 r λ j λ l r λ j e iλ,mu H j k udbk u r λ j e iλ,mu Ms H j k udbk u s s s e iλ,mu H j k shl k udu, d λ j j=1 s e iλ,mu Ms du.. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
1.5 Propriéés du Brownien. 19 Les inégrales sochasiques s eiλ,mu Ms H j k udbk u, s son des maringales pour ou j = 1,, d e k = 1,, r, e son indépendanes de F s. En uilisan le héorème de Fubini, on en dédui f = PA 1 λ E A e iλ,mu Ms du = PA λ fudu. s Puisque f = λ f pour s e que fs = PA, nous avons éabli que pour ou s, f = PA exp λ s. 1.5. Propriéés de Markov Une propriéé fondamenale du Brownien es la propriéé de Markov, qui radui le fai que ce qui se passe après l insan c es à dire dans le fuur à l insan ne dépend pas de oue la ribu F des évènemens du «passé», mais seulemen de l éa B à l insan. Décrivons ou d abord le passage d un insan s à un insan s. Définiion 1.34 Une probabilié de ransiion sur R d es une applicaion Π : R d R d, 1] elle que i pour ou x R d, l applicaion A R d Πx, A es une probabilié. ii pour ou A R d, x R d Πx, A es mesurable de R d, R d dans, 1], B, 1]. Une foncion de ransiion sur R d es une famille P s,, s < de probabiliés de ransiion elle que si s < < v l équaion de Chapman-Kolmogorov soi saisfaie : P s, x, dyp,v y, A = P s,v x, A, A R d, x R d. 1.16 Pour oue foncion f : R d R borélienne posiive ou bornée on noe P s, fx = fy P s, x, dy. R d Si la foncion de ransiion P s, ne dépend que de s, on di qu elle homogène e dans ce cas, si on noe P = P,, l équaion 1.16 s écri P s+ x, A = P s x, dyp y, A. Pour oue foncion f : R d R borélienne posiive ou bornée, on a P s+ fx = P Ps fx e on di que P es un semi-groupe. L équaion 1.16 es naurelle. En effe, si X es un processus e x, A R d R d P s, x, A es une probabilié de ransiion els que pour ou A R d e s <, PX A σx u, u s = P s, X s, A = 1 A y P s, x, dy p.s., on en dédui EfX σx u, u s = R d fyp s, X s, dy pour oue foncion borélienne f : R d R posiive ou bornée. Pour s < < v, A R d e fy = P,v y, A, on en dédui P s,v X s, A = PX v A σx u, u s = E PX v A σx u, u σx u, u s ] = E fx σx u, u s ] = P s, X s, dyp,v y, A. Ces noions permeen de formuler précisémen la propriéé de Markov «faible». s 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
1 Processus d Iô de dimension quelconque Définiion 1.35 1 Un processus X, à valeurs dans R d e adapé à la filraion F es un processus de Markov pour cee filraion si pour oue foncion borélienne bornée f : R d R, E fx F s = E fx X s pour ou s. 1.17 Un processus X, à valeurs dans R d e adapé à la filraion F es un processus de Markov pour cee filraion de foncion de ransiion P s, si pour oue foncion borélienne bornée f : R d R, E ] fx F s = Ps, fx s := P s, X s, dyfy. 1.18 R d On di que le processus de Markov es homogène si sa foncion de ransiion es homogène. Nous allons monrer que le mouvemen Brownien es un processus de Markov homogène de semi-groupe de ransiion P h défini pour s, h >, x R d e A R d par : 1 y x P h x, A = PB s+h A B s = x = exp dy, πh d A h c es à dire que P h x, dy es la loi d un veceur gaussien Nx, hid. Théorème 1.36 Propriéé de Markov simple Soi B un mouvemen Brownien sandard d-dimensionnel e f : R d R une foncion borélienne bornée. Alors pour ou s, EfB Fs B ] = EfB 1 B s ] = fy exp y B s dy. π s d R s d Démonsraion. La démonsraion repose sur le lemme suivan : Lemme 1.37 Soi F une ribu e G une sous-ribu de F, X : Ω, G E 1, E 1 une applicaion G-mesurable e Y : Ω, F E, E une applicaion F-mesurable indépendane de G. Alors, pour oue foncion Φ : E 1 E, E 1 E R, R bornée, EΦX, Y G = ϕx, où ϕ : E 1, E 1 R, R es définie par ϕx = EΦx, Y ]. Démonsraion du Lemme Pour oue applicaion mesurable V : Ω, F E, E, noons P V la mesure image de P par V. D après la définiion de P Y e le Théorème de Fubini, ϕ es elle que ϕx = E Φx, ydp Y y e es bornée, mesurable de E 1, E 1 dans R, R. De plus, si Z : Ω, G R, R es G-mesurable bornée, l indépendance de Y e X, Z e le héorème de Fubini enraînen E ΦX, Y Z ] = Φx, y z dp X,Z x, z dp Y y = Φx, ydp Y dy z dp X,Z x, z = ϕx zdp X,Z x, z = E ϕxz ], ce qui ermine la démonsraion. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
1.5 Propriéés du Brownien. 1 Soi s < ; appliquons le lemme précéden avec E 1 = E = R d, G = F s, F = F, X = B s e Y = B B s. Nous en déduisons que pour oue foncion borélienne bornée f : R d R, E ] fb F s = ϕbs où ϕx = E fx + B B s ]. Un calcul similaire avec G = σb s e F = F pour les mêmes variables aléaoires X = B s e Y = B B s perme de conclure E ] fb B s = ϕbs. La loi de B B s éan gaussienne N, sid, ceci ermine la démonsraion. Corollaire 1.38 Soi τ un F -emps d arrê fini presque sûremen e B un F -Brownien sandard de dimension d. Alors le processus M = B τ+ B τ, es un F τ+, - Brownien sandard indépendan de F τ. Démonsraion. Supposons ou d abord que τ C p.s. e noons G = F τ+ pour ou. Alors G es une filraion e le Théorème d arrê 1.7 monre que si X es une F -maringale e si on noe Y = X τ+, Y es inégrable e pour s <, EY G s = EX τ+ F τ+s = X τ+s = Y s, c es à dire que Y es une G -maringale. Il fau monrer que si s <, le veceur aléaoire M M s sui une loi N, sid e es indépendan de G s. Un argumen uilisé dans la démonsraion du héorème de caracérisaion du Brownien de Paul Lévy monre qu il suffi de vérifier que pour ou u R d l équaion 1.15 es saisfaie. Fixons u R d e noons fx = e iu,x pour ou x R d. Alors f = 1 e en décomposan f en parie réelle e parie imaginaire, la propriéé de Markov e la définiion du Brownien monren s u Eexpiu, B F s = Eexpiu, B B s = expiu, B s exp. On en dédui que le processus X = exp iu, B + u / es une F -maringale, e d après la remarque précédene, que Y = X τ+, es une G -maringale. Pour ou s, on a donc Y Gs E = EY G s = Y s, Y Y Y ce qui prouve que Y Y = expiu, M + u /, es une G -maringale. Donc pour s, E e iu,m Ms Gs u iu,m+ u iu,ms = E e G s e = e s u, ce qui ermine la démonsraion de 1.15 lorsque τ es borné p.s. Soi τ un emps d arrê presque sûremen fini; pour conclure, il suffi d écrire 1.15 pour la suie de emps d arrê τ n e de faire endre n vers +.. On en dédui une propriéé similaire à la propriéé de Markov simple Théorème 1.36 en remplaçan les emps fixes par des emps d arrê. Théorème 1.39 Propriéé de Markov fore Soi B un F -Brownien sandard à valeurs dans R d e τ un F B -emps d arrê fini presque sûremen; alors pour ou >, 1 EfB τ+ F τ ] = EfB τ+ B τ ] = fy exp y B τ dy. 1.19 π d R d Démonsraion. Le lemme 1.37 appliqué à X = B τ, Y = B τ+ B τ, G = F τ ou bien G = σx τ, F = F +τ e le Corollaire 1.38 monren que, puisque B τ+ B τ, es un Brownien indépendan de F τ, la propriéé de Markov fore 1.19 es saisfaie. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
1 Processus d Iô de dimension quelconque 1.6 Exercices Exercice 1.1 Monrer qu une maringale locale M arrêée es encore une maringale locale. Exercice 1. Soi M un processus cadlag F -adapé. Monrer que c es une F - maringale si e seulemen si pour ou emps d arrê borné T, M T L 1 e EM T = EM. Exercice 1.3 Soi X, T une F -surmaringale, c es à dire que si s T, X s EX F s, elle que EX T = EX. Monrer que X es une maringale. Exercice 1.4 Soi M une F -maringale locale. Moner que i Si M es posiive, c es une surmaringale. ii S il exise Y L 1 elle que M Y p.s., alors M es une maringale. Exercice 1.5 Soi B un mouvemen Brownien réel e F B sa filraion naurelle. i Caracériser les valeurs de α R elles que le processus défini par I = B s α db s es une F B-maringale. ii En admean que, si on noe ψ = lnln1/ pour < < 1, lim sup e B = ψ B +1 e lim inf = 1, caracériser les valeurs de α elles que le processus I précéden ψ es une F B -maringale locale. Exercice 1.6 Soi B un F -Brownien, X = x+ σ sdb s + b sds e X = x+ σsdb s+ b s ds des processus d Iô. Récrire X Y comme une semi-maringale. Exercice 1.7 Soi B 1,, Br un Brownien sandard de dimension r. 1. Soi X e Y des variables aléaoires réelles, G une sous-ribu de F elle que les ribus σx, σy e G son indépendanes. Monrer que EXY G = EXEY p.s.. En déduire que pour s <, lorsque i j on a EBB i j Fs = BsB i s. j 3. En déduire que B i, B j = δ i,j. 4. Monrer que pour ou u = u 1,, u r R r, E e u,b 1 u F s = e u,bs 1 u s. Exercice 1.8 Soi X un processus F -adapé e T > el que E pour p 1, +. T X s p ds < + 1. En appliquan la formule d Iô à M = X sdb s, monrer qu il exise une suie croissane T n de emps d arrê qui enden vers + els que T EM p T T n = pp 1E M Tn p 1 X T n d.. La foncion E M Tn p es-elle monoone? En déduire que T Tn E M T Tn p pp 1] p T p 1 E X s p ds puis que T E M T p pp 1] p T p 1 E X s p ds. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
1.6 Exercices 3 3. En appliquan l inégalié de Doob, monrer qu il exise une consane K p que l on expliciera elle que T E sup M p K p E s T X s p ds. Exercice 1.9 Soi X un processus F -adapé coninu, posiif el que X =, A un processus croissan coninu F -adapé el que pour ou emps d arrê T, EX T EA T. Pour ou, on noe V = sup s X s. 1. Monrer que pour ou emps d arrê T e ou ǫ >, PV T ǫ 1 ǫ EA T. On pourra uiliser τ ε = inf{ : X ε} e T n = T n τ ε.. Monrer que pour ou emps d arrê T, e ou δ >, ǫ >, si S = inf{ : A δ}, PV T ǫ, A T δ PV T S ε 1 ǫ Eδ A T. 3. Soi F :, +, une foncion dérivable, sricemen croissane elle que F = e pour ou x >, u F u 1 u x,+ u L 1 λ, où λ désigne la mesure de Lebesgue. Noons G :], + ], + la foncion définie par a Monrer que G x = F x + + x b Monrer que EFV T = + + + F u Gx = Fx + x du. x u EGA T. F u u PV T uf udu du. PA T uf udu + + 1 u E A T 1 {AT u} F udu En déduire que si p ], 1, pour ou emps d arrê T, EV p T p 1 p EAp T. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
4 Équaions différenielles sochasiques Équaions différenielles sochasiques Ces processus, qui généralisen les équaions différenielles ordinaires, son fondamenaux en finance. Ils modélisen le prix d acifs financiers. Rappelons qu une équaion différenielle ordinaire EDO sur, + R es du ype y = f, y e y = y,.1 où y :, + R es la foncion inconnue e f :, + R R es une foncion donnée. L éude mahémaique des équaions différenielles ordinaires es d une imporance considérable pour les applicaions noammen en physique. En général, il es impossible de donner une soluion explicie à une EDO. On peu cependan chercher à savoir s il exise une soluion e si elle es unique. Un crière es le : Théorème.1 Théorème de Cauchy-Lipschiz Supposons qu il exise une consane K > elle que pour ou, +, x, y R : { f, x f, y K x y condiion de Lipschiz globale, f, x K1 + x condiion de croissance linéaire. Alors l EDO.1 a une soluion unique définie sur, +. La condiion de Lipschiz globale es assez naurelle pour que la soluion soi définie sur ou, +. Si on considère par exemple y = 1 e f, y = y, alors on voi facilemen que l unique soluion de l équaion.1 correspondane es y = 1/1, e que cee soluion «explose» en = 1. Une équaion différenielle sochasique EDS es une perurbaion de.1 avec un erme aléaoire modélisan un «brui» auour du phénomène déerminise décri par.1. La perurbaion la plus simple es l ajou d un Brownien. Ceci modélise le fai que sur des inervalles de emps disjoins, les perurbaions son la somme de rès nombreuses «peies» variables aléaoires indépendanes de même loi qui, d après le héorème cenral limie, convenablemen renormalisée sui une loi «proche» d une loi gaussienne. n considère donc l équaion dy = f, Y d+σdb e Y = y, soi, sous forme inégrale la seule qui ai un sens mahémaique, puisque le Brownien n es pas dérivable : Y = y + fs, Y s ds + σb pour ou. On a couume d uiliser des majuscules pour les soluions d EDS e des minuscules pour les soluions d EDO. La rajecoire y de l EDO.1 es régulière e déerminise. La présence du Brownien enraîne que pour «σ pei», la rajecoire de l EDS précédene, non dérivable, es proche de celle de.1, en oscillan aléaoiremen auour. Mais quand σ es grand, cee rajecoire n a plus rien à voir avec celle de.1. La figure suivane monre les rajecoires sur, ] de la soluion de l EDO y = y, e y = 5 Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.1 Soluion fore - Diffusion. 5 c es à dire y = 5e e des EDS Y = 5 avec σ =.4 e σ = obenues par simulaion. Y s ds + σb 6 5 4 3 1 1...4.6.8 1. 1. 1.4 1.6 1.8..1 Soluion fore - Diffusion. Dans la suie, nous éudierons donc des Équaions Différenielles Sochasiques EDS, don la définiion précise es la suivane. On se donne de nouveau une filraion F coninue à droie e formée de ribus complèes mais on ne suppose pas nécessairemen que F es la ribu des ensembles négligeables, un F -Brownien B à valeurs dans R r, une variable aléaoire ξ à valeurs dans R d indépendane de Fs B = σb s, s, des foncions boréliennes σ :, + R d Md, r R dr e b :, + R d. On appelle Équaion Différenielle Sochasique EDS de condiion iniiale ξ, de coefficien de diffusion σ e de coefficien de dérive b un processus X el que pour ou, X = ξ + σs, X s db s + L équaion. sera aussi noée { dx = σ, X db + bs, X s ds, X = ξ. bs, X s ds.. On s inéresse ou d abord à l exisence e l unicié de soluions au sens for. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
6 Équaions différenielles sochasiques Définiion. Soi B un Brownien donné, ξ une variable aléaoire indépendane de la ribu σb s, s e soi F la filraion définie par les ribus F qui son pour ou les compléées de σσb s, s, σξ. Une soluion fore de. es un processus X à rajecoires presque sûremen coninues el que i X es adapé à la filraion F, ii X = ξ p.s. iii Pour ou i = 1,, d, iv Pour ou, e ou i = 1,, d, X i = Xi + r k=1 b i s, X s + r k=1 σi k s, X s ] ds < + p.s. σk i s, X sdbs k + b i s, X s ds. Le héorème suivan es fondamenal; il donne des condiions suffisanes d exisence e d unicié d une soluion fore de., calquées sur celles de l exisence de la soluion d EDO.1. On noe. la norme euclidienne sur R d ou R d r. Les condiions suivanes sur les coefficiens répliquen celles imposées pour résoudre une EDO. Définiion.3 Soi T >. Une foncion ϕ :, T] R d R N saisfai i La condiion de Lipschiz globale sur, T] s il exise une consane C > elle que ϕ, x ϕ, y C x y,, T], x, y R d..3 ii La condiion globale de resricion sur la croissance sur, T] s il exise C > elle que ϕ, x C1 + x,, T], x, y R d..4 Lorsque la foncion ϕ es définie sur, + R d e que les condiions.3 e.4 son vérifiées sur chaque inervalle, T], on di que ϕ vérifie les condiions globales de Lipschiz e de resricion sur la croissance. On remarque immédiaemen, que si ϕ es globalemen Lipschizienne, la condiion.4 de resricion sur la croissance es une conséquence immédiae de sup ϕ, < +. La démonsraion du héorème suivan d exisence e d unicié repose sur le lemme de Gronwall. Lemme.4 Lemme de Gronwall Soi f :, T], M] une foncion borélienne posiive bornée, a e b des consanes réelles elles que pour ou, T] Alors pour ou, T], f a e b. f a + bfsds. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.1 Soluion fore - Diffusion. 7 Démonsraion. Il suffi d iérer la majoraion sous l inégrale. On en dédui pour ou n 1 s f a + b a + b fu du ds a + ab + b fu du ds u s u a + ab + b a + b fv dv du ds u s s u a + ab + ab du ds + b 3 fv dv du ds u s a + ab + a b + + a bn n! n! + M bn+1 n+1 n + 1!, où dans la dernière inégrale on a majoré la foncion f par M. La dernière majoraion de f donne f a e b par passage à la limie en n. On peu cependan affaiblir les hypohèses en ne demandan qu une hypohèse de Lipschiz «locale» de ceux-ci, mais en gardan une resricion sur la croissance globale. Définiion.5 La foncion ϕ saisfai la condiion de Lipschiz locale sur, T] par rappor à la variable spaiale x si pour ou n 1 il exise K n > el que pour ou, T] e x, y R d : ϕ, x ϕ, y K n x y pour x n e y n..5 Si ϕ es définie sur, + e saisfai la condiion de Lipschiz locale.5 sur chaque inervalle, T] avec une suie de consanes K n qui ne dépend pas de T, on di qu elle es localemen Lipschizienne. Théorème.6 Théorème d exisence e d unicié fore Soi σ e b des coefficiens qui saisfon sur, + les condiions globales de Lipschiz.3 e de resricion sur la croissance.4. Alors, si B es un Brownien sandard de dimension r, pour oue variable aléaoire X de carré inégrable e indépendane de σb s, s il exise une unique soluion fore de l EDS X = X + σs, X s db s + bs, X s ds p.s.,..6 Cee soluion fore X de.6, adapée à la filraion F où F es la ribu compléée de σx, σb s, s, es coninue. De plus, il exise une consane CC, T elle que pour ou : E sup X s CC, Te CC,T 1 + E X ]..7 s Si la condiion iniiale X L p, p < +, il exise une consane CC, T, p elle que E sup X p < CC, T, p1 + E X p ]..8 T Démonsraion. Fixons un insan T > quelconque e prouvons l exisence e l unicié de la soluion fore sur l inervalle, T]. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
