Cours de gestion financière (M1)

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1 Cours de gestion financière (M1) Séance du 19 septembre 2014 Rentabilité, diversification du risque CAC 40 GR (gross return / dividendes réinvestis XPAR/quotes Variance du taux de rentabilité d un portefeuille de deux titres, 1

2 Séance du 19 septembre 2014 (1) Plan (Taux de) rentabilité Rentabilité moyenne Rentabilité espérée Variance, écart-type, volatilité Rentabilité d un portefeuille Espérance du taux de rentabilité d un portefeuille Variance, écart-type du taux de rentabilité d un portefeuille Coefficient de corrélation linéaire Actifs risqués parfaitement corrélés Diversification du risque 2

3 La rentabilité d un titre Correspond au chapitre 2 du livre Ce chapitre a pour objet la constitution de portefeuilles de titres de manière efficace Il est très utile au préalable d avoir une bonne compréhension des actifs et des titres Droits de propriété attachés aux actions et aux obligations Principalement des actions et des obligations négociés sur des marchés organisés Modalités d achat et de vente Revenus (dividendes ou coupons) issus de la détention de ces titres Plus ou moins values : différence entre prix de vente et d achat Rentabilité : effet combiné des revenus et des plus ou moins values 3

4 La rentabilité d un titre Un investisseur peut être intéressé par ce qui peut s acheter, se vendre, se louer Immobilier locatif (bureaux, logements) Résidence principale Terrains agricoles ou à bâtir Matières premières Or Matières premières agricoles Objets d art Titres financiers Actions émises par les sociétés anonymes Obligations émises par les entreprises, les États Liste non limitative 4

5 La rentabilité d un titre Classification des actifs Matériels, immatériels Parmi les actifs immatériels Incorporels, intangibles Une hypothèse importante et implicite faite dans le cours est que les marchés sont «sans frictions» On évoquera cependant dans la partie consacrée au financement des investissements les conflits d agence Prix des actifs et des passifs parfaitement observables Ne changeant pas au cours du processus de négociation Indépendants des quantités achetées ou vendues 5

6 La rentabilité d un titre Notion de «titre» Premières sociétés de capitaux : Rome antique Faciliter le financement des grands travaux Aqueducs, voies romaines Division de la propriété En parts ou «titres» Par exemple, s il y a 1000 parts, chaque part représente 1/1000 des actifs (et donc des revenus) de la «société» Même système pour les parties communes d un immeuble en copropriété Parts cessibles Un détenteur de titre peut les revendre à des tiers différence avec les «propriétés en indivision» Titres nominatifs et non pas «titres au porteur» Intermédiaires pour rapprocher acheteurs et vendeurs Aujourd hui : courtiers en Bourse, agences immobilières 6

7 La rentabilité d un titre On s intéressera par la suite à la décision d investissement et à leur financement par les entreprises. Nous parlerons donc essentiellement des actions et des obligations émises par les entreprises L acheteur d une action paye le prix d achat à un vendeur à la date d achat Cette transaction peut être réalisée sur une «Bourse» Un marché organisé où se rencontrent acheteurs et vendeurs comme Euronext Paris Ou sur un marché de «gré à gré» Il peut revendre cette action à une future date au cours qui prévaut à ce moment sur le marché boursier, représente la plus-value réalisée par l investisseur 7

8 La rentabilité d un titre À la date, juste avant la revente du titre, le détenteur d une action peut percevoir un dividende versé par l entreprise, soit Ce dividende est l analogue d un loyer ou d un revenu lié à la détention de l action Il est en général versé une fois par an Le montant encaissé par l investisseur à la date est la somme du prix de vente et du dividende Le gain net total lié à l achat de l action en et à sa revente en est Le taux de rentabilité lié à l opération financière précédente est le gain net rapporté à l investissement initial 8

9 La rentabilité d un titre Le taux de rentabilité correspond au taux d accroissement de la richesse de l actionnaire entre les dates et Pour l opération financière consistant en l achat d une action en, revendue en Si l écart entre et est d une journée, on parle de taux de rentabilité quotidien, si l écart est d une semaine, on parle de taux de rentabilité hebdomadaire On parle aussi de taux de rentabilité simple C est un pourcentage (quantité sans dimension) Le prix d une action ne pouvant être négatif, le taux de rentabilité est au pire de 100% Dans le livre de référence, on utilise le terme taux de rendement est appelé en général taux de rendement 9

10 La rentabilité d un titre Les rentabilités quotidiennes sont en général calculées à partir des cours de clôture Dernier cours auquel ont lieu des transactions pendant la journée Souvent sur Euronext Paris pour les actions françaises Il n y a plus de monopole de la «Bourse de Paris» Euronext «marché réglementé» Clients particuliers des grandes banques françaises «Système Multilatéral de Négociation» Site de l Autorité des Marchés Financiers «Internalisateurs systématiques» html Autres plateformes alternatives pour exécuter des ordres de bourse : Blink MTF, BATS Europe Chi-X, Equiduct, Turquoise Fragmentation des marchés 10

11 11 Plates-formes de négociations Parts de marché en France et en Angleterre Source Agefi 17 janvier 2013 On constate l importance de Bats Europe Chi X et celle des marchés de gré à gré (OTC «Over The Counter») Dans le tableau de l Agefi, les marchés «opaques» incluent les «dark pools, les SI et les marchés OTC

12 12 Plates-formes de négociations La monté en puissance des nouvelles plates-formes d échange : BATS en Europe et aux États-Unis

13 Plates-formes de négociations Palais Brongniart Si une action est achetée via la plateforme Euronext Paris, la transaction n est pas pour autant effectuée à Paris Après avoir été installés à été installés à Aubervilliers Suresnes pour les serveurs de sauvegarde Les ordinateurs d Euronext Paris sont installés dans le «liquidity center» de Basildon dans la banlieue de Londres 13

