Nom Affaire. Rédigé par SMH Date Août Vérifié par NRB Date Déc Révisé par MEB Date Avril 2006

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1 Affaire n OSM 4 Feuille 1 sur 8 Rév. B Projet de Valorisation : Utilisation de l INOX EXEMPLE DE CALCUL N 9 POUTRE AVEC SEMELLE COMPRIMÉE NON MAINTENUE Calculer une poutre de support d escalier. La poutre en appui simple au droit des poteaux a une section en C. La volée d escalier s appuie en continu entre les points A et C : ceci assure un maintien de la semelle supérieure de cette partie de la poutre. La semelle supérieure n est pas entre les points C et B. La longueur totale de travée est prise égale à 4, m. 1,5 m 1, m 1,5 m Poutre, m Bas A w C R A 1,5 m,7 m maintenu non maintenu R B B Actions On suppose que la poutre ne supporte que la charge de la première volée d escalier jusqu au palier : Actions permanentes (G) : Charge sur les marches 1,0 kn/m (1,0,), kn/m Poids propre de la poutre 0,1 kn/m Actions variables (Q) : Charge sur les marches 4 kn/m (4,0,) 8,8 kn/m Cas de chargement à considérer (état limite ultime) : γ G, j G k, j + γ Q,1 Q k,1 + γ Q,i ψ 0, i Q k,i j 1 i>1 Comme il a une seule action variable (Q k,1 ), le dernier terme n est pas à considérer ici. γ G, j 1,5 (effets défavorables) γ Q,1 1,5 Actions pondérées : Action permanente : Charge sur les marches 1,5,,97 kn/m Poids propre de la poutre 1,5 0,1 0,17 kn/m Action variable : Charge sur les marches 1,5 8,8 1, kn/m Éq.... Analse structurale Réactions d appuis : R A + R B (,97 + 1,) 1,5 + 0,17 4, 4,97 kn 171

2 Affaire n OSM 4 Feuille sur 8 Rév. B Projet de Valorisation : Utilisation de l INOX En prenant les moments par rapport au point A 1,5 1,17 0,75 + 0,17 4, (4,/ ) R B 4,9 kn 4, R A 4,97 4,9 0,8 kn Le moment fléchissant maximum se trouve à une distance de 1,5 1,5 1 1, m 4, du point A M max 1, 0,8 1, 1,17 1, 0,17 1,58 kn.m Le cisaillement maximal est situé au point A : F Sd 0,8 kn Caractéristiques du matériau L acier inoxdable utilisé est de nuance Limite d élasticité conventionnelle à 0, % 0 MPa Tableau.1 Prenons f 0 MPa..4 E MPa et G MPa..4 Vérifions une section en C de dimensions et d épaisseur 5 mm Caractéristiques de la section transversale I 9,45 mm 4 W el, 94,5 mm I z 0,850 mm 4 W pl, 11,9 mm I w 5085 mm 4 A g 150 mm I t 1,7 4 mm 4 Classification de la section transversale ε 1,01 Tableau 4. Supposons, en se plaçant en sécurité, que pour l âme : c h t mm L âme est soumise à la flexion, donc : c Tableau 4. t 5 c Pour la Classe 1, 5ε, l âme est donc de Classe 1 t La semelle en console est soumise à la compression, donc : c Tableau 4. t 5 17

3 Affaire n OSM 4 Feuille sur 8 Rév. B Projet de Valorisation : Utilisation de l INOX Pour la Classe, c t 11,9ε Par conséquent, la section transversale est de Classe 4. 1,0, la semelle en console est donc de Classe 4 Caractéristiques de la section efficace Calcul du facteur de réduction ρ pour les parois en console formées à froid 1 0,1 ρ 1 Éq. 4.1b λ p λ p b / t λ p où : b c 75 mm Éq. 4. 8,4ε k σ En supposant une distribution uniforme de contraintes dans la semelle comprimée, σ ψ 1 σ 1 Tableau 4.4 k σ 0,4 Tableau / 5 λ p 0,797 8,4 1,01 0,4 ρ 1 0,797 0,1 0,797 0,891 c eff 0,891 75,8 mm Tableau 4.4 A eff A ( 1 ρ) ct , mm g ( ) 5 Calcul du décalage de l axe neutre de la section soumise à la flexion : Zone non efficace Axe neutre de la section brute - Axe neutre de la section efficace A g h 00 ( 1 ρ ) c t h 150 ( 1 0,891) A eff t

