X Analyse spectrale numérique

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1 X Analyse spectrale numérique Objectifs : Après avoir utilisé la FFT dans le TP4 d analyse spectrale, on va maintenant s intéresser aux différents paramètres d une acquisition numérique afin de respecter la condition de Nyquist-Shannon. On va donc étudier dans ce TP les conditions d échantillonnage à l aide de la FFT des oscilloscopes. I Analyse spectrale numérique I-1) Document 1 : Principe de l analyse spectrale L analyse spectrale consiste à identifier la fréquence f i des sinusoïdes qui constituent un signal s(t) et à mesurer le poids (l amplitude A i ) de chacune d elles. Le spectre d un signal périodique est formé d harmoniques alors que le spectre d un signal non périodique est en général quelconque. Connaissant la fonction s(t), l analyse spectrale est réalisée à l aide des outils «série Fourier» et «transformée de Fourier». I-2) L échantillonnage Lorsqu on procède à des mesures physiques, la situation est un peu différente pour deux raisons : le signal s(t) n est pas mesuré pour mais seulement sur une durée appelée durée ou Période d acquisition. En dehors de cet intervalle on ne le connaît pas. Dans un dispositif numérique, s(t) n est pas mesuré en continu mais seulement à N e instants t n équidistants et séparés les uns des autres d une durée T e. On dit que le signal est échantillonné et la fréquence s appelle fréquence d échantillonnage. La durée d observation est donc : À partir des N e échantillons qui représente le signal s(t) par ces valeurs s n = s(t n ) du signal s(t), un traitement mathématique appelé transformée de Fourier discrète (TFD) fournit le spectre. L algorithme utilisé pour ce calcul se nomme transformée de Fourier rapide et s abrège en anglais par les trois lettres FFT (L algorithme le plus utilisé est celui de Cooley-Tukey ce qui donne le nom abrégé de FFT(CT). Il est disponible pour l utilisateur sur tous les oscilloscopes numériques et les logiciels qui accompagnent les cartes d acquisition. Laurent Pietri ~ 1 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

2 II Analyse spectrale numérique à l aide du Tektronix II-1) Spectre d un signal sinusoïdal - Régler le générateur de fonctions pour obtenir un signal sinusoïdal de fréquence 1 khz et d amplitude 5V (10V crête-à-crête). - Vérifier que l on observe bien sur l écran de l oscilloscope TEKTRONIX une composante d amplitude 5 V et de fréquence 1 khz. Effectuer la FFT de ce signal. - Diminuer alors la fréquence d échantillonnage (Bouton Time/Div, elle s exprime en kilosample par seconde ou ks/s) jusqu à ce qu elle devienne inférieure à 2 ks/s. Aucune composante spectrale ne devrait apparaître et pourtant constater que l analyseur fait apparaître une composante de fréquence inférieure à 1 khz : il s agit du phénomène de repliement de spectre. Mesurer la fréquence de la composante sinusoïdale observée et vérifier qu elle correspond bien à un repliement de spectre. - En augmentant la fréquence d échantillonnage, donc en tournant le commutateur SEC/DIV vers la droite, constater que le spectre ne contient bien qu une seule fréquence de 1 khz. Document 3 : Critère de Shannon-Niquist Le spectre d'un signal périodique s(t) échantillonné à la fréquence F e comprend : - Des raies spectrales qui correspondent au fondamental et aux harmoniques du signal s (t) : nf - Des raies spectrales obtenues par la réplication des raies précédentes autour de la fréquence Fe : Fe±nf - Des raies situées autour des valeurs multiples de Fe : kfe±nf En représentant schématiquement le spectre de s(t) comme sur la figure, on peut proposer une allure du spectre du signal échantillonné, dans le cas où la fréquence F e est suffisamment élevée pour qu'il y ait disjonction du spectre de s(t) et de ses différentes réplications. Si l'on appelle F max la valeur la plus élevée des fréquences présente dans le spectre de s(t), on écrit que cette disjonction des intervalles spectraux est obtenue lorsque, c'est-à-dire : Relation que l'on doit au concepteur de la théorie de l'information (1948), Claude Shannon. II-2) Spectre d un signal modulé en amplitude a) Résolution spectrale - Réaliser un montage permettant une modulation en amplitude avec une porteuse p(t) d amplitude de 1 V et une fréquence de 10 khz et un signal modulant m(t) d amplitude de 10 V et une fréquence de 200 Hz. Observer la sortie. - Quelles fréquences, on s attend à observer? Laurent Pietri ~ 2 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

