COMMEN DÉFINIR LA QUALIÉ D UN GÉNÉRAEUR DE SCÉNARIOS ÉCONOMIQUES DESINÉ À ÉVALUER LE BES-ESIMAE ÉPARGNE EN? Version 1.3 du 15/04/2018 KAMAL ARMEL 1 FRÉDÉRIC PLANCHE 2 Appliquer une démarche Mark-o-Marke pour évaluer les engagemens de l assureur en juse valeur (bes-esimae), pour les conras d épargne en, implique de disposer des prix des opions e des garanies des polices d assurance. Cee informaion n éan pas observable sur un marché organisé e liquide, le calcul es réalisé dans un cadre Mark-o- Model. Le calibrage e la validaion du généraeur de scénarios économiques (GSE), uilisé pour l esimaion du bes-esimae, par une confronaion des simulaions aux données observées, dans le cadre d une démarche saisique, ne peuven êre envisagés. On se conene alors de calibrer e d apprécier le GSE en référence aux insrumens financiers (caps, floors, swaps ) dérivés des faceurs de risque modélisés sans jusifier la relaion de correspondance ou de bijecion enre ces insrumens financiers e les opions du passif (cf. par exemple Lauren e al. [2014], Planche e al [2009], Armel e Planche [2018]). 1 Kamal Armel es acuaire qualifié/cerifié e fondaeur d ARMEL Consuling. Conac : kamal.armel@armelconsuling.fr 2 Frédéric Planche es Professeur à l'isfa e acuaire associé à PRIM AC. Conac : frederic@planche.ne 1
Conenu 1 Préambule... 3 1.1 Conra d épargne en Français... 3 1.2 Valorisaion des passifs des conras d épargne en... 4 1.3 Généraeur de scénarios économiques pour calculer le bes-esimae... 5 1.4 Problémaique... 5 2 Reformulaion quaniaive de la problémaique... 7 2.1 Inroducion... 7 2.2 Cadre héorique... 8 2.2.1 La valeur de racha... 8 2.2.2 Formule coninue du bes-esimae ne de chargemens... 9 2.2.3 Formule discréisée du bes-esimae ne de chargemens... 10 2.2.4 La meilleure esimaion des frais... 11 2.2.5 La formule discréisée du bes-esimae... 11 2.3 Reformulaion quaniaive de la problémaique... 12 2.3.1 Méhode de calibrage sandard... 12 2.3.2 Méhode de calibrage convenionnelle... 13 3 Impac du choix du modèle de aux e des données de calibrage sur le bes-esimae... 13 3.1 Modèles de généraions de scénarios économiques uilisés... 13 3.2 Impac du choix de modèle de aux sur le bes-esimae... 16 3.2.1 Modèle de calcul du bes-esimae... 16 3.2.2 Paramères e résulas... 16 4 Peu-on consruire un GSE cohéren avec la srucure opionnelle du bes-esimae?... 18 4.1 Analyse qualiaive de la consrucion du bes-esimae... 18 4.1.1 Richesse iniiale de l assureur... 18 4.1.2 Valorisaion du bes-esimae conracuel minimal... 21 4.1.3 Le bes-esimae dépend de la poliique de l assureur... 23 4.1.4 Conclusion... 23 4.2 Analyse de la srucure opionnelle implicie au bes-esimae e son lien avec les GSE... 25 4.2.1 Définiion du périmère e du cadre d analyse... 25 4.2.2 La srucure opionnelle financière implicie à un conra d épargne en... 26 4.2.3 Qu es-ce qu une opion par cliques?... 27 4.2.4 L expression du bes-esimae en foncion d opions par cliques... 28 4.2.5 Caracérisaion des opions financières implicies au bes-esimae... 30 4.2.6 Les équaions d équilibre dans un cadre sans opporuniés d arbirage... 32 5 Conclusion... 33 6 Références... 35 7 Annexe 1 : bes-esimae e liquidaion de la richesse iniiale... 37 8 Annexe 2 : définiion de la moneyness du passif d un conra d épargne... 38 2
1 Préambule 1.1 Conra d épargne en Français Le marché de l épargne en s es développé en France dans un conexe insiuionnel e fiscal favorable. Les conras d épargne bénéficien d une fiscalié réduie sur les revenus e sur les successions qui incie les ménages à une déenion de ces produis sur le long erme. En l absence de fonds de pension en France, l assurance vie a fourni un cadre compable e fiscal aux ménages, aux employeurs e aux insiuions de prévoyance pour organiser l épargne reraie en complémen du sysème obligaoire par répariion. Les conras d épargne en français proposen une capialisaion de l invesissemen e la possibilié de racheer le conra à ou momen (C. ass., Aricle R-132-5-3). Les primes perçues par les assureurs son invesies sur les marchés financiers, en achas immobiliers e d infrasrucures. Pour l assuré, la pere en capial ne peu survenir qu en cas de faillie de l assureur. Dans ce cas, le fonds de garanie des assurances de personnes (FGAP) peu êre saisi. Le monan garani es à haueur de 70 K. Les inérês echniques consiuen une revalorisaion conracuelle minimale des encours (C. ass., Aricle A-132-1). Cee revalorisaion es compléée par une rémunéraion supplémenaire : la paricipaion au bénéfice (PB). Celle-ci représene le reliqua du compe de résula echnico-financier après prise en compe des inérês echniques. La PB es réglemenée par le code des assurances (C. ass., Aricles A331-3 e suivans) e ne donne aucun droi individuel à l'assuré. La PB es disribuée soi immédiaemen soi affecée à la provision pour paricipaion aux bénéfices, qui doi êre disribuée sous hui ans à comper de son affecaion au fonds. Les assurés disposen donc de deux provisions acquises : - Les provisions mahémaiques qui son déerminées individuellemen e corresponden à l épargne acquise. - La provision pour paricipaion aux bénéfices, globale, don la redisribuion relève de la poliique de l assureur. La PB perme ainsi de lisser la rémunéraion enre les différens conras e dans le emps, e de piloer l acivié en foncion des conraines commerciales e des condiions du marché financier. Oure la PB, d aures provisions son consiuées par l assureur impliquan un lissage de la performance compable de l acif sur le emps. On peu liser noammen la réserve de capialisaion, la provision pour aléas financiers e la provision pour risque d exigibilié. L assureur dispose égalemen d une richesse laene (différence enre l acif en valeur de marché e en valeur compable) lui procuran une marge de manœuvre dans la gesion de la revalorisaion de l épargne. Les opions incluses dans les conras d épargne en classiques peuven êre synhéisées en rois caégories : 3