14 14 La rentabilité d un titre Rentabilités quotidiennes Il n y pas de raison pour que le prix d achat dans la journée soit égal au cours de clôture Évolution des cours de l action Peugeot le 19 septembre Pas de versement de dividende Rentabilité,,, %, Mais si l on avait revendu au plus haut, la rentabilité aurait été de,,,%, Différence non négligeable Variation 2.01% Dernier échange 19/09/13 17:35:42 Ouverture Clôture Haut Bas Clôture veille

15 La rentabilité d un titre Notons la rentabilité du «titre» Mettons Peugeot Code ISIN : FR ISIN : International Securities Identification Number Permet d identifier un titre négociable sur un marché organisé Environ 2 millions de titres et de codes ISIN correspondants Mnémo ou «ticker» : UG pour Peugeot 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% Rentabilités quotidiennes Janvier 2009 septembre

16 La rentabilité d un titre Actions Peugeot négociables notamment sur NYSE Euronext NYSE Euronext bourse de valeurs Entreprise d investissement Issue de la fusion en 2007 entre Euronext et le New York Stock Exchange Environ 3 milliards d actions échangées quotidiennement sur le compartiment américain de NYSE Euronext Le carnet d ordres indique les ordres d achat et de vente à cours limité à un moment donné 16

17 17 La rentabilité d un titre La notion de date d achat et de vente est ambigüe On peut considérer qu il s agit du dernier cours traité de la journée «fixing» de clôture à 17h35 sur Euronext Paris Mais c est conventionnel On pourrait choisir plusieurs périodicités : journalière, hebdomadaire, mensuelle, annuelle, «intraday» On ne peut pas forcément traiter au cours de clôture Ni même à aucun cours réalisé Problème des jours fériés, des week-ends Si t-1 correspond au vendredi et t au lundi, doit-on vraiment compter un jour? L heure de la clôture d Euronext Paris est différente de celle des autres bourses de valeurs Agrégation temporelle des rentabilités (sans dividende) Pt2Pt Pt2Pt 1 Pt 1Pt Pt2Pt 1 Pt 1Pt R, 2 R 1, 2 R P P P P P tt t t t, t1 t t t t1 t

18 18 La rentabilité d un titre Grande variabilité des dates de clôture Problèmes de calcul de valeurs liquidatives de fonds Les rentabilités ne sont pas directement comparables

19 Rentabilité d un titre et coûts de transaction Analyse succincte de la taxe sur les transactions financières taxe sur l acquisition d actions françaises cotées (TTF actions) Depuis le 1 er août 2012 Capitalisation boursière supérieure à un milliard d euros Environ 109 grandes sociétés «françaises» concernées Pas toutes les valeurs du CAC40 cependant ArcelorMittal, Airbus (ex EADS), STMicroelectronics, Solvay (?) Il existe aussi une taxe sur le trading haute fréquence et sur les CDS nus Équivalente à un «droit d entrée» 0,20% du prix d achat (initialement 0,1%) Réminiscence de l impôt de bourse créé en 1893 (taux de 0,3%) Abrogé en Impôt similaire aux États-Unis (supprimé en 1966). 19

20 Rentabilité d un titre et coûts de transaction Mode de calcul de la taxe sur les transactions financières Exemple à partir d un achat au comptant d actions Achat de 100 titres Y à 21, Vente de 20 titres Y à 22, Achat de 40 titres Y à 23 Ces opérations sont effectuées sur une même journée de bourse Position nette acheteuse de titres : = 120 Cours d achat moyen pondéré des titres [(100 x 21)+(40 x 23)]/140 = 21,57 euros TTF (ou TAT) = 120 x 21,57 x 0,20 % = 5,18 euros Les opérations d achat-vente dans la journée sont exonérées (seuls les «vrais investisseurs» sont taxés) 20

21 La rentabilité d un titre Vie et mort d une action Naissance : petite entreprise deviendra grande Apport personnel du créateur Emprunts bancaires Business angels, capital-développement, fonds d amorçage, de capital risque, pépinières d entreprises Les apporteurs de capitaux externes apportent également une aide en matière de gestion financière L entreprise n est pas en général pas cotée en Bourse Puis introduction en Bourse Vente d actions à des actionnaires extérieurs Marché primaire : «marché du neuf» De nouvelles actions sont créées et vendues aux investisseurs IPO : «Initial Public Offering» 21

22 La rentabilité d un titre Vie et mort d une action Augmentation de capital Une entreprise peut vendre de nouvelles actions L argent récupéré lors de la mise en vente des actions est utilisé pour financer des investissements Mécanisme le plus courant prix de vente fixé pendant une certaine période De l ordre d un mois Les acheteurs potentiels déposent des offres de souscription Michelin 22

23 La rentabilité d un titre Introduction en Bourse, augmentation de capital Risques pour l entreprise Ne pas vendre suffisamment d actions Vendre des actions à un prix trop bas Placement garanti Un «syndicat de banques» achète les actions à un cours garanti Il revend les actions au «marché» Investisseurs institutionnels, particuliers Le risque de baisse des cours ou de «colle» est supporté par les intermédiaires financiers. 23

24 La rentabilité d un titre Les actions d une entreprise peuvent ne plus être cotées en Bourse Ne peuvent plus être achetées ou vendues sur un marché organisé «private equity» L entreprise peut être rachetée par un groupe d investisseurs intervenant de manière active dans la gestion Moins d obligations de communication financière Plus de facilité pour que les propriétaires puissent réorganiser l entreprise L entreprise peut ultérieurement être réintroduite en Bourse Pendant la période intermédiaire, on ne dispose pas de cours boursiers et donc de rentabilités boursières Les fonds spécialisés dans cette activité n ont pas toujours bonne presse 24