3 Document 4 : Résolution spectrale A partir des N e échantillons, on peut calculer N e points du spectre définis par leur abscisse f P et leur ordonnée en utilisant la transformée de Fourier discrète. Ces valeurs de f p sont données par : Les fréquences sont séparées d un intervalle : Remarque : Si on veut bien distinguer les différents pics ( formant le spectre il faudra que : - En réalité le spectre est formé de points de 0 à pour respecter le critère de Shannon - Observer le spectre en respectant la condition de Shannon, et de façon à observer distinctement les deux raies. Expliquer votre protocole. b) Compromis Document 5 : Compromis entre résolution et repliement On pourrait penser que l on a intérêt à échantillonner à une fréquence très élevée pour s affranchir des problèmes de repliement. Il n en est rien : le nombre de points d acquisition étant fixe (1024 points sur nos oscilloscopes), si T e diminue, Ta également et donc la résolution en fréquence f est pire. La résolution spectrale des «pics» sera moins efficace. On a donc un compromis entre résolution spectrale et repliement. - Réaliser un montage permettant une «modulation en amplitude» avec une porteuse p(t) d amplitude de 1 V et une fréquence de 10 khz de type créneau et un signal modulant m(t) sinusoïdal d amplitude de 10 V et une fréquence de 200 Hz. Observer la sortie. - Effectuer le meilleur réglage possible afin d observer les différentes raies mises en jeu. Conclure. - Comment le constructeur pourrait améliorer le dispositif afin d améliorer la qualité du spectre. Laurent Pietri ~ 3 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

4 II-3) Fenêtrage a) Définition Le fenêtrage est une technique servant à découper une section de vos données à mesurer, afin de minimiser les distorsions qui provoquent une fuite spectrale de la FFT. En utilisant correctement les fonctions de fenêtrage, la résolution spectrale de vos résultats dans le domaine fréquentiel s'en trouvera accrue. b) Document 6 : Les différentes fenêtres Lorsque vous utilisez la FFT pour mesurer le contenu fréquentiel de données, vous devez baser l analyse sur un ensemble fini de données. La FFT suppose que l'ensemble fini de données est une période d'un signal périodique. Pour la FFT, le domaine temporel et le domaine fréquentiel sont tous deux circulaires ; elle considère donc que les deux extrémités du signal temporel sont reliées l'une à l'autre. C'est pourquoi la nature finie du signal échantillonné peut donner un signal tronqué ayant des caractéristiques spectrales différentes du signal continu d'origine ; cette nature finie peut également provoquer des variations de transitions brusques dans les données mesurées. Ces transitions brusques sont des discontinuités. Afin de minimiser cet effet, il est possible d'appliquer une fonction de fenêtrage au signal mesuré, dans le domaine temporel. Cela permettra de relier les extrémités du signal et donc d'obtenir un signal continu, sans transition brusque. A l aide du logiciel «Labview» on a représenté trois FFT «différentes» du même signal : - Nombre entier de périodes Lorsque le signal est périodique et que l'intervalle temporel d'acquisition comprend un nombre entier de périodes, la FFT fonctionne parfaitement. - Nombre non entier de périodes Lorsque le nombre de périodes de l'acquisition n'est pas entier, les extrémités sont discontinues. Cela entraîne des lobes secondaires importants, tels que l'on peut les observer dans le graphe du spectre non fenêtré. Ce phénomène s'appelle une "fuite spectrale". - Fenêtrage d'un nombre non entier de périodes L'application d'une fonction de fenêtrage à l'acquisition, qui permet de relier les extrémités du signal de façon plus lisse avant le calcul de la FFT, donne une meilleure résolution du spectre. Cette méthode est également appelée "application d'une fenêtre" ou "fenêtrage". Laurent Pietri ~ 4 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

5 c) Utilisation des différentes fenêtres - Régler le générateur de fonctions pour obtenir un signal sinusoïdal de fréquence 1 khz et d amplitude 5V (10V crête-à-crête). Effectuer l analyse spectrale du signal avec le Tektronix. Changer les différentes possibilités de «Fenêtrage» : o Rectangular : Fenêtre qui laisse tout passer. (Conseillé si nombre entier de périodes) o Hanning (Hann) : Meilleur compris entre résolution spectrale et lecture des amplitudes des pics. o Flat Top : Conseillé pour les mesures d amplitude des pics. - Observer un signal carré de 1 khz. Conclure III Analyse spectrale numérique sous Python III-1) Document 7 : Programme de base On a réalisé un petit programme python afin d observer différents spectres de signaux. C est la bibliothèque Pylab qui nous permettra de réaliser nos FFT. III-2) Critère de Shannon a) Signal sinusoïdal - Soit :. Respecte t-on le critère de Shannon? - Soit :. Expliquer la valeur de la fréquence de la raie obtenue. b) Signal créneau - On pourra réaliser le signal créneau par la commande : (np représente la bibliothèque numpy). - Effectuer les mêmes manipulations que précédemment. Conclure. c) Signal modulé - Créer une nouvelle variable et prenez. Ecrire s(t), puis observer le spectre pour différents Conclure. Laurent Pietri ~ 5 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy