Chapitre 6. Structures cohérentes. 6.1 Lignes d émission

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1 Chapitre 6 Structures cohérentes Ce chapitre traite de la décomposition du mouvement en une partie organisée et une partie aléatoire. Pour les variables de vitesse considérées, nous prenons les notations : U i = U i + u (c) i + u (r) i où U i désigne la vitesse moyenne, u (c) i la fluctuation organisée et u (r) i la fluctuation aléatoire. Dans notre cas, la partie organisée du mouvement est principalement constituée de l allée tourbillonnaire de von Kármán. Dans un premier temps, nous observerons ces structures au moyen de lignes d émission, calculées à partir des acquisitions de PIV haute cadence (paragraphe 6.1). Afin de quantifier la contribution de chaque partie organisée et aléatoire à l écoulement, nous tenterons ensuite de séparer ces deux composantes de manière quantitative. Du fait du caractère quasi-périodique de l allée tourbillonnaire, la décomposition est d abord réalisée par l opérateur de moyenne de phase (paragraphe 6.2). Ainsi la décomposition précédente peut s écrire, en reprenant les notations de Reynolds and Hussain [106] : U i = U i + ũ i + u i où Ũ i désigne la fluctuation quasi périodique et u i la fluctuation aléatoire. La moyenne de phase s écrit alors : U i = U i + ũ i Après avoir présenté les moyennes de phase obtenues par échantillonnage conditionnel (6.2.1), nous validerons au paragraphe les estimations stochastiques en les comparant aux moyennes de phase et nous apliquerons cette technique aux acquistions 3C de PIV stéréoscopique. Ensuite, nous verrons les défauts de cet opérateur de moyenne de phase (paragraphe 6.3). Nous analyserons l écoulement au moyen de la décomposition en modes propres orthogonaux (POD) au paragraphe 6.4, puis nous reconsidérerons la moyenne de phase en utilisant les informations issues de la POD (paragraphe 6.5). Les résultats présentés dans ce chapitre sont obtenus au nombre de Reynolds Lignes d émission La PIV haute cadence permettant le suivi spatio-temporel, il est intéressant de regarder l allure de lignes d émission pour visualiser les structures de l écoulement. Pour ceci, des particules fictives sont lâchées à certains endroits de l écoulement à chaque instant et 107

2 Chapitre 6. Structures cohérentes leur position aux instants successifs forment ces lignes d émissions. On visualise donc l écoulement tel qu on le verrait en injectant de la fumée ou un colorant à ces positions. Nous avons calculé ces lignes d émission en lâchant une particule à chaque instant en des points répartis uniformément sur la frontière amont du domaine mesuré, ainsi que sur la frontière inférieure, proche de l axe arrière y/d = 0. En pratique, il semble peu naturel car impossible d injecter du colorant à ces positions. Néanmoins, les lignes d émission obtenues illustrent certains aspects du mouvement. Les positions des particules à un instant t sont calculées à partir de la vitesse interpolée (par une méthode des moindres carrés pondérés par les distances) à la position de la particule à l instant précédent. Egalement, pour un meilleur rendu visuel, les champs de vecteurs ont été réechantillonnés (avec une interpolation par moindres carrés) à une fréquence cinq fois supérieure à la fréquence d acquisition. Ainsi, la distance entre deux particules successives est réduite. Compte tenu de ces traitements et de la résolution spatiale des mesures, les lignes d émission obtenues sont beaucoup plus lisses qu elle ne le seraient réellement. Egalement ces visualisations ne prennent pas en compte l aspect tridimensionnel de l écoulement. Ainsi, nous visualisons des particules qui devraient être sorties du plan. En particulier, les régions où les particules semblent s entasser sont certainement soumises à une vitesse normale au plan de mesure et ainsi les particules à cet endroit ne devraient plus être visibles. Ces lignes d émission sont donc à interpréter avec beaucoup de précautions. Elles permettent néanmoins d observer les mouvements de grandes échelles et leur aspects bidimensionnel. La figure 6.1 représente une séquence de lignes d émission sur environ un tiers de période correspondant au passage d un tourbillon dans le plan de mesure. A t = 0.023, le tourbillon qui se détache du cylindre commence à apparaître et le fluide extérieur est entraîné vers le centre du sillage. entre les instants t = et t = 0.029, le tourbillon est clairement visible et les lignes d émission s enroulent autour. Au centre du tourbillon, les lignes d émission se brisent et les particules se mélangent, ce qui indique une agitation relativement forte au centre des tourbillons, comme l ont observé beaucoup d auteurs (Hussain and Hakayawa [72] ou Cantwell and Coles [37], entre autre) et comme le confirmeront les contraintes turbulentes en moyenne de phase au paragraphe suivant. A partir de t = 0.031, le tourbillon conmmence à être convecté vers l aval et derrière lui (en amont), le fluide provenant de la partie inférieure du sillage remonte dans cette partie et il s en suit une forte agitation. Aux instants t = et t = 0.037, le fluide provenant de la partie inférieure est également entraîné vers l amont et un forte agitation se produit quand ce fluide rencontre le fluide supérieur. Comme nous l avons déja noté en observant l allure des champs de vitesse instantanée, dans ces régions de forte agitation, les ruptures des lignes d émission ainsi que leur enchevêtrement apparent suggèrent une forte composante de vitesse normale au plan. 108

3 6.1 Lignes d émission (a) t = (b) t = (c) t = (d) t = (e) t = (f) t = (g) t = (h) t = (i) t = Fig. 6.1: lignes d émission Re=

4 Chapitre 6. Structures cohérentes 6.2 Moyenne de phase Echantillonnage conditionnel Dans ce paragraphe sont présentées les moyennes de phase obtenues par la procédure décrite dans le paragraphe Nous rappelons que les acquisitions de PIV sont triées en post-traitement en 16 classes réparties sur une période de l écoulement, la largeur de chaque classe étant de 1/128 eme de période. L angle de phase attribué à chaque champ instantané est déterminé à partir du signal de pression pariétale sur le cylindre à θ = 70 compté à partir du point d arrêt amont en utilisant la transformation de Hilbert. Les moyennes et moments centrés sont ensuite calculés pour chaque classe. Les figures 6.3 à 6.10 présentent différentes grandeurs calculées à 8 angles de phase d une période. Les différentes figures montrent dans l ordre les lignes de courant de l écoulement ainsi moyenné, les iso-contours de la composante Ω 21 du tenseur des taux de rotation, les iso-contours de U, puis de V, les iso-contours des composantes u 2, v 2 et uv du tenseur des contraintes turbulentes, la composante S 12 du tenseur des taux de déformation et enfin le terme de production d energie cinétique turbulente P. Sur chaque figure sont également représentés en traits épais la périphérie des tourbillons de von Kármán. Pour ceci, nous avons utilisé le critère Q proposé par Hunt et al. [70], qui correspond au second invariant du tenseur des gradients de vitesse : Q = 1 2 ( Ω S ) = 1 2 (u2 i,i u i, j u j,i ) Ce critère, qui est une balance entre les taux de rotation et les taux de déformation, permet d identifier un tourbillon plus aisément que la vorticité car celle ci est également importante dans les régions cisaillées. En deux dimensions, le critère Q est équivalent au critère λ proposé par Jeong and Hussain [73]. La structure est identifiée pour Q > 0. Nous avons calculé cette quantité à partir des vitesses en moyenne de phase et légèrement lissé le résultat pour un meilleur rendu visuel. Sur les figures le contour représenté correspond à l iso-contour Q = 0.5. Les lignes de courant représentées sur la figure 6.3 montrent une allure classique de l allée tourbillonnaire. A ϕ = 0 un tourbillon se détache du cylindre dans la partie inférieure du sillage. Ce tourbillon, dans sa formation, se dirige vers l aval et le centre du sillage jusqu à la phase ϕ = 90, puis est convecté vers l aval. De l autre côté du sillage par rapport au tourbillon, se forme un point selle, ou point d arrêt. Quand le tourbillon est à une abscisse supérieure à x/d 1.5, les lignes de courant ne s enroulent plus autour du centre du tourbillon à cause de la vitesse de convection du cylindre. Ces lignes de courant sont tracées dans un repère fixe par rapport au cylindre. Dans un repère se déplaçant à la vitesse de convection du tourbillon, les lignes de courant s enrouleraient autour de son centre, comme le montrent Cantwell and Coles [37] qui représentent les champs de vecteurs vitesse en moyenne de phase dans un repère se déplaçant à la vitesse de convection des tourbillon estimé à 0.755U 0, dans la zone proche de convection des tourbillons. De même, les points selle ne sont plus visibles dans le repère fixe. Pendant ce temps, un tourbillon de signe opposé s est formé de l autre coté du cylindre et suit la même évolution. On observe donc une antisymétrie des lignes de courant par rapport à l axe arrière y/d = 0 110

5 6.2 Moyenne de phase en comparant deux champs de lignes déphasés de 180. La composante Ω 21 ( figure 6.4) du tenseur des taux de rotation, qui correspond à la vorticité selon l envergure du cylindre, illustre de manière plus significative le détachement tourbillonnaire et la convection des tourbillons. Nous remarquons que la vorticité au centre des tourbillons diminue entre le moment où celui ci se détache du cylindre et le moment où celui ci commence à être convecté. En effet, la vorticité au centre des tourbillons passe de ±3 lors de la formation des tourbillon à l abscisse x/d 0.8 et vaut ±2 quand le tourbillon est à l abscisse x/d = 2.2. Cette même tendance est observée par Cantwell and Coles [37]. Egalement la taille du tourbillon augmente dans cette phase de formation. En repérant à la main les lieux des maxima de Q, qui correspondent aux maxima en valeur absolue de la vorticité, nous avons représenté sur la figure 6.2 la trajectoire des tourbillons. Sur cette figure, les phases auxquelles correspondent chaque position des tourbillons sont indiqués par des numéros allant de 1 à 16 pour ϕ allant de 0 à par pas de Nous voyons que les tourbillons se rapprochent de l axe arrière pendant leur formation jusqu à x/d 1.1 puis s en écartent quand commence leur convection pour arriver à une trajectoire sensiblement parallèle à l axe arrière. L abcsisse où les tourbillons sont les plus proches de l axe (x/d = 1.1) est située légerement en amont du point de rattachement. (Nous rappelons que la longueur de recirculation est l c = 1.28.) Fig. 6.2: trajectoire des tourbillons issus de la moyenne de phase. Re= Les composantes de vitesse en moyenne de phase U et V sont représentées sur les figures 6.5 et 6.6. A l angle de phase ϕ = 0, quand un tourbillon se détache du côté inférieur, la vitesse longitudinale U a une valeur maximale de 1.4 du côté du tourbillon et à son abscisse, créée par la superposition du tourbillon et du mouvement moyen. Quand le tourbillon avance vers l aval (ϕ=45 jusqu à 180 ), cette valeur de U à la frontière du sillage semble diminuer et valoir 1.2 quand le tourbillon est à l abscisse x/d 2 (ϕ = 180 ). De l autre coté du cylindre, la même accélération de l écoulement se produit quand le tourbillon alterné qui succède se forme et se détache (ϕ=180 jusqu à 315 ). Au niveau du décollement, la formation d un tourbillon s accompagne d une forte accélération et la région de U > 1.4 s élargit lors du détachement. A l intérieur du sillage, la valeur 111