8 Équaions différenielles sochasiques Unicié Nous supposons ici seulemen la condiion.5. Soi X e X des soluions fores donc coninues de.6. Pour ou n, soi τ n = inf{ : X n}, τ n = inf{ : X n} e T n = τ n τ n. Alors, T n p.s. De plus, X Tn X Tn = Tn σs, Xs σs, X s ] Tn db s + bs, Xs bs, X ] s ds. L isomérie des inégrales sochasiques e l inégalié de Schwarz enraînen que si pour oue marice σ de ype d r on noe σ = d r i=1 k=1 σi k, on a ou, T n ], d E X Tn X Tn E r Tn σk i s, X s σk i s, X s ] dbs k E Tn T + 1K n + E i=1 k=1 Tn bs, X s bs, X s ] ds σs, X s σs, X s ds + E E X s Tn X s Tn ds. Tn bs, X s bs, X s ds Le Lemme de Gronwall appliqué à la foncion coninue f = E X Tn X Tn perme de conclure que les processus X Tn e X Tn son indisinguables. En faisan endre n vers l infini, on en dédui que X e X son égalemen indisinguables. Exisence Afin de mere les idées en évidence e de simplifier les noaions, nous supposerons r = d = 1. On consrui une soluion comme pour les EDO par iéraion de Picard. Soi X n une suie de processus définis par : X = X,, T], X n+1 = X + σx n s db s + i Monrons par récurrence que pour ou enier n, bx n s ds, n,, T]..9 sup E X n < +..1 T En uilisan la resricion sur la croissance.4, on en déduira que les processus X n son bien définis puisque b, X n H T 1 F e σ, X n H T F. Puisque X L,.1 es vraie pour n =. Supposons que.1 es vraie pour n e monrons que cee propriéé es vraie pour n + 1. Pour ou, T], l inégalié de Schwarz, l isomérie dans L des inégrales sochasiques, la condiion.4 e le héorème de Fubini enraînen E X n+1 3 E X + T 3 E X + 3T + 1 C E bs, X n s ds + 1 + E X n s ] ds E σs, X s n ds, Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.1 Soluion fore - Diffusion. 9 ce qui prouve.1. ii Pour ou n 1, sup n 1 sup,t] E X n K1 + E X ]e C..11 En effe, pour ou, T], la parie i monre que E X 1 C1 + E X ], andis que pour ou n 1, E X n+1 C1 + E X ] + C E X s n ds. En iéran cee inégalié, on en dédui par récurrence sur n que pour ou n 1 e, T], E X n+1 C1 + E X ] 1 + C + C! ce qui ermine la démonsraion de.11. ] + + Cn, n! iii Monrons que la suie X n converge p.s. uniformémen sur, T] vers un processus X coninu, F -adapé X el que.7 soi vraie. Pour ou n 1, noons où A n = X n+1 X n = A n + M n, bs, X n s bs, X s n 1 ] ds, M n = σs, X n s σs, X s n 1 ] db s. Alors, Esup s X s n+1 X s n E sup s A n s + E sup s Ms n. L inégalié de Schwarz e.3 enraînen pour ou r, ], A n bs, X n s bs, X s n 1 ds CT X n s X s n 1 ds De plus, l inégalié.11 monre que le processus s σs, X s n σs, X s n 1 apparien à H T F. En effe,.3 monre que E σs, X n s σs, X s n 1 ds C E X s n X s n 1 ds C E X n s + E X s n 1 ] ds < +. L inégalié de Doob appliquée à la maringale coninue M n,, puis.3 monren que E sup Ms n 4 E σs, X s n σs, X s n 1 ds s 4C E X s n X s n 1 ds. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
3 Équaions différenielles sochasiques Les deux inégaliés précédenes enraînen pour L := LT = CT + 4C, E sup X s n+1 X s n L E X s n X s n 1 ds, s e en iéran cee inégalié, on monre par récurrence sur n que E sup X s n+1 X s n Ln C où s n! L inégalié de Markov monre alors que si A n = P A n n E C = sup E X 1 X < +. T { sup s T X s n+1 X s n }, 1 n sup X s n+1 X s n s T 4Ln C. n! Le Lemme de Borel Canelli perme de conclure que Plim sup A n =, c es à dire que pour presque ou ω, il exise un enier Nω el que sup s T X s n+1 ω X s n ω 1 n pour ou n Nω. La suie X n ω = X ω + n 1 k+1 k= X ω X k ω ] es donc uniformémen convergene vers la limie X ω. En posan X = sur l ensemble négligeable hors duquel la convergence es vraie, on a ainsi consrui un processus X qui es p.s. coninu, F adapé comme limie p.s. d une suie de processus F -adapés on rappelle que les ribus F son complèes. Enfin, n 1 E sup X n E X + E sup X k+1 X k T T k= n 1 E X + C 4L k E X + k! Ce 4LT. Le lemme de Faou perme d en déduire que E sup T X E X + Ce 4LT, ce qui prouve.7. iv Monrons enfin que pour ou, T], la suie X n converge dans L vers X, e que le processus X saisfai.6. pour ou x >, la formule de Sirling n! πn n+1 e n monre que pour m assez grand, k=m X n X m n 1 k=m x k k! X k+1 1 k= Cxm 1. Pour ou, T] e n > m, X k + k=m C 4Lk k! 1 quand m +. La suie X n es donc de Cauchy dans L ; elle converge dans L vers une variable aléaoire Y de carré inégrable. Elle adme une sous-suie qui converge p.s. vers Y e on a donc Y = X p.s. De plus,.7 e la resricion sur la croissance monren que les processus s bs, X s e s σs, X s appariennen respecivemen à H1 TF s e H TF s. Le héorème de Fubini monre que E T X n T X m d C + k=m 4L k k! 1 d quand m +. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.1 Soluion fore - Diffusion. 31 Le lemme de Faou e la condiion de Lipschiz.3 monren que pour ou m, T E T X X m d lim inf E X n n X m d quand m. L inégalié de Schwarz e la condiion de Lipschiz.3 monren alors que bs, Xn s ds converge dans L vers bs, X sds, andis que l isomérie des inégrales sochasiques prouve que σs, Xn s db s converge dans L vers σs, X sdb s. On en dédui que X saisfai.6 en prenan la limie dans L de l équaion.9. Enfin, si l on renforce l inégrabilié de la condiion iniiale, la démonsraion précédene dans laquelle on remplace l isomérie de l inégrale dans L par l inégalié de Burkholder- Davies-Gundy 1.13 perme de monrer.8. Exemple.7 Brownien géomérique Soi σ e b des nombres réels, S un nombre réel sricemen posiif. Le Brownien géomérique es la soluion de l EDS S = S + σs s db s + bs s ds. Le Théorème.6 monre que cee EDS a une unique soluion fore, puisque les coefficiens σ, x = σx e b, x = bx saisfon clairemen les condiions globales de Lipschiz e de resricion sur la croissance. Pour ou, noons X = S exp σb + b σ ]..1 En appliquan la formule d Iô à la foncion f, x = S expσx + b σ ] e au Brownien B, puisque f σ f, x = b f, x,, x = σf, x, f, x = σ f, x, f, B x x = X e f, B = S, on dédui que X = S + b σ X s ds + σx s db s + 1 σ X s ds = S + σx s db s + bx s ds, c es à dire que X es soluion de.1. L unicié de la soluion fore enraîne que X = S. On en dédui que S > pour ou p.s. En appliquan de nouveau la formule d Iô à la foncion gx = lnx e à S, on voi que si on avai posulé que le processus S ne prenai p.s. que des valeurs posiives ce que nous venons de vérifier on aurai rouvé pour Y = lns, Y = Y + σ S s S s db s + b S s ds 1 σ Ss ds = Y S s Ss + σb + b σ, c es à dire que la forme.1 de la soluion éai «naurelle». L exercice.4 généralisera cee observaion à une EDS linéaire plus générale. De plus, la loi de lns lns es gaussienne Nb σ, σ, c es à dire que S sui une loi log-normale. La figure suivane monre la simulaion de rajecoires du Brownien géomérique sur, 1] avec σ =.5 resp. σ =, b = e S = 1. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
3 Équaions différenielles sochasiques 15 14 13 1 11 1 9 8 7 6 5 4 3 1 1...4.6.8 1. 1. 1.4 1.6 1.8. 15 14 13 1 11 1 9 8 7 6 5 4 3 1 1...4.6.8 1. 1. 1.4 1.6 1.8.. Soluion faible. Dans de nombreuses applicaions, il es plus naurel lors de la modélisaion de se donner uniquemen les coefficiens b, x e σ, x, ainsi que la loi de X, mais pas l espace probabilisé ni le mouvemen brownien B. On cherche alors le couple B, X qui saisfai.6, ce qui donne la noion suivane. Définiion.8 Une soluion faible de l équaion dx = σ, X db + b, X d.13 es un riple Ω, F, F, P, B, X où i Ω, F, P es un espace probabilisé muni d une filraion F coninue à droie e complèe. ii B es un F -Brownien de dimension r e X es un processus F -adapé, coninu, de dimension d els que les propriéés iii e iv de la définiion. soien saisfaies. La loi de X es appelée la loi iniiale. On n exige plus que la filraion F soi la plus peie filraion qui rend mesurable B e X, e la soluion X à l insan n es donc plus une foncion mesurable de la rajecoire B s, s e de X. Cependan, puisque B es un F -Brownien e que X es F -adapé, X es indépendan de la rajecoire de B après l insan, c es à dire des accroissemens B r B, r. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.3 Quelques propriéés des diffusions. 33 Une soluion fore es clairemen une soluion faible, mais la réciproque es fausse, comme le monre l exemple suivan. L exisence d une soluion faible peu en effe êre monrée sous des condiions plus générales sur les coefficiens. Exemple.9 Équaion de Tanaka Noons signx = 1 si x e signx = 1 si x <. Alors l EDS X = adme une soluion faible, mais pas de soluion fore. signx s db s.14 Si Ω, F, F, B, X es une soluion faible, le processus X es une maringale coninue de variaion quadraique X, X = signx s ds = e d après la caracérisaion du Brownien de P. Lévy Théorème 1.33, X es un F -Brownien. On en dédui immédiaemen la «consrucion» d une soluion faible. Soi X un Brownien e F sa filraion naurelle. Pour ou soi B = signx sdx s. Le processus B es une F -maringale coninue, de variaion quadraique B, B =. La caracérisaion du Brownien de P. Lévy monre donc que B es un F -Brownien. De plus, db = signx dx, c es à dire que dx = signx db. Sur l espace probabilisé Ω, F, F, P, le couple B, X es donc une soluion faible de.14. On voi d ailleurs que sur le même espace probabilisé, B, X es égalemen une soluion faible de.14, qui ne peu donc avoir une unique soluion «rajecorielle» mais au mieux une unique soluion «en loi». L absence de soluion fore sera admise. Définiion.1 On di qu il y a unicié en loi de la soluion de.13 si deux soluions faibles Ω, F, F, P, B, X e Ω, F, F, P, B, X on la même loi, c es à dire que pour ou n 1 e ou 1 < < < n, les lois des veceurs X 1,, X n e X 1,, X n son égales. Le raisonnemen précéden monre que pour l équaion de Tanaka.14, il y a unicié en loi puisque nous avons monré que oue soluion faible es un Brownien. On remarque par ailleurs que si les coefficiens σ e b saisfon les condiions.3 e.4, le Théorème.6 monre l exisence e l unicié fore de la soluion de.6. Il y a aussi unicié en loi de la soluion fore ou de la soluion faible de.13. En effe, soi Ω, F, F, P, B, X e Ω, F, F, P, B, X deux soluions faibles e soi Y e Ỹ deux soluions fores coninues de.6 définies respecivemen sur les espaces probabilisés Ω, F, F, P, B e Ω, F, F, P, B. Le Théorème.6 perme de conclure que l on a X = Y pour ou P p.s. c es à dire, qu en uilisan la coninuié des rajecoires on a un ensemble négligeable consrui à parir des insans raionnels en dehors duquel les rajecoires coïnciden. De même X = Ỹ pour ou P p.s. Pour prouver l unicié faible, il suffi donc de prouver que les lois de X e X son égales. En reprenan les schémas d iéraion de Picard.9 pour X e X, on vérifie que pour ou n, les lois des processus coninus B, X n e B, X n son égales..3 Quelques propriéés des diffusions..3.1 Flo sochasique e Propriéé de Markov Soi σ e b des coefficiens qui saisfon les condiions globales de Lipschiz.3 e de resricion sur la croissance.4. En reprenan la démonsraion du Théorème.6, on 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
34 Équaions différenielles sochasiques monre que pour ou s e pour ou x R d, il exise une unique soluion rajecorielle, s de l EDS.6 qui par de x en l insan s, c es à dire définie pour s par X s,x X s,x = x + s σu, X s,x u db u + Alors X,x = Xx es la soluion fore de.6 avec X = x, c es à dire X x = x + σs, X s xdb s + e on a monré Esup T X x < +. On a ou d abord le résula suivan de flo. s bu, X u du..15 bs, X s xds.16 Théorème.11 Propriéé de flo sochasique Pour ou s, X x = X s,xsx p.s. Démonsraion. Soi s; alors par.16 on a : X x = X s x + andis que par.15 on a : X s,xsx = X s x + s s σu, X u xdb u + σu, X s,xsx u db u + s s bu, X u xdu, bu, Xu s,xsx du. Ceci monre que les processus X x, s e X s,xsx, s son indisinguables par unicié fore de l EDS don ils son soluion. Cee propriéé de flo sochasique perme de monrer la propriéé de Markov «faible». Théorème.1 Propriéé de Markov Soi X x, la soluion fore de l EDS.6 avec X = x. Alors X x, es un processus de Markov pour la filraion naurelle F B du Brownien. Plus précisémen, pour oue foncion f : Rd R borélienne posiive ou bornée, s,, où Φ y = EfX s,y s+]. EfX s+ x F B s ] = EfX s+x X s x] = Φ X s x, Démonsraion. Le processus Xs+, s,y es l unique soluion fore de l EDS.6 avec comme condiion iniiale y, comme coefficiens, x σs+, x e, x bs+, x e le Brownien B défini par B = B s+ B s. C es une foncion mesurable Ψy, B e il es donc indépendan de F u, u s. On en dédui que X s+ x = X s,xsx s+ es égal à ΨX s x, B. Puisque X s x e B son indépendans, le Lemme 1.37 monre alors que pour oue foncion f mesurable bornée, EfX s+ x Fs B = Φ X s x où Φ y = Ef Ψy, B] = EfXs+]. s,y Lorsqu on condiionne par X s x, un raisonnemen similaire basé sur l indépendance de B e de X s x monre aussi que EfX s+ x X s x = Φ X s x; Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.3 Quelques propriéés des diffusions. 35 Lorsque les coefficiens son homogènes, c es à dire ne dépenden pas du emps, on peu écrire la propriéé de Markov sous une forme plus précise homogène e on a la propriéé de Markov fore. En effe, dans ce cas, puisque le processus défini par B = B s+ B s es un F s+, -Brownien, on en dédui que les variables aléaoires X s,y s+ e X y on la même loi e la foncion Φ y uilisée dans la propriéé de Markov peu s écrire Φ y = EfXs+] s,y = EfX y] = P fy. De plus, on a le Théorème.13 Propriéé de Markov homogène - Propriéé de Markov fore Soi σ i k : Rd R e b i : R d R, 1 i d, 1 k r des coefficiens indépendans du emps els qu il exise C > pour lequel pour ou i = 1,, d e k = 1,, r : σ i k x σi k y + bi x b i y C x y,.17 Noons Xx la soluion fore de l EDS homogène X = X + σx s db s + bx s ds.18 qui correspond au cas X = x. C es un processus de Markov for homogène, c es à dire que pour ou F B -emps d arrê τ fini presque sûremen e pour oue foncion borélienne posiive ou bornée f : R d R, où P x = EfX x]. EfX τ+ x F τ ] = EfX τ+ x X τ x] = P fx τ x, Remarquons que dans le cas homogène, la condiion de Lipschiz.17 enraîne immédiaemen un analogue de la resricion sur la croissance σ i k x + bi x C1 + x..19 Dans le cas général in-homogène, on monre de façon similaire que le processus espaceemps es foremen Markovien, c es à dire que si f :, + R d R es borélienne posiive, alors pour ou emps d arrê τ fini presque sûremen, si on a : Φ s, x = Efs +, X s,x ] Efτ +, X τ+ x F τ ] = Efτ +, X τ+ x X τ x] = Φ τ, X τ x..3. Généraeur infiniésimal Convenion : Dans oue cee secion, nous considérons des coefficiens σ e b qui saisfon les condiions.3 e.4 dans le cas général, ou bien les condiions du Théorème.13 dans le cas homogène e que la condiion iniiale X es consane. Noons C n,p, + R d l ensemble des foncions u :, + R d R de classe C n par rappor à la variable, e de classe C p par rappor à la variable x R d. Définiion.14 Lorsque X es la soluion de l EDS homogène.18, si on noe a = σσ, le généraeur infiniésimal de X es l opéraeur différeniel A défini pour u C R d par Aux = d i=1 b i x u x i x + 1 d a i,j u x x.. x i x j i,j=1 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
36 Équaions différenielles sochasiques Ainsi, le généraeur du mouvemen Brownien sur R r qui correspond au cas d = r, σk ix = δ i,k d où ax = Id r es 1, où es le Laplacien défini sur C R r. Le généraeur d un Brownien géomérique réel X = x + σx sdb s + bx sds es l opéraeur défini sur C R par A = bx + 1 x σ x. x Lorsque la diffusion n es pas homogène, le généraeur infiniésimal dépend du emps. Définiion.15 Si a, x = σ, x σ, x désigne la marice carrée symérique d d de ype posiif définie par a i,j, x = r k=1 σi k, x σj k, x, le généraeur infiniésimal de la diffusion X, définie par.6 es l opéraeur différeniel défini sur C 1,, + R d par : d A ux = b i, x u, x + 1 d a i,j u, x, x..1 x i x i x j i=1 La formule d Iô monre donc que si f :, + R d R es de classe C 1, e si X es soluion de.6, alors df, X = σ, X f ] f x, X db +, X + A f, X d.. On en dédui le Théorème.16 Soi σ e b des coefficiens qui saisfon les condiions globales de Lipschiz.3 e de resricion sur la croissance.4, X R d e X la soluion fore de.6. Pour oue foncion f :, + R d R apparenan à C 1, e elle que f x i es bornée pour ou i = 1,, d, le processus M défini par f M = f, X s + A s s, X s ds.3 es une F B -maringale e pour ou emps d arrê τ p.s. borné, la formule de Dynkin es vraie : τ ] f Efτ, X τ ] = f, X + E s + A s s, X s ds. Démonsraion. La propriéé de maringale de M es une conséquence immédiae de., du Théorème 1.13, de la propriéé.7 e de la resricion sur la croissance de σ, qui monren que le processus s σs, X s f s, X x s H. Le Théorème d arrê 1.7 monre alors que si τ es p.s. borné, M = EM τ puisque la ribu F B es la ribu compléée de la ribu riviale. Les dérivées parielles de f par rappor à x éan bornées, on en dédui que fs, X s fs, X es majorée par une combinaison linéaire des composanes Xs, i e d après.7, pour ou K >, la variable aléaoire sup s K fs, X s fs, X es de carré inégrable. De plus, par coninuié de f, sup s K fs, X < +. Pour ou emps d arrê borné, la variable aléaoire fτ, X τ es donc inégrable, ce qui ermine la démonsraion. Grâce à la propriéé.8, on peu affaiblir les hypohèses sur le conrôle des dérivées parielles de f dans les héorèmes précédens. En effe, si f x i, x es à croissance polynomiale en x uniformémen en, c es à dire s il exise un exposan a i > el que sup f, x x i C1 + x a i, i,j=1 Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.3 Quelques propriéés des diffusions. 37 alors la resricion sur la croissance des coefficiens σk i, x e le fai que la condiion iniiale soi consane donc dans ous les espaces L p, 1 p < + enraînen que pour ou k, il exise une consane C e un exposan b i,k > els que pour ou > E f s, X s x i σk i s, X s ds C 1 + sup E X s b i,k < +. s Une croissance polynomiale de oues les dérivées parielles f x i, x perme donc de conclure que les inégrales sochasiques dans la formule d Iô de f, X son des maringales coninues de carré inégrable. En appliquan le héorème.16 avec d = r = 1, on dédui immédiaemen que si f C 1, a une dérivée parielle f bornée ou à croissance polynomiale e si x f, x + A f, x = f, x + b, x f x, x + 1 σ, f x, x =, x alors f, X es une vraie F B - maringale De même, si f, x + A f, x = rf, x, alors le processus e r f, X es une F B -maringale. Le coefficien r es appelé coefficien d acualisaion. En pariculier, si ft, x = hx, on a f, X = e r T EhX T F B ]. Ceci sera for uile en finance, comme on le verra dans les chapires suivans. On peu généraliser cee propriéé de maringale pour un coefficien d acualisaion non consan. Théorème.17 Soi σ e b des foncions qui saisfon les condiions globales de Lipschiz e de resricion sur la croissance.3 e.4, B un mouvemen Brownien sandard de dimension r, X la soluion de l équaion différenielle sochasique : X = x + σs, X s db s + bs, X s ds.4 e A son généraeur infiniésimal. Alors pour oue foncion coninue minorée ρ :, T] R d m, + e oue foncion f :, T] R d R d de classe C 1 e e de classe C en x elle que les dérivées parielles f x i de f son à croissance polynomiale, le processus M ρ f = e R ρs,xs ds f, X f, X es une maringale pour la filraion F B. e R s ρu,xu du f s + A sf ρ f s, X s ds Démonsraion : La formule d Iô pour un produi enraîne que d e R ρs,xs ds f, X = ρ, X e R ρs,xs ds f, X d +e R ρs,xs ds d f, X. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
