Mai 7 ( heures et 3 miutes) a) Expliquer commet l o détermie si u sstème liéaire est compatible ou icompatible Si u sstème liéaire est compatible, expliquer ce que l o appelle ses icoues pricipales et secodaires ( pt) b) Remplacer das chacue des phrases suivates par «a toujours» ou «a parfois» ou «a jamais» u sstème liéaire de équatios à 3 icoues a jamais ue solutio uique u sstème liéaire de équatios à 3 icoues a parfois aucue solutio u sstème liéaire homogèe a parfois plus d ue solutio Justifier soigeusemet ue de ces affirmatios au choix (pour ue répose «a toujours» ou «a jamais», justifier de maière théorique ; pour ue répose «a parfois», doer u exemple de chaque cas) (5 pts) Soit A Î IR x, Î IN \ {} a) Défiir: - mieur et cofacteur de l'élémet [A] ij avec i et j Î {,,} - Adj(A), la matrice adjoite de A (5 pt) b) Démotrer que tous les élémets de la diagoale pricipale du produit matriciel AAdj(A) valet dét(a) (5 pt) c) Si A est iversible, doer, sas justificatio, ue formule doat A -, l'iverse de A (5 pt) k k d) Soit M = 4 (k 3) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre réel k la matrice M est-elle iversible? Pour cette(ces) valeur(s), détermier M, la matrice iverse de M (5 pt) 3 a) Soit E, u sous-esemble de IR x, IN Défiir : vecteurs liéairemet idépedats de IR x VCT(E) (le vectoriel egedré par E) ( pt) b) Démotrer que si E est u esemble de vecteurs liéairemet idépedats, tout vecteur du vectoriel egedré par E s'obtiet d'ue et ue seule maière comme combiaiso liéaire des vecteurs de E ( pts) c) Soiet les vecteurs u, v, w et z de IR 3x ) Les vecteurs u, v et w sot-ils liéairemet idépedats? ) Le vecteur z peut-il s écrire comme combiaiso liéaire des vecteurs u, v et w? Si oui, de combie de maières? Si o, pourquoi? ( pts)
4 a) Défiir : valeur et vecteur propre d ue matrice carrée M (5 pt) matrice diagoalisable (das IR) (5 pt) b) Soit M = 3 ) Détermier les valeurs et vecteurs propres de la matrice M M est-elle diagoalisable das IR? Justifier soigeusemet (5 pts) ) Calculer M et détermier ses valeurs propres Pouvait-o prévoir ce résultat? Pourquoi? ( pt) 5 Détermier (répose fiale uiquemet) a) la solutio géérale de la RLACC (récurrece liéaire à coefficiets costats) Y 3Y 3 t t t t t Y t = C3 - t3 C IR 3 b) toutes les solutios z das de l'équatio 4 z 9z 4 ( pt) z - 7i z 7i z - i z - i ( pt)
Répose questio a) Pour détermier si u sstème AX = B est compatible, o réduit sa matrice augmetée [A B] Si la réduite a u pivot e derière coloe, le sstème est icompatible Sio, il est compatible Si le sstème AX = B est compatible, ses icoues pricipales sot celles qui correspodet aux coloes des pivots de la réduite de sa matrice augmetée [A B] Ses icoues secodaires sot celles qui e sot pas pricipales ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Répose questio b) u sstème liéaire de équatios à 3 icoues a jamais ue solutio uique u sstème liéaire de équatios à 3 icoues a parfois aucue solutio u sstème liéaire homogèe a parfois plus d ue solutio Justificatio de «u sstème liéaire de équatios à 3 icoues a jamais ue solutio uique» : La matrice augmetée d u sstème liéaire de équatios à 3 icoues a liges et 4 coloes So rag e peut doc dépasser puisque le rag d ue matrice est iférieur ou égal à so ombre de liges (et à so ombre de coloes) Sa réduite possède doc au maximum pivots, doc, le