Master SV U7 COURS III - - Aalyse de varace (ANOVA I Patrc Coqullard I. ANOVA T RGRSSION MULTIPL I.. Rappels Ue régresso multple s accompage toujours d ue aalyse de varace ( ANalyse Of VArace = ANOVA. Cette aalyse permet de détermer s l esemble des varables eplcatves fluet de faço sgfcatve sur la varable dépedate. Comme das le cas de la régresso smple, la décomposto de la varace codut à séparer la part de varace de la varable dépedate eplquée par le modèle de celle due au résdus. cart total = cart eplqué par + cart résduel (= eplqué l équato de régresso (Y Y = ( Ŷ Y + Ŷ (Y Où Y = observatos, Y = moyee des observatos et estmatos de (Y. Ŷ les valeurs prédtes par le modèle c.-à-d. les Rappel (vor cours. O obtet l ampleur de chacue de ces dspersos par les sommes suvates : Avec : SC ( Y Y ² T ( Y Yˆ ² SC ( Yˆ Y ² Source de varato Degrés de lberté Carrés moyes SC T = Varace totale (somme des - CM T = SC T /(- carrés sur le total des doées SC = Varace résduelle (varace -- CM = SC /(-- des résdus SC R = Varace de la régresso (calculée sur la dstace de la régresso à la moyee (Y CM R = SC R / O e dédut esute les carrés moyes CM (erreurs et CM R (régresso e dvsat SC et SC R par leurs degrés de lbertés respectfs (qu sot dfférets de la régresso smple!. De ce tableau l vet mmédatemet : SCR R avec :0 R² [] SCT (-R² représete la part eplquée de la varace totale attrbuable sot à l omsso de varables, sot à ue formulato correcte du modèle, sot ef à l erreur strumetale. I.. La régresso est-elle sgfcatve das so esemble? Comme ous sommes das le cas de la régresso multple, les carrés moyes s obteet à partr d epressos matrcelles : SC T Y ' Y Y² ; SC R b ' ' Y Y² ; SC Y ' Y b' ' Y Où Y et sot les trasposées des matrces Y et respectvemet. SC R
Master SV U7 COURS III - - Aalyse de varace (ANOVA I Patrc Coqullard O dvse par les degrés de lbertés respectfs ces epressos pour obter les carrés moyes. Notez be que : CM (carré moye résduel = SC / (-- = s² et s = (CM ous doe la dsperso des Y autour de l équato de régresso (écart type. Sot ue modèle à varables : Hypothèses Y... 0 H0: β = β = = β = 0 => Il este aucue cotrbuto d u quelcoque à la répose H: au mos l u des β 0 => Au mos ue des varables, apporte ue cotrbuto sgfcatve à la répose CM R SCR / O calcule : F. [] CM SC /( Sous l hypothèse H0 cette quatté est dstrbuée selo ue lo de Fsher avec et (-- ddl. Règle : rejeter H0 s F > F α ;, -- et favorser H. O pred e gééral α = 0.05. Remarques. Très gééralemet les logcels calculet la probablté P(F tabulée F observée sous hypothèse H0. S cette probablté est très pette P(F tabulée F observée < α o rejettera H0. R présete le résultat sous la forme : Prob > F.. Ce test e permet pas de décder lesquels des coeffcets de régresso cotrbuet effectvemet de faço effcace (sgfcatve à la répose. 3. O peut utlser R² pour calculer F e combat les relatos [] et []. Après quelques mapulatos algébrques, l vet : R² / F. ( R²/( I.3. Cotrbuto margale des varables eplcatves Comme ous veos de le vor, déclarer que la régresso est, das so esemble, sgfcatve mplque pas écessaremet que toutes les varables eplcatves de l équato de régresso ot ue cotrbuto sgfcatve. O devra doc détermer s la cotrbuto margale de chaque varable est sgfcatve. Le test cosste à eamer s l ajout d ue varable à la sute d autres varables présetes das le modèle de régresso apporte ue cotrbuto sgfcatve à la part de varace due à la régresso (SC R. O teste doc de la pertece de la derère varable trodute das le modèle. O peut utlser le test t de Studet ou ecore le test de Fsher-Sedecor. Test de Studet. O rappelle (cours II das le cas du modèle léare smple, sous hypothèse de ormalté des Y, la dstrbuto d échatlloage du coeffcet b est celle d ue lo ormale de moyee (b = β et de s varace s²(b estmée as : s( b. Les fluctuatos de l écart rédut sot celles de ( ² b la lo de Studet à (- ddl. O a t s( b s / b ( ² pour effectuer le test. Sot l équato de régresso léare multple : Y 0 33 O souhate tester la cotrbuto margale de : H0: β = 0, H 0. b O utlse à ouveau t avec les valeurs obteues de l estmato du modèle à 3 varables. s( b L applcato du test à l hypothèse H0: β = 0 permet de tester la cotrbuto de comme s elle état la derère varable trodute das l équato : Y 0 33 β. O rejette H0 s o obtet : t > t α/ ; (-- ou be t < -t α/ ; (--
Master SV U7 COURS III - 3 - Aalyse de varace (ANOVA I Patrc Coqullard S o e peut rejeter H0, o devra coclure que l apport de est superflu à la sute des autres varables. Itervalle de coface De la même faço que das le cas de la régresso smple, l est possble de calculer pour chaque coeffcet l tervalle de coface à u veau souhaté (e gééral 95% : bj t / ; s( bj j bj t / ; s( bj S β j = 0 se stue das l tervalle, o acceptera l hypothèse H0, c.-à-d. que la varable j est o sgfcatve au seul α, compte teu de la présece des autres varables. NB. La varace de chacu des b j, et doc auss les s(b j, s obtet à partr de la matrce s²(b des varaces-covaraces (matrce de dsperso des coeffcets de régresso : s²( b s( CM ( s²( b0 b0, b b, b0 b, b 0 s²( b b, b...... b, b 0 b, b s²( b Les élémets dagoau de cette matrce sot les varaces cherchées des coeffcets de régresso. La présece de covaraces etre les coeffcets dque que l o e peut estmer dépedammet chaque paramètre de la régresso multple. S o retrache ue varable quelcoque du modèle l covet alors de refare ue ouvelle aalyse de régresso pour obter la ouvelle équato. II. QULQUS RMARQUS POUR TRMINR LA RGRSSION MULTIPL. L troducto de varables qualtatves : les varables aulare Il est possble d trodure des varables eplcatves de ature qualtatves dtes varables aulares. Ces doées comportet deu, ou plus, modaltés. Das le cas des doées ours.tt, la varable see e comporte, évdemmet, que deu modaltés. O pratque comme sut. Sot à établr le modèle Masse ~ hauteur + see. La varable see est tout d abord recodée e deu valeurs (0 = male ; = femelle. O a dès lors deu modèles de régresso : ( Y 0 β( ( 0 β ( Y 0 β(0 0 cas femelle cas male Il apparaît mmédatemet que les deu régressos e dffèrerot que par leurs tercepts Les deu drotes serot parallèles, le décalage représetat l effet du see. Pour tester la cotrbuto margale sur la varable aulare see, o procède à u test t e calculat b t s( b comme habtuellemet. Lorsqu u modèle comporte pluseurs varables aulares, o effectue deu régressos, l ue avec le modèle complet et l autre avec le modèle rédut (celu e comportat que les varables eplcatves. Pour évaluer l apport des varables aulares o effectue alors u test «F partel». Par eemple pour u modèle comportat 5 varables dot aulares ( 4 et 5. Sot à tester H0: β 4 = β 5 = 0, o utlse la quatté : F [ SC R (,, 3, 4, 5 SCR(,, SC (,,,, / 5 3 4 5 3 ]/ Rejeter H0 s F > F α ; -g, -- où g représete le ombre de paramètres spécfés e H0 (c.
Master SV U7 COURS III - 4 - Aalyse de varace (ANOVA I Patrc Coqullard II. L ANOVA A UN FACTUR. Be que ous ayos déjà abordé partellemet les prcpes de l ANOVA au cours de la régresso multple, ous allos e eposer les prcpes et méthodes. L'aalyse de la varace à u facteur de classfcato a pour but la comparaso des moyees de A populatos, des varates (ou veau a, d'u facteur cotrôlé (ou facteur A de varato. O a doc à fare à ue varable dépedate cotue et ue varable eplcatve dscrète (o dt auss catégorelle. L'aalyse cosste à tester s les dfféreces de varato das chaque groupe (ou échatllo, défes par les modaltés de la varable eplcatve, s'écartet de maère sgfcatve de la valeur 0. So applcato écesste quelques codtos :. Le paramètre étudé sut ue dstrbuto ormale (obét à la lo de Gauss. Les varaces des populatos sot égales (homoscédatcté 3. Les échatllos sot prélevés aléatoremet et dépedammet. Typquemet, les doées pouvat fare l objet d ue ANOVA se présetet sous la forme d u tableau das lequel o a cosgé les résultats d ue epérece réalsée e pluseurs codtos d u même facteur. emple : o a mesuré l élogato à 4 heures de l hypocotyle de germatos de tomates e présece de dverses cocetratos d u etrat d ue plate (Callua vulgars. Le facteur de cotrôle est l etrat, que l o a testé avec pluseurs cocetratos. Pour chaque cocetrato o a mesuré l élogato sur u suffsammet grad ombre de semeces. Les semeces sot e codto d dépedace mutuelle pour chacue des epéreces. Aspects théorques Les doées sot cosgées das u tableau ou A A sot des échatllos: Facteur A A A Moyees Varaces Var( Var( Var( (Var( ; Var( S chacu des échatllo est ssu d ue varable aléatore, le problème est de tester l hypothèse... H0:., la moyee totale s écrt : j j. O a alors : j j ( ² ( ² ( ², Ce qu est autre que la célèbre décomposto de la varace totale e moyee des varaces et varace des moyees, que l o écrt, tradtoellemet, e raccourc: S S R S A R ² A S est dte la varace due au facteur (= varace des moyees S est dte la varace résduelle (= moyee des varaces Modèle sous-jacet : j e où les { e j } sot dépedats, et de dstrbutos detques N(0, σ². j Codtos epérmetales Tableau des doées epérmetales
Master SV U7 COURS III - 5 - Aalyse de varace (ANOVA I Patrc Coqullard S Das l hypothèse H0, et seulemet das celle-c, les sot des varables de même lo. Auquel cas sut u et - S A sut u. S H0 est vrae alors : S /( A - F( ; /(. SR Comme déjà vu précédemmet, s ce rapport est supéreur à la valeur crtque d ue table de Fsher-Sedecor, o coclut au rejet de H0. Test Post Hoc (ltt. : «après cela». Il s agt doc de coaître, s l hypothèse H0 est rejetée, quelles sot les veau de facteurs qu dffèret deu à deu. Le test de Tuey, ou test de la dfférece frachemet sgfcatve (HSD : hoestly sgfcatve dfferece, cosste à calculer l'epresso Q pour toutes les dfféreces de moyees. O calcule les quattés : Q j où j et Cette quatté Q sut ue lo partculère (dte des écarts «studetsés» de paramètres r (ombre de groupes et ddl de la lge des résdus du tableau résultat de l ANOVA. S Q Observé > Q Crtque, o coclut à ue dfférece sgfcatve etre les deu moyees costtuat la pare. CM III. L ANOVA A DU FACTURS (AVC RPTITIONS. Voc la descrpto du tableau et de la décomposto de la varace doée par Jea Vallat :
Master SV U7 COURS III - 6 - Aalyse de varace (ANOVA I Patrc Coqullard Notez que le terme SCF AB permet e mesurer l teracto etre les deu facteurs. effet, ce terme est ul quad les varatos d u des deu facteurs sot dépedates du secod car alors : j.... j. emple : effet sur la récolte de la durée jour/ut et de l ajout d azote : Utés d azote (g/ha Photopérode 0 50 80 5 5 8/6 0 9 8 8 5 6 5 55 4/0 9 3 60 40 48 Il este de ombreu autres plas d epérmetato (autres que les deu plas smples que ous avos étudés, codusat à autat d équatos de décomposto de la varace. U ecellet résumé e a été fat par Jea Vallat : http://moao.weebly.com/uploads//6/6/3/66387/pla_ep_aova.pdf Ue autre étude ehaustve par Docaster et Davey (Uversté de Southampto, UK de tous les plas epérmetau de l ANOVA et de l ANCOVA https://www.southampto.ac.u/~cpd/aovas/datasets/#chapter, as que tous les codes R détallés (et be plus! pour chacu de ces plas par Patrc Docaster (le à recoper das votre browser : https://www.southampto.ac.u/~cpd/aovas/datasets/anova R.htm#Nested Voc les paramètres de la focto aov( pour quelques us des cas les plus courats : # Oe Way Aova (Completely Radomzed Desg ft <- aov(y ~ A, data = mydataframe # Radomzed Bloc Desg (B s the blocg factor ft <- aov(y ~ A + B, data = mydataframe # Two Way Factoral Desg ft <- aov(y ~ A + B + A:B, data = mydataframe # Aalyss of Covarace ft <- aov(y ~ A +, data = mydataframe For wth subjects desgs, the dataframe has to be rearraged so that each measuremet o a subject s a separate observato. See R ad Aalyss of Varace. # Oe Wth Factor ft <- aov(y~a+rror(subject/a,data=mydataframe # Two Wth Factors W W, Two Betwee Factors B B ft <- aov(y~(w*w*b*b+rror(subject/(w*w+(b*b, data=mydataframe
Master SV U7 COURS III - 7 - Aalyse de varace (ANOVA I Patrc Coqullard Applcatos Présetato des doées # dowloader et sauver tomates.tt das votre répertore # sauvegarder tomates.tt das u dataframe au moye de <read.table> (cf. # Cours I # Les séparateurs du documet sot des tabulatos, la premère lge # cotet les oms des varables. # vérfer le coteu de tomates. # Cette présetato de doées est pas compatble avec ue ANOVA avec R. # Il faut doc réorgaser les doées, ce qu a # été fat das «tomates aov.tt» c-après. # dowloader et sauver «tomates aov.tt» das votre répertore # sauvegarder «tomates aov.tt» das u dataframe au moye de <read.table> # Les séparateurs du documet sot des tabulatos, la premère lge # dque le coteu des coloes. # affcher le coteu de «tomates aov» # MPL D ANALYS A UN FACTUR (tomates aov.tt Ue premère approche cosste e u affchage graphque des doées pour vsualser d évetuelles dfféreces. > ames(dat=c("obs","log","dosage" > attach(dat # permet de mapuler par ames > dosage = factor(dosage # précauto écessare! > s.factor(dosage # vérfcato > boplot(log~dosage # vsualsato des doées > plot(log~dosage # plot est capable de passer d u type à l autre > ft <-aov(log~dosage # aalyse de varace > summary(ft # = summary(mf <-aov(log~dosage Que cocluez-vous? > par(mfrow=c(, # 4 graphques das ue feêtre > plot(ft Ces graphques permettet de vérfer que les cotrates de base pour l applcato de l ANOVA sot respectées : dstrbuto ormale (QQ-plot, résdus vs ftted : erreurs costates et dépedace des veau du facteur. NB : l peut se trouver qu u veau de facteur dffère de tous les autres be que l hypothèse H0 sot acceptée Le boplot permet de détecter ce gere de stuato. O procède au test HSD de Tuey > PostHoc = TueyHSD(ft, "dosage" # le test > PostHoc # résultat Que cocluez-vous? > plot(posthoc # voyos cela #MPL D ANALYS A FACTURS (tomates var.tt # Cette fos o a testé les doses d etrats e deu codtos dfféretes # de ph pour les cultures. # dowloader «tomates var.tt» das votre répertore # sauvegarder «tomates var.tt» das u dataframe au moye de <read.table> # affcher le coteu La questo est mateat : Y-a-t-l ue dfférece d actvté etre les deu codtos de culture et y-a-t-l u effet combé Dose ph?
Master SV U7 COURS III - 8 - Aalyse de varace (ANOVA I Patrc Coqullard > ames(dat = c("log", "Dose","pH" > attach(dat > Dose = factor(dose # deu précautos > ph = factor(ph > teracto.plot(dose, ph, Log #u graphe téressat. Atteto à # l ordre des paramètres > aov = aov(log~ Dose*pH > aov = aov(log~ Dose + ph + Dose:pH # résultat detque > boplot(log~dose*cod # la bote de Bo! > summary (aov > prt(model.tables(aov,"meas",dgts=3 #dque les moyees Que coclure? Rmq : tester les commades suvates. > aovlm <- lm(log~dose+ph+dose:ph > aovlm > aovlm <- lm(log~dose*ph > aovlm > aova(aovlm Que cocluez-vous par rapport à l ANOVA? Termos otre traval : > PostHoc <- TueyHSD(aov(Log~Dose > plot(posthoc > PostHoc <- TueyHSD(aov(Log~Dose*pH > plot(posthoc > lbrary(gplots > plotmeas(log~dose, lab = "Dosage", ylab = "élogato 4 h", ma="meaplot\ avec IC de 95% " > plotmeas(log~ph, lab = "Dosage", ylab = "élogato 4 h", ma="meaplot\ avec IC de 95% " Pour se dstrare Ma premère focto R!!! Il est souvet utle de coserver u esemble de commades que l o utlse systématquemet. Pour cela l sufft de créer ue focto et de la coserver das u fcher tete ayat l eteso R. Par eemple : <MoAova.R> Il suffra esute de l ouvrr avec R pus d ajouter à sa sute la lge d appel MoAova <- fucto(y,a,b{ # déclarato ; atted 3 paramètres A = factor(a # deu précautos B = factor(b teracto.plot(a, B, y # u graphe téressat ( # pour coserver le graphe précédet boplot(y~a*b # la bote de Bo! aov = aov(y~ A*B summary (aov prt(model.tables(aov,"meas",dgts=3 #dque les moyees } # f de MoAova # Il sufft de l appeler as dat <- read.table( tomates var.tt, sep = \t, header = TRU ames(dat = c("log", "Dose","pH" MoAova(Log, Dose, ph # that s all!