38 Équaions différenielles sochasiques La formule d Iô pour f, X perme alors d écrire : e R ρs,xs ds f, X = f, X + + d i=1 e R s ρu,xu du f r k=1 s + A sf ρ f s, X s ds e R s ρu,xu du f s, X s σk i x s, X s dbs k. i La foncion ρ éan minorée, on monre alors comme dans le héorème précéden que les processus exp s ρu, X u du f x i s, X s σk is, X s dbs k son des maringales, ce qui conclu la démonsraion. Dans le cas de diffusions homogènes, l opéraeur différeniel défini par. es bien le généraeur infiniésimal du processus de Markov homogène. Théorème.18 Le généraeur infiniésimal A de la diffusion homogène Xx soluion de.18 avec la condiion iniiale x es bien son généraeur en an que processus de Markov homogène, c es à dire que pour oue foncion f de classe C don les dérivées parielles d ordre 1 e son bornées, 1 Afx = lim P 1 fx fx] = lim EfX x fx]. Démonsraion. D après le Théorème.16, pour ou, EfX x] = fx + E AfX s x ds. Les rajecoires de X éan presque sûremen coninues, celles de AfX s le son égalemen. On en dédui que AfX sxds es P presque sûremen dérivable en e que sa dérivée vau AfX x = Afx. De plus, les dérivées parielles de f éan bornées par K >, la resricion sur la croissance des coefficiens monre que Afx K i b i x + i,j,k K σ i k xσj k x C1 + x. La propriéé.7 monre alors que pour ou >, sup AfX s C s 1 + sup X s L 1. s Le héorème de convergence dominée perme de conclure..3.3 Théorème de comparaison Le héorème suivan perme de comparer presque sûremen des soluions d EDS unidimensionnelles avec le même coefficien de diffusion, mais des condiions iniiales e coefficiens de dérive qui saisfon des inégaliés similaires. Il s avère souven exrêmemen uile en praique. La preuve, qui uilise des argumens semblables à ceux de l unicié rajecorielle vus précédemmen, peu êre rouvée dans 7]. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.4 Processus de Bessel 39 Théorème.19 Théorème de comparaison Soi B, un mouvemen brownien réel, b 1, b e σ des foncions globalemen lipschiziennes de R dans R, x 1 x des nombres réels. Pour i = 1,, on considère les EDS X i = x i + b i X i s ds + σx i s db s Supposons que b 1 x b x pour ou x R. Alors X 1 X p.s. pour ou..4 Processus de Bessel Dans la praique, le héorème d exisence e d unicié de soluions d EDS sous les condiions usuelles sur les coefficiens condiions globales de Lipschiz e de resricion sur la croissance es parfois insuffisan pour ce qui concerne le coefficien de diffusion. On peu noablemen améliorer ce héorème dans le cas réel. Théorème. Yamada-Waanabe Soi d = r = 1. Supposons que b e σ son à croissance linéaire, c es à dire saisfon la condiion de resricion sur la croissance globale.4, que b vérifie la condiion de Lipschiz globale.3 e que σ, x σ, y ρ x y,, x, y R, où ρ :], + ], + es une foncion borélienne sricemen croissane elle que ρ = e ε dz ρ z = + pour ou ε >. Alors si X = x R, il y a unicié fore pour l équaion.6. Une classe rès imporane d EDS don l unicié fore es monrée en appliquan le héorème précéden es la suivane : X = x + Xs db s + δ.5 où B es un Brownien réel e x, δ >. En effe, x y x y e le héorème de Yamada-Waanabe appliqué avec la foncion ρx = x monre que.5 adme une unique soluion fore. De plus, on peu monrer que cee soluion es oujours posiive e définie sur, +. Cependan, le héorème.6 n aurai pas permis d obenir ce résula, car σx = x n es pas lipschizienne en zéro. Le processus X es un processus de Bessel carré de dimension δ. Nous allons relier le processus de Bessel au Brownien. Soi n > 1 e B = B 1, B,...,B n un mouvemen Brownien n-dimensionnel. Soi X le processus défini par X = B ; alors X = n i=1 Bi e la formule d Iô monre que dx = n i=1 Bi db i + n d. En noan x, y le produi scalaire des veceurs x e y, on voi que le processus β défini par dβ = 1 X B, db = 1 B n B i dbi, β =, i=1 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
4 Équaions différenielles sochasiques es une maringale coninue de carré inégrable e la formule d Iô monre que β, es une maringale. La caracérisaion de Paul Lévy enraîne que β es un mouvemen brownien. L égalié dx = B, db + nd s écri dx = X dβ + n d. Ainsi, en posan V = X on obien que V es soluion d une EDS du ype.5 dv = V dβ + n d, où β es un mouvemen brownien. Puisque X > p.s., une nouvelle applicaion de la formule d Iô monre que dx = dβ + n 1 d X où β es un mouvemen Brownien. On di que X es un processus de Bessel BES de dimension n, e que V es un processus de Bessel carré BESQ. Les processus de Bessel seron généralisés e uilisés en Finance dans le modèle de Cox-Ingersoll-Ross décri dans le dernier chapire..5 Lien avec les EDP.5.1 Problème parabolique Noons K n,p, T] R d l ensemble des foncions u :, T] R d R qui son de classe C n par rappor à la variable, T], de classe C p par rappor à la variable x R d e don les dérivées parielles son à croissance polynomiale, c es à dire elles qu il exise des consanes C > e des eniers k els que chaque dérivée parielle v de u saisfasse l inégalié v, x C 1 + x k. On noe K p R d l ensemble des foncions u : R d R de classe C p par rappor à la variable x R d don les dérivées parielles son à croissance polynomiale. L exemple le plus simple d EDP parabolique liée à un processus sochasique es l équaion de la chaleur en dimension 1, c es à dire u σ, x = u x, x,, x ], + R,.6 où σ > e où la condiion iniiale u, x = fx es donnée par une foncion f : R R borélienne à croissance polynomiale. Pour >, noons p; x,. la densié de x + σ B où B, es un mouvemen Brownien sandard à valeurs réelles, c es à dire la foncion Un calcul facile monre que p = σ p; x, y = p x. Noons 1 σ x y π e σ. u, x = E fx + σ B pour ou ; alors u, x = fx. De plus, pour >, u, x = + p; x, y fy dy e la croissance polynomiale de f enraîne que l on peu appliquer le héorème de dérivaion sous le signe inégral. Pour ou couple d eniers posiifs m e n on a donc n+m m xnu, x = + n+m m xnp; x, y fy dy ; Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.5 Lien avec les EDP 41 la foncion définie par u, x = Efx+σ B ] saisfai donc l EDP u σ, x = u, x sur x ], + R e apparien à K 1, ε, + R pour ou ε >. Rese à vérifier le comporemen asympoique de u, y quand, y, x. De nouveau, puisque f es à croissance polynomiale, si cee foncion es de plus coninue, le héorème de convergence dominée enraîne que pour ou x R, lim u, y = fx.,y,x On a ainsi prouvé que l équaion.6 de condiion iniiale f coninue à croissance polynomiale a une soluion; rese à prouver l unicié de la soluion de.6 pour la condiion iniiale, ce qui donnera une inerpréaion probabilise à la soluion de cee EDP. De nouveau, on peu monrer l unicié de la soluion de.6 de façon probabilise. Théorème.1 Soi u une foncion de classe C 1, sur ], T] R qui saisfai l équaion de la chaleur.6, elle que sup u, x soi à croissance polynomiale en x e elle pour < T ou x R, u, y =. Alors, u, x = sur ], T] R. lim,y,x On peu aussi considérer le problème similaire à celui de l équaion.6 sur l inervalle de emps, T] en «renversan le emps» e imposan une condiion finale donnée par une foncion f coninue : { v v x, x = pour, x, T R, σ, x + vt, x = fx pour x R,.7 don une soluion coninue v K 1,, T R d es v, x = E fx + σb T B ] = E fx + σb T ] pour, x, T R. On éend ces propriéés du Brownien B aux diffusions, ce qui donne une inerpréaion probabilise d une EDP parabolique liée au généraeur infiniésimal A défini par.1. Théorème. Soi σ e b des coefficiens saisfaisan les condiions.3 e.4, f une foncion coninue e X s,x, s la soluion de.15. Alors une foncion v coninue sur, T] R d elle que v K 1,, T R d es soluion du problème de Cauchy si : { v, x + A v, x = pour, x, T R d, vt, x = fx pour x R d.8, La foncion v adme la représenaion sochasique :.5. Formule de Feynman-Kac v, x = E fx,x T ].9 On s inéresse à une EDP un peu plus générale que le problème de Cauchy.8 éudié dans la secion précédene. Soi σ e b des coefficiens qui saisfon les condiions globales de Lipschiz e de resricion sur la croissance.3 e.4, e pour ou, T, soi Xs,x le processus soluion de X,x s = x + s σu, X,x u db u + s bu, Xu,x du, s, T]..3 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
4 Équaions différenielles sochasiques Définiion.3 Soi A le généraeur infiniésimal défini sur K 1,, T] R d par.1. Soi m un nombre réel, f : R d R, g :, T] R d R d e ρ :, T] R d m, + des foncions coninues. La foncion v K 1,, T R d saisfai le problème de Cauchy d opéraeur A, de poeniel ρ, de Lagrangien g e de condiion erminale f si c es une foncion coninue sur, T] R d e si { v, x + A v, x ρ, x v, x + g, x = pour, x, T R d, vt, x = fx pour x R d..31 Éudions d abord le cas g =, c es à dire seulemen l exisence d un coefficien d acualisaion aléaoire ρ. Théorème.4 Théorème de Feynman-Kac Soi σ e b des foncions saisfaisan les condiions globales de Lipschiz e de resricion sur la croissance.3 e.4, f, ρ des foncions saisfaisan les condiions de la définiion.3. Supposons que f K R d. Pour ou, T e x R d, noons Xs,x, s, T] le processus soluion de.3 e F = F B la filraion naurelle du Brownien B. Alors une soluion v du problème de Cauchy { v, x + A v, x ρ, x v, x = pour, x, T R d, vt, x = fx pour x R d. adme la représenaion sochasique : De plus, si X = X,x v, x = E fx,x R T T e ] ρs,xs,x ds..3,, T] es la diffusion soluion de., alors pour ou, T], v, X = E e R ] T ρs,x s ds fx T F..33 Démonsraion. La formule d Iô monre que si v résou le problème de Cauchy.31 avec g =, le processus : M,x s = e R s ρu,x,x u du vs, Xs,x, s, T] es une F -maringale, ce qui enraîne que M,x = E M,x T F. La propriéé de maringale de Ms,x, s, T] e la condiion erminale vt, x = fx monren alors.33. Remarquons que de même, la condiion erminale enraîne que v, x = v, X,x = E e R T ] ρu,xu,x du fx,x T F. Pour prouver.3, fixons, x, T R d e noons τ n = inf{s, Xs,x n}. La formule d Iô e le héorème d arrê pour les maringales enraînen que v, x = EM,x T τ n = i=1 T n, i avec : Tn 1, x = E vτ n, Xτ,x n e R τn T n, x = E ] ρs,xs,x ds 1 {τn T } ] vt, X,x T e R T ρs,x,x s ds 1 {τn>t }., Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.5 Lien avec les EDP 43 Une généralisaion immédiae de.8 basée sur le lemme de Gronwall e l inégalié de Burkholder monre que pour ou p 1, +, Esup s T Xs,x p C p 1 + x p. Il exise K > el que le erme Tn, 1 x es dominé par Cn K Pτ n T. Pour ou p 1, +, Pτ n T C p n p E sup Xs,x p C p n p. s T Choisissan p > K nous obenons Tn 1, x quand n +. Le héorème de convergence dominée enraîne que lorsque n +, Tn, x E fx,x T R ] T e ρs,x,x s ds, ce qui ermine la démonsraion. Nous verrons dans l exercice.6 que le problème de Cauchy.31 adme comme soluion ] v, x = E fx,x R T T e ρs,xs,x ds + T gs, X,x s e R s ρu,x,x u du ds..34 On dédui immédiaemen du Théorème de Feynman Kac le résula suivan. Soi r > e f : R d R une foncion coninue à croissance polynomiale. Alors si v coninue sur, T] R d e v K 1,, T R d es soluion du problème de Cauchy { v, x + A v, x = r v, x pour, x, T R d, vt, x = fx pour x R d, alors v, x = E e rt fx,x T. Ces liens enre diffusions e EDP peuven êre vus de deux façons. D une par en «peie dimension» on peu uiliser des méhodes numériques d EDP différences finies ou élémens finis afin de résoudre numériquemen l EDP il fau encore des condiions pour qu elle ai une soluion unique e en déduire une informaion sur l espérance d une foncion du processus. Mais les méhodes numériques, efficaces en peie dimension, deviennen rès difficiles à implémener en grande dimension. Par conre, les méhodes de Mone-Carlo ou de quasi Mone Carlo permeen d approximer l espérance d une variable aléaoire ou d un processus en une famille finie d insans e d éas x. On peu se servir de l inerpréaion de la soluion v, x de l EDP sous réserve qu elle soi unique comme une espérance pour écrire cee foncion au poin, x à l aide de l espérance d une diffusion. Par un schéma d Euler de pas T/n, on sai approximer la rajecoire de la diffusion par celle d un processus rès simple e rès rapide à simuler. La viesse de convergence «fore», qui donne une majoraion de la norme uniforme de la différence des rajecoires, es en 1/ n. Si on s inéresse seulemen à l espérance d une foncion de la diffusion en un insan T, la viesse de convergence «faible» du schéma es en 1/n. L espérance de la foncion du processus approximan à l insan T es elle-même approximée par une moyenne d après la loi fore des grands nombres. Le héorème de la limie cenrale monre alors que si on dispose de N réalisaions, la viesse de convergence de la moyenne vers l espérance es en 1 N. Simuler une approximaion de la diffusion par un schéma d Euler es rès simple e l inconvénien es pluô le nombre de simulaions qu il fau uiliser pour avoir une approximaion «raisonnable». Cee méhode es donc «lene», mais «insensible à la dimension». 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
44 Équaions différenielles sochasiques.6 Exemples en finance Nous présenons ici deux exemples d EDS imporans en finance. Le modèle de Black & Sholes sera présené de façon beaucoup plus approfondie dans le dernier chapire..6.1 Problème de Surm-Liouville - Temps d occupaion Nous venons de voir commen les diffusions permeen de résoudre expliciemen ceraines EDP. Les mêmes echniques peuven êre aussi employées pour l éude de ceraines EDO du deuxième ordre. On s inéresse par exemple au problème suivan, di de Surm- Liouville : α + kf = f + g.35 où α >, k : R R + es une foncion coninue e g : R R une foncion coninue elle que : gx + y e y α dy < + R pour ou x R. Alors, si B es un Brownien sandard issu de e f K, pour ou >, le lien enre généraeur infiniésimal e maringale décri dans le héorème.17 avec ρ, y = α + kx + y monre que le processus fx+b e R α+kx+bsds fx e R s 1 α+kx+budu f x + B s α + kx + B s ] fx + B s ds es une F B -maringale. On en dédui que si f es une soluion bornée de.35, E fx + B e R ] ] α+kx+bsds fx = E e R s α+kx+budu gx + B s ds. Lorsque +, ceci enraîne : fx = E gx + B exp α ] kx + B s ds d. Cee foncion es l unique soluion bornée de classe C de.35. Ce résula donne en pariculier la ransformée de Laplace de la variable aléaoire gb exp kb s ds pour oue foncion g e donc par inversion la loi du couple B, kb sds. Ce couple es rès imporan en Finance, puisqu il perme de «pricer» ceraines opions exoiques avec emps d occupaion. La formule de Feynman-Kac perme aussi de calculer la densié de la variable aléaoire A + = 1, B s ds Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.6 Exemples en finance 45 qui représene le emps d occupaion de, + par le Brownien. En effe, si on pose kx = β1,+ x e gx = 1, en approximan k par une suie de foncions coninues on en dédui que pour α, β > la foncion es soluion de l EDO fx = E { exp α β ] 1, x + B s ds d αfx = 1 βfx + f x si x >, αfx = 1 + f x si x <. L unique soluion bornée e coninue de cee EDO es donnée par : { Ae fx = x α+β + 1 si x >, α+β Be x α + 1 si x <. α En imposan la coninuié de f e f en zéro, on rouve A = 1 1 αα + β α + β e B = 1 αα + β 1 α, ce qui enraîne e α E ] e βa+ d = f = 1 αα + β. Puisque Γ 1 = π, le héorème de Fubini e un changemen de variables monren que e α du e βu π u u d = 1 π + = 1 1. α + β α e α+βu u du 1 π + u e α u u d Puisque la ransformée de Laplace caracérise la loi, on en dédui que pour ou β >, Ee βa+ ] = e βu 1 du, puis que la densié de π u u A+ es la foncion h définie par hu = 1 π u u 1 ],u. La foncion de répariion de cee loi es définie pour ou θ ], par : P A + θ = θ du π u u = θ/ ds π s1 s = θ π Arcsin. La loi de A + es appelée loi de l arcsinus. On remarque enfin que pour θ ],, P A + θ = P A + 1 θ, ce qui monre que les variables A + e A + 1 on même loi. On aurai pu aussi obenir ce résula direcemen par «scaling» du Brownien. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