25 25 La rentabilité d un titre Au cours de sa vie, les actifs de l entreprise peuvent changer de nature Cessions ou rachat d actifs IBM a successivement fabriqué des imprimantes, des grands ordinateurs, des PC Aujourd hui fait du conseil dans le domaine des services informatiques Les caractéristiques des rentabilités peuvent changer La variabilité des rentabilités de l action IBM fluctue au cours du temps Bulle internet

26 La rentabilité d un titre Crise financière aux États Unis La durée de vie est indéterminée Mais l entreprise est mortelle Faillite et liquidation des actifs L action de la banque Washington Mutual avait des niveaux de cours boursiers très stables de 2004 à mi 2007 Avant de s effondrer au moment de la crise financière Rachat par une autre entreprise Suite à une offre publique d achat en Bourse (OPA, OPE) Ou Spin-off Vivendi Effondrement du cours de l action Washington Mutual 26

27 La rentabilité d un titre Cours action NYSE Euronext Graphique chandeliers On dispose pour les actifs cotés en Bourse d historiques de cours boursiers Ces cours boursiers ont souvent un caractère «aléatoire» D où l utilisation d indicateurs statistiques et de modèles probabilistes pour mieux appréhender les données passées et futures Espérance du taux de rentabilité Écart-type du taux de rentabilité On vient de voir que l analyse financière montre que les caractéristiques des sociétés changent au cours du temps Non stationnarité des taux de rentabilité Peut-on utiliser des données historiques à des fins prospectives? Quand on investit, on s intéresse à sa richesse future 27

28 28 Rentabilité moyenne Action Peugeot entre novembre 2010 et novembre 2013 Cours : 3,21 le 16/11/2012, environ 20 euros d octobre 2010 à juin 2011, 9,15 euros le 20/09/2013 Rentabilité simple entre les dates et,

29 29 Rentabilité moyenne Les rentabilité simples fluctuent beaucoup selon les périodes retenues 0% 55% 85% +300%

30 30 Rentabilité moyenne Les rentabilités quotidiennes moyennes, correspondant aux pentes des droites fluctuent aussi beaucoup selon les périodes de calcul Selon que l on regarde la rentabilité totale ou la rentabilité moyenne, on préfère le rose ou le bleu (ou l inverse!), 60%,, 85%,

31 31 Analyse des rentabilités et des cours boursiers Attention aux illusions d optique et interprétative

32 Analyse des rentabilités et des cours boursiers Les deux graphiques précédents représentent l évolution du cours de l action Peugeot pour deux sous-périodes entre novembre 2010 et novembre , 9,15 euros le 20/09/

33 33 La rentabilité d un titre Agrégation temporelle des rentabilités Pour simplifier les choses, on suppose que le titre ne verse pas de dividende On considère une période élémentaire d un jour On s intéresse à la rentabilité d un titre pour différents horizons de placement, P P P P P P P P P P R R R t2 t t2 t1 t1 t t2 t1 t1 t tt, 2 t1, t2 t, t1 Pt Pt Pt Pt 1 Pt D où,, Plusieurs manières de définir la rentabilité quotidienne moyenne On retiendra en général la seconde approche Les théoriciens utilisent des log-rentabilités pour éviter ce problème

34 34 Finance et probabilités Variable aléatoire Exemple du jeu de dés : valeur qui apparaît après le lancer Il y a une valeur prise pour chaque «état de la nature» «état de la nature» : comment retombe le dé peut prendre valeurs, correspondant à six états possibles que l on numérotera également de à Ici, identité entre la numérotation des états de la nature et les valeurs prises par : variable aléatoire est une fonction dont on ne connait pas les valeurs à l avance Remarquons que la notion de variable aléatoire ne fait pas apparaître de probabilité

35 35 Finance et lois probabilités Cas d un dé non pipé Il y a six faces et les probabilités de tomber sur l une autre des faces sont égales Équiprobabilités Au bac, cette année on s est amusé avec des tétraèdres On tombe toujours sur une face! La probabilité de tirer une valeur donnée est donc On notera où est la probabilité de tirer Loi de probabilité : ensemble des valeurs que l on peut tirer associé au probabilités d obtenir ces valeurs

36 Finance et probabilités Espérance mathématique On rappelle que l on a noté la variable aléatoire représentant la valeur prise par le dé sont les probabilités associées aux différentes valeurs On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire La quantité Soit la moyenne des valeurs prises par pondérée par les probabilités des valeurs prises par les probabilités des valeurs prises par 36

37 Finance et probabilités Espérance mathématique (suite) De manière plus générale, on considère un ensemble d «états de la nature» numérotés,,, Ces états peuvent par exemple correspondre aux différents prix d actions ou aux différentes valeurs des rentabilités La valeur précise de n a pas d importance Soit une variable aléatoire prend les valeurs,,, dans les états,,, On note,,, les probabilités des différents états,,, On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire et on note la quantité Il s agit de la moyenne des valeurs prises par pondérée par les probabilités 37

38 Espérance du taux de rentabilité On parle souvent de «rentabilité espérée» On rappelle que l on a défini le taux de rentabilité d une action entre les dates et comme, prix en et Ce taux de rentabilité est connu à la date Au moment de la revente Mais pas au moment de la date d achat Car les cours boursiers futurs ne sont pas prévisibles Sauf pour l investisseur omniscient (vous saurez vous reconnaître) On va donc considérer que (vu de la date ), le taux de rentabilité est une variable aléatoire et on va s intéresser au calcul de son espérance 38

39 39 Finance et probabilités Illustration On suppose que le prix de l action Orange aujourd hui (en ) est de Il n y a pas de dividende payé demain (en ) Le prix demain peut prendre trois valeurs avec une probabilité, avec une probabilité et avec une probabilité Les rentabilités correspondantes sont de, et L espérance de rentabilité est donnée par

