E3A Epreve de Mahémaiqe B MP Exercice I. (a) Posons h : sin() e I = [, [. h es conine sr I par TG (héorèmes générax). En : h() = O( ) = O( ) e comme es inégrable sr I (inégrale de référence), on concl par TC (héorème de comparaison) qe h es inégrable sr I. a = Conclsion : g es dénie sr IR (b) Por o a ], [, a [ d = ] = a. Résolvons a convien car il apparien à ], [ ( > ). Conclsion : α = (c) [, [, = ( d'où ) 3/ α [ ] α sin() d = cos() α ( cos() ) d ( ) 3/ α cos(α ) α cos() = + d α ( ) 3/ On en dédi qe por o >, α g() sin() d + α g() sin() d + α cos(α ) g() α + Or α = g() donc α g() α ( ) + ( α ) + α α α α sin() d d ( ) 3/ ) d + ( ( ) 3/ d + donc, donc, cos() d + d'où E comme α <, on a nalemen g() + + = 3 Conclsion : >, g() 3. a = : a = d'où (a) Le cercle de cenre O e de rayon π a por éqaion x + y = π. comme y es posiif, on en dédi qe y = π x Conclsion : x ] π, π], f(x) = π x
(b) Voir le cors! Ici ce héorème ne s'appliqe pas car la foncion n'es pas de classe C par morceax sr IR à case de 3. lim x π f (x) = + (a) La foncion éan paire on a por o n, b n = e por o n IN, a n = π π f() cos(n) d (b) Eecons ne inégraion par parie sr a n : a n = π [ f( cos(n) d = f() sin(n) ] π π sin(n) d = π sin(n) d π }{{}}{{} π n π π n π π n v Eecons ensie n changemen de variables = πx : a n = πx sin(nπx) π dx = x sin(nπx) dx π π (πx) n n (x) Conclsion : n IN, a n = n g(πn) 4. (a) Posons n dénie par n (x) = a n cos nx. On a por o x IR e por o enier n, n (x) 3 = v n n πn d'après le. (c), e comme v n = O n 3/ par TC, ( v n ) converge e donc la série ( n ) converge normalemen sr IR. Conclsion : La série de Forier de f converge normalemen sr IR Ce résla ne conredi pas le. (b) car le héorème de Dirichle n'es q'ne condiion ssane por qe la série converge normalemen sr IR. De pls cee converge normale ne donne pas vers qoi elle converge. (b) Soi S n (f) = a n + p p= D'ne par f es conine sr IR : en ee f es π-périodiqe, conine sr ] π, π[ par TG e f(π + ) = f(π ) = d'où f es conine sr IR. On a donc d'après le héorème de Parseval, la convergence en moyenne qadraiqe de (S n (f)) vers f, soi lim n + S n(f) f =. D'are par on a d'après le 4. (a), la série ( n ) qi converge normalemen sr IR vers ne foncion F, donc la sie (S n (f)) converge niformémen sr IR vers F. La foncion F es π-périodiqe (ransfer par convergence simple) e F es conine sr IR (ransfer par convergence niforme de la coninié). On pe donc considérer dans l'espace C π : S n (f) F S n (f) F lorsqe n end vers l'inni. On en dédi donc qe la sie (S n (f)) converge en moyenne qadraiqe vers F. Par nicié de la limie (qadraiqe), onc a F = f. Conclsion : (S n (f)) converge normalemen sr IR vers f Exercice II. (a) To d'abord le héorème de Schwarz perme avec des foncions de classe C de confondre f (x, y). y x S'il exise a de classe C elle qe (x, y) IR f el qe (x, y) = a(x)f(x, y) alors x f (x, y) = a(x) f x y y (x, y) d'où f(x, y) f f f f (x, y) = f(x, y) a(x) (x, y) = (x, y) (x, y). x y y x y f (x, y) avec x y
On en dédi qe f vérie (E). Réciproqemen, si f vérie (E) e q'elle ne s'annle pas sr IR, considérons g dénie sr IR par g(x, y) = f f f (x, y) (x, y)f(x, y) (x, y) f (x, y) x f(x, y). On a g de classe C par TG e (x, y) IR g x y x y, (x, y) = y f(x, y) =, car f vérie (E). Comme IR es n over convexe, il exise ne foncion a de classe C sr IR elle qe (x, y) IR, g(x, y) = f a(x), soi (x, y) = a(x)f(x, y). x Conclsion : On a bien l'éqivalence (b) Soi f solion de (E) e ne s'anlan pas sr IR. On a donc l'exisence d a e d.(a) Analyse : Si on pose f(x, y) = F (x) (y xé), alors f x (x, y) = a(x)f(x, y) s'écri F (x) = ax(x)f (x), soi à l'aide des éqaions diérenielles d er ordre linéaires : F (x) = λe A(x) où A es ne primiive de a. Synhèse : Noons A ne primiive de a sr IR (qi exise car a es conine sr IR) e considérons g dénie sr IR par g(x, y) = f(x, y)e A(x). Comme a es C sr IR, A es C sr IR e donc g es a es C sr IR. Dérivons par rappor à x g f : (x, y) = x x (x, y)e A(x) f(x, y)a(x)e A(x) =. Comme IR es convexe, il exise ne foncion ψ de classe C sr IR elle qe (x, y) IR, g(x, y) = ψ(y) e donc f(x, y) = ϕ(x)ψ(y) avec ϕ(x) = e A(x). Comme on a ψ(y) = f(x, y)e A(x), ψ es de classe C sr IR par TG e ne s'annle pas sr IR. On en dédi qe (x, y) IR, f(x, y) = ϕ(x)ψ(y) avec ϕ e ψ de classe C sr IR e ne s'annlen pas sr IR. Réciproqemen si (x, y) IR, f(x, y) = ϕ(x)ψ(y) avec ϕ e ψ de classe C sr IR e ne s'annlen pas sr IR, alors f es clairemen C, ne s'annle pas sr IR e vérie f(x, y) f f f (x, y) (x, y) x y x y (x, y) = ϕ(x)ψ(y)ϕ (x)ψ (y) ϕ (x)ψ(y)ϕ(x)ψ (y) =. Conclsion : On a bien l'éqivalence On n'a pas l'nicié car si (ϕ, ψ) convien alors (ϕ, ψ) convien assi! (c) Si f vérie E e ne s'annle pas alors il exise ϕ, ψ C e ne s'annlan pas el qe (x, y) IR, f(x, y) = ϕ(x)ψ(y), donc f(x, ) = ϕ(x)ψ() e f(, y) = ϕ()ψ(y). Posons alors ϕ (x) = g(x), ψ (y) = λh(y) e (x, y) IR, f(x, y) = ϕ (x)ψ (y), donc f(x, ) = ϕ (x)ψ () = g(x)λh() e f(, y) = ϕ ()ψ (y) = g()λh(y). Comme g() = h(), λ = g() (x, y) IR, f(x, y) = g(x) h(y) g() convien e Por l'nicié si f e f son elles foncions, on a f (x, y) = ϕ (x)ψ (y), e f (x, y) = ϕ (x)ψ (y), d'où f (x, ) = ϕ (x)ψ () = f (x, ) = ϕ (x)ψ () = g(x) e f (, y) = ϕ ()ψ (y) = f (, y) = ϕ ()ψ (y) = h(y) d'où il exise réels α e β els qe ϕ = αϕ e ψ = βψ On en dédi qe f (, ) = f (, ) = ϕ ()ψ () = αβϕ ()ψ () = g() (= h()) comme o es non nl, on a donc αβ = e donc f = f e l'on a l'nicié. Conclsion :. (x, y) IR, f(x, y) = g(x) h(y) g() convien e es niqe 3
(a) Peie errer d'énoncé : lire y f(x, y) e non y f(x, y ). Soi (x, y ) n maximm local de f. Soi r > el qe (x, y) [x r, x + r] [y r, y + r], f(x, y) f(x, y ) e donc x [x r, x + r], f(x, y ) f(x, y ) d'où x es n maximm local de x f(x, y ). On fai de même por y f(x, y) qi adme n maximm local en y. Réciproqemen soien x n maximm local de x f(x, y ) e y n maximm local de y f(x, y). Il exise ϕ e ψ elle qe (x, y) IR, f(x, y) = ϕ(x)ψ(y). Comme f ne s'annle pas, ϕ e ψ non pls. Par valers inermédiaires elles ne changen donc pas de signe. Qie à changer ϕ en ϕ e ψ en e ψ, on pe spposer qe ϕ > e comme f es posiive, on en dédi qe ψ assi. D'are par, ϕ(x) = f(x, y ) ψ(y ), donc ϕ adme n maximm en x. De même ψ adme n maximm en y. On a donc l'exisence d'n r > el qe x [x r, x + r] ϕ(x) ϕ(x ) e x [y r, y + r] ψ(y) ψ(y ) e Comme o es sricemen posiif, on en dédi qe x [x r, x + r] [y r, y + r] f(x, y) = ϕ(x)ψ(x) ϕ(x )ψ(y ) = f(x, y ). Conclsion : f adme n maximm local en (x, y ) SSI x es n max. local de x f(x, y ) e y n max. local de y f(x, y). (b) Soi A = {x IR el qe x soi n maximm de x f(x, y )} e B = {y IR el qe y soi n maximm de y f(x, y)}. On a alors Conclsion : A B = {(x, y ) el qe f adme n maximm local en (x, y ) } 3. (a) Considérons h dénie sr IR par h() = 3 + 3. On a donc si < h() = d'où h si < () = e h si < () = 3 si 6 si > si > Les limies de h, h e h à gache e à droie en son oes égales à. Par le héorème de prolongemen des foncions de classe C k, h es donc de classe C sr IR. On en dédi par TG qe f es C sr IR ( f(x, y) = h(xy) ). (b) On a (x, y) IR f, x (x, y) = f yh (xy) y (x, y) = f xh (xy) e x y (x, y) = h (xy) + xyh (xy) f(x, y) f f (x, y) f (x, y) x y x y (x, y) = h(xy) h (xy)+xyh (xy) yh (xy)xh si xy < (xy) = 36x 5 y 5 36x 5 y 5 = si xy Conclsion : f vérie (E) (c) Spposons q'il exise ϕ e ψ elles qe (x, y) IR, f(x, y) = ϕ(x)ψ(y) f(, ) = ϕ()ψ() = donc ϕ() e ψ(), f(, ) = ϕ( )ψ( ) = donc ϕ( ) e ψ( ) e enn f(, ) = ϕ( )ψ() or f(, ) = car (, ) es dans la zone xy < : Absrde! Conclsion : Il n'exise pas ϕ e ψ elles qe (x, y) IR, f(x, y) = ϕ(x)ψ(y) 4
Exercice III. (a) Si x = y + z avec y F e z F e si f es le projecer orhogonal vecoriel sr F alors f(x) = y y + z = x, donc f(x) (x) e égalié SSI z = c'es-à-dire SSI x F. On en dédi qe p(a)p(b) = π( AB) AB = AB e égalié SSI AB vec( i, j ) = k. Conclsion : p(a)p(b) AB e égalié SSI AB vec( i, j ) = k. (b) On a D = A+vec( ) e donc p(d) = p(a)+vec( π()). Si = λ k alors π() = e p(d) = {p(a)} Si (, k ) es libre alors π() e p(d) es la droie passan par p(a) e dirrigée par le vecer π().. (a) p es ne bijecion ane de d vers D, comme h d = p(d), il exise n niqe poin H D el qe h = p(h) Conclsion : On a l'exisence e l'nicié d poin H (b) OH = ( i, j ) e O Π donc O = p(h ). D'are par h = p(h) e H H =vec( i, j ). D'après le (a), on a donc p(h )p(h) = H H soi Oh = H H Si M e N D, MN = MH + H H + HN = + v avec = MH + HN e v = H H F = + D e v = H H e comme (hhh ) es n parallèlogramme ( (h) es parallèle à HH e (H ) es parallèle à hh ), on a v = H H = h D. On en dédi qe v F. D'après Pyhagore, on a MN = + v v = Oh ( avec égalié SSI = soi comme e ND non parallèles, donc SSI MH + HN = SSI M = H e H = N ) Conclsion : (M, N) D, HH = Oh MN 3. (a) C Π es le cercle de cenre O e de rayon, donc d'éqaion x + y =. Conclsion : L'éqaion de C es x + y = x = cos Paramérons le cylindre C : M(, v) y = sin, ] π, π] e v IR M On a (, v) sin cos e z = v M (, v) v e le poin M(, v) es clairemen réglier. x cos sin D'où le plan angen à C a poin M(, v) a por éqaion : y sin cos = x cos + y sin v = z v Conclsion : Les plans angen à C on por éqaions x cos ω + y sin ω = 5
(b) er Cas : La droie D es parallèle à. La droie D a donc por éqaion dans le repère d problème D x = a y = b z = z Soi A(a, b, ) D, le projeé de A sr es O donc comme d(d, ) =, on a OA = e donc a + b =. On en dédi q'il exise θ IR el qe a = cos θ e b = sin θ. La droie D es alors clairemen inclse dans le plan P/x cos θ + y sin θ = qi es n plan angen à (C) ème Cas : La droie D n'es pas parallèle à. Soi H e H dénis a. On a d(d, ) = = HH e si H (,, ) alors il exise θ IR el qe H(cos θ, sin θ, ). La droie D es alors clairemen inclse dans le plan P/x cos θ + y sin θ = qi es n plan angen à (C) Conclsion : Toe droie D disan de de es inclse dans n plan angen à (C) x = (c) La réciproqe es fasse, en ee soi D la droie D y = 3. La droie D es inclse dans le plan angen z = z P/x cos ω + y sin ω = avec ω =. Or d(d, ) = OH = avec H(, 3, ) 4. (a) Il exise n repère R = (O,, v ) orhonormé d plan P = O + vec( i, j ) el qe O ai por coordonnées (, ). Le cercle Γ a por éqaion dans ce repère x + y = e le cercle Γ a por éqaion dans ce repère (x ) + y =. Soi M(a, b) Γ, la angene en M à Γ a por éqaion T a,b /ax + by =. Soi M (a, b ) Γ, la angene en M à Γ a por éqaion T a,b /(a )x + b y = a. On cherche donc coples (a, b) e (a, b ) els qe T a,b = T a,b. On fai cas a = e a e l'on rove les angenes commnes d'éqaion T/y = e T/y =. (b) er Cas : La droie D es parallèle à e. Alors il y a exacemen poins A e A eqidisan de O e O dans le plan Π. Les droies A + e A + son les droies parallèles à e e à de e. ème Cas : La droie D n'es pas parallèle à. Avec les noaions d., soi h le projeé de O sr d = p(d). On a alors d(d, ) = Oh e d(d, ) = O h e donc on doi avoir hh colinéaire à OO e donc la droie d es parallèle à (OO ). Soien d e d les seles droies d plan Π qi son à de la droie (OO ). Les droies solions son les droies de D don la projecion sr Π es d o d. 6