46 Équaions différenielles sochasiques.6. Inroducion à la formule de Black & Sholes Nous présenons sommairemen ce exemple fondamenal, qui sera repris de façon plus sysémaique dans le dernier chapire. On considère un marché financier comporan un acif di sans risque de aux consan r, el que S = 1, donc de prix à l insan donné par S = er soi ds = rs d e un acif risqué don le prix S à l insan vérifie S = S exp σb + b σ /..36 C es le Brownien géomérique vu dans l exemple.7, soluion de l EDS linéaire ds = σ S db + bs d, où S >, B es un mouvemen brownien e b, σ R. On remarque que ce processus garde des valeurs sricemen posiives e qu à chaque insan >, ES = S e b. Le processus S croi donc en moyenne comme un acif sans risque de rendemen consan b. De plus, ES = S eb+σ E e σb σ = S eb+σ, ce qui enraîne que V ars = S e eb σ 1. Le coefficien σ es appelé la volailié e mesure la sensibilié à l aléa, c es à dire le risque de l acif. C es lui qui perme de quanifier les écars enre S e son espérance. On remarque facilemen en uilisan l expression explicie de S que pour ou δ > qui modélise un inervalle de emps par exemple un jour, la Sj+1δ suie ln S jδ, j es une suie indépendane équidisribuée de variables aléaoires gaussiennes N b σδ,, σ δ e il es donc facile de eser la validié du modèle sur des données réelles. On consae d ailleurs que ce modèle rend mal compe de la réalié. Un Sj+1δ développemen limié de ln1 + u perme d approximer ln S jδ, par S j+1δ S jδ S jδ afin de eser le caracère i.i.d. gaussien des rendemens successifs observés. Pour qu un invesisseur ayan une aversion au risque préfère un acif risqué à un acif sans risque, il fau bien sûr que son rendemen espéré b soi supérieur à r e la différence b r es une «prime de risque». Plus la volailié σ es grande, plus l acif es risqué e dans ce cas, plus la valeur de b doi êre grande pour que l invesisseur préfère S à l acif sans risque S. On fixe un horizon T > e on souhaie donner le prix d un acif financier qui versera hs T à la dae T. Le cas d un call Européen de maurié T e de srike K correspond au cas hx = x K +. On procède par duplicaion hedging : on forme un porefeuille qui comprend α pars de l acif sans risque S le monan de la richesse invesie dans ce acif à la dae es donc α e r e de pars de l acif risqué S. On suppose que le marché es sans fricion, c es à dire qu il n y a pas de coû de ransacion d acha ou de vene des acifs, que l on peu vendre à découver c es à dire que les coefficiens α e peuven êre négaifs, que les acifs son indéfinimen divisibles α e son à valeurs réelles e que le rading se fai en coninu c es à dire que α e peuven varier à chaque insan. On veu rouver un porefeuille «auo-finançan» c es à dire ne nécessian pas de mise de fonds aure qu à la dae, qui ne verse pas de dividende duquel on ne reire pas Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.6 Exemples en finance 47 de l argen avan la dae T e de valeur erminale hs T. La valeur de ce porefeuille à la dae es V = α S + S. La condiion d auofinancemen se formalise par dv = α ds + ds, soi dv = α rs d + bs d + σs db ] = σ S db + rv + S b r ] d. La valeur iniiale du porefeuille sera la valeur de l acif financier. On suppose que la valeur V du porefeuille à la dae es une foncion déerminise du emps e de la valeur de l acif risqué, soi V = V, S. En uilisan la formule d Iô, on calcule dv = V, S V + bs x, S + σ S V x, S V d + σs x, S db. En uilisan la condiion d auofinancemen e en idenifian les paries maringales on obien parce que S > pour ou σ S = σs V x, S soi = V x, S, ce qui enraîne alors en idenifian les paries à variaion finie V rs x, S + V, S + σ S V x, S rv, S =, avec pour condiion erminale V T, S T = hs T. Comme S es une variable aléaoire qui peu prendre oues les valeurs de ], +, on en dédui que V saisfai l EDP sur, +, + : rx V V, x + x, x + σ x V, x rv, x =,.37 x avec pour condiion erminale V T, x = hx. On noera que le coefficien b a disparu. Nous allons résoudre cee EDP dans le cas d un call européen, c es à dire pour une condiion erminale hx = x K +, avec σ >. On noe C la valeur du porefeuille dans ce cas pariculier, Les déails des calculs son laissés en exercice cf. Exercice.5. Nous verrons au chapire suivan une façon plus rapide e moins echnique de les rerouver. Les résulas précédens enraînen que C saisfai l équaion.37 C, x + rx C x, x + σ x C, x = rc, x, x avec CT, x = x K +. La formule de Feynman-Kac.3 appliquée à la foncion fx = x K + e à ρs, x = r monre que la valeur du call européen à l insan, es donnée par ] C, x = E e r T S,x T K+,.38 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
48 Équaions différenielles sochasiques avec S,x T = xeσb T B + r σ T,x,x soluion de l EDS d S s = σ S s dw,x,x s + b S s ds pour s e S = x. Puisque B T B sui une loi gaussienne N, T, on peu calculer expliciemen C, x. Pour ou a R, noons Fa = 1 π a e x dx la foncion de répariion d une loi gaussienne N, 1. La soluion de l équaion.38 es donnée par la formule suivane de Black & Sholes C, x = xfd 1 Ke rt Fd, avec les noaions d 1 = 1 σ T ln xe rt /K + 1 σ T e d = d 1 σ T..39 La quanié = C x, S = Fd 1, qui représene le nombre de pars de l acif sous-jacen uilisées pour répliquer l opion s appelle le Dela de l opion e représene aussi la sensibilié du prix de l opion par rappor au prix du sous-jacen. Le couple C, S S, représene le porefeuille de couverure. D aure par, le héorème de Feynman-Kac.4 appliqué au cas ρs, x = r e fx = x K + monre en appliquan l équaion.33 que si S s = Ss,x es la soluion de d S = σ S db + r S d, C, S ] = e T E S T K + F.4 L expression.38 perme égalemen de rerouver le Dela de l opion de façon différene. Dans le cas =, on a C, x = E e rt xm T e rt K + ], avec la noaion S = xm e r S e où M = e σ σb = xe S pour es une maringale. En dérivan par rappor à x sous l espérance, on rerouve où d 1 es la consane précédene. C x, x = E ] M T 1 {xmt e rt K} = Fd1, Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.7 Exercices 49.7 Exercices Exercice.1 Le bu de ce exercice es de proposer deux généralisaions du Lemme de Gronwall. i Soi f :, T] R une foncion coninue. Supposons qu il exise une consane b > e une foncion a :, T] R posiive inégrable elle que pour ou, T], f a + b fsds..41 Alors f a + b aseb s ds pour ou, T]. ii Soi f :, T] R une foncion borélienne bornée. Supposons qu il exise une consane a > e une foncion inégrable posiive b :, T] R elle que f a + bsfsds. Monrer que si H = bsds, f aeh pour ou, T]. Exercice. Processus d Ornsein-Uhlenbeck Soi X, σ e b des consanes réelles, B un Brownien sandard de dimension 1, X le processus soluion de l équaion de Langevin X = X + σb b X s ds. 1. Monrer que si X 1 e X son soluions de l équaion de Langevin, X 1 = X.. Soi Y = e b X + σ ebs db s. Monrer que Y = e b X bσ En appliquan le héorème de Fubini, en déduire que b Y s ds = X 1 e b + bσ e bs B s ds + σb. e b u B u du = X Y + σb. En déduire que l unique soluion de l équaion de Langevin es X = e X b + σ e bs db s. 3. Monrer que pour ou, la loi de X es gaussienne N ou s <, calculer CovX s, X. X e b, σ 1 b e b. Pour Exercice.3 Processus de Vasicek On généralise le processus précéden en ajouan une consane dans le erme de dérive dy = σdb + ab Y d. Cee EDS a éé éudiée pour modéliser l évoluion des aux d inérê d un marché financier e es appelée «mean-reversing» car si a e b son posiifs, le processus Y end vers b en un sens à préciser. 1. Monrer que X = Y b es soluion de l équaion de Langevin. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
5 Équaions différenielles sochasiques. On suppose que X es une consane. En déduire une expression explicie de Y, puis la loi de EY e CovY s, Y pour s. 3. On suppose que X sui une loi gaussienne Nm, σ e es indépendane de B. Reprendre la quesion précédene e calculer la loi du veceur Y s, Y pour s <, l espérance de Y e la covariance de Y s e Y. Si Y >, Le processus Y garde--il des valeurs posiives? Pour T, calculer E exp T Y u du F B Exercice.4 Soi B un F -Brownien sandard de dimension r, σ k s, s e bs, s des processus réels progressivemen mesurables définis pour k = 1,, r, e M une consane réelle elle que sup T σs + bs M p.s. Pour ou X R on veu résoudre expliciemen l EDS linéaire suivane à coefficiens non consans X = X + σsx s db s +. bsx s ds..4 1. On suppose qu il exise une consane réelle M elle que sup σs + bs M T p.s. En reprenan la démonsraion du Théorème.6 monrer que.4 a une unique soluion elle que sup T E X < +. Sous quelles condiions supplémenaires ce processus saisfai-il la propriéé de Markov?. On suppose que S es un processus d Iô coninu à valeurs sricemen posiives els que si ds = k j=1 H ksdbs k+h sds e si on noe σ j = H j pour j = 1,, k S i e b = H, on a T S i σs + bs ds < + p.s. Comparer ces hypohèses à celles de la quesion précédene. 3. On suppose que les hypohèses de l une des quesions précédenes son saisfaies. Soi Y = exp σsdb s + bs + 1 σs ds. Calculer dy puis dx Y e en déduire que X = X exp σsdb s + bs 1 σs ds..43 Exercice.5 Le bu de ce exercice es de donner une première méhode pour rouver l équaion.39 du modèle de Black & Sholes. 1. Monrer que la soluion de l équaion de Black & Sholes.37 es avec CT, x = x K +. où S,x T C, x + rx C x, x + σ x = xeσb T B + r σ C, x = rc, x x. Monrer que la valeur du call européen à l insan, es donnée par.38 ] C, x = E e r T S,x T K+, T. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.7 Exercices 51 3. Monrer que que si G N, 1, α = σ T > e β = r σ T, ] E e rt S,x T K+ = xe rt E ] e α G+β 1 {α G+β lnk/x} Ke rt P α G + β lnk/x. 4. Noons Fx = 1 x / π du la foncion de répariion d une variable aléaoire e u G gaussienne N, 1. Monrer que pour ou α >, β R, K > e x >, P α G + β lnk/x lnx/k + β = F α e 5. Monrer la formule.39. E e αg+β 1 {αg+β>lnk/x} = e β+ α F α + lnx/k + β α Exercice.6 Le bu de l exercice es de généraliser la formule de Feynman-Kac monrée dans le Théorème.4 en prouvan.34. Soi σ e b des foncions saisfaisan les condiions.3 e.4, f, g, ρ des foncions saisfaisan les condiions de la définiion.3. Supposons que f K R d e que sup T g, x es à croissance polynomiale. Pour ou, T e x R d, noons Xs,x, s, T] le processus soluion de.3 e F = F B la filraion naurelle du Brownien B. Alors une soluion v du problème de Cauchy.31 { v, x + A v, x ρ, x v, x + g, x = pour, x, T R d, vt, x = fx pour x R d. adme la représenaion sochasique : v, x = E fx,x R T T e ρs,x,x s ds + T gs, X,x s e R s ρu,x,x u du ds Les cinq exercices suivans éudien de façon sysémaique la soluion de l EDS dx = αx + adb + βx + bd, X = x. Exercice.7 Préliminaire Soi a, α, b, β des consanes réelles posiives e x R. On considère l EDS dx = αx + adb + βx + bd, X = x..44 1. Monrer que.44 adme une unique soluion fore.. On noe m = EX e M = EX. a Monrer que m es la soluion de d EDO Résoudre cee EDO. y βy = b, y = x..45 ]. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
5 Équaions différenielles sochasiques b Écrire X comme processus d Iô en uilisan la formule d Iô pour la soluion X de.44. Monrer que l inégrale sochasique es une maringale de carré inégrable. c En déduire que si on noe m la soluion de.45, M es la soluion de l EDO y β + α y = b + aαm + a, y = x. Résoudre cee EDO. Exercice.8 Premier cas pariculier a = b = Soi Y la soluion de.44 avec a = b = e x = 1. 1. Monrer que Y = e αb+ β α.. Monrer que si β, Y es une F -sous-maringale. A quelle condiion sur β le processus Y es-il une maringale? 3. Soi Z le processus d Iô défini par Z = x + a Ys 1 db s + b aα Ys 1 ds. Monrer que ce processus es bien défini e calculer Y, Z. En déduire que la soluion X de.44 peu s écrire X = Y Z. Exercice.9 Second cas pariculier α = b = On noe X la soluion de l EDS 1. Monrer que l unique soluion de.46 es dx = adb + βx d, X = x..46 X = e x β + a e βs db s. On pourra soi uiliser l exercice précéden, soi poser Y = e β X e résoudre l équaion vérifiée par Y.. Monrer que pour ou choix d insans 1 < < < d, le veceur ξ = X 1, X d es gaussien. Calculer Eξ e la marice de covariance de ξ. 3. Pour ou, on noe I = X sds. Monrer que pour ou choix d insans 1 < < < d, le veceur I 1, I d es gaussien. Calculer Ee I pour ou. 4. Calculer EX F s e V arx F s pour ou < s <. 5. Soi X la soluion de.46 e φ une foncion de classe C. Écrire la formule d Iô pour Z = φx. En déduire que si φx = x exp β dy, y a Z = a exp β B s db a s. Le processus Z es-il une maringale de carré inégrable? Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
.7 Exercices 53 6. Fixons λ R. Calculer Φ, y = E e λx. Pour > fixé, éudier la F -maringale Ee λx Fs, s. Monrer que Φ es soluion d une équaion aux dérivées parielles que l on expliciera. Soi Ψ, x = lnφ, x. Monrer que Ψ, x = x a + b avec a = aβ + a a, e b = a a. Exercice.1 Troisième cas pariculier b = β = Soi X la soluion de l EDS dx = αx + adb, X = x a α..47 Soi h la foncion définie par hy = 1 α ln a + αy a + αx pour y a α. 1. Soi Y = hx. Quelle es l équaion vérifiée par Y?. En déduire que la soluion de.47 es X = x + a exp α α + αb a α. Exercice.11 Quarième cas pariculier b = 1 e a = Soi X la soluion de.44 dans le cas b = 1 e a =. On noe Y = e β X. Quelle es l équaion saisfaie par Y? Calculer EX e V arx. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
54 3 Théorème de Girsanov 3 Théorème de Girsanov Avec la formule d Iô, le héorème de Girsanov es l ouil fondamenal du calcul sochasique. Il décri commen changer de façon absolumen coninue la loi de cerains processus. Plus précisémen, on considère un processus X, défini sur un espace probabilisé filré Ω, F, F, P, don la loi sous P peu êre délicae à éudier. On «perurbe» la probabilié P en la muliplian par une F -maringale exponenielle. On obien alors une nouvelle probabilié Q, sous laquelle le processus X sui une aure loi, plus simple à éudier. On éudie cee loi sous la probabilié Q e on revien à la probabilié P avec la maringale exponenielle. Les applicaions de cee méhode son muliples, aussi bien en finance que pour l éude du mouvemen brownien. Convenion Dans ou ce chapire, nous serons amenés à uiliser simulanémen plusieurs probabiliés sur un espace mesurable Ω, F. Si P désigne une elle probabilié, nous noerons E P X = XdP l espérance d une variable aléaoire posiive ou P-inégrable X, e de même E P X G l espérance condiionnelle de X par rappor à la sous-ribu G de F sous la probabilié P. 3.1 Changemen de probabilié Soi Ω, F, P un espace probabilisé e L une v.a. F-mesurable posiive elle que E P L = 1, c es à dire d espérance 1 sous P. On défini une nouvelle probabilié Q sur F de densié L par rappor à P en posan QA = E P L1 A pour ou A F ; on noe dq = L dp. Alors une variable aléaoire X es Q inégrable si e seulemen si LX es P-inégrable; si X es posiive ou Q-inégrable, E Q X = E P LX. De plus, Q es absolumen coninue par rappor à P, c es à dire que pour ou A F, PA = enraîne QA =. Si L > P p.s., alors P es absolumen coninue par rappor à Q, ce qui enraîne que les probabiliés P e Q son équivalenes, e la probabilié P a pour densié 1 par rappor à Q. L Lemme 3.1 Soi Ω, F, F, P un espace probabilisé filré, T >. Soi L T une variable aléaoire F T -mesurable posiive ou nulle elle que E P L T = 1. Pour ou, T], soi L = E P L T F. i Pour ou < T, si on noe dq F resp. dp F la resricion de Q resp. P à F, on a dq F = L dp F. ii Soi M, un processus. C es une F,, T]-maringale resp. une F,, T]-maringale locale sous Q si e seulemen si le processus L M,, T] es une F,, T]-maringale resp. une F,, T]-maringale locale sous P. iii Si L T > P p.s., les probabiliés P e Q son équivalenes, pour ou, T], L > P ou Q presque sûremen, 1 L, T es une F, T maringale sous Q e si Z es F mesurable e posiive ou bien Q-inégrable, pour ou s, ], E Q Z F s = E PZL F s L s = E PZL F s E P L F s. Démonsraion. La filraion F,, T] éan fixée, les maringales considérées sous les probabiliés P ou Q le seron oujours par rappor à cee filraion sans que ce soi précisé. i Pour ou < T e ou A F on a QA = E P L T 1 A = E P E P L T F ] 1 A = E P L 1 A. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
3. Formule de Cameron Marin 55 ii Supposons que M,, T] es une Q-maringale. Pour ou s T e ou A F s on a E P L M 1 A = E Q M 1 A = E Q M s 1 A = E P L s M s 1 A e l on en dédui que L M,, T] es une P-maringale. La réciproque se démonre de façon similaire. Si M es une maringale locale sous Q, la suie croissane de emps d arrê τ n elle que M τn,, T] es une F -maringale sous Q fai de M τn L τn,, T] une F -maringale sous P. iii Puisque L T >, la mesure P es absolumen coninue par rappor à Q de densié 1 L T sur F T. Pour ou, T], la variable aléaoire 1 L : Ω, + ] es posiive elle que E Q 1/L = E P L /L = 1. On a donc 1 L < + Q p.s., soi L > Q e P p.s. Soi Z L 1 Q une variable aléaoire F -mesurable. Alors, pour s, L 1 s E PZL F s es F s -mesurable e pour ou A F s, E Q Z1 A = E P Z1 A L = E P 1 A E P ZL F s = E Q 1 A L 1 s E P ZL F s, donc E Q Z F s = L 1 s E PZL F s Q p.s. ou P p.s.. Le raisonnemen es similaire si Z es F mesurable. Monrons que pour ou, T], L 1 F -mesurable e bornée; alors Z L 1 E Q ZL 1 = E Q L 1 T es F mesurable e = E P ZL 1 L = E P Z = E Q ZL 1 T. F Q p.s. Soi Z une variable aléaoire Puisque L 1 es F -mesurable, L 1 = E Q L 1 T F Q p.s. 3. Formule de Cameron Marin Présenons ou d abord l idée principale en dimension finie. Soi X 1,...,X n des variables gaussiennes cenrées réduies indépendanes, consruies sur un même espace probabilisé Ω, F, P. Pour ou µ 1,...,µ n R n on a ce qui enraîne n ] E P exp µ i X i = i=1 n E P exp µ i X i ] = exp i=1 E P L = 1 où L = exp n i=1 1 ] µ i X i µ i. Ainsi, on peu définir une nouvelle probabilié Q sur Ω, F en posan dq = L dp, c es à dire Q A = E P L1 A = LωdPω pour ou A F. Le lemme 3.1 monre que Q es bien une probabilié équivalene à P sur Ω, F, c es à dire que P A = si e seulemen si Q A = pour ou A F. La variable L désigne la densié de Q par rappor à P. A n i=1 µ i, 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