40 15,00% Finance et probabilités 10,00% 5,00% Loi de probabilité action Peugeot Ou «distribution» des rentabilités Rentabilités quotidiennes entre janvier 2009 et septembre 2011 En abscisse, les différentes rentabilités en % À partir des cours de clôture sur Euronext Paris En ordonnées, probabilités Histogramme fréquences empiriques Que l on supposera approcher 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% Rentabilités quotidiennes Janvier 2009 septembre 2011 Histogramme des rentabilités action Peugeot En abscisse les différents valeurs des rentabilités (arrondies au %) les probabilités 40

41 Finance et probabilités Rentabilité quotidienne action Peugeot : variable aléatoire pouvant prendre des valeurs Ce sont les différentes rentabilités indiquées en abscisses Avec les probabilités supposées connues a priori comme dans le jeu de dés nombre d «états de la nature» Nombre de valeurs prises par les rentabilités Fréquence empirique = nombre de jours où la rentabilité est égale à divisé par le nombre de jours total E R Fréquence empirique K k1 p( k) R( k) 0,08% Espérance de rentabilité quotidienne 41

42 Placement sans risque Espérance d une variable aléatoire constante La valeur prise par ne dépend pas de l état de la nature En finance, il s agira par exemple de la rentabilité d un placement sans risque Considérons un placement sans risque de 1 au taux d intérêt. Ce placement fait à la date 0 rapporte la somme à la date 1 On aura alors En mettant en facteur, on obtient Comme L espérance (moyenne) de est égale à l unique valeur prise par 42

43 15,00% Placement risqué Les taux de rentabilité fluctuent beaucoup au cours du temps La variance ou l écart-type du taux de rentabilité est une mesure de la dispersion des rentabilités Autour de leur moyenne C est une mesure simple et très couramment utilisée du risque lié à un titre Il en existe beaucoup d autres mesures de risque, mais l écarttype ou volatilité reste le mètre étalon (benchmark) 10,00% 5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% Mètre étalon 43

44 44 Placement risqué Périodes de forte et faible volatilité du taux de rentabilité

45 45 Placement risqué VIX : l indice de la peur Le VIX est un indice mesurant le niveau de la volatilité des taux de rentabilité des actions américaines Plus, il est élevé plus le risque perçu des actions est élevé Fin 2014, nous sommes revenus au niveau de début 2007.

46 46 Variance du taux de rentabilité 15,00% 10,00% 5,00% Variance de la rentabilité Définition la variance de notée Var est égale à : K Var R p( k) R( k) ER k1 écart à la moyenne écart quadratique écart quadratique moyen Par définition de l espérance mathématique Var 2 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% La variance est d autant plus élevée que la dispersion des rentabilités autour de la moyenne est élevée Variance de la rentabilité quotidienne de l action Peugeot Var R 0,

47 Finance et probabilités Définition de l écart-type des rentabilités R VarR 2 Var R L écart-type est une mesure de la dispersion des rentabilités autour de la rentabilité moyenne. même dimension que la rentabilité Écart-type de la rentabilité quotidienne de l action Peugeot 2,89% Plus la dispersion autour de la moyenne est élevée, plus l écarttype est élevé 47

48 Finance et probabilités Écart-type : illustration numérique On suppose que les 4 dernières rentabilités quotidiennes de l action LVMH sont de Les probabilités assignées à chacune de ces quatre journées sont de %, %, 14 1%, 1 1% L espérance du taux de rentabilité de l action est égale à : % La variance du taux de rentabilité est égale à : L écart-type du taux de rentabilité est égal à la racine carrée de la variance soit L écart-type est bien lié à la dispersion des rentabilités 48

49 Finance et probabilités Remarque sur la détermination des probabilités Dans l exemple précédent, on a assigné la même probabilité à chaque journée de calcul des rentabilités Ceci correspond également à l histogramme des rentabilités déjà présenté pour Peugeot Nombre total de jours Nombre de jours où la rentabilité est de Fréquence correspondante On obtient donc la distribution de probabilité suivante 1% avec la probabilité 0,5 1% avec la probabilité 0,5 On peut retrouver que l espérance est égale à 0% et l écart-type à 1% On parle de distribution empirique des rentabilités 49

50 Finance et probabilités Écart-type : illustrations numériques (suite) Les 4 dernières rentabilités quotidiennes de l action LVMH sont maintenant de Soit le double des valeurs retenues dans l exemple précédent Les probabilités assignées à chacune de ces 4 journées restent de 1 4 L espérance du taux de rentabilité de l action est égale à : %, %, 14 1%, 1 1% La variance du taux de rentabilité est égale à : L écart-type du taux de rentabilité est égal à la racine carrée de la variance soit 2% L interprétation intuitive de l écart-type comme dispersion des rentabilités reste valide Si on multiplie toutes les rentabilités observées par 2, on multiplie également l écart-type par 2 50

51 51 Finance et probabilités Écart-type : illustrations numériques (suite) Les 4 dernières rentabilités quotidiennes de l action LVMH sont maintenant de Soit l opposé des valeurs retenues dans l exemple précédent Les probabilités assignées à chacune de ces 4 journées restent de 1 4 L espérance du taux de rentabilité de l action est égale à : %, %, 14 1%, 1 1% La variance du taux de rentabilité est égale à : La variance du taux de rentabilité reste égale à L écart-type du taux de rentabilité; égal à la racine carrée de la variance, reste égal à 2% comme dans le transparent précédent Si on multiplie toutes les rentabilités observées par 1, on ne change pas l écart-type. C est logique puisque la dispersion des rentabilités autour de la moyenne n a pas changé.