4 Affaire n OSM 4 Feuille 4 sur 8 Rév. B Projet de Valorisation : Utilisation de l INOX 97,5 mm Décalage de l axe neutre, h 00 97,5, 47 mm Calcul de I eff, : I eff, I eff, I ( 1 ρ ) 1 ct ( 1 ρ) h t ct A eff 9,45 109,47 9,0 mm 4 I eff, W eff, h + - ( 1 0,891) ,0 88,4 mm 00 +,47 ( 1 0,891) 75 5 ( 0,5) Traînage de cisaillement 4.4. Le traînage de cisaillement peut être négligé à condition de vérifier b 0 L e /50 pour les parois en console. L e distance entre les points de moment nul 400 mm L e /50 84 mm, b 0 75 mm, le traînage de cisaillement peut donc être négligé ici. Déformation transversale des semelles 4.4. u 4 σ b pren 199- a s 1- :004 E t z Clause 5.4() Éq. 5.a σ a contrainte longitudinale moenne dans la semelle 0 MPa (valeur maximale possible) b s (75 5) 70 mm z (0,5) 97,5 mm Donc : u ,5 4 0,04 mm La déformation transversale des semelles peut être négligée si : u < 0,05 00 mm Ainsi, la déformation transversale des semelles est négligée ici. pren :004 Clause 5.4(1) 174

5 Affaire n OSM 4 Feuille 5 sur 8 Rév. B Projet de Valorisation : Utilisation de l INOX Coefficients partiels Les coefficients partiels suivants sont utilisés tout au long de cet exemple : γ M0 1,1 et γ M1 1,1 Tableau.1 Résistance de la section transversale à la flexion Pour une section de Classe 4 : M c,rd Weff, min f γ M 0 Éq ,4 0 M c,rd 17,7 kn.m 1,1 Moment sollicitant de calcul 1,58 kn.m, donc la résistance de la section transversale à la flexion est satisfaisante. Résistance de la section transversale au cisaillement V pl,rd v( f ) γ M0 A Éq. 4.0 A v h t mm V Rd ,5 kn 1,1 00 L effort tranchant de calcul est 0,8 kn, donc la résistance de la section transversale au cisaillement est satisfaisante. On vérifie que la résistance au cisaillement n est pas limitée par le voilement par cisaillement. On suppose que : h w h t mm h w t lorsque : 190 8, il a besoin de vérifier la résistance au voilement par cisaillement 5 h 5 ε 5.4. w 4, ε t η Ainsi, la résistance au cisaillement n est pas limitée par le voilement par cisaillement. Résistance au déversement 5.4. La semelle comprimée de la poutre n est pas vis-à-vis du déversement entre les points B et C. On vérifie ce tronçon de poutre au déversement. M b,rd χ W f γ pour une section transversale de Classe 4 Éq. 5.8 LT eff, W eff, 88.4 mm χ LT ϕ LT 1 M1 1 0,5 [ ϕlt LT ] ( 1 α λ 0, + ) + λ ϕ LT,5 ( ) LT LT 4 LT 175 Éq λ Éq. 5.

6 Affaire n OSM 4 Feuille sur 8 Rév. B Projet de Valorisation : Utilisation de l INOX λ LT W f M cr Détermination du moment critique de déversement (M cr ) M cr 1/ π EI z k + ( ) z I w C1 g j g j kzl kw Iz π EIz ( kzl) GIt + ( C z C z ) ( C z C z ) C est un appui libre, tandis que B s approche de l encastrement. On considère le cas le plus défavorable, on prend donc : k z k w 1,0. C 1, C et C sont déterminés en considérant le diagramme du moment fléchissant et les conditions d appuis. Éq Annexe B B.1 Du diagramme de moment fléchissant, on tire ψ 0 C 1 1,77, C 0 et C 1,00 Tableau B.1 z j 0 pour une section transversale à semelles égales M M cr cr π ,850 1,77 1,00 1,00 41,9 kn.m 88,4 λ LT ( 1,00 700) ,850 41,9 0 + ( 1,00 700) 0, ,7 π , ,5 Éq En utilisant le facteur d imperfection α LT 0,4 pour les sections formées à froid : 5.4. ( 0,8 ) ϕ,5 1 0,4( 0,8 0,4) χ LT ,779 0, [ 0,779 0,8 ] 0, 5 0,8 M b,rd 0, / 1,1 15, kn.m Du diagramme de moment fléchissant, on déduit que le moment maximum dans la partie non- de la poutre 1,0 kn.m. Donc, la poutre a une résistance au déversement suffisante. 17

7 Affaire n OSM 4 Feuille 7 sur 8 Rév. B Projet de Valorisation : Utilisation de l INOX Flèches Cas de charge (état limite de service) : G + Q + ψ Q k, j k,1 j 1 i 1 Comme il a une seule action variable (Q k,1 ), le dernier terme n est pas à considérer ici. Le module sécant est utilisé dans le calcul des flèches. Il est donc nécessaire de trouver la contrainte maximale pour les actions permanentes et variables non-pondérées. 0, i k, i 5.4. Éq..8 E Module sécant : E S S1 + E S, où : E Es, i n E σ i, Ed, ser 1+ 0,00 σ i Ed ser f,, et i 1, Annexe C L analse de structure a permis d obtenir ce qui suit : Moment maximal dû aux actions permanentes 1,90 kn.m Moment maximal dû aux actions imposées,8 kn.m Moment total dû aux actions non pondérées 8,58 kn.m La section est de Classe 4, donc W eff est utilisé pour le calcul de la contrainte maximale dans la poutre. Supposons, en se plaçant en sécurité, que les contraintes dans les semelles tendue et comprimée sont approximativement égales, c est-à-dire E S1 E S. Les constantes suivantes sont utilisées pour déterminer les modules sécants : Pour l acier inoxdable de nuance , n (direction longitudinale) 7,0 Tableau C.1 Contrainte maximale à l état limite de service : M max 8,58 σ i, Ed, ser 97,1 MPa W 88,4 eff, E s, i MPa ,1 1+ 0,00 97,1 0 La flèche maximale due aux charges partiellement réparties se produit à une distance égale à environ 1,9 m de l appui A. La flèche à une distance x de l appui A due à la charge partiellement répartie s étendant sur une longueur, a, à partir de cet appui est donnée par les formules suivantes : 177

8 Affaire n OSM 4 Feuille 8 sur 8 Rév. B Projet de Valorisation : Utilisation de l INOX 4 wal où x a ; δ n [ m m + m(4 + n ) n ] 4aE I S avec : m x/l et n a/l où : x 1,9 m ; a 1,5 m ; m 1,9/4, 0,45 ; n 1,5/4, 0,57 Manuel de calcul des structures en acier (5 ème Ed.) Charge partiellement répartie (actions permanentes + variables non pondérées) w 11,0 kn/m Charge uniformément répartie (action permanente) w 0,18 kn/m Flèche δ 1, à une distance de 1,9 m de l appui A, due aux charges partiellement réparties : 100 1,5 400 δ ,0 0,57 7,09 mm 4 [ 0,45 0,45 + 0,45( 4 + 0,57 ) 0,57 ] Flèche δ, à mi-travée due au poids propre de la poutre : 5 ( w L) L 5 (0,18 4,) 400 δ 84 E I ,0 S 0,9 mm Flèche totale δ 1 + δ 7,09 + 0,9 7,8 mm portée 400 δ limite 1, 8 mm La flèche est donc suffisamment faible pout être acceptable. 178