56 3 Théorème de Girsanov On cherche mainenan à savoir quelle es la loi du n-uple X 1,..., X n sous cee nouvelle probabilié Q. Pour cela on écri pour ou borélien A R n, Q X 1,, X n A = P n i=1 1 {X1,,X n A} e = π n/ = π n/ A A P n i=1 e «µ i X i µ i dp µ i x i µ i «e P n x i i=1 dx1 dx n e 1 P n i=1 x i µ i dx 1 dx n e l on en dédui que si µ = µ 1,...,µ n : sous Q, X 1,...,X n es un veceur gaussien Nµ, Id, c es à dire que : sous Q, X 1,, X n µ 1, µ,, µ n es un veceur gaussien N, Id. La formule de Cameron-Marin obéi au même principe de changemen de probabilié, sauf que celui-ci a lieu sur l espace des foncions coninues e donc en dimension infinie. On se donne un Brownien sandard B, sur Ω, F, P e F B, sa filraion naurelle compléée. Pour ou m R, on sai que le processus ] L m = exp mb m es une F B -maringale posiive. Remarquons déjà l analogie enre cee maringale L m e la variable L définie plus hau. On fixe alors un horizon T > e on consrui une nouvelle probabilié Q m T sur Ω, FT B en posan : Q m T A = E P L m T 1 A. La formule de Cameron-Marin spécifie alors la loi de B sous Q m T. Théorème 3. Formule de Cameron-Marin Soi B un Brownien sandard e m R. Avec les noaions précédenes, le processus défini par B = B m, T es un F B, T Brownien sous la probabilié Qm T,. Démonsraion. Remarquons d abord que les ribus F B e F B son égales pour ou, T]. Fixons λ R e considérons le processus Z λ = exp λ B λ /. Pour ou s T e ou A Fs B, on a : ] E Q Z λ 1 A = EP Z λ L 1 A = EP exp λ B λ + mb m 1 A ] = E P exp λb λm λ + mb m 1 A = E P exp λ + mb λ + ] m 1 A ] Puisque B es un Brownien sous P, le processus exp λ + mb λ+m,, T] es une F B -maringale sous P. On en dédui que pour ou A Fs B, E Q Z λ 1 A = EP exp λ + mb s λ + ] m s 1 A = E P Z λ s L s 1 A = EQ Z λ s 1 A. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
3.3 Théorème de Girsanov 57 On en dédui que E Q Z λ 1 A = E Q Z λ s 1 A, d où EQ Z λ Fs B = Zs λ Q p.s. pour ou s T. Pour ou λ R, le processus Z λ es donc une F B -maringale sous la probabilié Q e le héorème de caracérisaion de Paul Lévy 1.33 perme de conclure que B es un F B, T-Brownien sous Q. 3.3 Théorème de Girsanov Le bu de cee secion es d éendre le héorème de Cameron-Marin en ranslaan la rajecoire Brownienne à l insan par l inégrale d un processus non-consan Ce héorème es d une rès grande imporance praique. Théorème 3.3 Soi B, un Brownien sandard d-dimensionnel sur Ω, F, P, e F B, sa filraion naurelle compléée. Soi T >, θ, T un processus d-dimensionnel apparenan à H T e pour ou, T], soi d L = exp θ i sdbs i 1 θ s ds. 3.1 i=1 Alors, si E P L T = 1, le processus L, T es une F B -maringale, e Qdω = L T ωpdω es une probabilié équivalene à Q Le processus W = W, i T, i = 1,, d défini par W i = B i θ i s ds es un F B -mouvemen brownien sous Q. Démonsraion. Pour dégager les idées, nous ne ferons la démonsraion qu en dimension d = 1. Soi θ = θ s H e L, T le processus défini par 3.1. Alors L = e X > où X = θ sdb s 1 θ sds es un processus d Iô. La formule d Iô monre que sous P, dl = L dx + 1 L θ d = L θ db. On en dédui que sous P, L,, T] es une maringale locale posiive, donc une surmaringale cf. Exercice 1.4. On a donc pour T, L E P L T F B. De plus, E P L T = E P L = 1 = E P L pour ou, T] e L, T es donc une F B -maringale sous P. D après la caracérisaion de Paul Lévy Théorème 1.33 ii, puisque W =, pour monrer que W es un F B, T-Brownien sous Q, il suffi de monrer que sous Q W, T e W, T son des F B -maringales locales coninues. En appliquan le Lemme 3.1, cela revien à prouver que les processus L W, T e L W, T son des FB -maringales locales coninues sous P. En appliquan la formule d Iô au produi e le fai que sous P, on obien sous P, dw = db θ d, dl W = L dw + W dl + d L, W = L db L θ d + W θ L db + L θ d = 1 + θ W L db. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
58 3 Théorème de Girsanov On en dédui que L W, T es bien une F B, T-maringale locale coninue sous P. De plus, la formule d Iô enraîne que si Y = W, sous P, dy = W dw + 1 d W, W d = W db W θ d + d d = W db W θ d. En appliquan de nouveau la formule d Iô au produi, on dédui que sous P dl Y = L dy + Y dl + d L, Y = L W db L W θ d + Y L θ db + W L θ d = L W + Y θ db. Le processus W L, T es donc bien une F B -maringale locale coninue sous P. Le lemme 3.1 e le héorème 3.3 monren que P s écri en foncion de Q sous la forme dp = L 1 T dq. En ransforman l inégrale sochasique par rappor à B en une inégrale sochasique par rappor à W = B θ sds, on obien L 1 = exp θ s db s + 1 θs ds = exp θ s dw s 1 θs ds, où il es clair que la dernière exponenielle d inégrale sochasique par rappor au processus W, qui es un Brownien sous Q, es une F B, T-maringale sous Q. On uilise souven le héorème de Girsanov de la façon suivane. On dispose d un processus θ H T, on pour ou, T] noe Z = θ sdb s e L = exp Z 1 Z, Z. On suppose que EL T = 1 e on noe Q la probabilié don la resricion à F es L pour ou, T]. On a d aure par un processus H H loc e M = H sdb s une F -maringale locale coninue sous P, de croche M, M = H s ds. Alors le processus N = M M, Z es sous Q une F -maringale locale coninue de croche N, N = M, M sous P ou Q, puisque les croches éan la variaion quadraique des processus e les probabiliés P e Q éan équivalenes, les croches son les mêmes sous ces deux probabiliés. En effe, pour monrer cee propriéé, d après le lemme 3.1, il suffi de vérifier que sous P, le processus L N = L M M, Z es une F -maringale locale, ce qui découle facilemen de la formule d Iô. 3.4 Condiion de Novikov e généralisaions Le résula suivan sera rès uile dans le chapire suivan. Il inrodui une maringale locale de forme exponenielle e donne des condiions suffisanes pour que ce soi une maringale. Cee maringale exponenielle es à la base d un changemen de probabilié fondamenal en finance. Soi θ H locfb un processus cadlag, FB -adapé, el que θ s ds < + p.s. pour ou > e Z une consane. Par la formule d Iô, on démonre que l unique soluion de l EDS es Z = Z + Z = Z exp θ s db s 1 θ s Z s db s 3. θ s ds ]. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
3.4 Condiion de Novikov e généralisaions 59 Le processus Z es appelé l exponenielle de Doléans-Dade de θ B. D après 3., c es une maringale locale. Le crière suivan perme de savoir quand l exponenielle de Doléans- Dade es une maringale. Il es formulé dans un cadre mulidimensionnel e on pourra lire sa démonsraion dans 7], p.. Théorème 3.4 Condiion de Novikov Supposons que B es un F Brownien sandard de dimension d, θ un processus à valeurs dans R d, F -adapé el que 1 T ] E exp θ s ds <. Si pour ou, T] on noe Z θ = exp d i=1 θ i s dbi s 1 θ s ds le processus Z θ es une F, T-maringale uniformémen inégrable. Quand la condiion de Novikov n es pas saisfaie, Z θ es une maringale locale posiive, donc une surmaringale, e EZ θ EZ s θ Z θ pour ou s. Il fau remarquer que, même si la maringale locale Z θ es uniformémen inégrable, ce n es pas nécessairemen une maringale. Par conre, si la famille de variables aléaoires {Z τ θ, τ emps d arrê} es uniformémen inégrable, alors Z θ es une maringale uniformémen inégrable. On dispose de crières alernaifs à la condiion de Novikov en dimension 1. On pourra lire la démonsraion dans 6]. Proposiion 3.5 Soi B un Brownien sandard à valeurs dans R d, θ H T un processus à valeurs dans R d el qu il exise des insans = < 1 < N = T pour lesquels pour ou n {1,, N}, 1 n E P θ s ds < +. 3.3 n 1 Alors si pour, T] on pose L = e R R θsdbs 1 θs ds, on a E P L T = 1 e le processus L,, T] es une F -maringale. Démonsraion. Pour ou n {1,, N}, noons θn = θ 1 n 1, n. La condiion de Novikov es saisfaie par θn e le Théorème 3.4 monre que si on noe L θn = exp θn s db s 1 θn s ds, on a E P Ln θn F n 1 ] = Ln 1 θn = 1. On monre par récurrence sur n N que E P L n = 1. En effe, pour ou n {1,, N} E P L n = E P Ln 1 E P Ln θn F n 1 ] = EP L n 1. Puisque N = T, on en dédui que E P L T = 1, ce qui enraîne la propriéé de maringale de L comme on l a vu dans le débu de la démonsraion du Théorème de Girsanov le, 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
6 3 Théorème de Girsanov processus L es une maringale locale posiive, donc une surmaringale, don l espérance es consane. Le résula suivan généralise le héorème de Novikov 3.4 pour des coefficien de dérive qui son foncion du Brownien. Il suffi dans ce cas d imposer une resricion sur la croissance du coefficien b, x. Proposiion 3.6 Beneš Soi B un Brownien sandard de dimension d, T > e b :, T] Ω R d une foncion borélienne elle qu il exise une consane K pour laquelle pour ou x R d, Alors si L = exp bs, B sdb s 1 es une F -maringale. sup b, x K1 + x.,t] bs, B s ds, on a EL T = 1 e L, T Démonsraion. Soi N e pour n {,, N}, n = T. Pour ou n {1,, N}, N n bs, B s ds K T ] 1 + sup B s. n 1 N s T Pour oue consane c >, la convexié de la foncion x expc1 + x ] enraîne que Y = exp c1 + B ] es une sous maringale e pour C assez pei el que CT < 1 E P e C1+ B T ] < +. L inégalié de Doob monre alors que ] ] ] E P e C1+sup T B = E P sup e C 1+ B 4 E P e C1+ B T < +. T La proposiion 3.5 perme de conclure en choisissan des insans n els que = n n 1 = C < 1. T Exemple 3.7 Le choix b, x = λx e l égalié B = B sdb s + qui découle immédiaemen de la formule d Iô monren que d après la Proposiion 3.6 le processus es une F B -maringale. exp λ B λ B s ds Le résula suivan généralise le précéden à des coefficiens de dérive qui son foncion d un processus plus général. Il fau par conrôler la resricion sur la croissance e les accroissemens. Proposiion 3.8 Crière de Kazamaki Si le processus θ es une maringale locale elle que le processus e 1 θ es une sous-maringale uniformémen inégrable, alors l exponenielle de Doléans-Dade Z θ = exp θ ] s db s 1 θ s ds es une maringale uniformémen inégrable. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
3.5 Exisence de soluions faibles 61 Proposiion 3.9 Crière de non explosion Soi T >, θ = b, B s où b :, + R R es une foncion elle qu il exise une consane K elle que { b, x b, y K x y, x, y R,, sup T b, K. Alors le processus Z,, T] défini par Z θ = exp bs, B s db s 1 bs, B s ds es une F -maringale. De façon plus générale, le processus Z θ es une F - maringale dès que l EDS dx = db + b, X d, X = a une unique soluion faible sur ou l inervalle, + ce qu on appelle sans explosion. 3.5 Exisence de soluions faibles Le héorème de Girsanov perme de monrer l exisence d une soluion faible à des EDS qui n admeen pas forcémen de soluion fore. C es une généralisaion de la condiion de Novikov qui perme de faire le changemen de probabilié. Proposiion 3.1 Soi B un Brownien sandard à valeurs dans R d, T > e b :, T] Ω R d une foncion borélienne elle qu il exise une consane K pour laquelle pour ou x R d Alors pour ou x R d, l EDS sup b, x K1 + x. 3.4,T] X = x + B + bs, X s ds, T 3.5 adme une soluion faible sur l inervalle, T]. De plus, si Ω i, F i, F i, P i, B i, X i, i = 1, son deux soluions faibles elles que P i T b, Xi d < + = 1, les couples B i, X i on la même loi sur leurs espaces respecifs. Démonsraion. Pour prouver l exisence d une soluion faible, soi Ω, F, F, P un espace filré e un Brownien B pour la filraion F. Les condiions de resricion sur la croissance imposées à b e la Proposiion 3.6 monren que pour ou x R d, le processus d Z = exp b i s, x + B s dbs i 1 bs, x + B s ds, T, i=1 es une vraie maringale sous P. On en dédui que la mesure Q de densié Z T par rappor à P es une probabilié e que le processus W = B bs, x + B s ds, T, es un Brownien sous Q el que W =. Ceci revien à écrire que sous Q, le processus X = x + B saisfai X = x + W + bs, X sds, e que X, W, Q es une soluion faible de 3.5 avec la filraion de dépar. On pourra lire la démonsraion de l unicié dans 7], page 34. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
6 3 Théorème de Girsanov 3.6 Exemples d applicaion à des calculs d espérance Le héorème de Girsanov perme de calculer simplemen les espérances de foncionnelles du Brownien. Nous raierons rois exemples. 1 Pour calculer T E P B exp θ s db s 1 T ] θs ds, pour < T, e où θ es une foncion déerminise qui apparien à L, T], inroduisons la T densié L T = exp θ sdb s 1 T θ s, ds puis la probabilié Q de densié L T par rappor à P sur FT B. Alors, sous P, la propriéé de maringale de L = exp θ sdb s 1 θ sds pour la filraion naurelle du Brownien e le héorème de Girsanov monren que si W = B θ sds, E P B L T = E P B L = E Q B = E Q W + θ s ds = θ s ds. Dans le cas pariculier θ = 1, on en dédui E P B e B = e ce que l on peu bien sûr rerouver en uilisan direcemen la loi de B. avec Reprenons le calcul du call fai dans la secion.6.. Rappelons qu il nous fau calculer ] C, x = E e r T S,x T K+, S,x T = xeσb T B + r σ C, x = E P T. La loi de B T B es égale à celle de B T, donc e r T xe σb T + r σ = E P xe σb T σ T 1 {xe σb T +r σ Ke r T P Inroduisons la densié de probabilié L T = exp T σdb s 1 T xe σb T +r σ ] + T K T >K} T > K. σ ds = exp σb T 1 σ T. Alors si Q désigne la probabilié de densié L T par rappor à P, W s = B s σs es un Fs B -Brownien sous Q. De plus en écrivan B s = W s + σs, on en dédui E P xl T 1 = xq σw xe σb T + r σ T T + r + σ T > lnk/x. >K L aure erme à calculer es similaire, puisqu il s écri Ke rt P σb T + r σ T > lnk/x. ] Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
3.6 Exemples d applicaion à des calculs d espérance 63 On en dédui immédiaemen l expression de C, x rouvée dans la secion.6. à l aide de la foncion de répariion F de la gaussienne cenrée réduie e des réels d 1 e d, C, x = xfd 1 Ke rt Fd, 1 xe rt d 1 = σ ln + 1 ] T K σ T e d = d 1 σ T ; le lien enre d 1 e d es éviden. Remarquons d ailleurs une formule imporane sur la dualié call-pu. Le pu dual de C es défini pour, T] par P, x = E e r T ],x + K S T. Clairemen, ] C, x P, x = e r T,x E S T K = x K e rt. Il es souven plus judicieux de calculer le pu par simulaion en uilisan une méhode de Mone-Carlo car sa variance es inférieure à celle du call, ce qui améliore la précision pour un nombre de simulaions fixé, puis d en déduire le call grâce à la formule de dualié. On pourra rouver direcemen la valeur du pu en appliquan le héorème de Girsanov par une echnique similaire à celle uilisée pour évaluer le call. Dans ce modèle, si on rappore le prix de l acif risqué à l insan à celui de l acif sans risque, c es à dire si on éudie S = e r S = e σb+ b r σ, le Théorème de Girsanov monre que si λ = b r, à chaque insan T > en choisissan la σ probabilié Q de densié L T = exp λb T λ T par rappor à P, le processus W = B + λ, T es une F, T-maringale sous Q e pour T on a S = expσw σ. Ceci enraîne que sous Q, S, T es une F, T-maringale. On di que cee probabilié Q es la probabilié risque neure. 3 Enfin, pour calculer I = E P ΦB T e λ R T ] B s ds, on inrodui pour, T] L = exp λ B s db s λ B s ds. Le crière de de Beneš Proposiion 3.6 ou de non-explosion Proposiion 3.9 appliqué à la foncion bs, x = λx monre que L, T es une F -maringale. De plus, la formule d Iô Exemple 3.7 monre que B sdb s = 1 B, c es à dire que L = exp λ B λ Bs ds. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
64 3 Théorème de Girsanov De plus sous Q, W = B + λ B sds es un Brownien, c es à dire que sous Q, B = W λ B s ds es un processus d Ornsein-Uhlenbeck. D après l exercice., sous Q la variable aléaoire B = e λ eλs db s e sui une donc loi gaussienne N, 1 1 λ e λ. De plus I = E P L T e λ B T T λ ΦB T = E B T T Q ΦB T, e cee dernière inégrale se calcule de façon explicie à l aide de la densié de la gaussienne B T sous Q. 3.7 Théorème de représenaion prévisible Dans oue cee secion, B es un Brownien sandard e F B es sa filraion naurelle compléée. Cee hypohèse es cruciale. Nous ne manipulerons qu une probabilié P e noerons E l espérance sous P. Nous allons vérifier que dans ce cas, oue F B -maringale locale coninue nulle en peu êre écrie comme l inégrale sochasique d un processus de H loc. Monrons ou d abord une propriéé de représenaion des variables aléaoires F T - mesurables de carré inégrable pour P. Nous commençons par monrer un lemme echnique sur une famille de variable aléaoires dense dans L FT B, qui explique commen la mesurabilié par rappor à la ribu FB T uilisée. Lemme 3.11 Pour ou T >, la famille de variables aléaoires {ΨB 1,, B n : < 1 < n T, ψ C } es dense dans L F B T. es Démonsraion. Soi k, k N la suie des élémens de Q, T] e pour ou n 1, soi B n la ribu engendrée par les variables aléaoires B k, 1 k n. La suie B n es une filraion e la ribu B = σb i, i 1 es égale à FT B. De plus, pour ou X L FT B, la suie de variables aléaoires X n = EX B n, n 1 es une maringale qui converge vers X p.s. e dans L. Par définiion de B n, chaque variable aléaoire X n es de la forme g n B 1,, B n, avec une foncion g n borélienne. Enfin, pour ou ǫ >, la variable aléaoire g n B 1,, B n peu êre approchée dans L dp à ǫ près par une variable aléaoire Ψ n B 1,, B n avec une foncion Ψ n de classe C à suppor compac. Théorème 3.1 Soi Z une variable aléaoire FT B -mesurable de carré inégrable. Il exise un unique processus H, T apparenan à H T e el que Z = EZ + T H s db s. 3.6 Démonsraion. L unicié de H vien de l unicié du processus d Iô Z = EZ F B = EZ+ H sdb s pour T qui es une maringale si H H T. Pour prouver l exisence, nous procéderons en rois éapes. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