52 Finance et probabilités Écart-type : illustrations numériques (suite) Les 4 dernières rentabilités quotidiennes de l action LVMH sont maintenant de On a rajouté 1% à la première suite de valeurs %, %, %, % Les probabilités assignées à chacune de ces 4 journées restent de 1 4 L espérance du taux de rentabilité de l action est égale à : % %, %, 14 1%, 1 1% La variance du taux de rentabilité est égale à : La variance du taux de rentabilité reste égale à 1. L écart-type du taux de rentabilité; égal à la racine carrée de la variance, reste égal à 1% comme dans le premier transparent. Ici, on a décalé toute les rentabilités d une quantité constante Ceci change la moyenne, mais pas les écarts à la moyenne La dispersion des rentabilités autour de la moyenne n a pas changé. 52

53 53 Finance et probabilités Quelques propriétés de la variance : Ceci résulte directement de la définition Cas où la rentabilité n est pas aléatoire : ne dépend pas de l état de la nature Notons-la cette valeur unique : taux de rentabilité du placement sans risque Si la rentabilité n est pas aléatoire, sa variance est nulle

54 Finance et probabilités Propriétés de la variance et de l écart-type Si est un «scalaire», alors Var 2 R VarR R R Si ou si Alors n est pas aléatoire et Un placement dont la rentabilité n est pas aléatoire est appelé placement sans risque Ou prêt sans risque risk-free, R On note sa rentabilité ou Rentabilité ne dépend pas de l état de la nature R R ( k) R, k 1,, K F F F f r f Scalaire = grandeur non aléatoire Corrigés : voir transparents suivants En particulier, pas de risque de défaut 54

55 Finance et probabilités Corrigé de l exercice : Revenons à la définition de la variance : D après la linéarité de l espérance D où, en factorisant par : Var En utilisant la définition de l écart-type Où est la valeur absolue de NB : si Var 55

56 56 Finance et probabilités Corrigé de l exercice (suite) ou En revenant à la définition de la variance k1 Il s agit de la probabilité de l état k On en déduit que : Et donc que : Pour tout état k tel que K 2 pk ( ) Rk ( ) E R 0 est donc constant et égal à son espérance pour tout état de la nature de probabilité non nulle Les états de probabilité nulle n ont pas importance économique Et n interviennent pas dans les calculs d espérance ou de variance

57 Finance et probabilités On rappelle que Autre écriture de la variance Démonstration : Prenons l espérance du terme de droite est un scalaire En utilisant la linéarité de l espérance : On peut donc réécrire le terme en rouge comme 57

58 Finance et probabilités Un premier résumé de choses à savoir rentabilité aléatoire, (scalaire) rentabilités aléatoires, scalaires 58

59 La théorie du portefeuille La théorie du «portefeuille» Correspond au chapitre 2 du livre Rentabilité d un titre Rappels sur la notion de titre De prix d un titre sur un marché boursier Chronique de rentabilité Modélisation probabiliste Portefeuille de titres Rentabilité d un portefeuille en fonction de sa composition Espérance de rentabilité Écart-type des rentabilités Bourse de Tokyo Bourse de Shanghai 59

60 Rentabilité d un portefeuille Notations concernant les rentabilités des titres On peut être amené à considérer différents titres et leurs prix à différentes dates D où un double indexage., prix (cours) de l action à la date courante On considère donc qu un investisseur peut choisir des actions dans un ensemble de titres est de quelques millions pour un investisseur professionnel C est plus simple au niveau des notations d utiliser cet indexage que de reprendre le code ISIN à 12 caractères (ou le code CUSIP), dividende versé à la date,,,,, rentabilité du titre entre et Si la date courante n a pas d importance, on utilise la notation 60

61 Rentabilité d un portefeuille Portefeuille : ensemble d actifs détenus par une personne physique ou morale Actifs financiers, valeurs mobilières, titres négociables sur un marché organisé, biens immobiliers, dépôts à vue, à terme, obligations, stock-options, droits à retraite, objets d art, meubles, véhicules, bijoux, métaux précieux, etc. Ce qui peut être vendu à un tiers Capital humain? Ce qui constitue le patrimoine de la personne physique ou morale Biens, droits et valeurs Duquel il faut déduire les passifs Impôts à payer, emprunts contractés pour l acquisition des actifs Pour simplifier l exposé, on se concentrera sur les actions (et les obligations) 61

62 Rentabilité d un portefeuille Portefeuille de deux actions Mettons Peugeot et Renault Renault : code ISIN FR Mnémo : RNO On notera et les taux de rentabilité respectifs Pour simplifier les notations, on omettra autant que possible la référence à la date courante 1:,,, Il s agit de rentabilités ex-ante, donc de variables aléatoires On rappelle que, Rentabilité quotidienne IBM juin 59 juin60,,,,,, L intervalle de temps entre et 1n est pas précisé,,,, Il peut s agir d un jour, d une semaine, d un mois, d une année : nombre d actions Peugeot et Renault acquises en 1 L investissement initial dans le portefeuille d actions est donc,, 62

63 Rentabilité d un portefeuille Portefeuille de deux actions (suite) L investissement initial dans le portefeuille d actions est donc,, La part de la richesse investie dans l action est notée,,, La part de la richesse investie dans l action est notée,,, Remarquons que Et donc évidemment, et sont connus dès la date et ne sont donc pas des variables aléatoires, mais des scalaires 63

64 Rentabilité d un portefeuille Portefeuille de deux actions (suite) On va maintenant s intéresser à la rentabilité du portefeuille constitué des deux actions Il s agit de la variation relative de la valeur du portefeuille d actions entre les dates et Valeur du portefeuille en :,, Prix d acquisition des actions Valeur du portefeuille en Prise en compte de la valeur de revente et des dividendes perçus,,,, La rentabilité du portefeuille s écrit,,,,,,,, 64

65 Rentabilité d un portefeuille Portefeuille de deux actions (suite),,,,,,,, Simplifions cette (horrible) expression Au numérateur, on peut factoriser par les nombres de titres détenus et, ce qui donne,,,,,, Que l on peut réécrire comme,,,,,,,,,, D après les définitions des rentabilités,,,,,,,,,,,, 65

66 Rentabilité d un portefeuille Portefeuille de titres (cas général) «nombre» de titres détenus,, composition du portefeuille, prix du titre à la date,, dividende versé à la date,,,, vecteur des prix à la date Attention à la synchronicité Valeur du portefeuille en :,, : notation «matricielle» pour transposé de devrait être entier. Il est plus simple sur le plan mathématique de considérer des valeurs réelles Une quantité négative correspond à une vente à découvert 66

67 Rentabilité d un portefeuille Portefeuille de titres (suite) Pour simplifier la présentation, le nombre de titres investis reste constant au cours du temps Les quantités investies peuvent être des fractions En pratique ce sont des nombres entiers Divisibilité des titres émis par une entreprise Rentabilité du titre i entre et :,,,,, Rentabilité du portefeuille : Propriété,, Dividende versé usuellement une fois par an 67

68 Rentabilité d un portefeuille Portefeuille de titres Le nombre de titres investis reste constant au cours du temps Les quantités investies peuvent être des fractions Infinie divisibilité des titres émis par une entreprise quantités investies dans les titres peuvent a priori être négatives Possibilité de vendre à découvert (sinon ) Notation :,,, est la fraction de la richesse investie dans l actif i Relation entre rentabilité du portefeuille et rentabilité des titres le constituant :, 68

69 69 La théorie du portefeuille : exemples Composition d un portefeuille diversifié comprenant des actions (stocks) et des obligations (bonds) Small caps : petites capitalisations Real Estate : immobilier Fraction de la richesse Investie dans différentes Classes d actifs

70 70 La théorie du portefeuille : exemples Rentabilités annuelles du portefeuille précédent En ordonnées, les rentabilités annuelles en % Historique de rentabilités de portefeuille Grande variabilité, une première approche intuitive du risque

71 71 La théorie du portefeuille : exemples Les indices boursiers représentent des portefeuilles d actions Évolution de la valeur de portefeuilles d actions Éclatement de la bulle internet au Canada, en France, en Allemagne, au Japon, au Royaume Uni et aux États-Unis Base 100 en 1993 Quelques succès beaucoup d échecs

72 La théorie du portefeuille : exemples Évolution de l indice CAC40 Crise des dettes souveraines dans la zone euro Composition du portefeuille varie au cours du temps Dividendes non réinvestis Sur deux ans Sur 10 ans, en bleu volumes échangés Crise des subprimes + crise de la liquidité bancaire 72

73 La théorie du portefeuille : exemples Fidelity Magellan Fund Fonds géré de manière active La composition du fonds s écarte de celle de l indice boursier de référence AUM : Assets Under Management Montant total des actifs gérés par une institution financière, fonds commun, société de gestion de fonds En 2005, le montant des actifs gérés par ce fond était d environ 50 milliards de dollars Peter Lynch Ancien gérant vedette du fonds 73

74 La théorie du portefeuille : exemples Fidelity Magellan Fund Montant des actifs gérés varie : Valeur liquidative de la part Collecte nette (positive ou négative) d épargne Dans les fonds ouverts, le nombre de parts varie Dans un fonds fermé, on ne peut vendre ses parts Sauf éventuellement à trouver un acheteur Rentabilités annuelles comparées Du fond Fidelity Magellan et de l indice Standard & Poors 500 Évolution d une part du fond Cours en USD Période Rentabilité du Fond Rentabilité d un portefeuille dupliquant l indice S&P (49.66%) (38.91%) % 3.53% % 15.79% % 4.91% % 10.88% % 26.68% 2002 (23.66%) (22.10%) 2001 (11.65%) (11.89%) 2000 (9.29%) (9.11%) % 21.04% % 28.58% 74

75 La théorie du portefeuille : exemples Pourcentage de la richesse investie dans deux fonds Poids représentés par ordre décroissant pour deux fonds Actions privilégiées par les gérants 75

76 La théorie du portefeuille : exemples Pourcentage de la richesse investie dans les fonds Pourcentages de richesse investie par secteurs d activité Le lecteur attentif remarquera au moins une coquille dans le tableau ci-dessous 76

77 La théorie du portefeuille : exemples On va s intéresser aux caractéristiques des rentabilités de portefeuilles de titres On supposera que la rentabilité d un titre est une variable aléatoire prenant des valeurs discrètes dont on connait la loi de probabilité On ne fera pas référence à la date courante et on supposera implicitement que les caractéristiques des rentabilités aléatoires sont stables au cours du temps Hypothèse de stationnarité Rentabilités quotidiennes de l indice footsie. Forte augmentation de la volatilité après la faillite de Lehman Brothers Histogramme des rentabilités annuelles de l indice S&P500 77

78 78 La théorie du portefeuille : exemples Ordre de grandeur de l écart-type des rentabilités annuelles de portefeuilles d actions : 20%

79 La théorie du portefeuille : espérance et écarttype des taux de rentabilité On s est intéressé à l espérance de rentabilité d un titre et à son écart-type comme une mesure du risque de cet actif On va maintenant s intéresser à l espérance de rentabilité et à l écart-type de la rentabilité d un portefeuille de titres Cas de deux titres On omettra la dépendance par rapport au temps, Une composition particulière de portefeuille correspond donc au choix de poids alloués à chacune des actions On va chercher comment et dépendent de 79

80 80 La théorie du portefeuille : espérance du taux de rentabilité Linéarité de l espérance mathématique Deux variables aléatoires X et Y et deux réels α et β On a alors : Démonstration : Par définition En développant le terme de droite, on obtient En réarrangeant les termes, la somme précédente peut s écrire Le terme de droite est égal à Ce que l on voulait démontrer

81 81 La théorie du portefeuille : espérance du taux de rentabilité Considérons l espérance de rentabilité d un portefeuille, On pourra éventuellement noter comme dans l ouvrage de référence On cherche à déterminer sont connus (scalaires) : variables aléatoires On rappelle la propriété de linéarité de l espérance et variables aléatoires, scalaires Alors :

82 La théorie du portefeuille : écart-type du taux de rentabilité Considérons maintenant la variance de la rentabilité Ou l écart-type en prenant la racine carrée de la variance, On pourra noter comme dans le livre Un résultat classique de probabilités permet d écrire est le coefficient de corrélation linéaire entre et dépend de qui mesure le degré de liaison entre et 82

83 La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire Coefficient de corrélation linéaire entre les rentabilités (aléatoires) et Définition Au numérateur, covariance entre les rentabilités des titres 1 et 2 : et Au dénominateur, produit des écart-types des rentabilités, et Si, les prix des actions et tendent à varier dans le même sens Si, les prix des actions et tendent à varier dans des sens opposés Si les prix des actions varient de manière indépendante, alors Corrélation positive Corrélation négative 83

84 84 La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire Le coefficient de corrélation linéaire entre et,, est une mesure de la tendance des rentabilités à varier dans le même sens ou en sens inverse Les propriétés de la covariance, sont rappelées dans les transparents suivants On peut aussi écrire le coefficient de corrélation linéaire comme : rentabilité centrée réduite du titre On rappelle que, Le coefficient de corrélation linéaire a une valeur comprise entre et :

85 85 La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire Illustrations numériques On reprend le premier exemple Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Probabilités assignées à chacune de ces quatre journées On rappelle que %, % Ici On introduit un titre Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Probabilités assignées à chacune de ces quatre journées On remarque que

86 86 La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire Illustrations numériques Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : On sait que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont : Ces valeurs normalisées sont identiques à celle du titre 2 dans le transparent précédent Le calcul du coefficient de corrélation est identique

87 87 La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire Illustrations numériques Rentabilité du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : On sait que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont : Ces valeurs normalisées sont identiques à celle du titre 2 dans le transparent précédent Le calcul du coefficient de corrélation est identique

88 88 La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire Illustrations numériques Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : %, %, %, % On sait que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont : Le calcul du coefficient de corrélation donne :

89 89 La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire Illustrations numériques Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : %, %, %, % On vérifie que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont : Le calcul du coefficient de corrélation donne

90 90 La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire Dernier exemple Rentabilités du titre les 6 dernier jours : %, %, %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : %, %, %, %, %, % On vérifie que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont : Le calcul du coefficient de corrélation donne On peut obtenir différentes valeurs du coefficient de corrélation alors même que,,, sont identiques, Ici, les rentabilités des titres 1 et 2 sont identiques 4 jours sur 6, et opposées les deux autres jours.

91 coefficient de corrélation linéaire Prix non synchrones : perturbations dans les calculs Ajustements statistiques à prévoir pour estimations non biaisées 91

92 92 La théorie du portefeuille : compléments mathématiques Il peut à nouveau être utile de faire quelques rappels de probabilités Définition de la covariance entre et Dans le livre, est notée, Définition équivalente : Cette équivalence peut être démontrée à titre d exercice et résulte de la linéarité de l espérance Remarques : (symétrie)

93 La théorie du portefeuille : compléments mathématiques Vérifiez à titre d exercice que : En utilisant la définition de la covariance et la linéarité de l espérance En soustrayant les termes en vert à ceux en bleu 2 Var 2Cov, Var 93

94 94 La théorie du portefeuille : compléments mathématiques Covariance entre une variable aléatoire et une (variable aléatoire) constante Cov En utilisant la linéarité de la variance Nous avons déjà vu que si est une constante On obtient donc : Nous avons vu que, par définition, la rentabilité d un placement sans risque est constante Pour toute rentabilité (aléatoire) d une action ou d un portefeuille, on a donc Cov

95 La théorie du portefeuille : compléments mathématiques (Bi)linéarité de la covariance Si sont deux scalaires, une rentabilité aléatoire : Cov Cov Cov Démonstration pénible à écrire, sans difficulté, à lire tranquillement D après la définition de la covariance : Cov, En utilisant la linéarité de l espérance : En reportant les expressions en couleur et en factorisant par et Cov, Cov, Cov, Cov, 95

96 La théorie du portefeuille : compléments mathématiques Application à la gestion de portefeuille (suite) R X R X R P fractions de la richesse investie dans les titres et X X 1 X 1 X D après les propriétés de la variance : 2 VarRP X 2 X 1 X 1 X Var R P Var X1R1 X2R2 VarXR 1 1 2Cov XR 1 1, XR 2 2 Var XR X Var R 2X X Cov R, R X VarR D où le résultat en utilisant :, On peut calculer la variance de la rentabilité des portefeuilles constitués du titre et du titre en fonction de 96

97 97 La théorie du portefeuille : évolution de l espérance et de l écart type Représentation des portefeuilles constitués des titres 1 et 2 dans un plan : où l écart-type de la rentabilité du portefeuille est en abscisse «Mesure de risque» P X VarR X 2 X 1 X 1 X P et l espérance de rentabilité en ordonnée E R E X ER X ER ER P P Composition de portefeuille : valeur de Chaque portefeuille est représenté par un point dans le plan (écart-type des rentabilités, espérance des rentabilités) L ensemble de ces points forme une «courbe paramétrée» par (composition du portefeuille)

98 98 La théorie du portefeuille : évolution de l espérance et de l écart type Représentation des portefeuilles constitués des titres 1 et 2 dans le plan espérance écart-type En abscisse l écart-type du taux de rentabilité du portefeuille Écart-type : standard deviation En ordonnée l espérance du taux de rentabilité du portefeuille «Expected return» À chaque point bleu correspond une valeur particulière de

99 99 La théorie du portefeuille Cas où Cas particulier où le coefficient de corrélation linéaire entre les deux rentabilités est égal à On rappelle que :, correspond à la situation où la liaison statistique entre les deux rentabilités est la plus forte Si, alors, En effet, le numérateur est Le dénominateur est

100 La théorie du portefeuille,, Pourquoi s intéresser à ce cas particulier? On considèrera en outre que,, Quantités investies dans les deux titres positives Les calculs d écart-type des portefeuilles sont plus simples que dans le cas général Écart-type fonction affine de la composition du portefeuille Représentation simple des portefeuilles dans le plan écart-type espérance des rentabilités Il s agit d un segment de droite Comparaisons utiles avec le cas général Concavité de la frontière efficiente Facilite l analyse de la Capital Market Line (CML) Les portefeuilles sur la CML sont parfaitement corrélés Permet une introduction à la notion d arbitrage 100

101 101 La théorie du portefeuille Le cas correspond à une situation extrême de liaison parfaite entre les rentabilités et On peut démontrer que Si et seulement si avec Relation affine entre les deux rentabilités Pas de terme de bruit comme dans une régression linéaire Pas de «diversification du risque» Représentation simple des portefeuilles dans le plan écart-type espérance des rentabilités S il existe un actif sans risque, on peut en outre montrer que le titre 2 est un portefeuille composé du titre 1 et de l actif sans risque (et vice versa) En l absence d «opportunité d arbitrage» (voir la suite des transparents)

102 La théorie du portefeuille Évaluation de l écart-type du portefeuille quand On part de la formule générale Qui devient («carré parfait») : valeur absolue de, si, si 102

103 La théorie du portefeuille Le segment de droite reliant les points A et B représente l ensemble des portefeuilles combinant les titres 1 et 2 pour un niveau de corrélation égal à 1 Espérance de rentabilité E p X1E R1 1 X1 ER2 et 0 X 1 1 proportion de la richesse investie dans le titre 1 E E R 2 2 Segment de droite 0 X 1 1 E E R 1 1 Écart type de la rentabilité P X11 1 X

104 La théorie du portefeuille Le segment de droite reliant les points A et B représente l ensemble des portefeuilles combinant les titres 1 et 2, en quantités positives, pour un niveau de corrélation égal à 1 Corrélation Segment de droite? Espérance de rentabilité E p X1E R1 1 X1 ER2 p E E X E E P X 1 X E E ER 2 2 ER 1 1 X1 1 0 X 1 1 X1 0 E p Écart type de la rentabilité X P E 2 P 2 E Relation affine entre espérance de rentabilité et écart type des rentabilités E

105 La théorie du portefeuille Le cas correspond à une situation extrême de liaison parfaite entre les rentabilités et Cas général Variance et espérance de rentabilité pour donné variance de la rentabilité du portefeuille Fonction affine du coefficient de corrélation la variance de taux de rentabilité du portefeuille est d autant plus faible que le coefficient de corrélation est faible espérance de rentabilité du portefeuille L espérance de rentabilité ne dépend pas du coefficient de corrélation 105

106 La théorie du portefeuille 0 X 1 1 proportion de la richesse investie dans le titre 1 proportion de la richesse investie dans le titre 2 Chaque courbe représente l ensemble des portefeuilles combinant les titres 1 et 2 pour un niveau de corrélation, donné, 106

107 La théorie du portefeuille proportion de la richesse investie dans le titre 1 proportion de la richesse investie dans le titre 2 Une diminution du coefficient de corrélation, fait diminuer l écart type de la rentabilité sans en changer l espérance (flèche rouge) Seul, varie, 107

108 108 La théorie du portefeuille 0 X 1 1 proportion de la richesse investie dans le titre 1 proportion de la richesse investie dans le titre 2 Pour ce portefeuille, le risque est plus faible que pour chacun des titres pris isolément

109 109 Le concept de diversification Actions Michelin (1), Carrefour (2) 35%, 42% 1 2 Coefficient de corrélation : X X 50% ,32 P 30%, le risque d un portefeuille équipondéré n est que de P

110 Le concept de diversification I: Nombre de titres Rappel Titres symétriques ij, i, j 1,, n Portefeuille équipondéré Comme I I I P Xi i ijxix j i j i1 i1 j1, ji i, i 1,, I I I I I I 2 I 2 I I P 2 2 i1 i1 j1, ji I 1 I( I1) 110

111 111 La théorie du portefeuille : diversification Le concept de diversification Variance du portefeuille décroit en fonction du nombre de titres La variance tend vers une limite égale à Risque incompressible P 1 I I En pratique réduction assez rapide du risque en fonction du nombre de titres P Risque pouvant être éliminé par la diversification Risque incompressible

112 Théorie du portefeuille et diversification Ne pas mettre tous ses œufs dans le même panier 112

113 Théorie du portefeuille : diversification Risques non diversifiables? À droite une mauvaise diversification des risques Même cause affectant tous les ouvriers Facteurs économiques communs Sources de risque affectant simultanément tous les secteurs de l économie Phénomènes de contagion Propagation d une difficulté locale à l ensemble de l économie Sauf cas de dépendance négative Lyxor ETF CAC 40 Daily Double Short Rentabilité rentabilité CAC

114 Théorie du portefeuille : diversification Risques non «diversifiables»? Le tableau ci-contre montre qu une «mauvaise année» Comme 2008 Les performances des actifs risqués peuvent être fortement négatives Uniformément négative Par taille Par zone géographique Par secteur d activité Ceci ne remet pas en cause le principe de diversification 114

115 Théorie du portefeuille : diversification La diversification du risque n élimine pas tous les risques Elle réduit néanmoins le risque Et ceci se fait sans diminution de l espérance de rentabilité La tendance à la diversification internationale et l interconnexion des économies rendent les krachs financiers globaux Endettement des collectivités locales en devises Trésorerie d entreprises ayant acheté des CDO de subprimes 115