Mathématiques Ch. 6 : Exercices

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1 1 BTS CGO - LYCÉE LOUIS PAYEN - Mathématiques Ch. 6 : Exercices Cours J-L NEULAT 1 Loi normale 1.1 Lecture directe EXERCICE 1 Soit X une variable aléatoire qui suitn(0,1). On donne : P(X 1) 0,84. Sans utiliser la calculatrice, déterminer en s aidant de la courbe de la fonction densité : 1. P(X 1). 2. P(X < 1). 3. P( 1<X < 1). 4. P(0< X < 1). EXERCICE 2 Soit X une variable aléatoire qui suitn(40,2). On donne : P(X 41) 0,69. Sans utiliser la calculatrice, déterminer en s aidant de la courbe de la fonction densité : 1. P(X 41). 2. P(X < 39). 3. P(39<X < 41). 4. P(40<X < 41). EXERCICE 3 N 9 p (A faire avec la calculatrice et illustrer les résultats avec l outil Proba de GeoGebra.) EXERCICE 4 N 51 p (A faire avec la calculatrice et illustrer les résultats avec l outil Proba de GeoGebra.) EXERCICE 5 N 52 p EXERCICE 6 N 53 p lecture inverse EXERCICE 7 X suit une loi N(20,5). Calculer t tel que : 1. P(X t)=0,99 ; 2. P(X t)=0,01 ; 3. P(X t)=0,05 ; 4. P(X t)= 0,90 ; 5. P(20 t X 20+ t)= 0,95.

2 2 1 LOI NORMALE EXERCICE 8 X suit une loi N(24;6,5). Calculer t tel que : 1. P(X t)= 0,87 ; 2. P(X t)= 0,34 ; 3. P(X t)= 0,4 ; 4. P(24 t X 24+ t)= 0,8. EXERCICE 9 N 58 p EXERCICE 10 N 60 p Exercices extraits des enseignements professionnels EXERCICE 11 (Extrait des enseignements professionnels : Cas STEPH.) 4. En étudiant soigneusement la consommation mensuelle du produit AC, il apparaît que la demande de ce produit suit une loi normale de moyenne égale à 300 unités et d écart-type 45. Les dirigeants de STEPH souhaitent être livrés une fois par mois; or, ils ne peuvent stocker au maximum que 320 unités. Donc, ils passent commande tous les mois de façon à compléter le stock de AC jusqu à 320 unités. (a) Quelle est la probabilité d être en rupture de stock sur le produit AC? (b) Le taux de rupture paraît trop élevé aux dirigeants de STEPH, ils désirent le ramener à 15 %. Quel doit être alors le montant du stock de sécurité? (c) Le stockage au-dessus de 320 unités par mois coûterait à STEPH 50epar unité et par mois ; quant au préjudice commercial subi en cas d impossibilité de servir les clients, il a été évalué à 650 e par unité non servie. Quel est le niveau de stock de sécurité qui minimise la somme du coût de possession du stock et du coût de rupture espéré? EXERCICE 12 (Extrait des enseignements professionnels : Cas Société Commerciale de l Est.) La demande mensuelle d un article vendu par la Société Commerciale de l Est suit une loi normale dont les paramètres sont les suivants : moyenne : unités ; écart-type : 750 unités. Le chef d entreprise ne reçoit qu une livraison par mois et comme il ne peut stocker plus de unités, c est à ce niveau-là qu il reconstitue son stock mensuel. 1. Quelle probabilité a-t-il de se trouver en rupture de stock? 2. Le chef d entreprise trouve cette probabilité de rupture beaucoup trop élevée, il désire la ramener à 10 %. Dans ce cas, à quel niveau doit-il reconstituer son stock chaque mois? 3. En fait, le chef d entreprise peut stocker au-dessus de unités mais il doit payer un coût de stockage supplémentaire de 10 e par produit et par mois. Une autre possibilité pourrait être de reconduire le stock jusqu à seulement unités chaque mois et d obtenir une livraison express des articles manquants (coût supplémentaire : 60 e par article de plus que pour un article acquis dans des conditions normales). Quel est le niveau de stock de sécurité qui minimise la somme du coût de possession du stock et du coût de rupture espéré?