6 Chapitre 6. Structures cohérentes minimale de U se situe bien à la périphérie des tourbillons. La valeur minimale de U sur l ensemble du domaine reste à une abscisse de x/d 0.85 et oscille entre les positions y/d 0.2 et y/d 0.2 au cours d une période. La composante transversale V présente ses plus fortes valeurs absolues entre les tourbillons. Les maxima sont situés sur la périphérie avale des tourbillons et leurs positions se déplacent avec les tourbillons dans le sens de l écoulement. Ces maxima ont une valeur de ±0.8 à partir de l abscisse x/d 1 (ϕ=135 et 315 ). Quand le tourbillon avance, la valeur maximale de V augmente légèrement jusqu à x/d 1.3, puis diminue très faiblement quand le tourbillon est convecté. C est donc autour de l abscisse x/d 1.3 et donc à hauteur du point de rattachement (l c = 1.28) que l entraînement du fluide extérieur est le plus important. La contrainte turbulente normale u 2 est représentée sur la figure 6.7. Dans la région très proche, à des abscisses x/d 1.5, cette contrainte présente deux lobes importants dans les régions de cisaillement de chaque coté du cylindre et ces deux lobes oscillent en fonction des tourbillons au cours de la période. La répartition de u 2 entre deux instants de phase opposée est symétrique. Ces deux lobes sont initialement orientés dans le sens de l écoulement (ϕ = 0 du coté supérieur) et quand un tourbillon se détache, les fortes valeurs de u 2 suivent les centres des tourbillons et ainsi les lobes se rabattent vers l intérieur du sillage (ϕ = 180 du coté supérieur ). Les faibles valeurs de u 2 juste en aval des tourbillons (ϕ=90 et 135 en bas à x/d entre 1.5 et 2, et ϕ=270 et 315 en haut à x/d entre 1.5 et 2) sont caractéristique de l entraînement de fluide extérieur peu turbulent par les tourbillons vers l intérieur du sillage. Dans la région de convection des tourbillons, plus en aval du cylindre, Hussain and Hakayawa [72] et Cantwell and Coles [37] reportent les maxima de u 2 au centre des tourbillons. Cette répartition semble bien s établir en aval de la région de formation, dans notre cas du fait des faibles valeurs dans les régions d entraînement. Dans la région de formation, de fortes valeurs sont également obervées aux centres des tourbillons mais également entre le tourbillon qui est en train de se former et le tourbillon qui commence à être convecté du fait du cisaillement important de l écoulement (ϕ = 90 du coté supérieur et ϕ = 90 du coté inférieur vers x/d 1). Cette répartition de la contrainte normale u 2 est bon accord avec les résultats de Leder [83] qui a mesuré les moyennes de phase des quantités turbulentes dans le sillage proche d une plaque verticale par LDV. La contrainte turbulente normale v 2, représentée à la figure 6.8, présente ses valeurs maximales au centre des tourbillons. Cette constatation est en bon accord avec les résultats de Hussain and Hakayawa [72], Cantwell and Coles [37] dans le sillage un peu moins proche et avec les résultats de Leder [83] dans le sillage proche d un plaque verticale. Les valeurs de ces maxima au centre de ces tourbillons sont de L agitation de la composante V est donc nettement plus importante que celle de U et ceci montre une forte anisotropie du tenseur des contraintes turbulentes. Egalement en accord avec les études précitées, la composante v 2 présente de fortes valeurs entre les tourbillons du côté opposé à la région d entraînement du fluide extérieur, et proche des points selle. Ces résultats confirme les observations faites à partir des champs instantanés de vitesse, ainsi qu à partir des lignes d émission. Quand le fluide extérieur entraîné par les tourbillons arrive à l intérieur du sillage et rencontre le fluide opposé, une forte agitation turbulente se produit. Dans ces régions, le niveau de v 2 se situe au valeurs et est donc également bien plus important que celui de la composante u 2, qui est autour de 0.15,ce 112

7 6.2 Moyenne de phase qui traduit une forte anisotropie de l agitation turbulente. La contrainte de cisaillement uv est représentée sur la figure 6.9. Cette composante présente deux régions de signes opposés de part et d autre du sillage qui oscillent avec l évolution des tourbillons. Les iso-contours de cette composante pris à deux instants à des angles de phase opposés présentent donc une antisymétrie. Les valeurs absolues les plus fortes sont situées entre les tourbillons, en accord avec les résultats de Hussain and Hakayawa [72] et Cantwell and Coles [37]. Les valeurs absolues maximales dans ces régions vont de 0.16 (à la phase ϕ = 90 dans la partie supérieure à x/d 1.3 et à la phase ϕ = 270 dans la partie inférieure) à environ 0.1 plus en aval (phases ϕ=180 et 0 ). A la différence de la topologie observée de cette composante dans le sillage plus en aval par Hussain and Hakayawa [72] et Cantwell and Coles [37], uv présente également de fortes valeurs ( 0.16 à la phase ϕ=45 dans le tourbillon inférieur) au coeur des tourbillons pendant leur formation le long de la ligne de séparation. Leder [83] obtient également des valeurs importantes dans ces régions mais de façon moins importante que dans notre cas. Cantwell and Coles [37] dans le sillage proche, reportent également de forte valeurs dans ces régions. Ces fortes valeurs sont issues du fort cisaillement dans ces régions de séparation. Quand le tourbillon est convecté vers l aval, les valeurs de uv dans le tourbillon diminuent fortement (0.4 à la phase ϕ=180 ) et semblent donc bien tendre vers les résultats des études précitées dans le sillage plus en aval. Enfin, la composante S 12 du tenseur des taux de déformation, qui représente le cisaillement de l écoulement en moyenne de phase, est représentée sur la figure Cette composante présente normalement ses plus fortes valeurs dans la région du décollement du fait du fort cisaillement et ainsi de la prépondérance du gradient U y. Dans le sillage, S 12 est quasiment nulle dans les tourbillons et présentent ses plus fortes valeurs entre les tourbillons. Ceci est du aux contributions additives des deux gradient U y et V x entre les tourbillons et qui s annulent dans les tourbillons où ces deux gradients sont du même ordre de grandeur avec des signes opposés. 113

8 Chapitre 6. Structures cohérentes (a) ϕ = 0 (b) ϕ = 180 (c) ϕ = 45 (d) ϕ = 225 (e) ϕ = 90 (f) ϕ = 270 (g) ϕ = 135 (h) ϕ = 315 Fig. 6.3: moyennes de phase : lignes de courant 114

9 6.2 Moyenne de phase (a) ϕ = 0 (b) ϕ = 180 (c) ϕ = 45 (d) ϕ = 225 (e) ϕ = 90 (f) ϕ = 270 (g) ϕ = 135 (h) ϕ = 315 Fig. 6.4: moyennes de phase : iso-contours de Ω

10 Chapitre 6. Structures cohérentes (a) ϕ = 0 (b) ϕ = 180 (c) ϕ = 45 (d) ϕ = 225 (e) ϕ = 90 (f) ϕ = 270 (g) ϕ = 135 (h) ϕ = 315 Fig. 6.5: moyennes de phase : iso-contours de U 116

11 6.2 Moyenne de phase (a) ϕ = 0 (b) ϕ = 180 (c) ϕ = 45 (d) ϕ = 225 (e) ϕ = 90 (f) ϕ = 270 (g) ϕ = 135 (h) ϕ = 315 Fig. 6.6: moyennes de phase : iso-contours de V 117

12 Chapitre 6. Structures cohérentes (a) ϕ = 0 (b) ϕ = 180 (c) ϕ = 45 (d) ϕ = 225 (e) ϕ = 90 (f) ϕ = 270 (g) ϕ = 135 (h) ϕ = 315 Fig. 6.7: moyennes de phase : iso-contours de u 2 118

13 6.2 Moyenne de phase (a) ϕ = 0 (b) ϕ = 180 (c) ϕ = 45 (d) ϕ = 225 (e) ϕ = 90 (f) ϕ = 270 (g) ϕ = 135 (h) ϕ = 315 Fig. 6.8: moyennes de phase : iso-contours de v 2 119