- Opions financières : l assureur s engage sur une rémunéraion minimale de l épargne en garanissan un aux minimal de revalorisaion ou une PB garanie. - Opions comporemenales : l assureur propose des opions de racha, d arbirage, de versemen libre ou programmés, bonus de fidélié L acivaion de ces opions es à l appréciaion de l assuré. - Opions biomériques : son les opions dépendan du risque de moralié (ou longévié) comme la proposiion par l assureur d une garanie de able si l assuré ransforme son épargne en rene. Du poin de vue de l assuré (cf. Brys e de Varenne [1994]) : - L opion de aux echnique ou de PB garani peu êre assimilée à une opion vanille européenne ; - L opion de racha peu êre assimilée à une opion de vene américaine ; - L opion de garanie de aux sur les versemens libres ou programmés, peu êre assimilée à une swapion. 1.2 Valorisaion des passifs des conras d épargne en Insiuée par la Commission Européenne, la direcive Solvabilié 2 impose enre aures le calcul en «juse valeur» des passifs d assurance. Cee valorisaion, implique l évaluaion des opions e garanies proposées par l assureur dans ses conras. L aricle 77 de la direcive solvabilié 2 inrodui le concep de bes-esimae pour désigner la valorisaion économique des engagemens de l assureur envers l assuré e le défini comme la «moyenne pondérée par leur probabilié des flux de résorerie fuurs, compe enu de la valeur emporelle de l argen (valeur acuelle aendues des flux de résorerie fuur), esimée sur la base de la courbe des aux sans risque perinen». La valorisaion du passif des conras en implique la prise en compe de deux sources de risques : - Des risques couvrables liés aux marchés financiers. - Des risques non-couvrables liés aux risques echniques : risques biomériques, comporemen clien Les acions de managemen de l assureur inerviennen noammen dans le piloage du rendemen (compable) servi aux assurés. Elles son des foncions des faceurs de risque. Les projecions de flux de résorerie doiven égalemen inégrer, dans les conraines des limies de conras : les primes fuures, la réassurance, les presaions fuures (décès, cessions, renes,...), les charges fuures (frais adminisraifs, frais de gesion,...) e l impô à erme. Le calcul du bes-esimae doi prendre en compe : - Les opions financières e garanies des conras ; - La srucure biomérique ; - Le comporemen des assurés ; 4
- L impac des acions de managemen sur les opions du conra ; - Une modélisaion appropriée des risques sous-jacens e de leur srucure de dépendance. Aussi, les hypohèses de consrucion des flux doiven êre définies avec une granularié suffisammen fine e l agrégaion des conras doi se faire en groupes présenan des risques homogènes. L évaluaion des opions e des garanies financières, la diffusion des flux fuurs de résorerie des conras d épargne en e la consrucion de la courbe des aux sans risque nécessien la mise en place d un généraeur de scénario économique sochasique (GSE). 1.3 Généraeur de scénarios économiques pour calculer le bes-esimae Les GSE peuven produire, sur plusieurs horizons, des scénarios maérialisan l impac des différens faceurs de risques économiques e financiers, els que les aux d inérê, le aux d inflaion, le rendemen des acions, le rendemen de l immobilier, sur les prix des acifs. Ces scénarios économiques doiven êre cohérens avec les prix observés (Marke Consisen). Une évaluaion en valeur de marché consise à valoriser des grandeurs d inérê en se référan aux valeurs des acifs e des passifs réellemen échangés. L objecif es de fabriquer une juse valeur qui soi cohérene avec les prix e les risques observables e mesurables sur le marché. Appliquer une démarche Mark o Marke pour évaluer le bes-esimae en juse valeur implique de disposer a priori des prix des opions e des garanies des polices d assurance. Cee informaion n éan pas observable sur un marché organisé e liquide, le calcul es donc mené dans un cadre Mark-o-Model. Dans ce cadre, le GSE es calibré non pas sur les opions e garanies du conra d assurance mais sur des produis financiers (caps, floors, swapions ). Sa qualié es appréciée par sa capacié à reproduire les prix de ces produis financiers. Les orienaions élaborées par l EIOPA (cf. ACPR [2015] - orienaions 55 à 60) présenen un cerain nombre de conraines qu un GSE doi saisfaire. Il y es noammen précisé que : - Les insrumens financiers reenus pour calibrer les GSE doiven êre perinens eu égard aux caracérisiques des opions e garanies financières proposées par l assureur ; - Les données doiven provenir de marchés financiers qui soien profonds, liquides e ransparens. Les résulas fournis par le GSE doiven êre cohérens avec les données du marché financier (règlemen délégué aricle 76). 1.4 Problémaique La capacié d un modèle à bien représener l insrumen financier qu il modélise consiue un crière de respec de la cohérence avec les valeurs de marché. Les modèles devraien donc êre choisis e calibrés pour représener au mieux les prix des insrumens financiers 5
reenus dans le processus de modélisaion. Ils ne son par ailleurs pas desinés à représener correcemen les prix d aures insrumens de srucure différene. En d aures ermes, le GSE, es propre à l objecif (valoriser un insrumen financier) pour lequel il es consrui (cf. sur ce poin Félix e Planche [2015]). Dans cee logique, le processus de généraion de scénarios économique devrai êre validé en apprécian sa capacié à reproduire le prix des opions des conras d épargne en. Or ces valeurs ne son pas observables. La validaion du GSE par une comparaison des résulas du modèle aux prix observés ne peu donc êre envisagée. On se conene alors d apprécier le GSE en le confronan aux insrumens financiers qui on servi à sa fabricaion sans jusifier la relaion de correspondance ou de bijecion enre ces insrumens financiers e les opions du passif. La liéraure financière es riche en exemples confronan le modèle à sa desinaion ou à son usage. En assurance-vie on peu cier, à ire d exemple, Armel e al. [2011] présenan l impac du choix de la srucure de dépendance sur le SCR marché e Laïdi e Planche [2015] qui proposen une méhode de calibrage alernaive du modèle LMN pour des obligaions crédi. Le processus de généraion de scénarios économiques pour la valorisaion du bes-esimae en mark-o-model peu êre synhéisé en rois éapes (cf. Armel e Planche [2018]) : 1. L environnemen de modélisaion : il s agi de choisir les variables économiques à modéliser. Classiquemen, la mesure reenue es une probabilié risque neure. 2. Les modèles : il s agi de consruire les modèles mahémaiques des variables d inérê. Cela consise à choisir les modèles qui von représener la dynamique individuelle de ces variables e le choix du modèle qui représene le co-mouvemen. 3. Les paramères e calibrages : il s agi de choisir les produis financiers dérivés pour les calibrages, les données, les méhodes d esimaion saisique des paramères des modèles e des méhodes de validaion. Ce son les éapes 2 e 3 qui seron discuées dans ce aricle qui s organise comme sui : - La secion 2 propose une formalisaion du cadre héorique du calcul du besesimae e propose une reformulaion quaniaive de la problémaique ; - La secion 3 propose d éudier la sensibilié du bes-esimae aux choix des modèles de aux e de leur calibrage. L objecif es d illusrer, sur la base d un modèle ALM e de données réelles, la variabilié du bes-esimae en foncion du choix du modèle de aux sans risque e/ou de son calibrage, pour des modèles choisis dans une famille respecan l ensemble des conraines de valorisaion imposées par le superviseur ; - La secion 4 propose une analyse de la srucure opionnelle du bes-esimae e cherche à consruire un lien enre cee srucure e le modèle de généraion de scénarios économiques. Les quesions relaives aux calculs de la marge de risque ne seron pas abordées dans ce papier. 6
