Déombremet ECE Lycée Carot 0 ovembre 2011 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l idique à comter Il e s agit bie etedu as de reveir au stade du CP et d aredre à comter sur ses doigts, mais bie de défiir des objets et otatios mathématiques ermettat de comter le ombre d élémets d esembles bie tro gros et comliqués our être déombrés à la mai Le déombremet a as e soi éormémet d itérêt, mais trouvera toute so utilité esuite e robabilités : das le cadre des robabilités fiies, la robabilité d u évèemet se calcule e divisat le ombre de cas favorables ar le ombre total de cas ossibles, ce qui suose qu o sache calculer les ombres de cas e questio Quelques exemles de roblèmes faisat iterveir les objets que ous allos étudier das ce cours : La classe est cosituée de 42 élèves qu o veut réartir our les colles e 14 groues de élèves E oubliat les cotraites liées aux lagues, combie de réartitios différetes euto créer (ue réartitio e tiet as comte de la umérotatio des groues : deux réartitios coteat les mêmes groues mais das u ordre différet serot aisi comtées comme ue seule et même réaritio? Il y a 42 élèves das la classe Quelle est la robabilité qu il y e ait (au mois deux armi eux qui soiet és le même jour de l aée? Le Loto est u jeu où o coche das ue grille set uméros (o oublie les comlicatios à base de uméros comlémetaires choisis etre 1 et 49 Combie de grilles différetes eut-o remlir? 1 Cardiaux d esembles fiis Défiitio 1 U esemble E est fii s il est e bijectio avec l esemble {1;2;;}, our u certai etier aturel Cet etier est alors uique Il est aelé cardial de l esemble E, et o le ote card(e, ou E, ou ecore E Remarque 1 Cela corresod bie à la otio ituitive d esemble dot o eut comter les élémets E effet, ue bijectio de E vers {1;;} est simlemet ue faço d étiquetter les élémets de E avec les uméros 1, 2,, Proositio 1 Soit E u esemble fii et F u sous-esmble de E, alors F est u esemble fii, et F E, avec égalité si et seulemet si E F Démostratio Cette roriété, comme souvet e ce qui cocere les esembles fiis, est assez évidete d u oit de vue ituitif, mais as si simle à démotrer correctemet Nous ous e tiedros au oit de vue ituitif Proositio 2 Soiet E et F deux esembles fiis Si E et F sot e bijectio l u avec l autre, ils ot même cardial 1
Démostratio Il existe ar hyothèse ue bijectio f de E vers F De lus, F état fii, otos so cardial, il existe alors ue bijectio g de F das {1;;} L alicatio g f : E {1;;} est ue comosée d alicatios bijectives, doc est bijective, ce qui rouve que E est de cardial Proositio Soiet A et B deux sous-esembles d u même esemble fii E Alors A B A + B A B Démostratio Commeços ar costater que das le cas où les deux esembles A et B sot disjoits, o a A B A + B Vous voulez ue démostratio? Soit f ue bijectio de A das {1;;} et g ue bijectio de B das {1;;}, et état les cardiaux resectifs de A et de B O eut alors costruire ue bijectio h de A B vers {1;; + } e osat x A, h(x f(x et x B, h(x g(x + (ituitivemet, cela reviet à garder our les élémets de A la umérotatio doée ar l alicatio f, et à décaler our les élémets de B la umérotatio doée ar g, de faço à e as utiliser deux fois les mêmes uméros Ue fois ce fait admis, costatos que A B est l uio disjoite des trois esembles A\B, B\A et A B O a doc, e utilisat le résultat que ous veos de démotrer, A B A\B + B\A + A