14 Chapitre 6. Structures cohérentes (a) ϕ = 0 (b) ϕ = 180 (c) ϕ = 45 (d) ϕ = 225 (e) ϕ = 90 (f) ϕ = 270 (g) ϕ = 135 (h) ϕ = 315 Fig. 6.9: moyennes de phase : iso-contours de uv 120

15 6.2 Moyenne de phase (a) ϕ = 0 (b) ϕ = 180 (c) ϕ = 45 (d) ϕ = 225 (e) ϕ = 90 (f) ϕ = 270 (g) ϕ = 135 (h) ϕ = 315 Fig. 6.10: moyennes de phase : iso-contours de S

16 Chapitre 6. Structures cohérentes Les moyennes de phase ont également été évaluées sur le plan 4 (x,z) au niveau de l axe arrière. La composante W reste en dessous de l erreur de mesure à chaque phase, ce qui indique que l écoulement est bidimensionnel en moyenne de phase au centre du canal. Ceci n implique pas que l écoulement instantané est bidimensionnel. En effet, les larges composantes tridimensionnelles du mouvement ne se produisant certainement pas à la même position selon l envergure d un cycle à l autre, ils ne peuvent être captés par la moyenne de phase. La contrainte normale w 2 présente par contre une évolution en fonction de l angle de phase. La figure 6.11 représente cette composante en fonction de l abscisse x/d à quatre angles de phase. Nous voyons que les profils sont similaires pour des angles de phase opposés, ce qui indique que w 2 présente une périodicité à deux fois la fréquence de Strouhal sur l axe arrière, du fait des symétries de l écoulement. Fig. 6.11: contrainte normale w 2 sur l axe arrière L écoulement en moyenne de phase étant bidimensionnel, le terme de production turbulente intervenant dans l équation pour l énergie cinétique turbulente peut être calculé sous la forme : ( u 2 P = U x + v 2 V y + uv ( U y + V ) ) x La figure 6.12 représente les iso-contours de P aux 8 angles de phase considéré précédemment. La production est la plus forte juste en aval du décollement. Dans le sillage, la production présente ses plus fortes valeurs entre les tourbillons, dans les régions proche des points selle. Ces régions correspondent aux fortes valeurs de uv, ainsi que de S 12. Ceci est en accord avec Cantwell and Coles [37] et Hussain and Hakayawa [72]. Nous constatons également des valeurs importantes de la production à l arrière des tourbillons lorsque ceux ci commencent à être convectés (phases ϕ=135 et 315 ). 122

17 6.2 Moyenne de phase (a) ϕ = 0 (b) ϕ = 180 (c) ϕ = 45 (d) ϕ = 225 (e) ϕ = 90 (f) ϕ = 270 (g) ϕ = (h) ϕ = 315 Fig. 6.12: moyennes de phase : iso-contours de P

18 Chapitre 6. Structures cohérentes En suivant Reynolds and Hussain [106], la décomposition du mouvement par la moyenne de phase entraîne que la partie dite organisée et le terme dit aléatoire sont décorrélés. Nous pouvons écrire : ũ i u i = 0 Cette propriété importante amène à écrire le tenseur des contraintes turbulentes dans le sens de la moyenne temporelle comme la somme des contributions de chaque composante du mouvement : u i u j = ũ i u j + u i u j Comme l ont fait Cantwell and Coles [37], il est donc possible d évaluer la contribution du mouvement quasi-périodique et celle du mouvement organisé au tenseur des contraintes dans le sens stationnaire. Les figures 6.13, 6.14 et 6.15 représentent ces contributions aux composantes u 2, v 2 et uv respectivement. Les résultats obtenus sont qualitativement en très bon accord avec ceux présentés par Cantwell and Coles [37]. Rappelons que dans cette étude, la longueur de recirculation l c est de 1.1, et qu elle vaut 1.28 dans notre cas, et surtout, que le niveau des contraintes turbulentes dans l étude de Cantwell and Coles [37] est inférieur à celui de notre étude. Cette différence a été attribuée à la différence d intensité turbulente de l écoulement incident et au blocage important de notre étude. Cependant les répartitions spatiales, ainsi que les contributions relatives de chaque composante du mouvement sont en bon accord. Chacune des composantes de la contrainte normale u 2 présente deux lobes importants de chaque coté du cylindre. Les lobes de la contribution du mouvement aléatoire sont légèrement plus en amont (x/d 0.9) que ceux de la contribution du mouvement quasipériodique (x/d 1) et le niveau au centre des lobes est légèrement supérieur (0.2 pour u 2 et 0.16 pour ũ 2 ). Sur l axe arrière y/d = 0, la contribution du mouvement quasi périodique est quasiment nulle et ainsi, quand on s éloigne du cylindre, cette contribution conserve une topologie à deux lobes. A l inverse la contribution du mouvement aléatoire ne présente plus qu un lobe centré sur l axe arrière à partir de x/d 1.5. (a) ũ 2 (b) u 2 Fig. 6.13: moyennes de phase : décomposition de la contrainte normale u 2 en une contribution organisée et une contribution aléatoire Comme le notent Cantwell and Coles [37], de grandes similitudes sont observées entre les contributions ṽ 2 et v 2, alors que les deux composantes du mouvement n ont a priori 124

19 6.2 Moyenne de phase rien de commun. Les deux composantes présentent un lobe centré sur l axe arrière. Le maximum de v 2 est situé légèrement en amont du maximum de ṽ 2 (x/d 1.2 et x/d 1.5, respectivement) et sa valeur est légèrement inférieure (0.33 et 0.35, respectivement). (a) ṽ 2 (b) v 2 Fig. 6.14: moyennes de phase : décomposition de la contrainte normale v 2 en une contribution organisée et une contribution aléatoire De grandes similitudes sont également observées entre les composantes ũṽ et u v. Toutes deux présentent deux lobes antisymétriques par rapport à l axe arrière. Les maxima des valeurs absolues de u v sont situés plus en amont que ceux de ũṽ (x/d 1.1 et x/d 1.4, respectivement) et également semblent être légèrement plus éloignés de l axe arrière (y/d ±0.4 et y/d ±0.3, respectivement). Le niveau des maxima en valeur absolue de u v (±0.1) est légèrement supérieur à celui de ũṽ (±0.08). Toutes ces tendances concernant les contributions relatives de chaque composante au tenseur des contraintes turbulentes sont en bon accord avec les résultats de Cantwell and Coles [37]. (a) ũṽ (b) u v Fig. 6.15: moyennes de phase : décomposition de la contrainte normale uv en une contribution organisée et une contribution aléatoire 125

