ENSM Cours Pi Marc Bize 0-04 Lois de probabiliés coninues Exercice Dans chacun des cas suivans dire si la foncion f es une densié pour une loi de probabilié sur I :. f : x x., [ 0 ; ], I = [ 0 ; ] ; f : I = ;. f :, I = [ ;4] ; 4. f : x, I = [ ; ]. x Exercice Déerminer le réel k pour que la foncion f soi une densié pour une loi de probabilié sur I, puis calculer ([ ; ]) P.. f : x k, I = [ ;9 ] ;. f : k, I = [ 0; ]. f : k, I = [ ;4 ] ; 4. ; k f : x, I = ; e x. Exercice On considère une variable X suivan la loi uniforme 0;. Déerminer le(s) réel(s) els que les sur [ ] évènemens ( X [ 0,4 ;0,9 ]) e ( X [ 0,; ]) soien indépendans. Exercice 4 On considère la foncion f définie sur [ 0 ; ] par f = k avec k > 0.. Déerminer le réel k pour que f soi une densié de loi de probabilié sur l inervalle [ 0 ; ].. On considère une variable aléaoire X suivan la loi de probabilié définie par la densié f. Calculer P( X ). Déerminer le réel a de [ 0 ; ] el que : P( 0 X a) = P( X ).. Une variable aléaoire Y sui la loi uniforme sur 0 ;. l inervalle [ ] Indiquer la densié définissan cee loi uniforme. Pour ou x 0 >,5, comparer : (,5 ) e P(,5 Y x ) P X x 0 0 Exercice 5 La variable aléaoire X sui une loi exponenielle de paramère. Dans chacun des cas ci-dessous, 0,5 P X > 0. calculer P( X ) e. =. =. = 0, Exercice 6. Déerminer la valeur du paramère de la densié f : e sachan que la loi de probabilié définie par f vérifie P ([ 0 ; ]) e =. e. En déduire la valeur de 9 P ; +. Exercice 7 Une variable aléaoire X sui une loi exponenielle de paramère. Déerminer le réel dans chacun des cas suivans : P X > = ;. 0,75 P X < = ;. 0,5. P ( X ) X = 0,05. Exercice 8 La durée de vie, exprimée en heures, d une ampoule élecrique d un cerain modèle, es une variable aléaoire qui sui une loi exponenielle de paramère, où es un réel sricemen posiif.. Sachan que P( X 000) = 0,9, déerminer la valeur exace de, puis en donner une valeur 5 approchée à 0 près. X > 000 es. Sachan que l évènemen réalisé, déerminer la probabilié de l évènemen X > 500. Démonrer que, pour ous réels 0 e h 0 : P ( X + h X ) = P( X h > ). Sachan qu une ampoule a foncionné plus de 000 heures, quelle es la probabilié qu elle ombe en panne avan 4 000 heures?. Déerminer la durée moyenne de vie d une ampoule élecrique (on arrondira à l heure près). - -
ENSM Cours Pi Marc Bize 0-04 Exercice 9 X sui une loi binomiale B ( 50;0,6 ). On pose Y = X 0. On assimile Y à une 50 0,6 0,4 variable aléaoire suivan une loi N ( 0; ). Exercice On considère un réel a > e la foncion f définie =. sur l inervalle [ ; + [ par f. Quel héorème perme de jusifier l approximaion?. En déduire une valeur approchée de P 0 X 4. Exercice 0 On considère une variable aléaoire X suivan la loi 0;. Dans ce exercice, normale cenrée réduie N on donnera pour les probabiliés demandées des 4 valeurs approchées à 0 près.. A l aide de la able, déerminer la probabilié P X < 0,7.. A parir de cee valeur, déerminer : P X > 0,7 P( X 0,7) P( X 0,7). Déerminer à l aide de la able : P X 0,55 P( X 0,77) A parir de ces résulas, P 0,55 X 0,77. calculer 4. Soi un réel sricemen posiif. Exprimer P X P X en foncion de ( > ) puis = P( X ). Exercice Un chercheur a éudié l âge moyen auquel les premiers mos du vocabulaire apparaissen chez les jeunes enfans. L éude monre que l âge X d appariion (en mois) des premiers mos sui une loi normale de moyenne,5 e d écar-ype,.. Evaluer, à l aide de la able : La probabilié qu un enfan ai prononcé ses premiers mos enre 8 e 0 mois ; La probabilié qu un enfan ai prononcé ses premiers mos avan 7 mois ; La probabilié qu un enfan ai prononcé ses premiers mos après 0 mois.. Déerminer un inervalle I cenré auour de la moyenne qui permee d affirmer : «la probabilié que l âge d appariion des premiers mos apparienne à I es 95%.». Déerminer le réel a pour que f soi une densié pour une loi de probabilié sur l inervalle [ ; a ].. Le choix d un nombre x au hasard dans ; sui une loi de probabilié de l inervalle [ ] densié sur [ ; ]. Calculer P( x ) P( x,5) ( x ). Les évènemens ( x,5) son-ils indépendans?, puis x e. On veu définir une loi de probabilié sur k l inervalle [ ; + [ par une foncion g :, où k ] 0 ; + [. Démonrer que g es une densié pour une loi de probabilié sur [ ; + [ si e seulemen si k =. On suppose que k =. Calculer P ([ ;4 ]) ; en déduire ([ 4 ; [) P +. Exercice On donne la définiion suivane : Si une variable sui une loi exponenielle de paramère, on appelle demi-vie de X le paramère τ el que : P 0 X τ = P X τ. ln. Démonrer que τ =.. Comparer la demi-vie avec l espérance de la variable aléaoire X.. Un fabrican a commercialisé un lo rès imporan d oscilloscopes ideniques, don la durée de vie en années es une variable aléaoire X suivan une loi exponenielle de paramère avec > 0. On sai que le seuil de 50% d oscilloscopes encore en foncionnemen a éé aein après 5 années e demie d uilisaion. - -
ENSM Cours Pi Marc Bize 0-04 Déerminer une valeur approchée, à 0 près, du paramère après avoir inerpréé ce résula. En déduire l espérance de vie d un oscilloscope au mois près. Sachan qu un oscilloscope a foncionné 8 années, quelle es la probabilié que sa durée de vie dépasse 0 ans à 0 près? Exercice 4 Sur une ligne de rain, une enquêe a permis de révéler que le reard (algébrique) du rain, en minues, peu êre modélisé par une variable aléaoire X qui µ σ. sui une loi normale N ( ; ) Des observaions on permis d éablir que P X < 7 0,84 e que E ( X ) 5.. Déerminer les paramères de la loi suivie par X.. Quelle es la probabilié que ce rain arrive avec moins de minues de reard?. Quelle es la probabilié que le reard soi supérieur à 8 minues? 4. Sachan que le reard es supérieur à minues, quelle es la probabilié qu il soi supérieur à 5 minues? Exercice 5 QCM (une ou plusieurs réponses) 0; par f = k es. La foncion définie sur [ ] une densié sur [ 0; ] lorsque : k = k = k =. La densié définissan une loi uniforme sur ; es : l inervalle [ ] 5 0,. L espérance de la loi uniforme sur l inervalle ; es : [ ] 5 5 4. La foncion f : es une densié sur l inervalle I si : I = ;0 [ ] I = ; I = ; + [ [ - - Exercice 6 - QCM (une ou plusieurs réponses) La variable aléaoire X sui une loi exponenielle de paramère e modélise la durée de foncionnemen, exprimée en heures, d un appareil ménager avan sa première panne.. pour ou réel 0 es : e e e, la valeur exace de P( X ). La valeur du réel τ el que P( X τ ) = P( X τ ) es : ln ln. Si l on sai que la probabilié qu un appareil ombe en panne avan la première année es 0,8, alors : 50 = ln 4 4 = ln 50 ln8 = ln00 4. P ( X X ) = P( < X < ) P( X ) P( X ) Exercice 7 vrai/faux. La variable X sui une loi uniforme sur [ ;5 ]. On a : P( 0 X ) =. Si une variable aléaoire sui une loi exponenielle de paramère, la probabilié que X soi supérieure à son espérance ne dépasse pas.. La variable aléaoire T sui une loi exponenielle P T 4 = P 5 T 8 sur [ 0 ; + [. Alors Exercice 8 vrai/faux La foncion f proposée défini une densié de probabilié sur l inervalle I :. I = [ 0 ; ],. I = [ 0 ; ],. I = [ ;0 ], 4. I = [ ; ], f : f : 4 f : 4 f :
ENSM Cours Pi Marc Bize 0-04 Exercice 9 QCM (une ou plusieurs réponses) On a représené ci-dessous la foncion de densié d une loi exponenielle de paramère définie sur 0 ; +. Répondre en uilisan le graphique, ou des [ [ considéraions de cours.. La probabilié P ([ 0 ; ]) es égale à la probabilié P( [ ;0 ]) es comprise enre 0, e 0,4 es supérieure à la probabilié P ([ ; + [) A. Le paramère doi êre égal à : 0,5 4. La probabilié P ([ ; ]) es égale à 5 correspond à l aire A es environ égale à 0,4. La probabilié P ([ 5; + [) correspond à l aire A es inférieure à 0, es égale à P( [ 0 ;5 ]) Exercice 0 QCM On a représené ci-dessous la courbe de la densié de loi normale N ( 0; ) sur R. Répondre aux quesions à l aide du graphique ou par calcul. A. L aire colorée correspond à un inervalle de probabilié 0,95 environ,96 ;,96 es environ celle de l inervalle [ ] es inférieure à celle de l inervalle [ ; ] Exercice QCM T, X e Y son des variables aléaoires.. T sui la loi N ( 0; ). ( 0) 0,5 plus de 0,5 moins de 0,5 P T > =. X sui la loi N ( ;4 ). V ( X ) = 4 6. X sui la loi N ( ;4 ). P( 0 X 4) P T - ; environ 0,68 π e d 4. Y sui la loi N ( ;4 ). < < = P Y > = on ne peu pas savoir 0,5 0,5 Exercice QCM Parmi les foncions représenées graphiquemen cidessous, déerminer celles qui définissen une densié de probabilié sur l inervalle [ 0 ; ].. L aire comprise enre la courbe de la densié de loi 0; sur R. normale N correspond à une surface illimiée es infinie es égale à - 4 -
ENSM Cours Pi Marc Bize 0-04 Exercice vrai/faux On a racé ci-dessus la courbe associée à une loi µ ;9. normale N. La moyenne µ es égale à.. L aire délimiée es environ égale à 0,68. ; es égale à. La probabilié de l inervalle [ ] celle de l inervalle [ ;6 ]. 4. La courbe en cloche associée à la loi normale µ ;4 adme le même axe de symérie, e es N plus «resserrée» auour de ce axe. Exercice 4 vrai/faux La foncion f proposée défini une loi de densié de probabilié sur l inervalle I : f : f : I = ; e, f : I = +, f :. I = [ ; ],. I = [ ; ],. [ ] 4. [ ; [ Exercice 5 vrai/faux Une variable aléaoire X sui une loi de probabilié ;. définie par une densié f sur l inervalle [ ]. P( X = ) = P( X = ). P( X 0) = P( X 0). f ne s annule pas sur [ ; ] 4. si P( X < ) = 0,6 alors Exercice 6 vrai/faux P X,5 0,4. On ne peu pas définir une loi uniforme sur ;0. l inervalle [ ]. Avec une loi uniforme sur un inervalle I, si deux inervalles de I on la même probabilié, alors ils son égaux.. Avec une loi uniforme, la probabilié d un inervalle es proporionnel à sa longueur. 4. La densié d une loi uniforme sur l inervalle [ ;4 ] es la foncion consane égale à. 5. On ne peu pas définir une loi uniforme sur l inervalle [ 0 ; + [. Exercice 6 bis QCM (une ou plusieurs réponses) On considère une variable X qui modélise le choix 0 ;0. On d un réel au hasard dans l inervalle [ [ désigne par En la foncion parie enière.. P( X = 5) es égal à : 0 0 P X <. ( 5) P En X = es égal à : 0 0 P X <. P( X > 7) es égal à : P( X 7,) P( X 7) P( X ) 4. L espérance de X es : 0 5 5. ( 9) P X > es égal à : 0 P X > 5 6,5 0,7 ( X ) Exercice 7 vrai/faux P es la probabilié définie par une loi exponenielle de paramère :. P( [ 0 ; ]) = P( [ 0; ]). P[ ] ([ ; ]) = P 0 ; ([ 0; ]) + =, alors =. e P 0 ;ln4 = 0,5, alors =.. si P( [ ; [) 4. si ([ ]) - 5 -
ENSM Cours Pi Marc Bize 0-04 Exercice 8 QCU (une seule réponse) La variable aléaoire X sui une loi exponenielle de paramère > 0. P X > = 0,5 alors :. Si = = ln = ln. Si l espérance de X vau, alors : = = ln = ln. La probabilié de l évènemen X es : e e e e e e 4. L espérance de X es égale à : ln Exercice 9 vrai/faux La durée d aene, en secondes, à la caisse d un supermarché es une variable aléaoire Y qui sui une loi exponenielle de paramère 0,0.. La densié de probabilié définissan la loi de Y es 0 ; + par la foncion f définie sur [ [ 0,0 f = e. 0,0. Pour ou réel posiif, P( Y ) e =.. La probabilié d aendre moins de minues à cee caisse es, à 0 près égale à 0,0. 4. Il y a plus d une chance sur deux que l aene soi supérieure à minue. Exercice 0 Quelle es la probabilié qu un appareil don la durée de vie sui une loi exponenielle, ai une durée de vie supérieure ou égale au :. double de son espérance?. riple de son espérance? Exercice vrai/faux La variable X sui une loi binomiale B ( ; ) une loi normale N ( 0; ).. lim ( n [ 0;4] ) n 4 P X = e d n + 0 π P X ;4 = P X 4;. ( [ ]) ( [ ]). P( X [ ;6] ) = P( X [ 0;4] ) 4. X n np np ( p) sui la même loi que X. n p, X sui Exercice QCM (une ou plusieurs réponses) La variable aléaoire X sui une loi normale N ( 0; ).. P( X > ) es égal à : P( X < ) P( X > ) P( X < ). On pose ( ) P < X < = p p > 0,95 p < 0,99 p > 0,99. On pose P( X ) < = q q < 0,95 q = + P( < X < ) q = P( 0 X < ) Exercice vrai/faux On a représené la foncion de densié de la loi normale. f x e x = pour ou réel x.. P( < X < ) = P( 0 < X < ). P( X < ) > 0,75 4. P( X ) P( X ) < < = < Exercice 4 vrai/faux. Si X sui une loi N ( ; ) E ( X ) = µ.. Si X sui une loi N ( ; ) V ( X ) = σ.. Si X sui une loi N ( ; ) normale N ( 0; ). µ σ, l espérance de X es µ σ, la variance de X es X µ µ σ, sui une loi σ - 6 -
ENSM Cours Pi Marc Bize 0-04 Exercice 5 Une variable aléaoire X sui une loi N ( 8;9 ). On lui X 8 associe la loi Y =.. Quelle es la loi suivie par Y?. En déduire grâce à la able, les probabiliés suivanes : P X P( X 4) P( X 4) d. P( X 5) e. P( 5 X ) Exercice 6 On adme qu une variable aléaoire qui sui la loi normale N ( ; ) sur R par : µ σ a une foncion de densié définie f = e σ π ( µ ) σ On a représené ci-dessous rois elles foncions de densié. Déerminer pour chacune la valeur de µ e σ, sachan que l une des rois correspond à µ = 0 e σ =. Exercice 7 calcularice Sur une Casio graph 5+, le mode d emploi indique ceci : NormPD(x) : la densié de la loi normale cenrée réduie. NormPD(x,σ, µ ) : la densié de la loi normale de moyenne µ e d écar-ype σ. NormCD(a,b) : la probabilié de l évènemen P a x b avec la loi normale cenrée réduie. NormCD(a,b,σ, µ ) : la probabilié de l évènemen P( a x b) avec la loi normale de moyenne µ e d écar-ype σ.. Inerpréez les résulas suivans : NormCD(,6,,) = 0,774575448 NormPD(0.) = 0.887855 InvNormCD(0.975,,0) =.95996985 d. InvNormCD(0.45,4,0) = 9.497546. Quelle insrucion donner à la machine pour calculer, avec X variable aléaoire suivan la loi normale N ( 0; ) : P( 0,7 X 0,8) P( X ) P( X ). Quelle insrucion donner à la machine pour calculer, avec X variable aléaoire suivan la loi 0;4 : normale N P( 0, X 0,8) P( X 8) Exercice 8 On a observé que la aille T des baskeeurs, en cm, 95;6. suivai approximaivemen une loi normale. Déerminer, sans calcul, un inervalle dans lequel la aille d un baskeeur pris au hasard a deux chances sur rois de se rouver.. Un recrueur décide de resreindre sa recherche aux baskeeurs qui se siuen dans le plus pei inervalle I cenré en 95 el que P( T I ) 0,8. Déerminer ce inervalle. Sachan que le meilleur baskeeur français, Tony Parker, mesure,86 m, que peu-on penser du choix du recrueur? Exercice 9 π π On considère la foncion f définie sur ; par f : k cos, où k R.. Déerminer le réel k pour que f soi la densié π π d une loi de probabilié sur ; e la représener graphiquemen.. Soi X une variable aléaoire suivan la loi de probabilié définie par f, calculer : π P X > 6 π π P < X < 4 4. Déerminer le réel a el que P( a < X < a) = 4. Déerminer l espérance de X. - 7 -
ENSM Cours Pi Marc Bize 0-04 Exercice 40 Un fabrican souhaie lancer une nouvelle console de jeu pour Noël. Les éudes markeing monren que parmi les 000 joueurs de la région, 40 % on déclaré avoir l inenion d acheer la console de jeu. On appelle X la variable aléaoire égale au nombre de joueurs qui von effecivemen acheer la console.. Quelle es la loi suivie par X?. En approximan la loi de la variable X par une loi normale don on précisera les caracérisiques, déerminer le sock que doi avoir un magasin pour que la probabilié de rupure de sock soi inférieure à 0,. Exercice 4 qcm (une seule réponse) X es une variable aléaoire qui prend des valeurs posiives. On suppose que : P( X ) =. 8 0; N, alors N es. Si X sui une loi uniforme sur [ ] égal à : 8 6 5,. Si X sui une loi exponenielle de paramère > 0, alors : = ln prend deux valeurs don la valeur ln. il n exise pas de el Exercice 4 - qcm (une ou plusieurs réponses) X es une variable aléaoire qui sui une loi définie n par la densié f : k ;0, alors on peu avoir : n = 0 e n = e n = e sur [ ] k = 0 k = 99 0 k = 9 Exercice 4 - qcm (une ou plusieurs réponses) X es une variable aléaoire d espérance 0 e de variance 8.. Si X sui une loi binomiale de paramère n e p, alors : n = 0 e p = 0,5 n = 5 e p = 0,4 n = 50 e p = 0,. Si X sui une loi normale e si Y es la variable X 0 définie par Y =, alors : P X 0 = 0,8 P( Y ) 0,68 P( X 0 + ) 0,68 Exercice 44 Lors d une épidémie chez les bovins, si la maladie es diagnosiquée suffisammen ô sur un animal, il es possible de le guérir ; sinon, la maladie es morelle. Un es es mis au poin e expérimené sur un échanillon d animaux don % es poreur de la maladie. Les résulas obenus son les suivans : Si un animal es poreur de la maladie, le es es posiif dans 85 % des cas ; Si un animal es sain, le es es négaif dans 95 % des cas. On choisi de prendre ces fréquences observées comme probabiliés pour la populaion enière e d uiliser ce es pour un dépisage prévenif de la maladie. On noe : M l évènemen «l animal es poreur de la maladie» ; T l évènemen «le es es posiif».. Consruire un arbre pondéré modélisan modélisan la siuaion proposée.. Un animal es choisi au hasard. Quelle es la probabilié qu il soi poreur de la maladie? Monrer que la probabilié pour que son es soi posiif es p = 0,058.. Un animal es choisi au hasard parmi ceux don le es es posiif. Quelle es la probabilié pour qu il soi poreur de la maladie? 4. On choisi cinq animaux au hasard. La aille de ce roupeau perme de considérer ces cinq choix comme indépendans e d assimiler les choix à des irages avec remise. On noe X la variable aléaoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d animaux ayan un es posiif. Quelle es la loi de probabilié suivie par X? Quelle es la probabilié pour qu au moins un des cinq animaux ai un es posiif? 5. On ese 00 vaches sur le chepel d un déparemen. On adme que l on peu considérer ces 00 ess comme indépendans e les assimiler à des irages avec remise. On noe Y la variable aléaoire égale au nombre d animaux ayan un es posiif. Jusifier que la loi de Y peu êre approximée par une loi normale don on précisera les paramères. En déduire une approximaion de P 50 < Y < 70. - 8 -
ENSM Cours Pi Marc Bize 0-04 Exercice 45 On considère une variable aléaoire suivan une loi binomiale de paramères n = 40, p = 0,4.. Calculer ( 6) P X = e P( X 5).. On approche X par une variable Y de loi normale 6 ;9,6. N Jusifier l approximaion réalisée. 6 P Y 5. Que Calculer P( Y = ) e remarque--on? Commen expliquer ce phénomène?. On effecue alors une «correcion de coninuié», P 5,5 Y 6,5 e en calculan P(,5 Y 5,5). Effecuer les calculs e comparer avec les résulas du Exercice 46 Au sorir du laminoir, un lingo es découpé en billees de 6 mères de longueur. On sai que la êe du lingo présene un défau sur une ceraine longueur X, où X es une variable aléaoire qui sui une loi normale N ( 8;4 ). Pour ener d éliminer la longueur défecueuse, on dérui sysémaiquemen les deux billees de êe.. Quel es le risque pour que la roisième billee présene encore un défau?. Calculer le nombre de billees à déruire pour que la première billee reenue soi sans défau avec une probabilié de 99 %. Exercice 48 Le grand mahémaicien Henri Poincaré (854-9) avai l habiude d acheer ous les jours un pain de kg chez son boulanger. Il s éai aperçu que sur une semaine d acha (7 jours), ous les pains acheés pesaien moins de 900 g. Après s êre plain au boulanger, il avai consaé que duran les 7 jours suivans, ous les pains pesaien plus de kg. Il éai finalemen revenu voir le boulanger pour lui dire qu il éai décidémen un incorrigible richeur. On suppose que le poids du pain, en kg, sui une disribuion normale de loi normale N ( ;σ ).. Le boulanger assure que 95 % de ses pains pèsen enre 0,9 kg e, kg. En déduire une valeur approchée de σ. En déduire la probabilié qu un pain pèse moins de 0,9 kg, puis la probabilié que, pendan une semaine, ous les pains pèsen moins de 0,9 kg.. Avec les mêmes hypohèses, déerminer la probabilié pour qu un pain pèse plus de kg, puis la probabilié que ous les pains pendan une semaine pèsen plus de kg.. Refaire les calculs précédens en supposan que simplemen 68 % des pains pèsen enre 0,8 kg e, kg. Le boulanger es il crédible? Exercice 49 qcm (une ou plusieurs réponses) La variable aléaoire X sui une loi exponenielle de paramère > 0. P X < = 0,5, alors :. Si = = ln = ln Exercice 47 Les ess de QI son éalonnés, c es-à-dire que l on décide à priori que la répariion des QI sui une loi normale N ( ; ) Voici quelques valeurs : µ σ, où µ e σ son fixés à l avance. es de Wechsler es de Sanford-Bine es de Caell µ 00 00 00 σ 5 6 4. Déerminer, pour chaque es, un inervalle cenré auour de la moyenne qui conien à peu près 68 % des individus.. On considère parfois qu un individu es surdoué s il fai parie des 5 % de la populaion ayan le QI le plus élevé. Déerminer à quelle valeur de QI il correspond pour chacun des ess proposés. - 9 -. Si l espérance de X vau 0,5, alors : = = = ln. La probabilié de l évènemen X es : e e e ( e ) e 4. P ( X ) X es égal à : P( X ) P ( X ) X e 9
ENSM Cours Pi Marc Bize 0-04 Exercice 50. X sui une loi uniforme sur [ 4;4] plus pei réel a el que P( a X a) 0,99.. Déerminer le. Z es une variable aléaoire qui sui la loi normale N ( 0; ). Dans quel inervalle Z prend--elle ses valeurs? Déerminer une valeur approchée à 0 près du plus pei réel posiif u el que P u Z u. 0,99 Exercice 5 méhode de Mone-Carlo n Jusifier que Y peu êre approximée par 0;. une loi normale N Indiquer un réel u el que : P u Y u. 0,95. En déduire 4 0,98 X 0,98 que P p 0,95 n n. n d. Le ableau ci-dessous résume un essai sur 40 000 expériences : Démonrer que p( p) Poins dans le disque fréquence Valeur approchée de π 40 000 9 0,784 775,9 En uilisan le résula du, peu-on êre sûr à 95 % de la première décimale de π? Perme-il d envisager une valeur unique pour la deuxième décimale de π? On considère le disque de cenre O, de rayon, e le carré ABCD circonscri à ce disque.. On choisi au hasard un poin dans le carré : quelle es la probabilié qu il apparienne au disque? x; y de nombres réels. On choisi un couple Que peu-on affirmer si x + y?. Le résula du. perme d envisager la recherche d une valeur approchée de π par une méhode saisique. On réalise un grand nombre de fois l expérience suivane : ; ; choix d un réel x pris au hasard dans [ ] choix d un réel y pris au hasard dans [ ;]. Le couple ( x; y ) représene alors un poin du carré ABCD : on ese si ce poin apparien au disque ; dans l affirmaive, on le compabilise ; dans la négaive, on n en ien pas compe. Au bou d un grand nombre d expériences effecuées, on peu calculer la fréquence d apparenance des poins au disque e en déduire une valeur approchée de π. Simuler cee expérience sur un ableur.. Soi X la variable compan le nombre de poins dans le disque sur n expériences. On pose : p π X np =, σ = np( p) e Y =. 4 σ - 0 -