2 Reformulaion quaniaive de la problémaique 2.1 Inroducion Deux sources d aléas, représenées par deux espaces probabilisés filrés, son disinguées : - (Ω f, (F f ) 0, Q) : pour les risques financiers qui son couvrables 3 ; - (Ω a, (F a ) 0, P) pour les risques d assurance qui ne son pas couvrables. On peu évier le recours à l uilisaion de cee probabilié en inroduisan l espérance condiionnelle des flux sachan les faceurs de risque financiers. Le bes-esimae des conras en calculé à un insan s écri (Lauren e al. [2016]) : + BE() = E P Q ( F i. exp ( i. r i )) i= où r i es le aux sans risque à erme à l échéance i. Le flux F i es la somme des paiemens versés aux assurés e des frais diminués des primes e des chargemens : F i = Paiemens i brus Primes i + Frais i Chargemens i En praique, l évaluaion du bes-esimae se fai dans un cadre de calcul Mone-Carlo e le calcul des flux s arrêe à un horizon de projecion. Le bes-esimae à l insan 0 s écri donc comme une moyenne de MxN rajecoires simulées ; M représenan les rajecoires des variables financières sous la probabilié Q e N le nombre de rajecoires des risques non-couvrables sous la probabilié P : BE(0) = E P Q ( F i. exp ( i. r i )) = 1 MN ( F i,m,n. exp ( i. r i,m )) i=0 M N m=1 n=1 Pour les risques non couvrables, le calcul de l espérance es en général simple. On peu évier le recours aux simulaions dans les simulaions en inroduisan des flux moyens comme le monre la secion 2.2.3. En l absence de primes fuures le bes-esimae s écri : BE(0) = E P Q ( Paiemens brus i. exp ( i. r i )) E P Q ( Chargemens i. exp( i. r i )) + E P Q ( Frais i. exp( i. r i )) i=0 i=0 Sans pere de généralié, on suppose dans la suie que les chargemens prélevés par l assureur son égaux aux frais engagés pour la gesion des conras. Le cas général où les frais son différens des chargemens peu se déduire direcemen de ce qui sui en décomposan le aux de chargemen en aux de frais sur encours e en marge sur chargemens (posiive ou négaive). On peu écrire alors : i=0 i=0 3 Ou réplicables, les 2 ermes son employés ici sans disincion. 7
e : E P Q ( Chargemens i. exp( i. r i )) = E P Q ( Frais i. exp( i. r i )) i=0 i=0 BE(0) = E P Q ( Paiemens brus i. exp ( i. r i )) i=0 En disinguan les flux nes e les frais, on écri donc : BE(0) = E P Q ( Paiemens nes i. exp ( i. r i )) + E P Q ( Frais i. exp( i. r i )) i=0 erme 1 paiemens nes i=0 erme 2 prix du conra/frais Le bes-esimae peu s écrire donc comme la somme de deux ermes : erme 1 : représenan les flux fuurs payés aux assurés comprenan les opions e garanies proposés par l assureur ; erme 2 : représenan les chargemens encaissés par l assureur e son égaux aux frais engagés par celui-ci. Ce erme peu s inerpréer comme le prix du conra e inègre impliciemen le prix des opions e garanies. Le bes-esimae s écri donc : BE(0) = BE ne (0) + BE frais (0). Dans la suie nous nous inéressons d abord au bes-esimae calculé sur la base des aux de revalorisaion nes de chargemens. La meilleure esimaion des frais es ensuie expliciée. Il es noé que le calcul du bes-esimae dans la norme Solvabilié 2 es réalisé sur des porefeuilles en runoff (les conras fuurs son hors périmère). 2.2 Cadre héorique 2.2.1 La valeur de racha L assureur rémunère chaque insan u l épargne en de l assuré d un aux de revalorisaion de l épargne ne de chargemens insanané noé c u. Ce aux de rémunéraion es le résula d une décision du managemen prenan en compe noammen le aux de rendemen de l acif, la richesse disponible de l assureur e le aux minimum garani. La valeur de racha d un conra d épargne, noé VR() s écri en foncion de la provision mahémaique à l insan 0 e des aux de revalorisaion ne de chargemens comme sui (cf. Bonnin e al. [2014]) : VR() = PM(0) exp { c u. du} 0 La valeur acuelle de la valeur de racha à l insan s écri : VR(). δ() = PM(0) exp { c u. du 0 r u. du} = PM(0). ψ() 0 8
0 où δ() = exp ( r u. du) e r u es le aux d inérê cour insanané. En cas de sorie du conra, donc en cas de décès ou de racha, la valeur versée par l assureur es égale à VR(τ) ou τ designe l insan (aléaoire) de sorie du conra. La valeur acuelle du flux soran es donc : Λ = VR(τ). δ(τ) La variable aléaoire τ es supposée êre le emps d arrê de la filraion naurelle associée au processus des valeurs de rachas (VR(), 0). Le bes-esimae à l insan 0 pour un conra d épargne en s écri : BE ne (0) = E P Q (Λ) Le leceur peu se référer à Pruden [1996] qui présene un cadre similaire pour la valorisaion des clauses de rachas anicipés. 2.2.2 Formule coninue du bes-esimae ne de chargemens On peu disinguer deux sources d aléas sous la probabilié P : - Une composane P a représenan les risques puremen echniques liés aux risques d assurance - racha srucurel e moralié - que l on suppose muualisables e indépendans des marchés financiers. Soi Ѳ 1 l ensemble des paramères définissan ces risques. Ce paramère comprend donc les ables de moralié e les courbes de racha. - Une composane P h représenan les risques liés aux comporemens dynamiques des assurés, dépendan des aux de revalorisaion. Ces comporemens son supposés indépendans des risques echniques (donc de P a ). La réacion des assurés aux aux de revalorisaion es caracérisée par une foncion de racha conjoncurel don les paramères son représenés par le veceur Ѳ 2. La réacion de l assureur aux aux de rendemens de l acif e aux anicipaions des comporemens des assurés prend la forme d acions de gesion, sur la base d un aux compable, don la résulane es le aux servi. Le veceur de paramères de cee foncion de réacion es représené par Ѳ 3. Soi par ailleurs Ѳ 4 le veceur de paramères relaif aux risques financiers. Cela représene les paramères du GSE (endance, volailiés, viesse de reour à la moyenne ). On noe Ѳ = (Ѳ 1, Ѳ 2, Ѳ 3, Ѳ 4 ) l ensemble des paramères du calcul. Soi h la foncion de hasard représenan le aux de sorie insanané. Cee foncion es une foncion de R + (R + ) n vérifian pour ou (, u ) R + (R + ) n : où : S(, u ) = exp ( h(, u )) 0 dln(s(, u )) = h(, u )d 9