20 Chapitre 6. Structures cohérentes Estimations stochastiques Dans cette partie, nous appliquons la technique d estimation stochastique que nous avons présenté au paragraphe Dans un premier temps, nous validons cette technique en l appliquant aux acquisitions non conditionnelles effectuées dans le plan 1 (x, y). Ensuite cette technique est appliquée aux acquisitions de PIV stéréoscopique afin notamment d évaluer la contrainte normale w 2. Validation Dans un premier temps, il convient de valider cette technique. Nous avons donc compararé les différentes quantités en moyenne de phase obtenues par échantillonnage conditionnel à celles obtenues par estimation stochastique. Nous rappelons que ces estimations consistent à chercher la meilleure estimation des champs instantanés en fonction de la phase qui leur est attribuée sous la forme d un développement en série de Fourier et ainsi d accéder à une estimation de la moyenne de phase (du fait de la troncature de la série de Fourier) à partir de mesures non conditionnelles. La phase est déterminée, comme dans le cas de l échantillonnage conditionnel, à partir du signal de pression pariétale sur le cylindre. Le premier point à vérifier est l uniformité de la répartition des phases auxquelles sont acquis les champs PIV de manière non conditionnelles. La figure 6.16 montre bien une répartition uniforme des phase sur l intervalle [0, 2π]. Fig. 6.16: histogramme des phases auxquelles sont acquis les champs PIV La figure 6.17 montre des profils de U et de V obtenus par estimation stochastique en tronquant la série à H=1, 2, 3, et 4 termes, ainsi que les profils correspondant des moyennes de phase obtenus par échantillonnage conditionnel. Les profil a, b et c sont des profils selon y aux abscisses x/d=0.82, 1.26 et 1.93 respectivement et à la phase ϕ = 180. Nous voyons que les résulats obtenus par les estimations sont très proches des moyennes conditionnelles. Sur le profil le plus proche du cylindre (figure 6.17a) à x/d=0.82, l estimation réalisée en ne tenant compte que du fondamental (H=1) sort des barres d erreur de la moyenne conditionnelle autour de y/d 0.6. Les figures d, e et f présentent des profils selon ϕ en différents points du sillage. Les évolutions de U et de V en fonction de la phase montrent également un bon accord avec les mesures conditionnelles. Nous constatons que pour H 3, la différence entre les résultats obtenus par estimation stochastique et par 126

21 6.2 Moyenne de phase échantillonnage conditionnel reste inférieure aux incertitudes de mesure estimées. De plus, la prise en compte d harmoniques supplémentaires ne semble pas changer énormément les résultats. Pour déterminer plus précisément le nombre d harmoniques significatifs, il faudrait bien sûr que les moyennes de phase soient calculées avec plus d échantillons, afin de réduire les incertitudes de mesure. Nous pouvons conclure à ce stade, que les estimations stochastiques approchent correctement la moyenne de phase à partir de H=3 dans la limite des erreurs de mesure. Il est certain qu en réalité, d autres harmoniques constituent la moyenne de phase. Néanmoins leurs amplitudes restent faibles. Comme nous pouvions nous y attendre, au moins un harmonique est nécessaire pour reconstruire la moyenne de phase de U proche de l axe arrière y/d = 0 (figure 6.17e) car cette composante présente une fréquence double de la fréquence de Strouhal, du fait des symétries de l écoulement par rapport à cet axe. Le second harmonique est plus important quand on s éloigne du cylindre et aussi dans les régions de cisaillement. Ces observations sont en bon accord avec l analyse spectrale réalisée par Persillon and Braza [101] à partir de simulations numériques directes à faible nombre de Reynolds, qui montre une augmentation des harmoniques dans ces régions due aux interactions entre les tourbillons primaires et les plus petites échelles. (a) x/d = 0.82, ϕ = 180 (b) x/d = 1.26, ϕ = 180 (c) x/d = 1.93, ϕ = 180 (d) x/d = 0.82, y/d = 0.61 (e) x/d = 0.82, y/d = 0.01 (f) x/d = 1.81, y/d = 0.01 Fig. 6.17: comparaison des composantes < U > et de < V > obtenues par estimation et par échantillonnage conditionnel ( légende : moyennes de phase, estimations : H = 1, H = 2, H = 3, H = 4 ) 127

22 Chapitre 6. Structures cohérentes Les corrélations u 2, v 2 et uv du tenseur des contraintes turbulentes sont ensuite estimées à partir de ces estimations des moyennes de phase, comme cela est décrit dans le paragraphe La fluctuation de chaque composante est calculée en soustrayant la moyenne de phase estimée avec H=3 aux composantes instantanées. Ensuite les produits de ces fluctuations sont soumis à la même estimation. Les figures 6.18a, b et c représentent l évolution de ces trois composantes en fonction de la phase ϕ au point x/d = 1.71 et y/d = Les incertitudes de mesure sont bien sûr plus importantes, mais nous voyons que, comme pour les vitesses moyennes, H 3 semble suffisant pour estimer la majeure partie de ces quantités. Afin d appliquer, par la suite, cette technique aux acquisitions de PIV stéréoscopique, nous avons également appliqué ces estimations sur le plan 4 (x,z) et la figure 6.18d montre l évolution en fonction de ϕ de la contrainte normale w 2 en moyenne de phase obtenue par échantillonnage conditionnel et par estimation au point x/d = 129, y/d = 0 et z/d = 0. Cette figure montre un bon accord entre les deux techniques en prenant au moins le premier harmonique en compte, ce qui est normal car le plan mesuré se situe sur l axe arrière et une fréquence double de celle de Strouhal est observée pour cette composante. (a) u 2 à x/d = 1.71, y/d = 0.43 (b) v 2 à x/d = 1.71, y/d = 0.43 (c) uv à x/d = 1.71, y/d = 0.43 (d) w 2 à x/d = 1.29, y/d = 0, z/d = 0 Fig. 6.18: comparaison des composantes u 2, v 2, uv et w 2 obtenues par estimation et par échantillonnage conditionnel ( légende : moyennes de phase, estimations : H = 1, H = 2, H = 3, H = 4 ) 128

23 6.2 Moyenne de phase Application aux acquisitions 3C Ayant montré que ces estimations donnent des résultats très proches de ceux obtenus par échantillonnage conditionnel, nous avons appliqué cette technique aux acquisitions de PIV stéréoscopique dans le but de quantifier toutes les composantes du tenseur des contraintes turbulentes en moyenne de phase et ainsi se faire une idée de la tridimensionnalité de l écoulement instantané. Les estimations des vitesses moyennes ont donné des résultats proches de ceux présentés dans le paragraphe précédent Comme nous l avions déja constaté, la composante W selon l envergure du cylindre reste quasiment nulle au cours de la période. Les contraintes de cisaillement uw et vw sont également trouvées très faibles, ce qui est normal car l écoulement moyen est bidimensionnel dans cette région centrale du cylindre. La figure 6.19 représente les estimations de la contrainte normale w 2. La topologie générale de cette composante est similaire à celle de la composante v 2. Comme pour les autres composantes normales, les iso-contours de w 2 à deux instants de phases opposées sont symétriques par rapport à l axe arrière. Nous voyons que cette composante présente des valeurs importantes aux centres des tourbillons. Ceci est concordant avec l agitation u 2 et v 2 que nous avions observé dans ces régions. Les valeurs de w 2 aux centres des tourbillons sont du mêmes ordre de grandeur que u 2 et donc nettement inférieures à v 2, ce qui confirme l anisotropie. w 2 présente également de fortes valeurs entre les tourbillons dans les régions des points selle. En suivant le mouvement sur une demi-période, nous voyons qu à la phase ϕ = 270, w 2 présente un maximum local de 0.2 au centre du tourbillon qui se détache dans la partie supérieure à x/d 1. Quand le tourbillon avance, une région de fortes valeurs de w 2 se forme entre ce tourbillon et le suivant qui se forme de l autre côté du cylindre. A la phase ϕ = 0, le maximum de w 2 qui vaut 0.2 est situé entre les deux tourbillons dans la partie supérieure, à l abscisse x/d 1.4. La région de w connecte ainsi les deux tourbillons. Quand le premier tourbillon est convecté, cette région se sépare en deux et les maxima de w 2 sont à nouveau situés aux centres des tourbillons (ϕ = 90 ). Cette répartition de l agitation turbulente selon l envergure du cylindre confirme les forts effets tridimensionnels que nous avions supposé dans ces régions et sont en accord avec l organisation tridimensionnelle en fins tourbillons longitudinaux connectant les rouleaux primaires suggéré par Hussain and Hakayawa [72] et confirmé à bas nombre de Reynolds par les simulations numériques directes de Persillon and Braza [101], Persillon [100] et Allain [7]. Toutes les composantes normales du tenseur des contraintes turbulentes étant accessibles, il est possible de quantifier l énergie cinétique turbulente k = 1 2( u 2 + v 2 + w 2 ) sans faire d hypothèse sur la troisième composante. La figure 6.20 représente les iso-contours de k. En accord avec les topologies des 3 composantes u 2, v 2 et w 2 observées séparemment, k présente ses valeurs maximales aux centres des tourbillons. Ces valeurs maximales sont de l ordre de Une forte agitation est également observée dans les régions des points selles et ces régions connectent les tourbillons successifs. Les régions où le fluide extérieur est entraîné par les tourbillons vers l intérieur du sillage sont marquées par de faibles valeurs de k. Cette évolution de la topologie de k est à comparer avec celle de la production P représentée sur la figure Dans le sillage, celle ci est importante entre les tourbillons au 129

24 Chapitre 6. Structures cohérentes niveau des points selles, ce qui est en accord avec les valeurs importantes de k situées dans ces régions. A l inverse, la production est quasimment nulle aux centres des tourbillons alors que k y présente ses valeurs maximales. De plus la production est très importante juste en aval du décollement. A cet endroit, seule la contrainte u 2 est importante. Ces observations confirme le schéma selon lequel l énergie cinétique turbulente est produite dans les régions fortement cisaillées et transportée par les grandes structures vers leur centre. 130

25 6.2 Moyenne de phase (a) ϕ = 0 (b) ϕ = 180 (c) ϕ = 45 (d) ϕ = 225 (e) ϕ = 90 (f) ϕ = 270 (g) ϕ = 135 (h) ϕ = 315 Fig. 6.19: iso-contours de la contrainte normale < w 2 > 131

26 Chapitre 6. Structures cohérentes (a) ϕ = 0 (b) ϕ = 180 (c) ϕ = 45 (d) ϕ = 225 (e) ϕ = 90 (f) ϕ = 270 (g) ϕ = 135 (h) ϕ = Fig. 6.20: iso-contours de < k >

27 6.2 Moyenne de phase De la même manière que pour les composantes du tenseur des contraintes turbulentes, la non corrélation entre les composantes organisées et les composantes aléatoires du mouvement permet de décomposer l énergie cinétique fluctuante en une contribution du mouvement organisé et une contribution du mouvement aléatoire : k = k (c) + k (r) où k (c) = 1 2ũiũ i et k (r) = 2 1u i u i. Ces deux contributions sont représentées sur la figure Les deux contributions présentent un lobe centré sur l axe arrière. L énergie k (c) a son maximum situé à x/d 1.3 au niveau du point de rattachement et ce maximum est de 0.2. L énergie k (r) a une valeur maximale plus élevée 0.32 située à x/d 1.1, donc plus en amont que le maximum de k (c) et situé dans la région de recirculation. En suivant Reynolds and Hussain [106], la décomposition en moyenne de phase permet l écriture d équations de transport pour chacune des composantes du mouvement et pour leur énergie cinétique (cf. annexe B). On distingue en particulier dans ces équations le terme de production du mouvement moyen vers le mouvement organisé que nous notons Pmc, le terme de production du mouvement moyen vers le mouvement aléatoire que nous notons Pmr, et le terme de production du mouvement organisé vers le mouvement aléatoire que nous notons Pcr. Ces termes s écrivent : ( Pmc = ũ i u j ( Pmr = u i u j ( Pcr = u i u j U ) i x j U ) i x j ũi ) x j La figure 6.22 représente chacun de ces termes. La production Pmc du mouvement moyen vers le mouvement organisé présente des valeurs importantes juste en aval du décollement et présente dans le sillage un lobe centré sur l axe arrière à l abscisse x/d Cette valeur maximale est de 0.3. La topologie de ce terme de production est similaire à celle présentée par l énergie k (c). La production Pmr du mouvement moyen vers le mouvement aléatoire présente également des valeurs importantes juste en aval du décollement et dans le sillage présente, à l inverse de Pmo, deux lobes symétriques de chaque côté de l axe arrière. Ces deux lobes où le niveau de production est de 0.2 forment un point selle sur l axe arrière x/d = 1.2 où le niveau de production est 0.1. La topologie de ce terme est donc différente de celle de l énergie k (r) à laquelle il contribue. Cette différence suggère qu en moyenne, l energie des fluctuations aléatoires produite par le mouvement moyen dans les régions cisaillées est transportée vers le centre du sillage, en accord avec les observations faites au paragraphe précédent sur l evolution de ces quantités avec la phase de l écoulement. La production Pcr du mouvement organisé vers le mouvement aléatoire est plus faible que les autres termes. Elle présente deux lobes symétriques par rapport à l axe arrière dans lesquels le niveau est de 0.08 et qui sont situés plus en aval que les deux lobes de Pmr, environ à x/d

28 Chapitre 6. Structures cohérentes (a) k (c) (b) k (r) Fig. 6.21: décomposition de l énergie cinétique fluctuante en une contribution du mouvement organisé et une contribution du mouvement aléatoire (a) Pmc (b) Pmr (c) Pcr Fig. 6.22: termes de production entre les différentes composantes du mouvement 134

29 6.2 Moyenne de phase Allure spatiale des modes de Fourier Le champ de vitesse en moyenne de phase ainsi décomposé peut donc s écrire : U i ( x,ϕ) = U i ( x) + k=+h k=1 ( ρ (k) i ( x)e jkϕ + ρ ( k) i ( x)e jkϕ) Comme le champ est réel, ρ (k) i et ρ ( k) i sont conjugués. Ces modes étant décorrélés, (car la base des fonctions trigonométriques est orthogonale), nous pouvons regarder quelle est la répartition spatiale d énergie de chacun des modes en écrivant ( Ui ( x,ϕ) U i ( x) ) 2 = k=+h k=1 ( (k) ρ i ( x)ρ ( k) i ( x) ) k=+h = k=1 ρ (k) i ( x)ρ (k) ( x) ρ k ( x)ρ k ( x) représente ainsi la contribution énergétique du mode de Fourier k de la moyenne de phase à la contrainte turbulente normale u 2 i. De même, on peut écrire la contribution de chaque mode de Fourier de la moyenne de phase aux contraintes de cisaillement u i u j : ( Ui ( x,ϕ) U i ( x) )( U j ( x,ϕ) Uj ( x) ) = k=+h k=1 ( (k) ρ i ( x)ρ ( k) j ( x) ) k=+h = i k=1 ρ (k) i ( x)ρ (k) ( x) En sommant les contributions des trois modes retenus (H = 1...3) aux contraintes u 2, v 2, et uv, on retrouve bien la même allure que les contributions obtenues en moyennant les fluctuations périodiques obtenues par échantillonnage conditionnel, les énergies des deux harmoniques étant très faibles. On peut également mettre le développement en série de Fourier de la moyenne de phase sous forme réelle : U i ( x,ϕ) = U i ( x) + = U( x) + k=+h k=1 k=+h k=1 (1 2 ( ρ (k) i ( x) + ρ ( k) i ( x) ) cos(kϕ) + 1 2i ( (k) A i ( x)cos(kϕ) + B (k) i ( x)sin(kϕ) ) ( (k) ρ i ( x) ρ ( k) i ( x) ) sin(kϕ) ) et ainsi définir des paires de modes spatiaux dont on peut regarder l allure, surtout dans le but de les comparer avec les modes obtenus avec la POD dans le paragraphe 6.4. Les modes de la fréquence fondamentale de Strouhal sont représentés sur la figure Le premier, noté A (1), présente deux tourbillons contrarotatifs dont les centres sont situés sur l axe y/d = 0 aux abscisses x/d = 0.8 et x/d = 1.85 (Nous mettons le terme tourbillons entre guillements car ces modes ne correspondent pas à un écoulement. De même les lignes de courant représentées ne sont pas les lignes de courant de l écoulement). Le second mode, noté B (1), présente un tourbillon dont le centre est situé à x/d = 1.2. Ces deux modes dont les évolutions sont déphasées d un quart de période, sont logiquement quasiment décalés d un quart de longueur d onde du point de vue spatial. La combinaison linéaire de ces deux modes pondérés par les fonctions cosinus et sinus de la phase régit la convection des tourbillons. En effet, si l on considère les phases ϕ = 90 et ϕ = 270, le cosinus s annule et le mode B est affecté du poids 1. A ces phases, nous voyons sur la figure j 135

30 Chapitre 6. Structures cohérentes (a) fondamental - lignes de courant de A (1) (b) fondamental - lignes de courant de B (1) (c) fondamental - iso-contours de A (1) 1 (d) fondamental - iso-contours de B (1) 1 (e) fondamental - iso-contours de A (1) 2 (f) fondamental - iso-contours de B (1) 2 Fig. 6.23: modes de Fourier : fondamental 6.4 que les tourbillons se situent bien proche de l abscisse 1.2. De même, nous vérifions bien qu aux phases ϕ = 0 et ϕ = 180, les tourbillons sont situés proche des abscisses x/d = 0.8 et x/d = L ajout du mouvement moyen décale les tourbillons de part et 136

31 6.2 Moyenne de phase (a) premier harmonique - lignes de courant de A (2) (b) premier harmonique - lignes de courant de B (2) (c) premier harmonique - iso-contours de A (2) 1 (d) premier harmonique - iso-contours de B (2) 1 (e) premier harmonique - iso-contours de A (2) 2 (f) premier harmonique - iso-contours de B (2) 2 Fig. 6.24: modes de Fourier : premier harmonique 137