B Or, A état uio disjoite de A\B et de A B, o a égalemet A A\B + A B, ou ecore A\B A A B De même, B\A B A B, doc o obtiet A B A A B + B A B + A B, ce qui doe bie la formule aocée Théorème 1 Formule du crible de Poicaré Soiet A 1, A 2,, A des sous-esembles fiis d u même esemble E, alors i1 A i 11 i 1 < <i ( 1 +1 A i1 A i Proositio 4 La formule de Poicaré état assez eu lisible, voici ce que ça doe our et 4 : A B C A + B + C A B A C B C + A B C A B C D A + B + C + D A B A C A D B C B D C D + A B C + A B D + A C D + B C D A B C D Démostratio La reuve de la formule géérale, assez techique, se fait ar récurrece O se cotetera de rouver la formule our e artat de la roositio récédete : A B C (A B C A B + C (A B C A + B A B + C (A C (B C A + B A B + C A C A B + A C B C, ce qui doe bie la formule aocée Exemle : Das u lycée de 00 élèves, 152 savet jouer au oer, 8 au tarot et 51 au bridge De lus, 24 savet jouer à la fois au oer et au tarot, 14 au oer et au bridge, et 8 au tarot et au bridge Efi, élèves maitriset les trois jeux de cartes Le ombre d élèves jouat aux cartes est alors de 152+8+51 24 14 8+ 27 Ce gere de calcul eut être lus simle à effectuer e rerésetat les esembles (sous forme de «atates» et e reortat les cardiaux doés ar l éocé das les différetes zoes du schéma Proositio 5 Soit A u sous-esemble fii d u esemble fii E, alors Ā E A Démostratio C est ue coséquece de la formule our ue uio : E est uio disjoite de A et de Ā, doc E A + Ā Proositio 6 Soiet E et F deux esembles fiis, alors E F est fii, et E F E F 2
Démostratio Pas de reuve rigoureuse our celui-ci, simlemet ue idée de la faço dot ça marche Soit le cardial de E, et e 1,e 2,,e ses élémets, le cardial de F et f 1,,f ses élémets o eut lacer les élémets de E F das u tableau de la faço suivate : e 1 e 2 e f 1 (e 1,f 1 (e 2,f 1 (e,f 1 f (e 1,f (e 2,f (e,f Il y bie élémets das le tableau, doc das E F 2 Listes, arragemets et combiaisos Défiitio 2 Soit E u esemble fii de cardial, et N Ue -liste d élémets de E est simlemet u élémet de E Remarque 2 O eut très bie avoir lusieurs fois le même élémet das ue -liste Par ailleurs, l ordre des élémets de la -liste est imortat Proositio 7 Le ombre de -listes das u esemble de cardial vaut Démostratio C est ue coséquece de la formule de cardial du roduit vue u eu lus haut : comme E F E F, o a E E, ce qui rouve bie la roriété Exemle : Ue ure cotiet 10 boules umérotées de 1 à 10 O tire successivemet avec remise trois boules das cette ure Le ombre total de tirages ossibles est 10 1 000 (l ordre est imortat, et o eut très bie tirer lusieurs fois le même chiffre uisqu il y a remise; il s agit doc de listes Remarque Le ombre de -listes d u esemble à élémets est aussi le ombre d alicatios de l esemble {1;;} vers cet esemble E effet, se doer ue telle alicatio f reviet à se doer les valeurs des images f(1, f(2,, f(, c est-à-dire à se doer ue liste de élémets de E Défiitio Soit E u esemble à élémets et N, o aelle arragemet de élémets de E ue -liste d élémets disticts de E Remarque 4 L ordre des élémets est toujours imortat, ar cotre o e eut lus avoir de réétitio d élémet das u arragemet Défiitio 4 Soiet et deux etiers tels que, o ote A, 2( +1! (! ( 1( Proositio 8 Le ombre d arragemets de élémets das u esemble à élémets vaut A, Démostratio Cotetos-ous de l idée ituitive : lorsqu o costruit u arragemet, o a choix our le remier élémet, 1 our le deuxième,, + 1 our le ème, soit au total ( 1( +1 ( 1( +1( 21! ( 121 (! Exemle : Das la même ure que our l exemle cocerat les listes, o tire toujours trois boules successivemet, mais cette fois-ci sas remise Le ombre de tirages ossibles vaut maiteat A 10 10! 1098 720 7! Remarque 5 Le ombre d arragemets de élémets das u esemble à élémets est égalemet le ombre d alicatios ijectives de {1;; } das E
Défiitio 5 U arragemet de élémets das u esemble à élémets est aussi aelé ermutatio Il y a doc! ermutatios das u esemble à élémets Exemle : Le ombre de faços d asseoir 10 ersoes autour d ue table à dix laces est 10! 628 800 Exemle : Le ombre d aagrammes d u mot (sas se limiter aux aagrammes ayat u ses eut se calculer à l aide de ermutatios Il faut simlemet diviser le ombre total du ermutatios du mot ar! chaque fois qu ue même lettre aarait fois das le mot (aisi, s il y a trois E das le mot, o divise ar! car les ermutatios qui se cotetet d échager les E etre eux e modifiet as l aagramme Par exemle, le ombre d aagrammes du mot DENOMBREMENT 12! est!2!2! Remarque 6 Le ombre de ermutatios d u esemble à élémets est le ombre d alicatios bijectives de cet esemble das lui-même Défiitio 6 Ue combiaiso de élémets das u esemble fii E à élémets est u sousesemble à élémets de E Défiitio 7 Soiet et deux etiers tels que, o aelle coefficiet biomial d idices! et le ombre O le lit «armi» (comme u raccourci sigifiat le ombre!(! de faços de choisir objets armi objets au total Remarque 7 O ose souvet 0 si > Proositio 9 Le ombre de sous-esembles à élémets d u esemble à élémets est Démostratio E effet, ue combiaiso est rie d autre qu u arragemet das lequel o a elevé l imortace de l ordre Autremet dit, chaque combiaiso aarait! fois quad o déombre les arragemets (uisqu il y a! faços d ordoer u esemble à élémets, doc le ombre de combiaisos à élémets vaut A,! ( Exemle : Das otre ure à 10 boules, o tire maiteat simultaémet trois boules L ordre ayat ( lus d imortace, le ombre de tirages ossibles est désromais 10 10!!7! 1098 21 120 Remarque 8 O eut ecore ue fois iterréter ceci à l aide d alicatios : le ombre de combiaisos à élémets das u esemble à élémets est le ombre d alicatios strictemet croissates de {1;;} das E E effet, se doer ue alicatio strictemet croissate f est équivalet à se doer le sous-esemble {f(1;f(2,;f(} (l ordre état imosé ar la croissace de l alicatio U etit tableau our résumer les cas d utilisatios de ces trois outils de déombremet : L ordre est as imortat L ordre est imortat Réétitios Listes ossibles uissaces Réétitio Combiaisos Arragemets iterdites coefficiets biômiaux quotiet de factorielles 4
Proriétés des coefficiets biomiaux Proositio 10 Quelques roriétés des factorielles, lus ou mois utiles : Par covetio, 0! 1 N, (+1!!(+1 a > 1, a o(!, mais! o( (Pour les lus curieux, je sigale le joli résultat suivat, cou sous le om de formule de Stirlig :! ( 2π e Proositio ( 11 Quelques ( roriétés ( des coefficiets biomiaux, utiles our les calculs : 2, 1; ; ( 1 ( ; 1; ( 0 ( 1 2 2 1, (roriété de symétrie 1 1, ( ( 1 ( 1 1 1, + (relatio de Pascal 1 Démostratio ( Pour le remier oit, il suffit de reredre la défiitio des coefficiets biomiaux :! ( ( 0 0!! 1;! 1 ( 1! et! 2 2!( 2! ( 1 Les deux deriers résultats 2 découlet de la symétrie démotrée ce-dessous ( (! La roriété de symétrie est facile aussi : (!( (!! (!! Il y a égalemet ue iterrétatio combiatoire de ce résultat : choisir u sous-esemble de élémets das u esemble à élémets est équivalet à choisir so comlémetaire, qui est costitué de élémets, doc il y a autat de sous-esembles à élémets et à élémets das u esemble à élémets Pour la troisième,! (!(!! 1 ( 1!(!, et ( 1! 1 ( 1!(( 1 ( 1!!, les deux quatités sot bie égales ( 1!(! Efi, la formule ( de Pascal, ( qu o eut démotrer de deux faços Il y a d abord le calcul bête et 1 1 ( 1! méchat : + 1!( 1! + ( 1! ( 1!(! ( ( 1!+( 1!!(! ( 1!!(! O eut aussi utiliser ue iterrétatio combiatoire Soit E u esemble ( à élémets et x u élémet fixé de E Les sous-esembles de E à élémets, au ombre de, se réartisset e deux ( 1 catégories : ceux qui cotieet x, qui sot au ombre de uisqu il reste 1 élémets à 1 choisir armi les ( 1 restats das E ue fois x choisi; et ceux qui e cotieet as x, qui sot 1 au ombre de uisqu il reste cette fois-ci élémets à choisir armi les 1 restats (o e a ecore choisi aucu D où la formule Triagle de Pascal : La relatio de Pascal ermet de calculer les valeurs des coefficiets biomiaux ar récurrece, e les réartissat sous forme d u tableau triagulaire : ( 5
0 1 2 4 5 6 7 8 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 5 5 21 7 1 8 1 8 28 56 56 56 28 7 1 Pour obteir u coefficiet du tableau, o fait la somme de celui qui est au-dessus de lui, et de celui qui est à gauche de ce derier Théorème 2 Formule du biôme de Newto Soiet a et b deux réels, et N, alors (a+b a b Remarque 9 O eut obteir à artir de cette formule le déveloemet d ue différece : (b a ( 1 a b E ratique, il suffit d alterer les siges Exemle : (a + b 6 b 6 + 6ab 5 + 15a 2 b 4 + 20a b + 15a 4 b 2 + 6a 5 b + a 6 L ordre est iversé ar raort à l ordre d écriture habituel, mais la formule est de toute faço comlètemet symétrique Autre exemle : (2 + 4 ( 4 + 4 2 ( + 6 2 2 ( 2 + 4 2 + 2 4 9+24 +72+2 +16 97+56 Démostratio O va rocéder ( ar récurrece sur l etier Pour 0, la formule du biome dit 0 simlemet que (a+b 0 a 0 b 0, ce qui est vrai (o a 1 de chaque côté Suosos la formule 0 vraie au rag, o a alors (a+b +1 (a+b(a+b (a+b ( a b ar hyothèse de récurrece, doc e déveloat le a+b et e le faisat retrer das la somme, o obtiet (a+b +1 a +1 b + a b +1 Effectuos u chagemet d idice e remlaçat ar +1 +1 das la remière somme (o e touche à rie das la deuxième :(a+b +1 a b +1 a +1 b 0 + 1 ( + 1 ( a b +1 + ( 0 1 a b +1 + 1 a 0 b +1 (o a isolé u terme das chaque somme our ouvoir regrouer les sommes Maiteat, o recoait la formule de +1 Pascal das la somme, doc (a+b +1 a +1 + a b +1 +b +1 Il e reste lus qu à 1 remettre les deux termes isolés das la somme our obteir la formule au rag +1, ce qu o eut faire uisqu ils sot justemet égaux aux termes maquats our 0 et +1 Proositio 12 Soit E u esemble fii de cardial Alors P(E est fii, de cardial 2 Démostratio Le cardial dep(e est le ombre de sous-esembles dee Or, o sait que, our tout etier, il y a sous-esembles de E à élémets, ce qui fait au total sous-esembles 6
Cette somme est rie d autre qu u cas articulier de formule du biôme, our a b 1, doc elle vaut (1+1 2 Ue faço lus combiatoire de voir les choses : choisir u sous-esemble A de l esemble E reviet à choisir, our chaque élémet de E, si celui-ci aartiet à A ou o O a aisi deux ossibilités our chaque élémet de E, ce qui fait au total 2 ossibilités our costruire le sous-esemble A Autre faço de décrire les choses our les lus formalistes d etre vous : our chaque sous-esemble A de E, o défiit ue alicatio χ A : E {0;1}, telle que χ A (x 1 si x A, et χ A (x 0 si x / A (cette alicatio χ A est aelée alicatio caractéristique de l esemble A, car elle décrit les élémets aarteat à l esemble A O eut rouver que toutes alicatios de E vers {0;1} sot des alicatios caractéristiques d u sous-esemble de E, et que deux sous-esembles disticts de E ot des alicatios caractéristiques différetes Autremet dit, il y a ue bijectio etre P(E et l esemble des alicatios de E das {0;1} Or, comme o l a vu lus haut (arès la défiitio des -listes, il y a 2 alicatios de E das {0;1} Proositio 1 Formule de Vadermode ( a+b Soiet a, b et trois etiers aturels tels que a+b, alors ( ( a b Démostratio O va asser ar ue iterrétatio combiatoire Cosidéros u esemble séaré e deux sous-esemble disjoits A etb, ourlequel a élémets aartieet à A et b élémets à B L esemble cotiet doc au total a + b élémets ( O veut choisir u sous-esemble de cardial a+b das cet esemble O sait déjà qu il y a ossibilités de faire ce choix (ce qui corresod au membre de gauche de otre iégalité Mais o eut égalemet classer les sous-esembles à élémets e catégories selo le( ombre ( d élémets de A qu ils cotieet : soit 0 élémet de A et a b doc élémets de B (il y a tels sous-esembles, soit 1 élémet de A et 1 élémets ( ( 0 a b de B (il y a tels sous-esembles, etc, jusqu à la ossibilité d avoir élémets de A 1 1 ( ( a b et 0 élémets de B (il y a tels sous-esembles Le ombre total de sous-esembles, déjà 0 ( ( a b comté ue remière fois lus haut, vaut doc aussi Pour reveir aux trois exemles doés das l itroductio, les calculs à effectuer seraiet les suivats : Pour costituer le remier triôme, il faut choisir élèves armi les 42 élèves de la classe Pour le deuxième, o choisit élèves armi les 9 restats, et aisi de suite jusqu à avoir à redre élèves armi les deriers our le derier triôme (autat dire qu o a lus le choix Reste à diviser tous ces choix ar 14!, le ombre d ordres différets ossibles qu o eut avoir sur les 14 ( ( ( 42 9 6 triômes, soit ( ( ( ( 12 9 6 1 14! ( ( 0 ( 27 ( 24 ( 21 ( 18 ( 15 réartitios ossibles Si o écrit tout sous forme de quotiet 42! de factorielles, ça se simlifie beaucou our laisser (! 14 (qui est accessoiremet u 14! ombre gigatesque O eut retrouver ce résultat directemet : o choisit u ordre sur les 42 élèves (d où le umérateur, uis o découe la liste ordoée de 42 élèves e 14 aquets de L ordre das chacu des 14 aquets a aucue imortace (o divise doc 14 fois de suite ar! et l ordre des 14 aquets a as o lus d imortace, doc o divise ecore ar 14! Le ombre de choix ossibles our les 42 dates de aissace des élèves de la classe est 65 42 uisqu o a 65 dates ossibles our chaque élève Si o e veut as de réétitio (doc 7
des élèves tous és à des dates distictes, il y a lus que A 42 65, ossibilités Autremet dit, la robabilité que tous les élèves soiet és à des dates différetes vaut A42 65 0085 La 6542 robabilité qu au mois deux élèves soiet és le même jour vaut doc eviro 1 0085 0915 O a lus de euf chaces sur dix d avoir deux ( aiversaires simultaés 49 C est ue alicatio directe du cours, il y a 85 900 584 grilles différetes au Loto 7 8