3.7 Théorème de représenaion prévisible 65 i Noons H = { T H sdb s : H H T }. C es un sous-espace vecoriel de L FT B, ses élémens son d espérance nulle e il es isomérique à l ensemble H T qui es fermé pour la norme L, T] Ω e la mesure dλ dp. H es donc un sous-espace fermé de L FT B. Pour ou Z L FT B, noons T H sdb s la projecion orhogonale de Z EZ sur H. Alors, Z = EZ + T H s db s + Z, où Z es une variable aléaoire de carré inégrable, cenrée e orhogonale à H. ii Monrons que Z es orhogonale à l ensemble { T T 1 E = exp fsdb s fs ds } : f L, T]. Soi f L, T]; alors T fsdb s es une variable aléaoire gaussienne N, T fs ds T e la variable aléaoire X = exp fsdb s 1 T fs ds es une densié de Girsanov d espérance égale à 1 on remarque que la condiion de Novikov es saisfaie. Il suffi de monrer que si X E, X 1 H. Soi X E e pour ou, T], soi ξ = fsdb s 1 fs ds, e M = expξ. Alors, X = M T = expξ T. La formule d Iô monre que la maringale exponenielle M es soluion de l EDS dm = M dξ + 1M f d = M fdb. On en dédui que X = M T = 1 + T M fdb e il rese donc à prouver que M f H T. Le héorème de Fubini enraîne T T E M f d = EM f d = = T T E e R R fsdbs 1 ds]e R 4fs fsds f d e R fs ds f d. Si f = T T fs ds, on en dédui que E M f d f exp f < +. iii Il rese à monrer que oue variable aléaoire Y orhogonale à E es nulle p.s., c es à dire que l espace vecoriel engendré par E es dense dans L FT B. Soi X L FT B el que pour ou Y E, EXY =. Alors, pour oue foncion f ] L T, T], E X exp fsdb s =. Considérons une subdivision = < 1 < < n T e soi f = n j=1 a j1 ]j 1, j ] une foncion éagée. Pour ou choix de la subdivision e des consanes b j = a j a j+1 pour j < n e b n = a n, on en dédui que n ] Φb = E X exp b j B j =, b R n. j=1 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
66 3 Théorème de Girsanov Par prolongemen analyique, on en dédui que Φb = pour ou b C n. Soi Ψ une foncion de classe C à suppor compac e ˆΨ sa ransformée de Fourier définie par ˆΨy = Ψx expix, y]dx. La formule d inversion de Fourier monre alors R n que Ψx = π n ˆΨy exp ix, y]dy. On en dédui en appliquan le héorème de R n Fubini E XΨB 1,, B n ] = π R n ˆΨyE Xωe iy 1B 1 ω+ +y nb n ω] dy n = π n R n ˆΨyΦ iydy =. Le lemme 3.11 ermine la démonsraion. Le héorème suivan es rès imporan en finance. Il perme de rouver des porefeuilles de couverure. Théorème 3.13 Théorème de représenaion des maringales Browniennes Soi B un Brownien sandard, F B sa filraion naurelle, M une F B -maringale locale. Alors il exise x R e θ H loc els que M = x + θ s db s. Si M es une vraie F B -maringale de carré inégrable, alors θ H. Démonsraion. Supposons que M es une maringale de carré inégrable e que M =. Fixons T > ; d après le Théorème 3.1, il exise un processus θ T, T H T el que M T = T θt db p.s. L unicié monre que si T < T, les processus θ T e θ T son égaux d dp-p.p. sur, T] Ω. On peu donc définir presque parou un processus θ en posan H = H T pour T. On en dédui que θ. 1,T]. apparien à H T e que M T = T θ sdb s. Le résula sur les F B -maringales locales es admis; on remarquera que dans ce cas, ces maringales locales son auomaiquemen coninues. Signalons enfin que dans cerains cas, la formule de Clark-Ocone - voir 9] - donne une représenaion explicie du processus θ. 3.8 Exercices Exercice 3.1 Soi B un Brownien de dimension 1, α e β des consanes posiives. On veu calculer I = E αb β B sds. 1. Monrer que le processus défini par L β β β = exp B es une F -maringale sous P. B s ds Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
3.8 Exercices 67. Soi Q la probabilié définie par dq F = L β dp F. Monrer que sous la probabilié Q, B = W β B sds où W es un Brownien. 3. En déduire que I = E Q exp αb + β B. En uilisan l exercice., en déduire que I = 4. En déduire que pour ou λ R, E P exp λ coshβ + αβ sinhβ 1. ] Bsds = cosh 1 λ. Exercice 3. Soi h e H des processus F -adapés de dimension r e B un F - Brownien de dimension r. Noons M = r k=1 hk s dbk s e N = r k=1 Hk s dbk s. On suppose que h saisfai la condiion de Novikov e on noe Q la probabilié de densié exp M 1 M sur F. Monrer que le processus N M, N es une F -maringale sous Q. Exercice 3.3 Soi α, β e γ des consanes réelles. 1. Calculer E ds, puis E e ebs αb ds. eβbs. Soi A, γ = ebs+γs ds. En uilisan le héorème de Girsanov, monrer que le calcul de EA, γ se ramène au cas γ =. Peu-on calculer direcemen EA, γ? Exercice 3.4 Soi B un Brownien de dimension 1, α, β e σ des foncions déerminises bornées de R dans R. On suppose que σ ne s annule pas e on noe b = βsds. On noe enfin r le processus soluion de l EDS dr = σ db + α β r ] d, r R. 1. Monrer que r = e b r + σue bu db u + αue bu du.. Calculer Er e Covr s, r pour s. 3. Soi θs = αs ; on suppose que θ es bornée e on noe σs L = exp θsdb s 1 θs ds. On noe Q 1 la mesure sur F de densié L par rappor à P e W 1 = B θsds. Monrer que r e b, es une F - maringale sous Q 1. 4. Soi Z la soluion de l EDS dz = Z β σ L dw 1 e Z = 1. Noons Q la probabilié sur F de densié Z par rappor à P. Monrer que r es une F -maringale sous Q. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
68 4 Applicaions à la finance 4 Applicaions à la finance Convenions de noaions Soi Ω, F, P un espace probabilisé, B, T un Brownien sandard de dimension k, F, T sa filraion naurelle compléée. 4.1 Modélisaion d un marché financier en emps coninu Reprenons de façon plus générale le modèle décri dans la secion.6.. 4.1.1 Modélisaion d un marché à d acifs risqués e k faceurs On considère un marché financier sur lequel les acifs son négociés en emps coninu. Cerains de ces acifs dis risqués son aléaoires e décris à l aide d un Brownien sandard k-dimensionnel B. Le marché comprend d + 1 acifs de base S i, i d, e de leurs produis dérivés. On suppose qu aucun de ces acifs ne verse de dividende, qu il n y a pas de coû de ransacion, que l on peu acheer e vendre en emps coninu e que les acifs son indéfinimen divisibles leur valeur es un nombre réel. On suppose enfin qu à chaque insan la valeur de l acif i, soi S, i es un processus d Iô consrui à parir de B e à valeurs p.s. sricemen posiives. On noe S = S,, Sd pour ou. Tous les résulas s éendraien au cas de semi-maringales coninues presque sûremen posiives. Exemple 4.1 Modèle de Black & Sholes Par exemple dans le modèle de Black & Sholes de la secion.6., l acif S es sans risque el que ds = rs d e S = 1, c es à dire que S = e r. On dispose aussi d un acif risqué qui es un Brownien géomérique soluion de l EDS ds 1 = σs1 db + bs 1d. On sai que si S1 >, S1 > p.s. pour ou. On verra dans la suie un modèle de Black & Sholes généralisé dans lequel l acif sans risque a un aux d inérê r H1 loc, c es à dire oujours avec S = 1, que S = exp r sds e les d acifs risqués S i, 1 i d son des processus d Iô généraux à valeurs sricemen posiives On appelle alors volailié sochasique de l acif S i à l insan le quoien σj i, 1 j k enre le coefficien de diffusion e le cours Si e on noe de même bi le rappor enre le coefficien de dérive e le cours, c es à dire que pour ou i = 1,, d, ds i = k σjss i sdb i s j + b i sssds. i j=1 Définiion 4. Un numéraire es un acif don le cours es processus d Iô S el que S > p.s. pour ou. On prend l acif S du modèle de Black & Sholes généralisé comme numéraire avec 1 comme unié monéaire à la dae, c es à dire S = 1. A la dae >, on rappore la valeur des acifs à S = exp r sds, ce qui revien à comparer leurs performances à celles de l acif sans risque en les comparan à 1. Un aure acif X vau, dans cee nouvelle «unié» X = X = X S exp r s ds. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
4.1 Modélisaion d un marché financier en emps coninu 69 On dispose égalemen d acifs «coningens» ou «dérivés» don l évoluion des prix dépend de celle des acifs de base S i, i d. Plus précisémen, on se donne à une dae T > appelée «maurié» de l acif sa valeur ζ qui peu dépendre de oues les rajecoires des acifs de base S i, i =,, d, T. La valeur de l acif à l insan T es donc une variable aléaoire F T -mesurable. Pour un call européen dans le cas du modèle de Black & Sholes, on a ζ = ST 1 K+. On cherche à «dupliquer» l acif coningen ζ. On dispose d une somme iniiale qui es à chaque insan réparie enre les divers acifs de base sans adjoncion ni rerai d argen, de elle sore qu à la dae T, la somme des placemens fais sur ces acifs soi égale à ζ. Le bu es de rouver l invesissemen iniial e la façon de réparir à chaque insan la somme don on dispose enre les divers acifs pour qu à la dae T l invesissemen global sur les d + 1 acifs soi ζ. 4.1. Descripion des sraégies Formalisons cee duplicaion par la définiion suivane. Définiion 4.3 Une sraégie es un processus Θ = θs,, θd s, s, T] el que chaque composane θ i soi F -progressivemen mesurable e θi s dsi s exise pour ou i =,, d. Dans le cas du modèle de Black & Sholes à deux acifs à coefficiens consans, puisque les processus S e S 1 son à rajecoires coninues, donc p.s. bornées sur, T], il suffi donc d imposer que les coefficiens θ H1 loc e θ 1 H loc. En effe, dans ce cas les inégrales déerminises θ se rs ds, θ1 sbssds 1 e l inégrale sochasique σθ1 sssdb 1 s seron bien définies. Rappelons les hypohèses faies sur le marché décries dans la secion.6. : Il n y a aucun coû de ransacion pour l acha e la vene de ires. On perme la vene à découver sans limie, c es à dire que les θ i peuven prendre des valeurs négaives e ne son pas minorés. Les acifs son indéfinimen divisibles, c es à dire que l on peu acheer un vendre une proporion arbiraire d un ire; les processus θ i peuven donc prendre oues les valeurs réelles. Le «rading» se fai en emps coninu, c es à dire que l on peu acheer ou vendre à chaque insan réel, T]. La valeur du porefeuille V Θ associé à la sraégie Θ à l insan es V Θ = θ, S = d θs i. i 4.1 Le fai qu on n ajoue ni reire de l argen es modélisé par la définiion suivane : Définiion 4.4 Une sraégie Θ es auofinancée ou le porefeuille V Θ associé es auofinancé si pour ou, T], V Θ = V Θ + d i= θi s dsi s p.s. Les changemens de valeur du porefeuille viennen don uniquemen de la répariion des placemens enre les divers acifs de base e des changemens de valeur de ces acifs. Nous serons amenés dans la suie à changer de numéraire afin que les processus qui modélisen le prix des acifs de base ainsi acualisés aien des propriéés de maringale. Le résula suivan monre que le caracère auofinancé n es pas affecé par un el changemen. i= 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
7 4 Applicaions à la finance Proposiion 4.5 Soi X,, T] un numéraire, Si X le prix à l insan de l acif acualisé après changemen de numéraire. Si la sraégie Θ es auofinancée, le porefeuille acualisé après changemen de numéraire V Θ X rese auofinancé. Démonsraion. Puisque X es un processus d Iô sricemen posiif, Y = 1 es égalemen X un processus d Iô sricemen posiif e la formule d Iô enraîne que pour ou i =,, d, S i d = ds i Y = S i dy + Y ds i + d Si, Y. X Si le processus V Θ es auofinancé, dv Θ en dédui en appliquan de nouveau la formule d Iô d V Θ X = V Θ dy + Y dv Θ + d V Θ, Y = i= = d i= θi ds i p.s. e V Θ es un processus d Iô. On d θ i S i dy + Y θ i dsi + ] d S θi d Si, Y = θ i i d. X i= La noion suivane es égalemen conservée par un changemen de numéraire. Définiion 4.6 Une sraégie Θ es à richesse posiive si elle e auofinancée e si pour ou, T], V Θ p.s. Si on acualise avec comme numéraire l acif non risqué S, les prix acualisés des acifs de base son S = 1, S 1,, S d. Ce son de nouveaux processus d Iô e un porefeuille es auofinancé si e seulemen si après acualisaion dṽ Θ = d θd i S, i, T]. i=1 On en dédui qu un porefeuille auofinancé es enièremen déerminé par sa valeur iniiale V Θ e les quaniés invesies sur les acifs risqués θ i, i = 1,, d,, T]. En effe, d S =, Ṽ Θ = V Θ, Ṽ Θ = V Θ + d i=1 θ i s d S i s e θ peu êre dédui par Ṽ Θ d = θ + θ i S i. Puisque après acualisaion l acif non risqué es consan, c es une maringale riviale. On souhaierai ransformer les aures acifs en maringales. Le chapire précéden a monré que ceci éai possible au prix d un changemen de probabilié qui peu annuler le erme de dérive. 4.1.3 Absence d opporunié d arbirage - Mesure maringale équivalene Ceci amène à la définiion suivane de sraégie admissible. Définiion 4.7 i On appelle mesure maringale équivalene une probabilié Q équivalene à P elle que sous Q les prix acualisés S i, i = 1,, d son des F -maringales. Plus précisémen, on suppose qu il exise un Brownien W sous Q el que d S i = k j=1 Hi j dw j. ii Soi Q une mesure maringale équivalene. On di que la sraégie Θ es Q-admissible si elle es auofinancée e si Ṽ Θ, T es une F, T maringale sous Q. i=1 Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
4.1 Modélisaion d un marché financier en emps coninu 71 La noion suivane es fondamenale; elle radui que le marché foncionne correcemen e qu il n y a pas de «free lunch», c es à dire de moyen de gagner une somme sricemen posiive à l insan T en n ayan rien invesi au dépar. C es la noion inverse possibilié de «free lunch» qui es décrie dans la définiion suivane : Définiion 4.8 Opporunié d arbirage Une sraégie auofinancée Θ es appelée possibilié d arbirage si i V Θ = e VT Θ p.s. ii PVT Θ > >. Un marché sain doi avoir la propriéé d absence d opporunié d arbirage, noée AOA. Deux probabiliés équivalenes ayan les mêmes ensembles négligeables, dans la définiion d opporunié d arbirage, on peu remplacer P par une mesure maringale équivalene Q. Le résula suivan monre que l exisence d une mesure maringale équivalene Q exclu l opporunié d arbirage quand on se resrein aux sraégies Q-admissibles ou bien à richesse posiive. Dans le cas du modèle de Black & Sholes nous verrons qu il y a équivalence enre cee dernière propriéé e AOA. Théorème 4.9 S il exise une mesure maringale équivalene Q, alors : i il y a absence d opporunié d arbirage parmi les sraégies Θ qui son Q-admissibles. ii il y a absence d opporunié d arbirage parmi les sraégies Θ à richesse posiive. Démonsraion. i Soi Θ une sraégie admissible. Alors V Θ = Ṽ Θ = E Q Ṽ T Θ F = E Q Ṽ T Θ Θ. Si ṼT, Q p.s. e si PVT Θ Θ Θ > >, on en dédui que PṼT > >, puis que QṼT > > puisque P e Q son équivalenes. On a donc E Q Ṽ T Θ Θ >, ce qui exclu V =. ii Soi Θ une sraégie à richesse posiive; si on noe d S i = k j=1 Hi j dw j pour, T], où W, T es un Q Brownien sandard de dimension k, alors pour ou, T], dṽ Θ = d k i=1 j=1 θi Hi j dw j Q p.s. On en dédui que Ṽ Θ es une F - maringale locale posiive sous Q; c es donc une surmaringale cf. Exercice 1.4 i. On a donc pour ou, T], E Q Ṽ Θ F Ṽ Θ = V Θ Q p.s. Donc si Θ es une possibilié d arbirage, E Q Ṽ T Θ Θ. D aure par, puisque ṼT P p.s., donc Q p.s puisque P e Q son équivalenes, on en dédui Ṽ T Θ = Q p.s., donc P p.s., ce qui fourni une conradicion. Il fau prendre garde à une difficulé propre au emps coninu : l exisence d une mesure maringale équivalene n enraîne pas l absence d opporunié d arbirage sans resricion sur les sraégies. En effe, si Z es une variable aléaoire FT B -mesurable de carré inégrable cenrée non ideniquemen nulle, le héorème 3.1 monre qu il exise H H T sous Q elle que Z = T H dw s. On peu en déduire dans le modèle de Black & Sholes une sraégie auofinancée Θ = θ,θ 1 elle que Ṽ Θ = e Ṽ T Θ = Z. 4.1.4 Probabilié risque neure Dans oue cee secion, on suppose qu il exise une mesure maringale Q équivalene à P. Définiion 4.1 On di qu un acif donné par sa valeur à l insan erminal T par une variable aléaoire F T -mesurable ζ es Q-duplicable s il exise une sraégie Θ Q-admissible 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
7 4 Applicaions à la finance elle que ζ es la valeur erminale du porefeuille associé, c es à dire si ζ = VT Θ Q presque sûremen. On di alors que la sraégie Θ duplique l acif à l insan T, ou es «duplicane». Ceci veu dire inuiivemen que le porefeuille duplique l acif «dans ous les éas du monde» c es à dire pour P ou Q presque ou ω. On monrera à ire d exercice que si un acif es duplicable à l insan T il le rese après changemen de numéraire avec la même sraégie. Le résula suivan monre que la valeur du porefeuille à ou insan T es indépendane de la sraégie duplicane mais peu dépendre de Q. Théorème 4.11 Soi T >, ζ un acif dérivé une variable aléaoire F T -mesurable Q- duplicable. Alors si Θ es une sraégie duplicane e V Θ le porefeuille associé, pour ou insan, T], V Θ = S E Q Ṽ T Θ F T Q ou P p.s. es indépendan de la sraégie duplicane. On l appelle le prix de l opion à l insan. Démonsraion. Pour ou, T], Ṽ Θ V Θ = E Q Ṽ T Θ F, c es à dire que Q p.s. F, = S E Q ζ S T es indépendan de la sraégie Θ. De façon évidene, si une sraégie Q-admissible Θ duplique un acif ζ, elle es à richesse posiive. Cependan, une sraégie à richesse posiive ne déermine pas de façon unique le prix du produi dérivé. En effe Harrison e Pliska on monré qu il exise une sraégie Φ à richesse posiive elle que V Φ = 1 e VT Φ = ; cee sraégie es parfois appelés sraégie suicide. Clairemen, si Θ es une sraégie qui duplique ζ, Θ + Φ duplique égalemen ζ. En revenan au modèle de Black & Sholes, nous avons vu à la fin du chapire précéden que si λ = b r, la probabilié Q de densié exp λb σ T λ T par rappor à P elle que sous Q S = e r S, es une Q-maringale e le calcul précéden monre que sous Q, si ζ es une variable aléaoire F T -mesurable, V Θ = e rt E Q ζ F = e r E Q e rt ξ F. Sous Q, l acualisaion de l espérance condiionnelle E Q ζ F se fai à l aide du faceur exponeniel exp rt, c es à dire avec le coefficien d acualisaion r. Les coefficiens de la diffusion S on disparu de cee formule, comme si les invesisseurs éaien neures par rappor au risque. On appelle Q la probabilié risque neure. La probabilié P de dépar es appelée probabilié «réelle», «hisorique» ou «objecive». Le problème qui subsise es la possibilié de dupliquer un acif. Définiion 4.1 i On di que le marché es comple si ou acif es duplicable. ii Soi Q une mesure maringale équivalene. On di que le marché es Q-comple si pour oue variable aléaoire F T -mesurable ζ elle que ζ L 1 Q, l acif de valeur erminale ST ζ es Q-duplicable. Remarquons que par absence d opporunié d arbirage, on a naurellemen unicié de la mesure maringale équivalene Q elle que le marché es Q-comple. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