- S(, u ) es la foncion de survie définie sur R + (R + ) n ; - représene le emps ; - u es une variable caracérisan les rachas conjoncurels. Elle peu représener les n derniers aux servis à l insan enran dans le calcul de la foncion de saisfacion des assurés. Le faceur n peu s inerpréer comme le emps de réacion aux aux servis. La foncion de hasard e la foncion de survie on comme paramères Ѳ 1 e Ѳ 2. Soi : BE a (0) = E Pa (Λ), alors : Donc : + BE a (0) = E Pa (Λ) = Λ. dp a = 0 Il s en sui que : + Λ. ds(, u ) = 0 + BE a (0) = PM(0). ψ(). S(, u )h(, u )d 0 BE ne (0) = E P Q (Λ) = E Ph Q (BE a (0)) + Λ. S(, u )h(, u )d + BE ne (0) = PM(0). E Ph Q ( ψ(). S(, u )h(, u )d) Ce qui s écri en explician les veceurs de paramères du modèle : + BE ne (0 Ѳ) = PM(0). E Ph Q ( ψ( Ѳ 3, Ѳ 4 ). S(, u Ѳ 1, Ѳ 2 )h(, u Ѳ 1, Ѳ 2 )d) En noan : 0 + α(ѳ) = E Ph Q ( ψ( Ѳ 3, Ѳ 4 ). S(, u Ѳ 1, Ѳ 2 )h(, u Ѳ 1, Ѳ 2 )d) S éabli alors la relaion de proporionnalié suivane : 0 BE ne (0 Ѳ) = PM(0). α(ѳ) 2.2.3 Formule discréisée du bes-esimae ne de chargemens Sur un horizon de projecion fini noé le bes-esimae discréisé s écri : avec : BE ne (0) = PM(0). E Ph Q ( l 1. R( 1). (q l 1 + v 1 q 1. v 1 ). ψ() 0 =1 + l l 0. R(). ψ()) - q aux de moralié enre e + 1. 0 0 10
- v aux de racha enre e +1. Ce aux comprend le racha conjoncurel e le racha srucurel. 1 - R() = j=1 (1 v j ) e R(0) = 1 es la par non-racheée de l épargne enre 0 e. - ψ() = exp{ i=1 c i i=1 r i } avec : o c i : le aux de revalorisaion de l épargne ne de chargemens à la dae i. Ce aux doi êre supérieur au aux minimum garani ; o r i es le aux sans risque pour la période enre i 1 e i. 2.2.4 La meilleure esimaion des frais Soi ι le aux de frais/chargemens annuel consan appliqué à l épargne acquise. Comme précisé ci-dessus, ce aux correspond égalemen au aux de frais. Le monan de frais engagés par l assureur enre e, s écri : donc : Ι(, ) = VR( ). exp ( c u. du Pour = 1 on peu écrire : + ( ). ι) VR( ). exp ( c u. du) Ι(, ) = VR(). (exp(( ). ι) 1) ( ). ι. VR() Ι() = Ι(, ) = VR(). (exp(ι) 1) VR(). ι ι. PM(0). exp ( c u. du) 0 En suivan le même raisonnemen que la secion précédene e en gardan les mêmes noaions, la meilleure esimaion des chargemens/frais discréisée à pas annuel s écri : Donc : BE frais (0) = (exp(ι) 1). PM(0). E Ph Q ( l. R(). ψ()) l 0 =1 BE frais (0 Ѳ) = (exp(ι) 1). PM(0). β(ѳ) ι. PM(0). β(ѳ) 2.2.5 La formule discréisée du bes-esimae Noons : - f = l 1. R( 1). (q l 0 1 + v 1 q 1. v 1 ) : la probabilié de sorie enre 1 e ; - g = l l 0. R() : la probabilié de présence à l insan. Les grandeurs f e g son sochasiques car elles inègren les rachas conjoncurels. Sur un horizon de projecion fini noé le bes-esimae discréisé s écri : BE(0) = BE ne (0) + BE frais (0) 11
donc : BE(0) = PM(0). E Ph Q ( (f + ιg ). ψ() + g. ψ()) =1 2.3 Reformulaion quaniaive de la problémaique Pour simplifier les noaions, reprenons la relaion de proporionnalié démonrée dans les secions précédenes : BE(0 Ѳ) = PM(0). (α(ѳ) + ι. β(ѳ)) Dans l hypohèse où les paramères suivans son prédéfinis : - Le veceur Ѳ 1 : ables de moralié e courbes de racha srucurel. Ces risques son supposés êre parfaiemen muualisés e ne dépenden pas des risques financiers. - Le veceur Ѳ 2 : l ensemble des paramères de la foncion de réacion des assurés aux aux servis (par exemple la foncion proposée dans les ONC, cf. ACPR [2013]). La foncion de réacion prend comme argumens des rendemens financiers e la résulane es donc aléaoire. - Le veceur Ѳ 3 : l ensemble des paramères de la foncion de réacion de l assureur aux comporemens des assurés e aux aux de rendemens de l acif (acions de gesion). La foncion de réacion prend comme argumens des rendemens financiers. La résulane es donc aléaoire. Dans un cadre où les foncions de réacion son déerminises, la srucure sochasique du bes-esimae dépend uniquemen du veceur des paramères Ѳ 4 du GSE. Dans ce cadre, on écri par simplificaion : On pose : 2.3.1 Méhode de calibrage sandard BE(0 Ѳ) = PM(0). (α(ѳ 4 ) + ι. β(ѳ 4 )) λ(ѳ 4 ) = (α(ѳ 4 ) + ι. β(ѳ 4 )) = BE(0 Ѳ) PM(0) En général, le GSE devraien êre choisis e calibrés pour représener au mieux les prix des insrumens financiers reenus dans le processus de modélisaion. Dans ce cadre, calibrer un GSE pour calculer le bes-esimae revien à : - Choisir une mesure de disance 4 noé d ; - Consruire le veceur des observaions λ obs ; 4 Pour rappel la disance de Minkovski d ordre p enre deux veceur X = (x 1,, x n ) e Y = (y 1,, y n ) réels p s écri : d(x, Y) = n 1 x i y i p e pour p = +, d(x, Y) = sup ( x i y i ). On rerouve un cadre similaire pour les foncions mesurables dans les espaces de Lebesgue. 12
- Consruire le veceur des prix héoriques λ h ; - Calibrer le modèle en choisissan Ѳ 4 el que : Ѳ 4 = argmin Ѳ 4 (d(λ obs, λ h (Ѳ 4 ))). On peu rouver des applicaions de ce processus assez classique en modélisaion financière dans Armel e Planche [2018] e dans des publicaions de référence comme Brigo e Mercurio [2001] ou Hull [2007]. 2.3.2 Méhode de calibrage convenionnelle En épargne, l applicaion du processus sandard se heure à une limie majeure : le besesimae es un prix qui n es pas observé. Il n exise pas de marché d échanges des passifs d assurance des conras d épargne en runoff. Face à la nécessié, réglemenaire noammen, de calculer le bes-esimae e l incapacié de calibrer les GSE par le processus sandard, une convenion de valorisaion s es éablie. Cee convenion consise à calibrer le GSE sur les prix de produis financiers échangés sur le marché jouan le rôle de subsiu au bes-esimae. Les paramères du GSE son déduis ensuie par l opimisaion suivane : Ѳ 4 = argmin Ѳ 4 (d(prod_fi obs, prod_fi h (Ѳ 4 ))) L hypohèse sous-jacene à cee praique es l équivalence enre les opions financières e le bes-esimae. Cee hypohèse ne peu cependan êre vérifiée car le bes-esimae n es pas observable. Par ailleurs, Armel e Planche [2018] présenen le cadre convenionnel du calibrage des modèles de aux e explicie ses limies. Ils présenen égalemen une démarche de consrucion d un généraeur de scénarios économiques risque neure. La secion suivane se focalise sur deux choix convenionnels : - Le choix du modèle de aux ; - Le choix des insrumens financiers pour le calibrage du GSE. L objecif es d éudier l impac des choix de modèles de aux e des données de calibrage sur le bes-esimae calculé sur un porefeuille d épargne en réel. 3 Impac du choix du modèle de aux e des données de calibrage sur le bes-esimae 3.1 Modèles de généraions de scénarios économiques uilisés Armel e Planche [2018] présenen une démarche de généraion de scénarios économiques permean de produire des scénarios cohérens avec un environnemen économique caracérisé par des aux négaifs. Ils appliquen cee démarche pour générer des scénarios économiques desinés à la valorisaion des passifs d épargne en euro dans le 13
référeniel solvabilié 2. Par ailleurs, ils analysen la convenion de calibrage des modèles de aux, explicien ses limies e proposen une éude de sensibilié des paramères du GSE e des simulaions au faceur de décalage. Dans la suie, l éude de la sensibilié du bes-esimae aux choix des modèles de aux e de leurs calibrages s appuie sur le cadre héorique e les applicaions présenées dans Armel e Planche [2018]. L acif es supposé se composer d acions, d invesissemen en immobilier e d obligaions zéros-coupons sans risque. Les prix des acions e des invesissemens en immobiliers son supposés suivre un mouvemen brownien géomérique sous la probabilié risque neure. rois modèles de aux son esés : - Un modèle mono-facoriel : Hull & Whie calibré sur des caps e sur des swapions ; - Un modèle à deux faceurs : modèle gaussien G2++ calibré sur des caps e sur des swapions ; - Un modèle de marché : Libor Marke Model (LMM) calibré sur des swapions. Au oal, 3 modèles combinés à 2 ypes de produis financiers (caps e swapions) son proposés dans la suie. Ces modèles respecen les conraines du régulaeur e son uilisés par le marché. Par ailleurs, les choix suivans son reenus : - Les opions reenues pour le calibrage des différens modèles (call, caps e swapion) son AM ; - Les volailiés de marché des caps e swapions uilisées dans le processus de calibrage son des volailiés log-normales AM non décalées observées au 02 janvier 2018 e fournies par Bloomberg (le faceur de décalage es égal à 0) ; - La courbe de aux sans risque reenue pour les processus de calibrage e de simulaion es la courbe de aux fournie par l EIOPA au 31 décembre 2017 ; - L uilisaion de la courbe EIOPA implique la nécessié d inroduire un faceur de décalage non nul pour calibrer e projeer les modèles de aux. L inroducion de ce faceur non nul (alors que l exracion des volailiés es réalisée avec un faceur de décalage nul) indui un cerain biais dans le modèle : o Pour les modèles Hull e Whie e G2++ : différens calibrages on éé réalisés correspondan à différens niveaux du faceur de décalage. Ces modèles son normaux e ne nécessien pas la définiion d un faceur de décalage pour la diffusion ; o Le modèle LMM a éé calibré sur les volailiés de Black sur les mauriés ne présenan pas de aux négaifs : aucun faceur de décalage n a éé inrodui dans le processus de calibrage ; o La diffusion du modèle LMM nécessie la définiion d un faceur de décalage. Plusieurs faceurs on éé esés ; 14
o rois niveaux du faceur de décalage son esés : 0,4 %, 1 % e 2 %. La valeur de 0,4 % correspond à la valeur absolue arrondie du aux minimal de la courbe de aux sans risque EIOPA au 31 décembre 2017. - Pour la projecion d invesissemens en acions e en immobilier, nous avons reenu des modèles de Black-Scholes à volailiés consanes : o La volailié implicie à un invesissemen en acions es calibrée sur la volailié implicie du call AM sur le CAC 40 de maurié 3 ans ; o La volailié d un invesissemen en immobilier correspond à la volailié hisorique des rendemens de l indice des prix de vene des logemens anciens publié par l INSEE 5. Dans la suie, nous présenons les paramères des modèles de aux uilisés pour évaluer la sensibilié du bes-esimae au choix de modèles de aux e de leur paramérage. Les marices de corrélaions, les résulas des calibrages des modèles acions e invesissemens en immobilier ainsi qu une analyse complèe des résulas son proposés dans Armel e Planche [2018]. Le ableau 1 e le ableau 2 présene respecivemen les résulas des calibrages des modèle Hull & Whie e G2++ sur les données de caps e de swapions observées au 02/01/2018. ableau 1 : résulas du calibrage du modèle Hull & Whie Indice Décalage du modèle Black a σ Erreur oale au carré relaive HW 1 (Caps) 0,40% 0,97% 0,53% 2,71% HW 2 (Caps) 1,00% 1,00% 0,80% 2,98% HW 3 (Caps) 2,00% 1,04% 1,25% 2,92% HW 4 (Swapion) 0,40% 0,07% 1,27% 7,32% HW 5 (Swapion) 1,00% 0,10% 1,62% 8,48% HW 6 (Swapion) 2,00% 0,01% 2,20% 10,43% ableau 2 : résulas du calibrage du modèle G2++ Indice Décalage du modèle Black a b σ η ρ Erreur oale au carré relaive G2 1 (Caps) 0,40% 1,48% 0,50% 26,02% 25,64% -99,99% 0,009% G2 2 (Caps) 1,00% 5,14% 0,03% 7,50% 7,07% -100,00% 0,005% G2 3 (Caps) 2,00% 8,39% 4,36% 17,46% 16,76% -99,99% 0,012% G2 4 (Swapion) 0,40% 11,47% 9,04% 24,20% 23,22% -99,99% 0,17% G2 5 (Swapion) 1,00% 11,49% 8,90% 26,50% 25,67% -99,80% 0,21% G2 6 (Swapion) 2,00% 11,71% 8,38% 25,59% 24,97% -99,97% 0,29% Le ableau 3 présene les résulas du calibrage du modèle LMM sur les données de swapions. Le calibrage es réalisé sans inroduire de faceur de décalage en ne reenan que les volailiés de marché correspondan aux aux posiifs. 5 hps://www.insee.fr/fr/saisiques/series/102770558 15
ableau 3 : résulas du calibrage du modèle LMM Faceur de décalage a b c d Bea Erreur oale au carré relaive 0,00% 18,85% 0,19% 7,45% 0,01% 0,10% 1,19% Le modèle LMM calibré sur les swapions diverge, e ce, même avec le plus pei faceur de décalage admissible pour conourner la conraine des aux négaifs. Ce calibrage, bien que marke-consisen, ne peu êre reenu dans l éa pour la valorisaion des passifs des conras d épargne en euro. Nous nous sommes appuyés sur ce calibrage marke-consisen pour proposer un paramérage convergen du modèle LMM. Ce paramérage n es de fai pas markeconsisen. Comme présené dans le ableau 4, nous avons augmené la viesse de convergence de la volailié de Rebonao e le niveau de la limie asympoique. ableau 4 : paramérage convergen du modèle LMM a b c d Bea 18,85% 0,19% 20,00% 1,00% 0,10% 3.2 Impac du choix de modèle de aux sur le bes-esimae 3.2.1 Modèle de calcul du bes-esimae Afin d évaluer le bes-esimae nous avons uilisé le package R SimBEL 6. Cee évaluaion inègre les ables de scénarios économiques que nous avons générés e s appuie sur des données réelles modifiées d un assureur. L ouil SimBEL perme de calculer les provisions bes-esimae e les SCR de la formule sandard. 3.2.2 Paramères e résulas Le ableau 5 présene quelques données de paramérage du modèle de valorisaion du bes-esimae. L acif es esseniellemen composé d obligaions sans risque. La plus-value laene es de 6 M. La provision mahémaique es par ailleurs de 70 M e l horizon de projecion es 20 ans. ableau 5 : descripion de l acif Acifs Valeur de marché Valeur compable Allocaion sraégique Acions 20,00 18,54 20% Immobilier 10,00 9,88 10% Obligaions sans risque 63,00 58,85 63% Cash 7,00 7,00 7% oal 100,00 94,26 100% 6 Voir hp://www.ressources-acuarielles.ne/c1256f13006585b2/0/c5542e1cf549f21fc12581680046fd2e 16
Les ableau 6 e ableau 7 présenen la sensibilié du bes-esimae aux choix e aux calibrages des modèles de aux sans risque marke-consisen Hull e Whie e G2++. Nous consaons que : - Les bes-esimaes, évalués en uilisan le modèle de aux Hull & Whie, son insensibles aux faceurs de décalage e aux choix des produis dérivés pour le calibrage ; - Les bes-esimaes, évalués en uilisan le modèle de aux G2++, son plus sensibles aux faceurs de décalage (impac maximal de 4 %) e aux choix des produis dérivés pour le calibrage (impac maximal de 4,4 %) ; - L impac du choix de modèles de aux Hull & Whie e G2++ es au maximum 4,3 % de la moyenne des bes-esimae (ableau 9). ableau 6 : bes-esimae par le modèle Hull & Whie marke-consisen Monans en M HW 1 HW 2 HW 3 HW 4 HW 5 HW 6 Bes-esimae ne de frais 82,92 82,92 82,64 82,89 82,63 82,45 Frais 7,95 7,94 7,85 7,86 7,76 7,60 Bes-esimae 90,88 90,86 90,49 90,75 90,39 90,05 ableau 7 : bes-esimae par le modèle G2++ marke-consisen Monans en M G2 1 G2 2 G2 3 G2 4 G2 5 G2 6 Bes-esimae ne de frais 80,58 83,18 81,42 82,75 82,84 83,60 Frais 6,90 7,79 7,40 7,88 7,77 7,76 Bes-esimae 87,48 90,97 88,82 90,63 90,61 91,36 Le ableau 8 présene les bes-esimaes évalués en uilisan le modèle LMM non markeconsisen dérivé du modèle LMM marke-consisen par ajusemen du paramère de volailié (cf. secion Erreur! Source du renvoi inrouvable.). Nous consaons que les besesimaes son insensibles aux faceurs de décalage e son comparables aux grandeurs présenées dans le ableau 1ableau 6. ableau 8 : bes-esimae par le modèle LMM non marke-consisen Monans en M LMM 1 LMM 2 LMM 3 Bes-esimae ne de frais 82,87 82,62 82,78 Frais 7,94 7,92 7,94 Bes-esimae 90,81 90,54 90,72 ableau 9 : comparaison des bes-esimaes Bes-esimae Ecar-ype Min Max Ecar (Max-Min)/Moyennne Uniquemen les modèles marke-consisan (HW & G2 ++) 1,20% 87,48 91,36 4,30% ous les modèles 1,08% 87,48 91,36 4,29% Par ailleurs, les raios enre la provision mahémaique e les bes-esimaes varien enre 77 % e 80 %. Ces raios son inférieurs aux raios observés des enreprises BNP Paribas Cardif 7 (88 %) e AXA France Vie 8 (83 %) mais resen dans les mêmes ordres de grandeur. 7 Les données son exraies du rappor SFCR disponible sur le sie insiuionnel de BNP Paribas Cardif : lien. 8 Les données son exraies du rappor SFCR disponible sur le sie insiuionnel d AXA France : lien. 17
La différence enre le bes-esimae e la provision mahémaique peu s expliquer noammen par une richesse iniiale à la discréion de l assureur (cf. secion 4.1.1). Bien que les modèles uilisés pour évaluer la sensibilié du bes-esimae présenen des caracérisiques différenes, l impac sur la valeur de ce dernier rese assez conenu. La différence enre la valeur minimale e maximale es de 4,30 %. Une aenion pariculière doi êre néanmoins accordée au modèle LMM. Ce modèle, calibré sur les données observées au 02/01/2018, ne peu êre reenu pour l évaluaion du bes-esimae du fai de sa divergence. 4 Peu-on consruire un GSE cohéren avec la srucure opionnelle du besesimae? 4.1 Analyse qualiaive de la consrucion du bes-esimae 4.1.1 Richesse iniiale de l assureur Les conras fuurs son exclus du périmère d évaluaion du bes-esimae. En oure, si les conras d épargne ne coniennen pas de garanies financières prédéerminées pour ous les versemens fuurs, ce qui es en général le cas des conras d épargne classiques, les primes fuures ne peuven êre prises en compe dans le périmère d évaluaion (ACPR [2013]). La valorisaion du bes-esimae épargne en es donc es donc effecuée dans un cadre supposan que l assureur arrêe son acivié commerciale e se conene de gérer son encours. Les assurés, don l épargne acquise à la dae d évaluaion 0 es la provision mahémaique PM(0), peuven profier d une richesse iniiale cumulée par l assureur. Cee dernière se présene comme sui : - La provision pour paricipaion aux bénéfices qui es oalemen acquise aux assurés. Sa disribuion es à la discréion de l assureur. La valeur iniiale de cee provision es noée PPB(0) ; - Les plus ou moins-values laenes générées par la gesion compable des aux de revalorisaion déjà disribués. La valeur iniiale es noée PMVL(0) ; - Les provisions de piloage des rendemens compables comme la réserve de capialisaion, la provision pour aléas financiers e la provision pour risque d exigibilié. Ces provisions son à la discréion de l assureur. Leur valeur iniiale es noée PR(0). La Figure 1 illusre l imporance de la richesse iniiale cumulée par les enreprises régies par le code des assurances sur le marché français (cf. FFA [2017]). 18
Figure 1 : richesse iniiale des assureurs sur le marché français de 2012 à 2016 En 2016, la richesse maximale es d au moins 17,9 %. La richesse iniiale acquise aux assurés es de 3,1 %. La richesse iniiale pouvan êre disribuée par l assureur peu varier héoriquemen dans un inervalle don le diamère représene 14,8 % des provisions mahémaiques en 2016. En 2016, les provisions mahémaiques des conras d épargne en es de 1 286,9 milliards d euros. Les fonds propres des sociéés vie, de capialisaion e mixes avan affecaion des résulas son de 67,5 milliards d euros (FFA [2017]). Une inceriude addiive de 5 % sur l inégraion de la richesse iniiale e sa disribuion dans les flux fuurs représene une variabilié du bes-esimae de 64,3 Mds. Ce qui es bien comparable aux fonds propres cumulés des assureurs vie. Dans un univers de gesion des conras en runoff, les acifs seron cédés progressivemen pour servir des aux de revalorisaion compables ou pour honorer les flux sorans. La valeur laene iniiale sera progressivemen disribuée en parie aux assurés e inégrée aux flux fuurs à la discréion de l assureur. Celui-ci parage par ailleurs les bénéfices compables réalisés sur la cession d acifs dans les limies réglemenaires e conracuelles des clauses de paricipaion aux bénéfices. La valeur laene iniiale e acuelle maximale pouvan êre disribuée aux assurées es PMVL max = PMVL(0) 9. La valeur minimale dépend de plusieurs paramères comme la poliique de gesion du rendemen compable, de la performance de l acif, des clauses de disribuion de la paricipaion aux bénéfices e de la poliique de doaion/reprise des provisions de piloage des rendemens. Si, par exemple, l assureur décide de ne réaliser les PMVL que pour les disribuer aux assurés, alors le minimum réglemenaire devan êre disribué es : 9 La valeur de marché de l acif es égale à la valeur compable augmenée des valeurs laenes. La somme des flux fuurs acualisés de l acif en valeur de marché es égale à la valeur acuelle (AOA). En gesion runoff, la oalié de l acif sera disribuée. La somme des flux fuurs compables acualisés es égale à l acif acuel en valeur de marché e donc égal à la valeur acuelle compable de l acif plus les valeurs laenes. 19
PMVL min = 85% PMVL(0) Dans ous les cas, il exise des PMVL min PMVL(0) el que : PMVL min PMVL disribuée PMVL max Les provisions de piloage de rendemens compable seron par ailleurs doées ou reprises au fur e à mesure de la cession de l acif e de la réalisaion des valeurs laenes. Leur disribuion es discréionnaire e dépend de la poliique d invesissemen de l assureur. Ces provisions viennen moduler les rendemens financiers de l acif. Si ceraines provisions de piloage son non-nulles à la fin de la projecion des flux, l assureur se réserve le droi de ne pas les verser aux assurés (exemple : la réserve de capialisaion). Le monan maximal acuel pouvan êre disribué aux assurés es donc PR max = PR(0). Le monan minimal acuel pouvan êre disribué dépend de la poliique de l assureur e peu êre nul : 0 PR min PR(0). Noons : Richesse ini min (0) = PPB(0) + PMVL min (0) + PR min (0) Richesse ini max (0) = PPB(0) + PMVL max (0) + PR max (0) Ainsi, la somme des flux fuurs acualisés que l assureur doi disribuer es d au moins (AOA) : PM(0) + Richesse ini min (0) Les assurés profien ou subissen donc un effe mémoire sur l acif géré par l assureur. Si la richesse iniiale incorporée aux flux fuurs es posiive, la valeur acuelle de ces flux es supérieure à leur invesissemen iniial (PM(0)). Si cee richesse es négaive (dans le cas de moins-values laenes significaives par exemple), les assurés raionnels peuven : - Garder leurs conras si la garanie offere par l assureur es significaive. Dans ce cas, l assureur peu êre conrain d engager ses fonds propres pour servir les aux garanis ; - Arbirer ou racheer leur épargne acquise. On peu donc supposer que la somme des flux fuurs acualisés disribués par l assureur es dans ous les cas supérieure ou égale à la PM(0). Par ailleurs, l assureur raionnel cherchera à maximiser son uilié espérée e éviera de verser plus que la richesse iniiale maximale afin d évier d engager ses fonds propres. Pour ce faire, la valeur économique de son engagemen minimal envers les assurés doi êre inférieure à la provision mahémaique augmenée de la richesse iniiale maximale. Cee valeur économique consise à évaluer la somme des flux fuurs minimaux garanis e s avère nécessaire pour apprécier l équilibre économique des conras d épargnes gérés. C es ce que nous appelons dans la suie : bes-esimae conracuel minimal. 20
4.1.2 Valorisaion du bes-esimae conracuel minimal Nous définissons le bes-esimae conracuel comme la somme des flux fuurs garanis acualisés. Il correspond au scénario où l assureur verse les aux minimums sur lesquels il s es engagé (ou il compe s engager). Soi MG = {mg i } i 1, la courbe anicipée des aux minimums garanis el que mg i es le aux garani anicipé déerminise enre les dae i 1 e i. Reprenons les noaions de la secion 2.2.3. Par définiion, nous avons donc : c i = mg i pour chaque dae i. Puisque les aux de revalorisaion son déerminises, les chroniques de f e de g son déerminises égalemen. Noons par ailleurs que : Donc : E Ph Q (ψ()) = exp ( mg i ) E Q (exp ( r i )) = exp ( mg i ). P(0, ) i=1 (mg BE conr (0) = PM(0). (f i ) (mg + i ) ιg ) P M (0, ). exp ( mg i ) =1 (mg + g ). P M (0, ). exp ( mg i ) i=1 où P M (0, ) es le prix d une obligaion zéro coupon sans risque observé sur le marché payan une unié monéaire à la maurié e ι le aux de chargemen. Noons que : - Cee écriure du bes-esimae conracuel ne dépend pas de modèles de généraion de scénarios économiques ; - Le bes-esimae conracuel représene l engagemen minimal de l assureur. Il indique noammen le niveau de la garanie quand les aux promis son significaifs ; - Le bes-esimae conracuel es complèemen déerminé par la poliique e le arif de l assureur (les mg i e ι), la srucure biomérique e la srucure i=1 comporemenale (les chroniques f (mg i ) e g (mg i ) ) ; - Le bes-esimae conracuel représene la valeur minimale obligaoire des flux fuurs acualisés. Si le bes-esimae es inférieur sricemen au bes-esimae garani, deux cas se présenen : o Il exise au moins un aux de revalorisaion inférieur sricemen au aux garani ce qui signifie le défau de l assureur ; o Il n exise aucun aux de revalorisaion inférieur sricemen au aux garanis : cela signifie que l origine de la baisse se rouve dans le i=1 i=1 21
comporemen des assurés (racha conjoncurel). Or ce comporemen n es pas raionnel dans le sens où il ne maximise pas l uilié espérée 10. - Le bes-esimae conracuel peu s inerpréer comme le monan minimal que l assureur peu invesir en acifs sans risque ou en éan cerain d honorer ses engagemens conracuels ; - Le bes-esimae conracuel perme d éudier la moneyness du conra e d évaluer l écar enre la garanie e la valeur du racha (cf. secion 8). Noons que le bes-esimae conracuel es différen du bes-esimae garani (BEG) el qu il es consrui dans ACPR [2013]. Le bes-esimae conracuel es en effe un scénario possible, noammen quand les rendemens de l acif ne son pas suffisans pour couvrir les aux garanis. Le BEG es une valeur calculée, ne correspondan à aucun scénario possible. Elle indique la par garanie du bes-esimae réglemenaire. En effe, la méhode de calcul du BEG proposée dans ACPR [2013] se présene en quare éapes : - Éape 1 : exracion de la chronique des presaions non revalorisées de calcul du bes-esimae pour chaque scénario e pour chaque pas de emps (décès, rachas srucurels, rachas dynamiques ) 11 ; - Éape 2 : valorisaion de ces presaions par les rendemens garanis. Ces rendemens garanis incorporen les aux echniques e la PPB arrivée à échéance. L épargne es diminuée annuellemen des chargemens conracuels évenuels ; - Éape 3 : acualisaion des flux garanis par les aux propres à chaque scenario ; - Éape 4 : le BEG es égal à la moyenne des valeurs obenues sur ous les scenarios. Cee consrucion du BEG repose donc sur des chroniques de presaions exraies des scénarios uilisés pour le calcul du bes-esimae en amon de l inégraion des rendemens garanis. Dans ce cas les séries f e g son dépendanes des rajecoires sochasiques. Le BEG es une indicaion sur la par garanie du bes-esimae e non une mesure de l engagemen minimal de l assureur. En conclusion, la valeur minimale du bes-esimae s écri : BE min (0) = max(pm(0), BE conr (0), PM(0) + Richesse ini min (0)) Si l on suppose que l assureur maximise son uilié e veille à préserver ses fonds propres sociaux, la valeur maximale du bes-esimae s écri : BE max (0) = max(pm(0), BE conr (0), PM(0) + Richesse ini max (0)) Si BE max (0) = BE min (0) = BE conr (0) cela signifie que l assureur mobilisera une parie de ses fonds propres pour honorer ses engagemens condiionnellemen à l éa du monde à la dae 0. Noons que ses deux bornes du bes-esimae son indépendanes des choix de modèles de généraion de scénarios économiques. 10 Si les aux de revalorisaions moyens son supérieurs aux aux garanis, les assurés son cerains d avoir un bes-esimae supérieur au bes-esimae garani en gardan le même comporemen f (mg i ) e g (mg i ). 11 Cela correspond aux séries f e g inroduies dans ce aricle e qui son des variables sochasiques. 22
4.1.3 Le bes-esimae dépend de la poliique de l assureur La poliique de l assureur impace le niveau du bes-esimae. L exemple suivan illusre commen le piloage de la richesse iniiale peu avoir un impac significaif sur le besesimae. Soi deux assureurs A e B avec des caracérisiques ideniques : - Ils disposen des mêmes acifs e passifs ; - Ils évoluen dans un même environnemen économique ; - Ils on une richesse suffisane pour servir les aux garanis. Ayan la même srucure de porefeuille, les bes-esimaes des deux assureurs on les mêmes bornes maximales e minimales. Soi par exemple BE A (0) < BE max (0) le bes-esimae de l enreprise A. Quel que soi l éa de l économie, l assureur B peu choisir un bes-esimae cible el que : BE A (0) < BE cible (0) < BE max (0) en servan un spread a soluion de l équaion suivane (cf. secion 7) : BE cible (0) = PM(0)E Ph Q ( (f a + ιg a ). ψ a () + g a. ψ a ()) =1 avec : ψ a () = exp{ i=1 c i i=1 r i +. a} e : o c i : le aux de revalorisaion de l épargne ne de chargemens à la dae i versé par l assureur A. Ce aux doi êre supérieur au aux minimum garani ; o r i es le aux sans risque pour la période enre i 1 e i. L assureur B, par une décision discréionnaire, parage plus de richesse iniiale que l assureur A. Le bes-esimae de B es différen du bes-esimae de A alors que l exposiion des deux assureurs aux risques es idenique. Ce exemple illusre qu une acion de managemen sur la poliique de parage de richesse peu avoir un impac significaif sur le bes-esimae foncion du niveau du spread a. La différence enre le bes-esimae de A e B peu êre significaif e varier en moyenne enre 0 % e 17,6 % de la provision mahémaique sur la base des saisiques de marché de 2016. Cee différence, aussi significaive qu elle puisse êre, peu êre définie indépendammen du modèle de généraion de scénarios économiques. 4.1.4 Conclusion Nous avons monré dans cee secion que la poliique de l assureur peu avoir un impac significaif sur le bes-esimae e ce quel que soi l univers des risques biomériques, comporemenaux ou économiques. Dans un environnemen de risques prédéfini, le bes-esimae d un porefeuille d épargne en n es donc pas unique. Le ransfer insanané du porefeuille d une sociéé à une aure 23
change insananémen le monan du bes-esimae si les poliiques de gesion son différenes, e ce, même si l environnemen économique rese inchangé. Il n exise donc pas de valeur économique d un passif d assurance mais une infinié de valeurs représenan chacune une poliique de gesion subjecive des conras d épargne en par l enreprise d assurance. Le bes-esimae n es pas la valeur économique du passif. Il représene au mieux la valeur économique des engagemens d assurance condiionnellemen à la poliique de gesion de l assureur. Le processus de calibrage e de validaion du généraeur de scénarios économiques, uilisés pour évaluer le bes-esimae, en comparan les simulaions aux données observées dans le cadre d'une approche saisique, ne peu êre considéré. En effe : - Le bes-esimae n'es pas observé dans un marché profond e liquide ; - Nous pouvons obenir différenes valeurs du bes-esimae pour les mêmes risques sous-jacens : un marché profond e liquide pour le bes-esimae el qu il es défini dans le cadre de Solvabilié 2 ne peu exiser. Par ailleurs, le bes-esimae es borné. Ses bornes ne dépenden pas de modèles de généraion de scénarios économiques. Aussi, quel que soi le choix du GSE, il es possible de piloer les aux de revalorisaion pour aeindre un bes-esimae cible prédéfini enre la valeur minimale e la valeur maximale du bes-esimae. Il es donc discuable de faire le lien enre un GSE e un bes-esimae sans préciser la poliique de revalorisaion de l'assureur. Il es discuable égalemen d'uiliser cerains produis dérivés de aux pour calibrer le GSE sans éablir de lien enre ces dérivés e : la srucure opionnelle des engagemens de l assureur, son passif, ses acifs e sa poliique. Le ableau 10 présene la répariion de l acif des assureurs en valeur de marché à fin 2016 (source FFA [2017]). ableau 10 : placemens des sociéés d assurance fin 2016 Encours des placemens des sociéés d assurances à fin 2016 En Md Allocaion Acions d enreprises 401 17% Obligaions d enreprises 907 39% Obligaions émises ou garanies par l Éa 773 33% Acifs immobiliers 97 4% Acifs monéaires 123 5% Aures 49 2% oal 2 350 100% Don sociéés vie e mixe 2 114 90% Don sociéés dommages 236 10% Un généraeur de scénarios économiques permean de valoriser des obligaions, des acions, des invesissemens en immobilier e des ires monéaires couvre 98 % de l acif des enreprises d assurance e perme de diffuser les aux sans risque. 24