Mécanique des fluides

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1 1. Notion de pression Mécanique des fluides On donne le nom général de fluides aux liquides et aux gaz. Les fluides exercent sur les surfaces qui sont en contact avec eux des actions mécaniques réparties sur toute la surface de contact. Soit F la somme de toutes les forces pressantes exercées par un fluide sur une surface d'aire S en contact avec lui. On définit la pression moyenne sur la surface S par l'expression : F p S Si on considère un petit élément de paroi s entourant le point f M, on appellera pression p au point M : p. s f étant la force pressante qui s'exerce sur l'élément de paroi considéré. f est toujours perpendiculaire à la surface d'aire s. Dans le système international d'unités, la pression s'exprime en Pascals ( Pa ), f est exprimée en newtons et s en m². La pression P n'est pas une grandeur vectorielle ; seule la valeur de son intensité la caractérise. La pression n'a ni sens ni direction. D autres unités de pression sont également utilisées : 1 bar = 10 5 Pa 1 atm = Pa 10 5 Pa On considère donc que le bar et l atmosphère sont deux unités identiques. Le mm de Hg est une autre unité de pression. L équivalence est : 760 mm Hg = 1 atm 2. Pression en un point d un liquide en équilibre La pesanteur est la cause de la pression hydrostatique. Il s ensuit que la pression d un fluide à une profondeur h est égale au poids du liquide contenu dans un cylindre de section égale à l unité de surface et de hauteur h : P h = g h M h milieu de masse volumique g est la constante de pesanteur sur Terre. Sa valeur est de l ordre de 9,81 m.s -2 ( à arrondir à 10 ). Dans le cas où l on a affaire à un liquide présentant une surface libre ( en contact plus ou moins direct avec l atmosphère ), il faut comptabiliser également la pression exercée par l atmosphère sur la surface supérieure du liquide. A la pression hydrostatique, s ajoute par conséquent la pression atmosphérique.

2 La pression que subit un fluide à une profondeur h, sachant que la surface est en contact avec l air ambiante est : P = P h + P a P h est la pression hydrostatique précédemment définie et P a est la pression atmosphérique ( 1 bar ) Dans un liquide, la pression est la même en tout point d un même plan horizontal. Par conséquent, dans un tube en U, deux points ont la même pression s ils appartiennent à un même fluide et s ils sont à même hauteur A A P A = P A 3. Principe fondamental de la statique La différence finie de pression statique ( P > 0 )entre deux points quelconques ( 1 et 2 ) est numériquement égale au poids d une colonne verticale du liquide séparant les deux points ayant une section égale à l unité et dont la hauteur est égale à la différence finie d altitude entre ces deux points ( h > 0 ) : P = g h P 1 P 2 h = h 1 h 2 h 1 h 2 La relation précédente peut s écrire : P 1 + g h 1 = P 2 + g h 2 4. poussée d'archimède Lorsqu'un solide est plongé dans un fluide, toute la surface du solide en contact avec le fluide est soumise à des forces pressantes. La somme de ces forces pressantes est appelée poussée d'archimède. Cette force est dirigée vers le haut. C'est une action exercée par le fluide sur le solide. Son intensité dépend à la fois du volume du solide et de la masse volumique du fluide dans lequel le solide est immergé. La poussée d'archimède exercée par un fluide sur un solide peut être représentée par un vecteur force F qui a les caractéristiques suivantes : * sa direction est verticale ; * son sens est de bas en haut ; * le point d'application est le centre de gravité du fluide déplacé appelé centre de poussée.

3 * l'intensité est celle du poids du fluide déplacé : F = fluide g V im N kg.m -3 m.s -2 m 3 V im : volume immergé du solide ; fluide : masse volumique du liquide Lorsqu un corps est plongé dans un fluide, il subit alors deux forces : la poussée d Archimède F = fluide g V im son poids P = m g = g V ( est la masse volumique de l objet et V est son volume ) Lorsqu il est à l équilibre les deux forces se compensent : P = F 5. écoulement des fluides Dans l écoulement laminaire d un fluide, la direction du mouvement de chacune des particules du fluide est la même que celle du fluide dans son ensemble. Chaque particule de fluide passant par un point quelconque suit la même trajectoire que les particules qui l ont précédée. L écoulement turbulent, d autre part, est caractérisé par la présence de tourbillons et de remous irréguliers. Il se produit à des vitesses élevées et quand la trajectoire du fluide change de direction brutalement, par exemple à proximité d un obstacle. Le débit avec lequel un fluide de vitesse v s écoule à travers une conduite ou un canal dont la surface de la section droite est S est la quantité de matière qui traverse une section droite de la conduite pendant l'unité de temps. Débit massique : Si dm est la masse élémentaire de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant l intervalle de temps dt, le débit massique s écrit : Débit volumique : dm q m dt Si dv est le volume élémentaire de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant l intervalle de temps dt, le débit volumique s écrit : dv q V dt Relation entre q m et q V : La masse volumique est donnée par la relation : Vitesse Moyenne : d'où : q m q V dm dv En général la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse ( dû aux forces de frottement). Le débit massique ou le débit volumique s'obtient en intégrant le débit élémentaire sur toute la surface S. S S vmoy que : Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne v m la vitesse telle v moy qv S

4 Quand un fluide est incompressible, ce qui est approximativement vrai pour la plupart des liquides, son débit volumique est constant même si la taille de la conduite ou du canal varie. Ainsi, si la vitesse du liquide est v 1 quand la surface de la section droite est S 1 et v 2 quand celle ci vaut S 2, la condition de conservation du débit s écrit : v 1. S 1 = v 2. S 2 v 1 v 2 S 1 S 2 6. équation de Bernouilli : écoulement sans frottement Au cours de l écoulement d un fluide parfait en régime permanent, l énergie mécanique totale ( somme des énergies cinétique, potentielle et pressente ) se conserve. Il n y a pas de frottement. L écoulement obéit au théorème de Bernouilli : 2 1 v² + g z + P = constante avec : * :masse volumique du fluide ( en kg.m -3 ) * v :vitesse d écoulement du fluide à l endroit considéré ( en m.s-1 ) * z : altitude du fluide au point considéré ( en m ) * P : pression du fluide à l endroit considéré ( en Pa ) Si A et B appartiennent tous les deux à une même ligne de champ. z S A S B A D z A d B z B L équation de Bernouilli s écrit entre deux points : 2 1 v A ² + g z A + P A = 2 1 vb ² + g z B + P B 7. loi de Pouiseuille : écoulement avec frottement : En un point d un tube cylindrique étroit, de longueur L et de rayon r, la vitesse d écoulement, nulle sur la paroi, augmente paraboliquement avec la distance à l axe du cylindre jusqu à une valeur maximale le long de l axe cylindrique.

5 On considère un cylindre de rayon r et de longueur L dedans lequel s écoule un fluide. P représente la différence de pression entre les deux extrémités distantes de L. Le débit est alors donné par la relation : q v = r 4 P 8 L est le coefficient de viscosité ( en Pl [ poiseuille ] ) v max La vitesse moyenne est donnée par la relation : v = S D = 2 nombre de Reynolds Dans un régime laminaire, le fluide se déplace selon des lignes régulières. Dans le cas d'un régime d'écoulement plus rapide, on atteint un régime turbulent. On définit, pour quantifier ces deux régimes, le nombre de Reynolds : R R = v : vitesse moyenne d'écoulement r : rayon de la canalisation : coefficient de viscosité ( en Poiseuille : 1 Pl = 1 Pa.s ) v r Résistances vasculaires On utilise une analogie hémodynamique électrocinétique. La loi de POISEUILLE q v = résistance mécanique. 8 L r 4 P peut s écrire P = R. q v, en posant R = 8 L 4, r P est la différence de pression qui engendre un mouvement de matière q v U est une différence de potentiel qui engendre un mouvement de charges électriques I De même, pour la puissance, à P = U. I, on peut faire correspondre la relation P = P. q v De même, les résistances à l écoulement : * s ajoutent lorsque l on considère une succession d artères, capillaires et veines : Réq = R 1 1 * vérifient la relation = Réq lorsque l on considère par exemple la mise en parallèle de Ri vaisseaux capillaires.