4. Modèle de Black & Sholes généralisé 73 Théorème 4.13 Supposons que le marché es comple. Noons Q 1 e Q son deux maringales mesures équivalenes elles que le marché soi Q i -comple, i = 1,. Alors on a Q 1 FT = Q FT. Démonsraion. Soi A F T. Alors 1 A L 1 Q e ST 1 A es F T -mesurable; c es la valeur erminale d une sraégie Q i -admissible Θ i, i = 1,. On en dédui S V Θi = Ṽ Θi = E Qi Ṽ T Θi = E T 1 A Q i = Q ST i A. D après le Théorème 4.11, la valeur du porefeuille duplican es indépendane de la sraégie; à l insan ceci radui une absence d opporunié d arbirage. On en dédui que V Θ1 = V Θ, e donc Q 1 A = Q A. 4. Modèle de Black & Sholes généralisé Nous généralisons ou d abord le modèle de Black & Sholes à un seul acif risqué que nous avons décri dans les chapires précédens e monrons que dans ce cas plus général il exise égalemen une mesure maringale équivalene Q dès qu il y a absence d opporunié d arbirage. De plus, nous donnons des condiions suffisanes pour que le marché soi Q-comple e calculerons la sraégie de couverure d une opion, c es à dire la sraégie duplicane Θ e la valeur de l opion à chaque insan. Soi r un processus dans H1 loc e S = exp r sds. On dispose d aure par de d acifs risqués S i, i = 1,, d qui son des processus d Iô de la forme k S i = Si + σj i ssi s dbk s + b i ss i sds, 4. j=1 où B es un Brownien sandard de dimension k, les processus σj is, s T e bi s, s T son progressivemen mesurables e els qu il exise une consane M > elle que sup T σ + b M. Alors d après l exercice.4 pour ou i = 1,, d, S i = exp σ i sdb s + b i s 1 σi s ds 4.3 k := exp σj i sdbj s + b i s 1 k σj ]ds i s. j=1 De plus, l équaion 4.3 es aussi vérifiée si les S i son des processus d Iô donc coninus els que ds i = k j=1 Hi k sdbk s +Hsds i e els que si on noe σk i = Hi k pour i = 1,, d S i e b i = Hi, T S i σs + bs ds < + p.s. 4..1 Absence d opporunié d arbirage e changemen de probabilié - Prime de risque Nous avons vu dans la secion précédene que l exisence d une mesure maringale équivalene Q enraîne l absence d opporunié d arbirage parmi les sraégies à richesse posiive. Monrons la réciproque dans ce modèle. j=1 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
74 4 Applicaions à la finance Supposons qu il y a absence d opporunié d arbirage parmi les sraégies à richesse posiive. Plaçons-nous d abord dans le cas pariculier k = 1 e d = afin de dégager la noion de prime de risque aachée à un faceur. Dans ce cas, un porefeuille auofinancé es enièremen déerminé par sa valeur iniiale V Θ e les quaniés θ i, i {1, },, T] invesies à chaque insan sur les deux acifs risqués. Pour ou, T], noons θ 1 = σ S e θ = σ 1S1. La coninuié de Si e les propriéés de σ i monren que les inégrales θi s dsi s son bien définies e θ1, θ es donc une sraégie auofinancée. Pour ou, T], S = exp r sds, e d S i = d e R rsds S i = σ i S i db + b i r S i d, ce qui enraîne grâce à la simplificaion des coefficiens de db dṽ Θ = σ S d S 1 σ1 S1 d S = e R rsds S 1 S σ b1 r σ 1 b r ]d. Ce porefeuille es donc sans risque e l absence d opporunié d arbirage monre que son rendemen es égal à r, c es à dire nul quand les prix son acualisés par changemen de numéraire. En effe, noons φ = e R rsds S 1S σ b1 r σ 1b r ], e supposons qu il exise un ensemble A, T] Ω el que dλ PA > e φω sur A. Noons s le signe de φ lorsque φ e posons pour i = 1,, Alors la sraégie Ψ = ψ 1, ψ es elle que ψ i = sθ i sur A e ψ i = sur A c. dṽ Ψ = φ d sura, dṽ Ψ = sura c. La sraégie Ψ es une opporunié d arbirage e on en dédui donc que b1 r σ 1 = b r. σ Ce quoien noé λ sera appelé prix du marché du risque B à la dae. Il quanifie l arbirage qui es fai à l insan enre de rendemen e le risque dans la consiuion du porefeuille. Revenons au modèle général. Pour ou, T], la marice σ défini une applicaion linéaire aussi noée σ : R k R d de marice σ dans la base canonique, c es à dire elle que pour ou x = x 1,, x k R k e ou i = 1,, d, σx i = k j=1 σi jx j. On cherche un veceur λ = λ 1,, λ k el que pour ou i = 1,, d, b i r = k j=1 σi jλ k, c es à dire que λ j es la prime de risque du Brownien B j à l insan. En idenifian un veceur de R k à la marice colonne de ses composanes dans la base canonique, e en noan 1 = 1,, 1 R d, ceci revien à résoudre l équaion b r 1 = σλ. Le héorème suivan monre l exisence du veceur des primes de risque de marché λ. Théorème 4.14 Supposons qu il y a absence d opporunié d arbirage parmi les sraégies à richesse posiive. Alors il exise λ :, T] Ω R k progressivemen mesurable el que pour ou, T], b r 1 = σλ. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
4. Modèle de Black & Sholes généralisé 75 Démonsraion. Monrons que le veceur b r 1 Im σ. Nous admerons alors que le choix de λ peu êre fai de façon progressivemen mesurable. Ceci revien à prouver que b r 1 es orhogonal à ou veceur du noyau de l applicaion linéaire adjoine de σ : R k R d noée σ : R d R k, définie pour ou y R k e ou z R d, σy, z R d = y, σ z R k e associée à la marice ransposée de σ. En effe, Imσ = Ker σ. L inclusion Im σ Ker σ es évidene par la définiion de l adjoin : pour ou y R k e ou z Ker σ R d, σy, z R d = y, σ z R k =. De plus les relaions classiques enre dimension des noyau, image des applicaions linéaires e de l orhogonal d un sous-espace vecoriel monren que dim Im σ k dim Ker σ = dim Im σ. En échangean les rôles de σ e de σ = σ, on en dédui que dim Im σ dim Im σ, d où dim Im σ = dim Im σ = dim Kerσ, soi Im σ = Ker σ d après l inclusion précédene. Puisque les prix des acifs de base son sricemen posiifs, pour ou veceur x R d le processus Θ : Ω, T] R d défini pour i = 1,, d par θ i = xi perme de consruie une S i sraégie auofinancée. En effe la condiion d auofinancemen perme d en déduire θ e les condiions d exisence des inégrales θi s dsi s son bien saisfaies. On a donc x = ΘS, où on défini le veceur ΘS par ΘS i = θs i. i Supposons qu il exise un ensemble A, T] Ω el que d dpa > e pour ou, ω A, σ ΘS = e ΘS, b r 1. On consrui alors une nouvelle sraégie auofinancée Φ e posan Φ = sur A c, Φ = s Θ où s = signe ΘS b r 1 ] sur A. Pour presque ou, ω A, pour ou j, d i=1 θi Si σi j = e dṽ Φ = e R k d rsds s j=1 i=1 d = S i θb i i r d, i=1 θs i σ i j i db j + d i=1 e R rsds θ i s S i b i r d andis que dṽ Φ = presque parou sur A c. On en dédui une sraégie non risquée elle que sur un ensemble de probabilié non nulle, T dṽ Φ s ds >, ce qui revien à dire que Φ es une opporunié d arbirage. Puisque il y a absence d opporunié d arbirage, ou veceur x de R d que l on peu écrire x = ΘS, du noyau de σ es orhogonal à b r 1. On en dédui que le veceur b r 1 apparien à l orhogonal du noyau de σ, c es à dire à l image de σ. Le héorème suivan monre enfin que si le veceur de primes de risque λ a des propriéés supplémenaires, il exise une mesure maringale équivalene décrie expliciemen à l aide de λ. Ceci généralise ce qui a éé observé dans le modèle de Black & Sholes. En effe dans ce cas la prime de risque λ es elle que σλ = b r, c es à dire que λ = b r σ neure Q a éé consruie à parir de la maringale exponenielle L = exp e la probabilié risque λb. λ Théorème 4.15 Supposons qu il exise un veceur de prime de risque λ :, T] Ω R k, c es à dire un processus progressivemen mesurable el que b r 1 = σλ e que : 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
76 4 Applicaions à la finance i λ H locrk. ii Pour ou, T], si on pose L = exp λ sdb s 1 λ s ds on a EL T = 1 e pour ou i = 1,, d, E P L T e R T R T σi s dbs+λsds 1 σi s ds < +. Alors la probabilié Q définie par dq FT = L T dp FT es une mesure maringale équivalene à P, c es à dire que les prix acualisés S i son des F -maringales sous Q. Remarque 4.16 Les hypohèses de convergence des inégrales de la condiion ii son saisfaies dès que les processus λ e σ i son bornés, ou bien plus généralemen si E P e 1 R T λs + σ i s ds] < +. En effe, dans ce cas les deux maringales locales son des maringales exponenielles. Démonsraion. Il suffi d appliquer le héorème de Girsanov. La probabilié Q es équivalene à P e le processus défini pour j = 1,, k e, T] par es une Q-maringale; de plus sous Q, W j = B j + λ j s ds d S i = S i σi db + S i bi r ]d = S i σi dw. De plus la seconde condiion d inégrabilié monre que la condiion de Novikov Théorème 3.4 es saisfaie e assure que le processus exp σi s dw s 1 σi s ds,, T] es une Q-maringale; ceci ermine la démonsraion grâce à la forme explicie de S i sous Q à l aide de W monrée dans l exercice.4. 4.. Compléude du marché On se place sous les hypohèses du Théorème 4.15 : on noe Q la probabilié de densié L T par rappor à P, elle que sous Q les processus S i, T son des F, T-maringales. Soi ζ une variable aléaoire F T -mesurable Q inégrable après changemen de numéraire. On veu monrer que l acif de valeur erminale ζ es duplicable. Ceci nécessie une hypohèse de «rang» sur la marice de diffusion σ. Rappelons que pour ou, la marice σ es associée à une applicaion linéaire de R k dans R d d adjoine σ : R d R k don la marice dans les bases canoniques es la ransposée σ de la marice de diffusion σ. L applicaion linéaire σ es surjecive si e seulemen si le rang de cee marice qui es aussi celui de la marice σ es égal à k. Théorème 4.17 Soi Q la mesure maringale équivalene du Théorème 4.15. Le marché es Q-comple si e seulemen si pour ou, T], le rang de σ es Q ou P presque sûremen égal à k. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
4. Modèle de Black & Sholes généralisé 77 Démonsraion. Soi ζ une variable aléaoire F T -mesurable elle que ζ L 1 Q. On veu ST rouver une sraégie auofinancée Q-admissible Θ elle que VT Θ = ζ. D après la secion précédene, si une elle sraégie exise, on a sous Q pour ou, T], d après la propriéé de Q-maringale e d auofinancemen : Ṽ Θ ζ = E Q F ST = V Θ + d i=1 θ i s S i sσ i sdw s. Le processus M = E ζ Q ST F es une F W -maringale sous Q. Le processus λ n éan pas déerminise, la filraion F W es incluse dans F B, sans lui êre égale. D après le Lemme 3.1 le produi L M es une F B, T-maringale locale sous P. Le héorème de représenaion Théorème 3.13 enraîne l exisence d un unique processus H H loc pour la filraion F B el que sous P, M L = M + H sdb s, c es à dire que Puisque L 1 sous Q, dm L = H dw H λ d = H dw λ d. = exp λ sdw s 1 λ s ds, sous Q, La formule d Iô monre alors que sous Q : dm = dml L 1 ] dl 1 = λ L 1 dw. = H L 1 dw λ d + M L λ L 1 dw + d ML, L 1 = M λ + H ] dw. L Si on noe K = M λ + H L, on en dédui un processus K progressivemen mesurable el que sous Q, M = M + K sdw s. Il rese enfin par idenificaion de la décomposiion de M comme processus d Iô à rouver θ, i i = 1,, d els que pour ou, T] e ou j = 1,, k, K j = d i=1 θi S iσi j. Sous forme maricielle, cela revien à rouver le veceur θ i, 1 i d el que θ 1 S 1 σ1 1 σ σd 1 θ 1 S 1 K 1. =.... =.. θ d S d σk 1 σd k θ d S d K k Si le marché es Q-comple, cee équaion doi êre résolue Q p.s. pour ous les seconds membres K avec assez d inégrabilié e de mesurabilié, ce qui enraîne que la marice σ doi êre de rang k p.s., e que σ doi aussi êre de rang k Q p.s. Réciproquemen, si σ es Q p.s. de rang k, alors σ es Q p.s. surjecive e l équaion adme Q p.s. une soluion θ i, i = 1,, d. Pour saisfaire l auofinancemen après acualisaion, on en dédui θ = M d i=1 θi S i Q p.s. La sraégie Θ = θi, i d es donc auofinancée, de valeur Ṽ Θ égale à M à l insan. Puisque Ṽ Θ, T es une F B Θ -maringale sous Q, la sraégie Θ es admissible e puisque Q p.s. VT = M TST = E Q ζ F T = ζ, elle duplique ζ. Remarquons que l absence d opporunié d arbirage e l exisence de primes de risque λ donnen l exisence d une mesure maringale équivalene Q par le héorème de Girsanov 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
78 4 Applicaions à la finance e la Q-compléude du marché sous des condiions sur le rang de σ. Le héorème 4.13 monre alors l unicié de la mesure maringale équivalene. La condiion imposan à σ d êre de rang k monre qu on doi avoir d k, c es à dire qu il y ai assez d acifs pour dupliquer les k sources d aléa B j, 1 j k. Remarquons enfin que si k = d e si pour presque ou, ω, T] Ω σ es inversible, on a, λ = σ 1 b r 1]. Donc, si la marice σ, ω es presque sûremen bornée e si σσ es sricemen ellipique, c es à dire qu il exise des consanes < m < M elles que pour ou y R k, m y y σσ y M y, e si les coefficiens b i son bornés presque parou, les condiions du Théorème 4.15 son saisfaies. Dès que le marché es comple e qu il y a absence d opporunié d arbirage, le prix de ou acif dérivé es déerminé de façon unique; ce acif es redondan e son prix es indépendan de l aiude des invesisseurs à l égard du risque. 4..3 Calcul du porefeuille de couverure dans le modèle de Black & Sholes Rappelons que dans ce modèle on dispose d un acif sans risque S = expr de aux consan r > e d un acif risqué S modélisé par un Brownien géomérique S = S e σb+ b σ, soluion de l EDS linéaire ds = S σdb + bd où B es un Brownien sandard unidimensionnel e σ >. On noe F la ribu naurelle de B. En collecan les calculs fais précédemmen e les résulas généraux monrés sur les marchés financiers, nous avons les propriéés suivanes : Après changemen de numéraire, si S = S e r, on a d S = σ S + S b rd. Si on noe e Q la probabilié de densié L T = exp λb T λ par rappor à P sur F T, le λ = b r σ processus W = B + λ, T es une F, T-maringale sous Q elle que d S = σ S dw. La probabilié Q es donc une mesure maringale équivalene, e sous Q, le processus S es la maringale exponenielle S = S exp σw σ. 4.4 Il y a donc absence d opporunié d arbirage parmi les sraégies à richesse posiive. Puisque σ >, le marché es comple e la mesure maringale Q es unique. De plus, pour ou ζ F T el que Z L 1 Q, le prix acualisé à l insan de l acif versan la somme ζ à l insan erminal T es e rt E Q ζ F. La probabilié Q es la probabilié risque neure. On sai qu il es possible à chaque insan de rouver un porefeuille auofinancé d acifs de base l acif non risqué S e le sous-jacen S qui à chaque insan, T] a le même prix que l opion. Le vendeur de l opion doi consiuer ce porefeuille appelé porefeuille de couverure de l opion. A l insan erminal, ce porefeuille vaudra exacemen ζ, la somme que le vendeur s es engagé à payer. Le porefeuille es héoriquemen ajusé à chaque insan, sans enir compe des variaions du cours du sous-jacen S. Il correspond à des ransacions faies en coninu e sans frais, adjoncion ni rerai d argen. La quanié d acif risqué dans le porefeuille de couverure es appelé le Dela. En réalié, les ransacions son discrèes e les coûs de ransacion limien le nombre d ajusemens appelés «hedges». Le vendeur prend donc concrèemen un risque. Plus il fai de hedges, plus son porefeuille es proche de l opion, mais plus il paye de coûs de ransacion. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
4. Modèle de Black & Sholes généralisé 79 Évaluaion de couverure versan la somme hs T à l insan T Cee opion ne dépend que de la valeur erminale c es le cas d un call ou d un pu mais pas de oue la rajecoire S,, T]. Si hs T es Q-inégrable, l acif es duplicable par une sraégie Q-admissible. Si W = B + λ, W,, T] es un Brownien sous Q e l équaion 4.4 monre que le prix de l opion à l insan es E Q e rt hs T F avec ST = S exp σw T W + ] r σ T. La variable aléaoire S es F -mesurable e W T W es indépendane de F. La propriéé de Markov monre que ce prix s écri V, S où V, x = E Q e rt h xe σy + r σ ] T où Y N, T. On a monré dans la secion.6. que la foncion V, x es soluion de l équaion de Feynman-Kac { V, x + L V, x = rv, x,, x, T] R, V T, x = hx où L f, x = rx f σ, x + x x f, x. x Le prix en es V, S = E Q e rt h S e σn,t+ r σ ] T. Il rese à calculer le porefeuille de couverure, c es à dire les quaniés θ d acif sans risque e = θ 1 d acif risqué qui consiuen à l insan la sraégie auofinancée Θ qui duplique l opion. Ce porefeuille es enièremen déerminé par le prix de l opion à l insan valeur iniiale du porefeuille e le, c es à dire le processus. Nous avons vu dans la secion.6. que l unicié de la décomposiion d un processus d Iô e la condiion d auofinancemen enraînen que = V x, S. 4.5 On voi que l EDP parabolique saisfaie par V, x ne dépend pas de b. Le dela mesure la sensibilié du prix de l opion aux variaions du cours du sous-jacen S ; c es la par du porefeuille invesi sur l acif risqué. Cee couverure es réajusée en emps discre. Si varie beaucoup, on doi modifier souven la composiion du porefeuille e la sensibilié du dela au cours du sous-jacen es mesurée par le «gamma» défini par Γ = V x, S. 4.6 Calcul du dela Supposons que h C es à croissance polynomiale ainsi que ses dérivées d ordre 1 e. Nous ne ferons les calculs explicies qu à l insan. Les formules à l insan son similaires en remplaçan T par T e S par S. Noons fx, ω = e rt h xe σw T +r σ T. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
