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1 Table des matières 1 Prise en main Démarrageetaide Calculatrice Ponctuation,commentaires,interruption Variables Gestiondelamémoire Répertoiredetravail Sauvegarde de l environnement de travail Fonctionetcommande Quitter MATLAB Vecteurs et Matrices Créationd unvecteuroud unematrice Vecteurs Matrices Quelquesmatricesprédéfinies Opérationssurlesmatrices Opérationsglobales Opérationsélémentparélément Manipulerlesmatrices Conversionmatrice/vecteur Extraction,extension Suppression d une ligne ou d une colonne Indexationlogique La fonction diag Les fonctions tril et triu Matricesparblocs La fonction kron Normesvectoriellesetmatricielles Fonctionmathématiquesélémentaires Exercices Algèbre linéaire Systèmeslinéaires Systèmescarrés Systèmes rectangulaires La fonction linsolve Inversesetdéterminants Factorisationdesmatrices FactorisationLU FactorisationdeCholesky Factorisation QR Valeurspropres,vecteurspropres iii

2 iv TABLE DES MATIÈRES 3.5 Conditionnement Exercices Graphisme Généralités Graphisme2D Lesaxes Lescommentaires Décomposition de la fenêtre en sous-fenêtres Sauvegarderunefigure Courbesdeniveau Visualisation3D Courbes3D Surfaceanalytique Surfacedéfinieparunensembledepoints Isosurfaces et coupes Maillage d un volume Exercices Matrices creuses et méthodes itératives Modedestockage Création Opérationssurlesmatricescreuses Factorisation et méthodes directes Factorisation LU FactorisationdeCholesky Permutation des lignes et des colonnes Factorisation incomplète et préconditionnement Factorisation LU incomplète FactorisationdeCholeskyincomplète Méthodes itératives Méthode du gradient conjugué préconditionné Méthode GMRES Exercices Programmation avec MATLAB Types de données et variables Structures de données avancées Tableauxdecellules(cellarrays) Structures Scripts Fonctions Fichiersdefonctions Passagedefonctionsenparamètres Nombred argumentsvariable Argument non utilisé Fonctionenligne Structuresdecontrôle La boucle for La boucle while L alternative if Choix multiple switch case Lesexpressionslogiques Instructionsderupturedeséquence Quelquesfonctionsinternes... 98

3 TABLE DES MATIÈRES v Lesfonctionslogiques La fonction find Fonctionsderéduction Opérationssurlesensembles Importation/exportation de données Les fonctions save et load Les fonctions fprintf et fscanf Optimisationd uncode Exercices Méthode des différences finies Problèmes unidimensionnels Problèmemodèle Approximation par la méthode de différences finies Condition aux limites de Neumann Résultatsnumériques Problèmes d évolution unidimensionnels Approximation par la méthode des différences finies Résultatsnumériques Problèmes bidimensionnels Problèmemodèle Approximation par la méthode des différences finies Génération de la grille Générationdelamatriceetdusecondmembre Exemple Exemple Exercices A Programmescomplets A.1 Le programme pour l approximation du problème (7.18)-(7.19) A.2 Le programme pour l approximation du problème (7.30)-(7.32) A.3 Le programme pour l approximation du problème (7.40)-(7.41) A.4 Le programme pour l approximation du problème (7.42)-(7.45) Méthode des éléments finis en dimension un Problèmemodèle Formulation variationnelle Problèmedeminimisation Autresproblèmes ProblèmedeDirichletnonhomogène ProblèmedeNeumann Approximation P Problème variationnel approché Méthode de Galerkin Formulesdequadrature Assemblagedesmatrices Élémentderéférence Assemblagedelamatricederigidité Assemblagedelamatricedemasse Assemblagedusecondmembre PriseencomptedesconditionsauxlimitesdeDirichlet Résultatsnumériques Problèmeavecunesolutionexacte Équationdelachaleur Problèmenonlinéaire Exercices...156

4 vi TABLE DES MATIÈRES 8.A Programmescomplets A.1 Programme pour la résolution du problème de Poisson (8.42)-(8.43) A.2 Programme pour l approximation de l équation de la chaleur (8.47)-(8.49) A.3 Programme pour la résolution du problème non linéaire (8.52)-(8.53) par la méthode de Newton-Raphson Méthode des éléments finis en dimension deux Problèmemodèle Autresproblèmesmodèles ProblèmedeDirichletnonhomogène ProblèmedeNeumann Maillage Triangulation Élémentderéférence ReprésentationMATLAB Génération Approximation P Problème variationnel approché Méthode de Galerkin Formulesdequadrature Assemblagedesmatricesetdusecondmembre La fonction MATLAB sparse Assemblagedelamatricederigidité Assemblagedelamatricedemasse Assemblagedusecondmembre Assemblage de la condition aux limites de Neumann Prise en compte de la condition aux limites de Dirichlet Résultatsnumériques Visualisation Problèmelinéaire Pourquoi vectoriser les fonctions d assemblage? Problèmenonlinéaire Problèmedelasurfaceminimum Exercices A Programmescomplets A.1 Programme pour la résolution du problème (9.46)-(9.47) A.2 Programme pour la résolution du problème non linéaire (9.50)-(9.51) A.3 Programme pour la résolution du problème de la surface minimum (9.61)- (9.62) Quelques applications en dimension deux Décomposition de domaine Introduction Principe de la méthode Fonctionnelle duale Sensibilité, gradient de la fonctionnelle duale Algorithme Discrétisation par éléments finis P Exemple Élasticitélinéaire ProblèmeModèle Discrétisationparélémentsfinis Assemblagedelamatricederigidité Assemblagedusecondmembre Visualisation...214

5 TABLE DES MATIÈRES vii Exemple1:structureenL Exemple2:membranedeCook Problème de Stokes: Élément P 1 -bulle/p Problèmemodèle Discrétisation par éléments finis P 1 -bulle/p Assemblagedelamatrice Assemblagedusecondmembre Récupérationdelabulle Visualisationdel écoulement Exemple1:problèmeavecsolutionexacte Exemple2:Écoulementautourd undisque Problème de Stokes: Élément P 1 -iso-p 2 /P Discrétisation ReprésentationMATLAB Assemblagedesmatricesetdusecondmembre Algorithme d Uzawa gradient conjugué Implémentation Résultatsnumériques Exercices AProgrammescomplets A.1 Programme MATLAB complet pour la décomposition de domaine A.2Fonctiond assemblagedelamatricederigiditéenélasticitélinéaire A.3 Fonction MATLAB pour calculer la contrainte de Von Mises sur chaque noeud A.4FonctionMATLABdevisualisationenélasticité A.5 Programme MATLAB complet pour la résolution du problème de la structure en L par la méthode des éléments finis A.6 Programme MATLAB complet pour la résolution du problème de la membrane de Cook par la méthode des éléments finis A.7Calculdelavaleurdelabulledanschaquetriangle A.8 Programme MATLAB complet pour la résolution du problème de Stokes avec solution exacte par la méthodes des éléments finis A.9 Programme MATLAB complet pour la résolution du problème d écoulement autour d un disque par la méthodes des éléments finis A.10Fonction MATLAB de génération d un maillage P 1 -iso-p 2 /P 1 à partir d un maillage P A.11Fonction MATLAB de résolution du problème de Stokes par l algorithme d Uzawa gradient conjugué A.12Programme MATLAB complet pour la résolution du problème de Stokes avec solution exacte par la méthodes des éléments finis Méthode des éléments finis en dimension trois Problèmemodèle Autresproblèmesmodèles ProblèmedeDirichletnonhomogène ProblèmedeNeumann Maillage Triangulation Élémentderéférence ReprésentationMATLAB Génération Approximation P 1 et méthode de Galerkin Assemblagedesmatricesetvecteurs Calculduvolumedestétraèdres Assemblagedelamatricederigidité...263

6 viii TABLE DES MATIÈRES Assemblagedelamatricedemasse Assemblagedusecondmembre Assemblage de la condition aux limites de Neumann Résultatsnumériques Visualisation Problèmelinéaire Problème non linéaire: le p-laplacien Elasticitélinéaire Discrétisationparélémentsfinis Assemblagedelamatricederigidité Assemblagedusecondmembre Visualisation Exemple Exercices AProgrammescomplets A.1 Programme MATLAB complet pour la résolution du problème linéaire par la méthode des éléments finis A.2 Programme MATLAB complet pour la résolution du problème non linéaire par la méthode des éléments finis A.3 Programme MATLAB de calcul de la contrainte de Von Mises en élasticité linéaire3d A.4 Programme MATLAB complet pour la résolution du problème délasticité linéaire 3D du par la méthode des éléments finis

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