32 Chapitre 6. Structures cohérentes d autre de l axe y/d = 0 selon le signe des fonctions cosinus et sinus. Les abscisses des tourbillons ne sont en fait pas rigoureusement celles indiquées uniquement par les modes fluctants du fait de la présence de la région de recirculation. Egalement, la position du tourbillon du second mode n est pas au centre des deux tourbillons du premier mode du fait de l accélération des tourbillons pendant leur phase de formation. Nous verrons au paragraphe 6.4, que ces deux modes de Fourier s indentifient bien aux deux premiers modes POD. L allure des modes de fréquence double est bien plus bruitée du fait des faibles valeurs de leurs composantes par rapport aux erreurs de mesure. Nous constatons cependant la présence de tourbillons plus petits de chaque coté de l axe arrière. Egalement les deux modes sont décalés d un quart de longueur d onde selon la direction de l écoulement. 6.3 Dispersion des tourbillons d un cycle à l autre La PIV permettant de visualiser l écoulement instantané, nous avons ainsi la possibilité de comparer les champs de vitesse instantanée aux champs moyennés en phase. La figure 6.25a montre deux champs de vecteurs instantanés appartenant à la classe ϕ = 180. Même si il n est pas facile de discerner de façon précise les tourbillons sur chaque image à cause des plus petites échelles, nous voyons que le tourbillon qui se détache du cylindre ne semble pas exactement à la même position sur les deux champs. Cette dispersion apparente a été observée sur une bonne partie des champs instantanée. Cette irrégularité du lâcher tourbillonnaire est mentionnée dans la plupart des études utilisant la moyenne de phase. Cantwell and Coles [37] parle d une dispersion des tourbillons. Hussain and Hakayawa [72] montre l allure de l évolution de la vorticité lissée, mesurée plus en aval dans le sillage (x/d = 10 et x/d = 40) et met en évidence un important flottement des tourbillons et des irrégularités dans la périodicité de passage de ces tourbillons à une abscisse fixée. Ce phénomène connu sous le nom de phase jitter réduit ainsi la capacité de la moyenne de phase à isoler complètement les tourbillons des autres échelles de l écoulement. Nous avons représenté sur la figure 6.25b les fluctuations de vitesse correspondant aux champs instantanés de la figure 6.25a en leur retranchant la moyenne de phase. Nous voyons que les fluctuations présentent des régions de taille du même ordre de grandeur que celle des tourbillons et dans lesquelles la norme des vecteurs est assez conséquente par rapport aux plus petites échelles. Ces régions correspondent au fait que le tourbillon instantané n est pas exactement à la même position que le tourbillon moyen à cette phase. De ce fait, les contraintes turbulentes présentées dans le paragraphe précédent sont issues à la fois des agitations de petites échelles, mais également de cette dispersion des tourbillons d un cycle à l autre. Afin de préciser ces écarts au cas idéal où le mouvement organisé serait rigoureusement périodique, nous avons calculé les moyennes de phase à partir des acquisitions de PIV haute cadence. La figure 6.26 compare la composante V à la phase ϕ = 180. Nous notons que les iso-contours sur le petit champ sont beaucoup plus lisses car les moyennes de phases dans ce cas sont calculées avec environ 830 périodes alors que les moyennes sur les grands champs sont effectuées avec environ 170 champs instantanés. Malgré quelques différences dues à ce nombre de réalisations, un relativement bon accord entre les deux résultats est observé. Sur la figure 6.27, nous avons représenté la vorticité à l abscisse x/d = 1 en fonction du temps et de l ordonnée y/d. La figure du haut représente la 138

33 6.3 Dispersion des tourbillons d un cycle à l autre (a) champs instantannés (b) fluctuations Fig. 6.25: allure spatiale de la fluctuation instantanée par rapport à la moyenne de phase. (Les deux champs sont à la phase ϕ = 180 ) vorticité calculée à partir de U et V filtré avec un filtre passe bas (en temps). La figure du milieu représente la vorticité calculée à partir de U et V filtré avec un filtre passe bande dont la bande passante est centrée autour du pic de Strouhal. Les filtres utilisés sont non causaux de manière à ne pas introduire de déphasage. La figure du bas représente la vorticité du champ moyenné en phase et les traits verticaux en pointillés marquent les instants des angles de phases ϕ = 180 du signal pilote. Comme le souligne Davies [49], les filtres tels qu ils ont été utilisé ne suffisent pas à isoler les structures. En effet, du point de vue spectral, une telle opération isole les fréquences désirées mais ne sépare pas le pic correspondant au mouvement organisé de la partie continue du spectre contenue dans la bande passante du filtre qui correspond à une partie du mouvement aléatoire. Ceci justifie d ailleurs l emploi de la moyenne de phase. Egalement, les filtres utilisés étant calés sur la fréquence dominante, les harmoniques sont négligés. Néanmoins, la partie continue, ainsi que les harmoniques étant de faibles amplitudes par rapport au pic, nous pensons que les vorticités ainsi calculées donnent une bonne idée de l évolution des tourbillons. Le passage d un tourbillon à l abscisse x/d = 1 est donc marqué sur la figure 6.27 par les iso-contours 139

34 Chapitre 6. Structures cohérentes Fig. 6.26: comparaison des moyennes de phase obtenues à partir des mesures basse cadence et des mesures haute cadence. Iso-contours de la composante V à la phase ϕ = 180 de vorticité représentés. Nous voyons que les tourbillons ne sont pas à la même ordonnée à chaque cycle. Egalement, leur taille diffère d un cycle à l autre. Enfin nous voyons qu à certains instants, les tourbillons passent à l abscisse x/d = 1 avec du retard par rapport à la moyenne de phase (entre t 1.06 et t 1.2 sur la figure. On observe donc bien cette irrégularité dont parlent les différents auteurs précités. Il est à noter que ces différentes études parlent d une dispersion qui s accroît vers l aval. Dans notre étude, les champs de vitesse considérés sont très proche du cylindre et nous aurions pu nous attendre à moins de dispersion. Cette dispersion très proche du cylindre est certainement à mettre sur le compte de l entrée de l écoulement dans le régime critique et également des interactions avec les parois qui doivent entraîner une forte modulation du lâcher tourbillonnaire. La figure 6.28 représente du point de vue temporel la décomposition effectuée par la moyenne de phase. Les signaux temporels de la vitesse V sont représentés sur le même intervalle de temps que la figure 6.27 et à la même abscisse x/d = 1, aux points y/d = 0.5, y/d = 0.3 et y/d = 0.01 (figure a, b et c respectivement). Sur chacune de ces figures, les signaux brut V sont superposés à la moyenne de phase V et en dessous, la fluctuation v obtenue par soustraction est représentée. A la droite de chaque figure, les spectres de puissance des ces trois quantités, calculés à partir de l ensemble des acquisitions temporelles ainsi décomposées, sont représentés. La figure 6.28d représente le signal pilote correspondant, ainsi que la phase ϕ. Nous voyons, en accord avec la figure précédente que la composante quasi-périodique du signal brut est fortement modulée en amplitude et également, que le signal est déphasé par rapport à la moyenne de phase entre t 1.06 et t 1.2. En conséquence, les fluctuations présentent également à certains instants une composante quasi-périodique. Ceci est confirmé sur les spectres de puissance. En effet, nous voyons que les spectres des fluctuations v présentent un pic assez large et dont l amplitude est d environ 10% du pic du spectre du signal brut. (Ce défaut est néanmoins amplifié par le fait que, pour pouvoir calculer les spectres de la fluctuation v, nous avons retranché la moyenne de phase à tout le signal sans considérer les passages irréguliers du signal pilote qui ont été rejetés pour le calcul de la moyenne de phase. Ainsi, à ces instants, la fluc- 140