8 4 Applicaions à la finance On a V, x = E Q fx, ω. Pour calculer, il suffi d inerverir la dérivaion par rappor à x e l espérance sous Q. D après les résulas classiques de héorie de la mesure, il suffi que pour Q-presque ou ω, l applicaion x fx, ω soi de classe C 1, e qu il exise une variable aléaoire g L 1 Q elle que pour ou x e ou x dans un voisinage de x, f x, ω x gω pour Q presque ou ω. Puisque h es à croissance polynomiale, si x rese borné, on majore bien f x x, ω = eσw T σ T h xe σw T + hr σ par une variable aléaoire inégrable indépendane de x dans une boule donnée. On en dédui donc = V x, S = E Q e σw T σ T h S T. Un calcul similaire donne = V x, S = E Q e σw T σ T h S T. Si h es de signe consan c es à dire h es monoone, le signe de es celui de h. Un nouveau changemen de probabilié perme de rouver une expression légèremen plus simple du dela. Soi Q la probabilié de densié expσw T σ T par rappor à Q. Alors le processus défini par W = W σ pour T es un F B, T-Brownien sous Q. De plus = E Q h S e σ W T +r+ σ T]. i T Calcul du gamma Un raisonnemen similaire perme de dériver de nouveau sous le signe somme, ce qui donne Γ = V x, S = E Q e σw T σ T h S T. Le second changemen de probabilié monre que Γ = E Q Lorsque h es convexe, le gamma es donc posiif. h S e σ W T +r+ σ T]. Prix d un call de maurié T e d exercice K On applique les résulas précédens au cas où hx = x K +. Sous la probabilié Q, S es soluion de l EDS d S = σ S dw + r σ d. Les calculs de la valeur du call on éé fais dans la secion.6.. La formule.38 monre que valeur du call à l insan es donné par.38. Pour ou x > la formule.39 monre que si Fa = 1 a x e π dx, C, x = E Q e rt S T K + = S Fd 1 Ke rt Fd, où d 1 = 1 σ T ln S + K d = d 1 σ T = 1 σ T r + σ S ln K ] T + ] r σ T. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
4. Modèle de Black & Sholes généralisé 81 En remplaçan S par S e T par T, on vérifiera en exercice que l on peu récrire l équaion.39 sous la forme C, x = S Fd 1, S Ke rt Fd, avec d 1, y = 1 σ T y ln + K d, y = d 1, y σ T = 1 σ T ] r + σ T, y ln + K r σ ] T. La foncion hy = y K + es dérivable en ou y K e l ensemble des ω els que xe σw T +r σ T ω = K es négligeable. De plus, dy-presque parou h y = 1 ]K,+ y. Le raisonnemen précéden de dérivaion sous l inégrale par rappor à Q monre qu en uilisan la probabilié Q = E Q 1 ]K,+ S e σ W T +r+ σ T], c es à dire, puisque W es un Brownien sous Q, ] = Q σ W S T ln r K + + σ T = Fd 1, S. Un calcul similaire monre que = Fd 1, S, c es à dire que la forme du prix fourni la composiion du porefeuille de couverure : 4..4 Volailié C = S + θ e r, où θ = Ke rt Fd, S. Les formules précédenes du prix e du dela dépenden d un paramère du sous-jacen S qui n es pas direcemen observable : sa volailié σ. Le coefficien de dérive b a en effe disparu des formules de C e. On dispose classiquemen de deux façons d esimer σ. Volailié hisorique On cherche à esimer σ à parir des observaions passées du cours. On regarde les données S ih, i n à des insans muliples d un inervalle de emps de S base par exemple un jour. Pour ou i = 1,, n, les variables aléaoires X i = ln ih S ] i 1h son indépendanes de même loi gaussienne N b σ h, σ h. L esimaeur classique de la variance d un n-échanillon don on ignore l espérance donne l esimaeur suivan, qui es un esimaeur sans biais de σ 1 car n h σ i=1 X i X n es un χ n 1 : 1 h n 1 n X i X n où X n = 1 n i=1 n X i. i=1 Souven on prend une aille d échanillon qui correspond au emps de vie qui rese pour l opion. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
8 4 Applicaions à la finance Volailié implicie On observe que le prix du call es une foncion coninue sricemen croissane de σ. En observan les prix de pus e calls sur le marché avec diverses daes de maurié e diverses valeurs de l exercice K, on recherche σ en inversan la formule. Concrèemen, il y a de nombreux acifs qui donnen des volailiés différenes. La variaion de K donne une forme de «smile», c es à dire que les opions sur de «peies» ou «grandes» valeurs de K son plus chères e on une volailié implicie plus élevée. Deux faceurs expliquen en parie ce phénomène : d une par le modèle n es pas perinen surou dans l aspec d une volailié consane e il n y a que peu de ransacions sur des opions don les prix d exercice son exrêmes. Les raders raisonnen plus en ermes de volailié e de smile de volailié, e se serven du modèle de Black & Sholes comme d une raducion enre prix e volailié implicie. Les modèles qui permeen de prendre en compe les smile de volailié son ceux où la volailié σ es sochasique e dépend du emps. Un modèle à volailié non consane mais déerminise ne suffi pas. Divers modèles son uilisés : Modèle de Hull & Whie On dispose de deux Browniens indépendans B e W. Le cours du sous-jacen S es modélisé par l EDS dirigée par B de coefficien de diffusion σ S e de coefficien de dérive b S. La volailié σ es aléaoire e son carré V es soluion d une EDS linéaire dirigée par W de coefficien de diffusion s V e de dérive m V, ce qui condui au sysème { ds = S σ db + b d, dv = V s dw + m d, où V = σ. Dans ce cas, le prix du call peu êre exprimé en foncion de celui du modèle de Black & Sholes. Modèle de Dupire La volailié es une foncion σ, S avec < α σ, S β. Il y a exisence e unicié de la soluion de l EDS, mais pas de formule explicie. Modèles à saus De nombreux modèles récens fon appel à des équaions différenielles sochasiques dirigées par un processus de Lévy à la place du Brownien B afin de rendre compe des disconinuiés des rajecoires du prix des acifs en foncion du emps. Ces modèles ne seron pas abordés ici. 4.3 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross Une classe imporane de modèles sochasiques plus récens que le modèle de Black & Sholes uilisés en finance es liée au processus de Bessel. 4.3.1 Processus de Bessel généraux Nous avons inrodui des processus de Bessel dans le Chapire. Nous allons mainenan définir les processus de Bessel généraux. Soi B un mouvemen Brownien. En uilisan l inégalié x y x y, le héorème de Yamada-Waanabe. monre que pour δ e α, l équaion dz = δ d + Z db, Z = α, a une unique soluion fore. Cee soluion es un processus de Bessel carré de dimension δ, que l on désigne par BESQ δ. En pariculier, si α = e δ =, la soluion Z es l unique Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
4.3 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross 83 soluion. En uilisan le héorème de comparaison.19, si δ δ e si ρ e ρ son des processus de Bessel carré de dimension δ e δ paran du même poin, alors ρ ρ p.s. Dans le cas δ >, le processus de Bessel carré BESQ δ paran de α n aein jamais. Si < δ <, le processus ρ aein en un emps fini. Si δ = le processus rese en dès qu il aein ce poin. Définiion 4.18 BESQ δ Pour ou δ e α, l unique soluion fore de l EDS ρ = α + δ + ρs db s es un processus de Bessel carré de dimension δ, paran de α e es noé BESQ δ. Définiion 4.19 BES δ Soi ρ un BESQ δ paran de α. Le processus R = ρ es un processus de Bessel de dimension δ, paran de a = α e es noé BES δ. Définiion 4. Le nombre ν = δ/ 1 soi δ = ν + 1 es l indice du processus de Bessel e un processus de Bessel d indice ν es noé BES ν. En appliquan la formule d Iô, on voi que pour α > e δ >, un BES δ es soluion de R = α + B + δ 1 Les foncions de Bessel modifiées I ν e K ν soluions de son données par : x u x + xu x x + ν ux = I ν z = z ν n= K ν z = πi νz I ν z. sin πz 1 R s ds. 4.7 z n n n! Γν + n + 1 Les probabiliés de ransiion q ν d un BESQ ν son q ν x, y = 1 y ν/ exp x x + y xy I ν 4.8 e le processus de Bessel d indice ν a une probabilié de ransiion p ν p ν x, y = y y x ν exp x + y donnée par xy I ν, 4.9 Les processus de Bessel son uilisés dans le modèle suivan de Cox-Ingersoll-Ross. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
84 4 Applicaions à la finance 4.3. Modèle de Cox-Ingersoll-Ross Pour modéliser des aux, Cox-Ingersoll-Ross éudien l équaion suivane dr = kθ r d + σ r db 4.1 Le héorème d exisence de Yamada-Waanabe Théorème. monre que 4.1 a une unique soluion; c es un processus posiif pour kθ, mais il n es pas possible d en obenir une formule explicie. Soi r x le processus soluion de 4.1 avec r x = x. Le changemen de emps A = σ /4 rédui l éude de 4.1 au cas σ =. En effe, si Z = r σ /4, alors dz = k θ Z d + Z db, avec k = kσ /4 e où B es un mouvemen Brownien. Le processus de CIR soluion de l équaion 4.1 es un BESQ changé de emps : en effe, σ r = e k ρ 4k ek 1, où ρs, s es un BESQ δ α, avec δ = 4kθ. σ On peu monrer que, si T x := inf{ : rx = } e kθ σ alors PT x = = 1. Si kθ < σ e k > alors PT x < = 1 e si k < on a PT x < ], 1. Cela se fai au moyen du héorème de comparaison Cependan, on peu calculer l espérance de la v.a. r au moyen de l égalié Er = r + kθ Er s ds, en admean que l inégrale sochasique es une maringale, ce qui es le cas. On calcule sans difficulés supplémenaires l espérance condiionnelle, en uilisan le caracère Markovien : Théorème 4.1 Soi r le processus vérifian dr = kθ r d + σ r db. L espérance condiionnelle e la variance condiionnelle son données par Er F s = r s e k s + θ1 e k s, Varr F s = r s σ e k s e k s k Démonsraion. Par définiion, on a pour s r = r s + k e en appliquan la formule d Iô s θ r u du + σ r = rs + k θ r u r u du + σ = r s + kθ + σ s s r u du k s s + θσ 1 e k s. k s ru db u, r u 3/ db u + σ r u du r udu + σ s s r u 3/ db u. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
4.3 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross 85 En admean que les inégrales sochasiques qui inerviennen dans les égaliés ci-dessus son d espérance nulle, on obien, pour s = Er = r + k θ Er u du, e Er = r + kθ + σ Er u du k Erudu. Soi Φ = Er. En résolvan l équaion Φ = r + kθ Φudu, c es à dire l équaion différenielle Φ = kθ Φ e Φ = r, on obien Φ = Er ] = θ + r θe k. De la même façon, on inrodui Ψ = Er e en résolvan Ψ = kθ+σ Φ kψ, on calcule Varr ] = σ k 1 e k r e k + θ ] 1 e k. L espérance e la variance condiionnelle de r s obiennen grâce à la propriéé de Markov : Er F s = θ + r s θe k s = r s e k s + θ1 e k s, σ e k s e k s Varr F s = r s k e R T r u du F. Nous allons calculer E + θσ 1 e k s. k 4.3.3 Calcul du prix d un zéro-coupon Proposiion 4. Soi Alors avec Ψs = dr = ab r d + σ r db. E e R T r u du e γs 1 γ + ae γs 1 + γ, Φs = F = G, r, G, x = ΦT exp xψt ], γe γ+a s γ + ae γs 1 + γ Démonsraion. Soi rs x,, s la soluion de e pour ou s soi dr x, s = ab rs x, ds + σ rs x, db s, r x, = x R s = exp s r x, u du. La propriéé de Markov implique qu il exise G elle que s exp ru x, du F = G, r. ab σ, γ = a + σ. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
86 4 Applicaions à la finance Nous admerons que G es de classe C 1,. La formule d Iô appliquée à Gs, rs x,r s, qui es une maringale, monre que GT, r x, T R T = G, x + M T M T + Rs rs x, Gs, rx, s + G s, rx, s + ab rx, s G x s, rx, s + 1 σ rs x, G s, rx, x s ]ds, où M es une inégrale sochasique. Par analogie avec la formule de Feynman-Kac, en choisissan G elle que ygs, y + G s, y + ab y G s y s, y + 1 σ y G s, y = 4.11 y e GT, y = 1 pour ou y, on obien R T = G, x + M T M, où M es une maringale. En pariculier, lorsque = on obien E ER T = G, x. En se plaçan enre e T, on obien E e R T ru x, du = G, x. exp T r sds = Il rese à calculer la soluion de l équaion aux dérivées parielles 4.11. Un calcul assez long monre que G, x = ΦT exp xψt ], avec Ψs = e γs 1, Φs = γe γ+a s γ+ae γs 1+γ γ+ae γs 1+γ γ = a + σ. Si l on noe P, T le prix du zéro-coupon associé, on monre que avec σu, r = σψu r. 4.4 Exercices P, T = ΦT exp r ΨT ], P, T = B, T r d + σt, r db, ab σ, Exercice 4.1 Soi σ e b des consanes, r >, x R, e S le Brownien géomérique soluion de l EDS ds = S σdb + bd ], S = x. 1. Écrire S sous forme exponenielle.. On noe θ = b r σ. Soi Q la probabilié définie sur F par dq = L dp où L = e θb 1 θ. Monrer que sous Q, W = B θ es un Brownien. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
4.4 Exercices 87 3. Soi P σ σw la probabilié définie sur F par d P = Z dq où Z = e. Monrer que ds = S σd B + r + σ d ], où B es un Brownien sous P. 4. Soi P > e pour ou, P = P e r S. Monrer que P, es une maringale P sous Q. Monrer que S, es une maringale sous P. 5. Soi A e λ des consanes réelles, F = e λ S udu + xa e Ψ = Fer S. Écrire l EDS saisfaie par Ψ en uilisan le Brownien B sous P. Exercice 4. Volailié sochasique Soi B 1 e B deux Browniens indépendans, F = σb 1 s, B s, s la filraion engendrée par B1 e B. Soi µ e η des foncions déerminises bornées de, + dans R, σ e γ des foncions déerminises bornées de R dans m, + avec m >. On noe S la soluion de où Y es soluion de l EDS ds = S σy db 1 + µd ], S = x R, dy = γy db + ηd, Y = 1. 1. Soi θ un processus F adapé borné e Z la soluion de l EDS dz = Z θ db 1, Z = 1. Écrire expliciemen Z sous forme exponenielle.. Soi λ e ν des processus F -adapés, bornés e L le processus défini par L = exp λ s dbs 1 1 λ s ds + ν s dbs 1 ν s ds. 4.1 Écrire l EDS saisfaie par L. On noe Q la probabilié définie par dq = L dp sur F. 3. Soi B 1 = B 1 λ sds e Z la soluion de l EDS d Z = Z αd B 1 e Z = 1, où α es une consane. Monrer que L Z es une F -maringale sous P. 4. Monrer que B = B ν sds es un F -Brownien sous Q. 5. On admera que si Q es une probabilié équivalene à P il exise λ e ν els que la densié de Q par rappor à P soi de la forme 4.1. Décrire l ensemble des couples λ, ν correspondan à des probabiliés Q elles que le processus S e r, soi une maringale sous Q. On noera Q ce ensemble de probabiliés 6. Le marché financier es-il comple? 7. Soi X un acif duplicable au sens suivan : il exise un processus F -adapé V el qu il exise un processus φ borné F -adapé pour lequel : dv = rv d + φ ds rs d ], e V T = X. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille
88 4 Applicaions à la finance a Monrer que V e r es une F -maringale sous Q pour oue probabilié Q Q. b On suppose que V = v, S, Y. Monrer que v saisfai une EDP que l on expliciera. Exercice 4.3 Opions power Soi r, δ, σ des consanes posiives, x >. On modélise la dynamique d un acif versan des dividendes au aux δ alors que le aux spo es r sous la probabilié risque neure par ds = S σdb + r δd ], S = x. 1. On souhaie évaluer un acif coningen sur S versan des dividendes, c es à dire calculer E P hst e rt F ]. En s inspiran des formules permean de faire le calcul dans le cas classique, quelle es la valeur de ce acif lorsque hx = x α K + où α >?. On suppose que δ = r. On noe Q la probabilié qui sur F a pour densié S par x rappor à P. Jusifier que Q es bien une probabilié. On noe Z = x S. Quelle es la dynamique de Z, sous Q. Monrer que pour oue foncion f borélienne bornée, ] 1 x x E P S T f = E P fs T. S T 3. On revien au cas général. Monrer que S a, es une maringale pour une valeur de a que l on précisera. Moner que pour oue foncion f borélienne bornée, E P fs T ] = 1 ] x x αe P S at f. 4. On suppose que hx = x β x K +. Monrer que hs T es la différence de deux payoffs correspondan à des opions d acha européennes poran sur S β+1 e S β e sur des srikes que l on déerminera. S T Remerciemens Ce cours remplace celui de Calcul Sochasique e Finance, Temps coninu, fai par Isabelle Nago dans l ex DEA MME de l Universié Paris 1. Il fai suie au cours de Calcul Sochasique fai Bernard de Meyer puis par Ciprian Tudor. Je remercie ces rois collègues de Paris 1 de m avoir fourni leurs polycopiés. Je iens aussi à exprimer ma graiude à Monique Jeanblanc e à Thomas Simon, qui m on donné la oue dernière version des noes de deux cours de calcul sochasique appliqué à la finance qu ils on mis au poin dans des formaions de M à l Universié d Évry. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9
Références 89 Références 1] Comes, F., Meyre, T., Calcul sochasique e modèles de diffusions, Dunod 6. ] De Meyer, B., Calcul Sochasique, Polycopié du cours de l ex DEA MME de l Universié Paris 1, année 4-5. 3] Friedman, A., Sochasic Differenial Equaions and Applicaions, Volume 1, Academic Press, 1975. 4] Jeanblanc; M., Cours de calcul sochasique, DESS IM Evry, Sepembre 5, hp ://www.mahs.univ-evry.fr/pages perso/jeanblanc/ 5] Jeanblanc, M., Simon, T., Elémens de calcul sochasique, IRBID, Sepembre 5. 6] Jeanblanc, M., Yor, M. e Chesney, M., Mahemaical Mehods for financial Markes, Springer Verlag, à paraîre. 7] Karazas, I., Shreve, S.E., Brownian moion and Sochasic Calculus, Springer Verlag, 1991. 8] Lamberon, D., Lapeyre., B, Inroducion au calcul sochasique appliqué à la finance., Ellipses, Paris, 1991. 9] Malliavin P., Sochasic Analysis, Springer, Berlin, 1997. 1] Nago, I., Calcul Sochasique e Finance, Temps coninu, Polycopié du cours de l ex DEA MME de l Universié Paris 1, année 4-5. 11] Revuz, A., Yor, M., Coninuous Maringales and Brownian Moion, Springer, Berlin, 3h ediion 1999. 1] Rogers L. C. G. e Williams, D., Diffusions, Markov Processes, and Maringales. Volume 1 : Foundaions, Wiley, Chicheser, 1994. 13] Rogers L. C. G., Williams, D., Diffusions, Markov Processes, and Maringales. Volume : Iô Calculus, Wiley, Chicheser, 1987. 14] Tudor, C., Calcul Sochasique 1, Cours polycopié du Maser M MMEF de l Universié Paris 1, année 5-6, hp ://pagesperso.aol.fr/ciprianudor/ 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille