Valeurs moyennes et efficaces Bachard Eric/09/2008 (document initial 09/97)

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1 Rappels de cours Période : une fonction f, dépendant du temps t, est dite périodique, de période, lorsqu elle vérifie : f t = f t t On peut avoir affaire à deux types de périodicités : temporelles et spatiales. outes les propriétés mathématiques (de linéarité principalement) des intégrales sont très utiles pour résoudre la plupart des exercices qui suivent. Par exemple : a a f t dt= f t dt ; a c f t dt= a f t dt c f t dt...etc. Valeur moyenne d une fonction périodique : Idée : sur une période, on calcule la valeur moyenne continue qui représente la même surface que celle otenue en faisant : = A A ( A et A représentent respectivement les aires pour y positif et négatif de la fonction y t ) Quand la fonction devient trop compliquée, on calcule : = 1 f t dt Valeur moyenne d une fonction non périodique : Sur l intervalle [a, ], et si la fonction est intégrale sur cet intervalle, = 1 a a y t dt Valeur efficace d une fonction périodique : Valeur efficace= carré moyen Elle est intéressante car l énergie mise en jeu dans le phénomène est proportionnelle au carré de l amplitude de la fonction périodique. Mathématiquement : y eff = 1 y t dt La valeur moyenne d une fonction alternative est nulle A = A oute fonction périodique est la somme d une composante continue ou valeur moyenne (qui peut être nulle) et d une fonction alternative. Une fonction alternative n est pas forcément sinusoïdale. Une fonction sinusoïdale est forcément alternative (sinon, on parle de fonction périodique). Auteur : eric.achard@free.fr 8 document \ licence lire page 1 /9

2 Exercices avec solutions Exercice 1 On considère le signal périodique suivant (figure 1). 1.1) Quelle est la valeur moyenne de ce signal? 1.) Calculer la valeur efficace de V (t). Exercice : Résistance chauffante On rappelle qu en continu, la puissance dissipée par effet Joule par une résistance est donnée par P J = R i. Une résistance R de valeur 1 Ω est alimentée par un signal périodique, dont l allure est donnée à la figure ci dessous :.1) U = V. Donner la valeur de pour que la résistance dissipe 1 W..).1) Quelle est alors la valeur moyenne < U > de u (t)? Solutions Exercice 1 : 1.1) Valeur moyenne de ce signal. Il apparaît clairement que le signal périodique donné à étudier est un signal triangulaire symétrique V / +V, décalé de +1V. On sait (cf cours) qu un signal périodique est la somme d un signal alternatif (de valeur moyenne nulle) et d une composante continue, égale à la valeur moyenne. Ici, le signal triangulaire est la partie alternative du signal et la composante continue, égale à +1V est la valeur moyenne. Dit autrement : si on décale V(t) de 1 V vers le as, on retrouve un signal de valeur moyenne nulle. 1.) Valeur efficace de V (t). Conclusion : V moyen = + 1V V (t) est un signal du type : V (t) = f (t) + C ste Auteur : eric.achard@free.fr 8 document \ licence lire page /9

3 avec : f (t) = signal triangulaire symétrique, de valeur moyenne nulle et C ste = valeur moyenne = +1 V. Par définition : V eff = 1 V t dt= 1 f t C ste dt = 1 f t dt f t C dt 1 C dt Il ne reste donc qu une intégrale à calculer (la première), soit : V eff = 1 V dt = 1 f t dt C = 1 f t dt 1 car C = 1 et f t dt= Calcul de 1 f t dt : f(t) est donnée à la figure 1 ci contre. C est un signal triangulaire symétrique V/+V, de période Sur la figure 1 is, qui représente f (t), on s aperçoit que le fait d élever au carré donne une période qui devient / et que l axe Oy est axe de symétrie (en effet, la surface de /4 à est la même que de à /4...même chose sur chaque intervalle de durée /4). Dans les calculs, on peut utiliser les égalités suivantes : 1 f t dt= 4 f t dt = 4 f t dt = J Une rapide étude nous donne l équation de f (t) de à, soit f (t) = 8t 4 sur cet intervalle. D où J = 1 f t dt = 4 4 f t dt = 4 4 8t dt = 4 3 après calculs. = Conclusion: la valeur efficace V 1 4 eff 3 = 7 3 =1,5V Auteur : eric.achard@free.fr 8 document \ licence lire page 3 /9

4 Exercice :.1) La puissance dissipée par effet Joule (par une résistance) en continu vaut P J = R i. En régime variale, P J =Ri eff, et i eff est le courant équivalent (au carré) qui causerait la même dissipation d énergie en continu (par période). P J =Ri eff = R U eff = U eff R R Calculons U eff : U eff = 1 u t dt= 1 U t =[ U 3 = 3 t 3 ] U 3 3 U 3 3 eff = U 3 D où : P J = 1 W = U 3R, et enfin : = 1 3 R U Application Numérique : =,6.) Calcul de la valeur moyenne de U, notée < U > : Donc : <U >= 1 Ut dt=[ U t = ] U = U Soit : <U >= U Application Numérique : < U > = 6,8 V Auteur : eric.achard@free.fr 8 document \ licence lire page 4 /9

5 Exercices avec réponses Exercice 1 : Valeur moyenne et valeur efficace Rappeler les définitions de ymoy, yeff lorsque y = f (t) est une fonction périodique, avec t appartenant à [t1, t1+ ], étant la période de y. Etalir les relations existant entre ymoy, yeff, Ymoy et Yeff dans les cas suivants : 1.1) Y = y + C ( C est une constante réelle). 1.) Y = y (fonction redressement). 1.3) Y = f(t + τ ) (Changement d'origine). 1.4) Y = f( t) (Symétrie de le coure /axe) 1.5) Y = f( t) (Symétrie de la coure /à un point). Exercice : valeur moyenne, valeur efficace En utilisant au mieux les résultats de l'exercice 1, calculer la valeur moyenne, puis la valeur efficace des fonctions suivantes :.1) Fonction "créneaux".) Même question dans le cas particulier où θ = /.3) Créneaux avec valeurs négatives.4) Fonction "créneaux alternés"fonction dents de scie à flancs verticaux Auteur : eric.achard@free.fr 8 document \ licence lire page 5 /9

6 .5) Fonction "sinusoïde redressée".5.1) Simple alternance.5.) Doule alternance.6) y = a t pour t [ ; ].7) y = a t 3 pour t [ ; ] Réponses : Exercice 1 : 1.1) Y = y + C Relations entre valeurs moyennes : Y moy = + C Entre valeurs efficaces : Y eff =y eff C C Remarque : l énergie de la somme des deux virations est égale à la somme de l énergie de chacune des virations plus un terme croisé mettant en jeu le produit des valeurs moyennes. On appelle quelquefois ce terme, «terme d'interférences» Ce produit pouvant d ailleurs être nul si l une ou les deux virations ont une valeur moyenne nulle. 1.) Y = y Valeurs moyennes : si on appelle A + l aire totale au dessus de zéro sur une période, et A l aire totale au dessous de zéro sur une période, alors on a : Y moy = A A et y moy = A A On peut donc en déduire que Y moy = A. Valeurs efficaces : lorsqu on élève au carré, les surfaces sont les mêmes, donc Y eff =y eff. 1.3) Y = f(t + τ ) La valeur moyenne et la valeur efficace sont inchangées par changement d origine des temps car les surfaces décrites sont les mêmes. Auteur : eric.achard@free.fr 8 document \ licence lire page 6 /9

7 1.4) Y = f( t) Lorsque on change t en t, on ne change pas la valeur moyenne, ni la valeur efficace, car la forme des coures est inchangée. Cela revient à faire dérouler le temps à l envers. 1.5) Y = f( t) La valeur moyenne change de signe, mais pas la valeur efficace. Exercice :.1) = a ; y =a eff.) = a ; y = a eff.3) Fonction créneaux alternés.4) On peut utiliser le résultat de l exercice 1.1 et l appliquer aux créneaux de la question.1: en effet, la valeur moyenne est celle des créneaux de la question.1, mais décalée de et ayant une amplitude qui vaut a + = a. On peut toutefois refaire ce calcul : = 1 a dt dt= 1 [a ]= a. Pour la valeur efficace, on utilise les mêmes résultats de l exercice 1.1), ce qui donne : y eff = a a Soit, après simplifications : y eff = a Vérification : y eff = 1 a dt dt= 1 [a ]= a, qui est le résultat prévu..4) Fonction dents de scie à flancs verticaux = a et y eff = a 3 On remarquera que y eff..5) Fonction sinusoïde redressée.5.1) simple alternance : = a et y = a eff.5.) doule alternance : = a et y = a eff Conseil : ces valeurs sont à connaître parfaitement....6) y = a t pour t [ ; ]. = a 3 et y = a eff 5. On notera la dépendance en des résultats..7) y = a t 3 pour t [ ; ] = a 3 4 et y eff = a3 Cette fois ci, la dépendance est en 3. Auteur : eric.achard@free.fr 8 document \ licence lire page 7 /9

8 Exercices à préparer Exercice 1 : redressement polyphasé On considère un système de n tensions sinusoïdales de période, toutes déphasées de n. En utilisant les redresseurs appropriés, ces n tensions sinusoïdales sont redressées. La tension qui en résulte est unidirectionnelle (en trait plein sur la figure ). Sur une période, on compte n calottes complètes et identiques, comme représenté sur la figure cidessous : La première de ces calottes sinusoïdales est symétrique par rapport à l axe des ordonnées, c est à dire entre les instants /n et +/n 1.1) Calculer la valeur moyenne de la coure enveloppe, qui représente la tension unidirectionnelle, otenue par redressement de n tensions sinusoïdales déphasées de n. 1.) Calculer la valeur efficace de cette tension. 1.3) Application numérique : V max = 3 V Calculer V moy et V eff pour n =, n= 3 et n =6 et conclure. Exercice : Principe d'un gradateur. On alimente un récepteur, supposé purement résistif, à l'aide d'un interrupteur idirectionnel commandé. Le dispositif de commande n'est pas étudié dans cet exercice. Auteur : eric.achard@free.fr 8 document \ licence lire page 8 /9

9 La tension d'alimentation est celle délivrée par le secteur (f=5 Hz), de valeur efficace V. Lorsque l'interrupteur est ouvert, le courant qui traverse le récepteur, de nom i, est nul. Lorsque l'interrupteur est fermé, la chute de tension à ses ornes est nulle. Un exemple est donné, pour lequel on représente les impulsions de délocage et les périodes pendant lesquelles l'interrupteur commandé est fermé (valeur 1) ou ouvert (valeur ). On supposera de plus que toute impulsion de locage et de délocage est efficace. 4.1) Représenter I aux ornes du récepteur en fonction du temps pour t 1 quelconque, compris entre et /. 4.) Calculer le courant efficace I EFF traversant le récepteur de même que U EFF en fonction d'un angle θ, avec = 1 ( période de la tension d'alimentation). Commenter le résultat otenu en fonction du paramètre θ. Indication: il pourra être avantageux d'étudier la variation de I Eff en fonction de Auteur : eric.achard@free.fr 8 document \ licence lire page 9 /9