sstème e peut avoir plus de icoues pricipales Il est doc impossible que ce sstème ait ue solutio uique, puisque, pour cela, il devrait avoir 3 icoues pricipales Répose questio a) Soit A IR x, IN \ {} O appelle mieur de l'élémet [A] ij avec i et j Î {,,} le détermiat de la matrice obteue e supprimat la lige i et la coloe j de A O le ote A ij O appelle cofacteur de l'élémet [A] ij avec i et j Î {,,} le mieur A ij de l'élémet [A] ij multiplié par (-) i+j O appelle matrice adjoite de A, la trasposée de la matrice des cofacteurs des élémets de A O la ote Adj(A) O a doc " i,j =,,: [Adj(A)] ij = (-) i+j A ji -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Répose questio b) Soit A IR x, IN \ {} Les élémets de la diagoale pricipale du produit matriciel AAdj(A) sot [AAdj(A)] ii avec i Î {,,,} La défiitio du produit matriciel est : si [AAdj(A)] ii = mx xp ij ik kj k [A] ik[adj(a)] ki et, par défiitio de la matrice Adj(A), k A IR et B IR, alors [AB] [A] [B], dès lors = k [A] ( ) ik ik A ik, ce qui, quel que soit i Î {,,,}, vaut dét(a) (développemet selo la i e lige)
Répose questio c) Soit A IR x, IN Si A est iversible, o a A Adj(A) dét(a) Répose questio d) O a M = k k O sait qu ue matrice carrée M est iversible ssi so determiat est o ul 4 (k 3) O a ici dét(m) = 3 k (k 3) 4k k 3k 4k k(k 3k 4) 3 3 4( 4) Doc, dét(m) = k(k 3k 4) k ou k 3k 4 k ou k k ou k ou k 4 Par coséquet, M est iversible ssi kir\{ 4,,} Pour les valeurs de k détermiées ci-dessus, o peut utiliser la formule doée e c) pour détermier la matrice iverse de M O a M Adj(M) Adj(M) dét(m) k(k 3k 4) Pour obteir la matrice Adj(M), il faut calculer la matrice des cofacteurs des élémets de M, puis trasposer celle-ci O a cofacteur de [M] =(-) + dét [k+3] = k+3 cofacteur de [M] =(-) + dét [4] = - 4 cofacteur de [M] =(-) + dét [k] = - k cofacteur de [M] =(-) + dét [k ] = k (k 3) 4 De là, la matrice des cofacteurs des élémets de M est, d où Adj(M )= k k (k 3) k 4 k (k 3) k (k 3) k k(k 3k 4) k(k 3k 4) Fialemet, M Adj(M) k(k 3k 4) k(k 3k 4) 4 k 4 k k(k 3k 4) k(k 3k 4) ou ecore M (k 3) k(k 3k 4) (k 3k 4) 4 k k(k 3k 4) (k 3k 4)
Répose questio 3 a) Des vecteurs de IR x sot liéairemet idépedats ssi la seule combiaiso liéaire de ces vecteurs doat le vecteur ul est celle dot tous les coefficiets sot uls Soit E, u sous-esemble de IR x, Î IN VCT(E), le vectoriel egedré par E, est l'esemble de toutes les combiaisos liéaires des élémets de E ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Répose questio 3 b) Soit E u esemble de vecteurs liéairemet idépedats d u vectoriel réel V Alors, tout vecteur du vectoriel egedré par E s'obtiet d'ue et ue seule maière comme combiaiso liéaire des vecteurs de E Preuve : Soit E = w,w,,wm, u esemble de vecteurs liéairemet idépedats de V Soit w VCT(E) O a w = a wa w a mwm avec ai IR i Supposos, par l absurde, que w = b wb w b mwm avec bi IR i O a aw bw aw ( bw ) car V,+ est u groupe commutatif m m m m i i i i i i i i i i i i E utilisat les propriétés du sige, o a m (a iw i b iw i) et, par les propriétés de la i multiplicatio scalaire ; o a m i (a b )w (a b )w (a b )w (a b )w i i i m m m Or, les vecteurs w,w,,wm sot liéairemet idépedats, doc, écessairemet, (a b ) (a b ) (am b m) a b,a b,,am bm ce qui démotre que w s écrit de maière uique comme combiaiso liéaire des vecteurs de E
Répose questio 3 c) O a les vecteurs u, v, w et z de IR 3x ) Les (trois) vecteurs u, v et w sot liéairemet idépedats ssi le rag de la matrice M 3x3 est égal à 3, le ombre de vecteurs cosidérés Or, M IR, doc, so rag sera égal à 3 (maximum) ssi elle est iversible ssi so détermiat est différet de O a dét M = (Sarrus) = + (-) + ((-) + + ) =, doc M est pas iversible et les vecteurs u, v et w e sot pas liéairemet idépedats (et sot doc liéairemet dépedats) ) Le vecteur z peut s écrire comme combiaiso liéaire des vecteurs u, v et w ssi il existe des réels a, b et c tels que a bc z aubvcw a b c bc ac Le vecteur z peut doc s écrire comme combiaiso liéaire des vecteurs u, v et w ssi le sstème liéaire abc bc est compatible Sa matrice augmetée est a c Réduisos-là L L L qui est sous forme L3 L3 L L3 L3 L écheloée réduite La réduite de la matrice augmetée du sstème aat pas de pivot e derière coloe, le sstème est compatible et le vecteur z peut doc s écrire comme combiaiso liéaire des vecteurs u, v et w L exame de la réduite de la matrice augmetée du sstème révèle que le sstème a deux icoues pricipales (a et b) et ue icoue secodaire (c), puisque cette réduite a deux pivots e première et e secode coloe Le sstème a doc ue ifiité de solutios doées par 3 a c a,b,c IR : c IR b c Le vecteur z peut doc s écrire d ue ifiité de maières comme combiaiso liéaire des vecteursu, v et w
Répose questio 4 a) x Le réel est ue valeur propre de la matrice M ssi il existe u vecteur o ul Î IR x tel que x x x x x x M = Les vecteurs tels que M = sot alors les vecteurs propres x x x x x associés à la valeur propre M est diagoalisable das IR ssi il existe ue matrice iversible C de IR x telle que C - MC est diagoale ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Répose questio 4 b) ) O a M = 3 dét 3 Le polôme caractéristique de M est = (3 ) ( ) Ses valeurs propres sot doc 3, et Les vecteurs propres associés à la valeur propre 3 sot les vecteurs x x x x 3x de IR tels que M 3 (M-3I), c est-à-dire les solutios du sstème z z z z 33 x 3 3 z x z x z Le sous-vectoriel des solutios du sstème est x 3 IR : x z z ou ecore z :z IR z:zir dot ue base est, par exemple, z Les vecteurs propres associés à la valeur propre sot les vecteurs x x x x 3x de IR tels que M (M-I), c est-à-dire les solutios du sstème z z z z 3 x x x z x
x 3 x Le sous-vectoriel des solutios du sstème est IR : z ou ecore :z IR z:zir z dot ue base est, par exemple, Les vecteurs propres associés à la valeur propre sot les vecteurs x x x x 3x de IR tels que M (M-I), c est-à-dire les solutios du sstème z z z z 3 x x x z x z z Le sous-vectoriel des solutios du sstème est x 3 x IR : z z ou ecore z :z IR z:zir z dot ue base est, par exemple, Les trois vecteurs, et sot vecteurs propres de M et, état associés à des valeurs propres différetes, sot liéairemet idépedats Ils formet doc ue base de diagoalisable das IR 3x IR et, par coséquet, M est ) La matrice 3 3 9 M MM Le polôme caractéristique de M est 5 3 4 9 dét 5 3 4 = (9 ) (4 ) Ses valeurs propres sot doc 9, et 4 O costate que les valeurs propres de M sot les carrés des valeurs propres de M Ceci était prévisible puisque, par défiitio, le réel est ue valeur propre de la matrice M ssi il existe u vecteur o ul x tel que Mx x De là, M x MMx M x Mx x et il existe u vecteur o ul x tel que Mx x, d où est valeur propre de M