3 3 2 Opérations sur les variables aléatoires suivant une loi normale 2.1 Somme de deux lois normales EXERCICE 13 TP 8 p EXERCICE 14 N 70 p Exercices extraits des enseignements professionnels EXERCICE 15 (Extrait des enseignements professionnels : Cas DERIOT.) Le directeur commercial de l entreprise Deriot estime : que le seuil de rentabilité peut être fixé à e; que les chiffres d affaires liés à la demande d armoires et à la demande de bureaux seront des variables aléatoires indépendantes : le chiffre d affaires lié à la demande d armoires suivra une loi normale : * de moyenne e; * et d écart-type e; le chiffre d affaires lié à la demande de bureaux suivra une loi normale : * de moyenne e; * et d écart-type e. 1. Définissez la loi de probabilité suivie par le chiffre d affaires total attendu dans l entreprise. 2. Donnez un ordre de grandeur du chiffre d affaires le plus probable. 3. Calculez la probabilité pour que le seuil de rentabilité soit atteint au cours de l exercice. EXERCICE 16 (Extrait des enseignements professionnels : Cas LION.) Une entreprise produit deux types d articles X et Y. D après les prévisions, les ventes annuelles de X suivent une loi normale de moyenne produits et d écart-type Les ventes annuelles de Y suivent aussi une loi normale de moyenne produits et d écart-type D autre part, vous possédez les informations suivantes : Produits : X Y Marge sur coût variable unitaire : Charges fixes globales : Déterminez les caractéristiques de la loi de probabilité suivie par la marge sur coût variable globale de l entreprise, si les quantités vendues de X et de Y peuvent être considérées comme des variables indépendantes. 2. Calculez la probabilité d atteindre le seuil de rentabilité. 3. Calculez de deux façons la probabilité d obtenir un résultat supérieur à euros. NB : l entreprise remplit les conditions requises pour être exonérée d impôt sur les sociétés. EXERCICE 17 (Extrait des enseignements professionnels : exercice 8 p.86 de Madame Pizot.) Skate SA est un fabricant de trottinettes pour enfants et adultes référencées respectivement Trot-enf et Trot-adu. Une étude sur les capacités de productions a montré : que le nombre de modèles Trot-enf était une variable aléatoire X qui suivait une N (640;60) ;

4 4 3 LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE que le nombre de modèles Trot-adu était une variable aléatoire Y qui suivait une N (450;55) ; X et Y peuvent être considérées comme des variables aléatoires indépendantes. D autre part, vous possédez les informations suivantes : Modèle : Trot-enf Trot-adu Marge sur coût variable unitaire : Charges fixes globales : Démontrer que la marge sur coût variable globale est une variable aléatoire S qui suit une N (40450;3009). 2. Calculez la probabilité d atteindre le seuil de rentabilité. 3 Loi normale centrée réduite 3.1 Lecture directe EXERCICE 18 Soit X une variable aléatoire qui suit une loin(0,1). Calculer en utilisant la table de la loi normale centrée : 1. P(X 1). 4. P(X > 2,1). 7. P(X < 1). 10. P(1< X < 2). 2. P(X < 1). 5. P(X < 2.36). 8. P(X > 1). 11. P( 1< X < 2). 3. P(X < 2,1). 6. P(X 2,36). 9. P(X > 1.47). 12. P( 2< X < 1). EXERCICE 19 Soit X une variable aléatoire qui suit une loin(0,1). Calculer en utilisant la table de la loi normale centrée : 1. P(X 0.82). 2. P(X > 1.37). 3. P(X < 2,1). 4. P(X > 0,58). 5. P(1,5< X < 1,75). 6. P( 1,4<X 2,4). 7. P( 1,7<X < 1,2). EXERCICE 20 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi N(11,2). Calculer en utilisant la table de la loi normale centrée : 1. P(X 8). 2. P(X > 5). 3. P(5< X < 15). EXERCICE 21 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi N(1000,400). Calculer en utilisant la table de la loi normale centrée : 1. P(X < 1200). 2. P(X > 800). 3. P(500< X < 1500). 3.2 Lecture inverse EXERCICE 22 X suit une loin(0,1). Calculer a tel que : 1. P(X a)=0,99 ; 2. P(X a)=0,01 ; 3. P(X a)=0,05 ; 4. P(X a)=0,90 ; 5. P( a X a)=0,95.

5 5 EXERCICE 23 X suit une loi N(0,1). Calculer a tel que : 1. P(X a)=0,76 ; 2. P(X a)=0,37 ; 3. P(X a)=0,83 ; 4. P(X a)=0,23 ; 5. P( a X a)= 0,65. 4 Loi uniforme EXERCICE 24 Un étang de pêche est régulièrement empoissonné. Lorsqu un pêcheur met sa ligne à l eau, le temps d attente avant la première touche suit une loi uniforme sur l intervalle [0;15]. 1. Quelle est la probabilité pour que ce temps d attente soit inférieur à 10 minutes? 2. Quelle est la probabilité pour que ce temps d attente soit supérieur à 30 secondes? 3. Quel est le temps moyen d attente? EXERCICE 25 Une entreprise agro-alimentaire commercialise des paquets de céréales. L étiquette indique que le paquet est de 375 g. Une étude statistique a montré qu aucun paquet ne pesait moins de 365 g et plus de 385 g. A l intérieur de cette fourchette, on estime que les masses sont uniformément réparties. 1. Déterminer la fonction densité de la variable aléatoire continue X qui modélise la masse d un paquet de céréales. 2. Que représente 375 g pour la variable aléatoire X? 3. Calculer la probabilité qu un paquet de céréale ait une masse comprise entre 370 g et 380 g 4. Calculer la probabilité qu un paquet de céréale ait une masse inférieure à 370 g? 5. Calculer la probabilité qu un paquet de céréale ait une masse supérieure à 380 g? 6. Un magasinier a pesé un paquet. Il ne souvient plus du résultat mais il se rappelle que sa masse était inférieure à 380 g. Quelle est la probabilité pour que la masse de ce paquet soit inférieure à 370 g? EXERCICE 26 Vous arrivez à un arrêt de bus à 10 heures sachant que le bus arrivera à un certain instant qui suit la loi uniformément distribuée entre 10 heures et 10 heures Quelle est la probabilité que votre attente dure dix minutes ou plus? 2. Si à 10 heures 15, le bus n est pas encore arrivé, quelle est la probabilité que votre attente dure au moins dix minutes supplémentaires? 3. Quel est le temps moyen d attente? EXERCICE 27 Le temps d attente à un guichet de gare, exprimé en minutes, est une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur un intervalle [0;b] 1. Sachant que 60 % des voyageurs ont un temps d attente supérieur à 10 minutes, déterminer la valeur de b. 2. On prend dorénavant b = 25. (a) Déterminer le temps moyen d attente. (b) Déterminer la probabilité que le temps d attente soit inférieur à 5 minutes. (c) Déterminer la probabilité que le temps d attente soit supérieur à 15 minutes. (d) Sachant que l on a déjà attendu 10 minutes, quelle est la probabilité que l on attende 10 minutes supplémentaires?

6 6 6 APPROXIMATION D UNE LOI BINOMIALE PAR UNE LOI NORMALE 5 Loi binomiale EXERCICE 28 EXERCICE 29 EXERCICE 30 EXERCICE 31 TP 4 p p N 6 p N 44 p Loi binomiale avec calcul de n en utilsant la fonction ln EXERCICE 32 La probabilité qu un tireur atteigne une cible est Il effectue cinq tirs supposés indépendants les uns des autres. Quelle est la probabilité qu il atteigne la cible au moins deux fois? 2. Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité qu il atteigne au moins une fois la cible soit supérieure à 0,9? (Les tirs sont supposés indépendants les uns des autres.) EXERCICE 33 N 47 p Approximation d une loi binomiale par une loi normale EXERCICE 34 TP 7 p EXERCICE 35 N 64 p EXERCICE 36 N 65 p. 267.

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