Traverses minimales d un hypergraphe :

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1 Traverses minimales d un hypergraphe : Applications et Analyse Céline Hébert Alain Bretto Loïck Lhote GREYC, Université de Caen Basse-Normandie ALEA 2007, Marseille ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 1 / 19

2 Hypergraphe Hypergraphe H = (V, E) où V est l ensemble des sommets et E 2 V est l ensemble des hyperarêtes h 1 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 h 3 h 2 h s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 h h Les hypergraphes généralisent les graphes ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 2 / 19

3 Traverses minimales Traverse = ensemble de sommets qui intersecte toutes les hyperarêtes Traverse minimale= traverse minimale au sens de l inclusion h 1 s 1 s 2 s 3 s 4 h 2 s 5 s 6 s 7 h 3 Exemples : {s 1, s 7 } n est pas une traverse {s 1, s 3, s 5 } est une traverse non-minimale {s 1, s 5 } est une traverse minimale Problèmes : Etant donné un hypergraphe H, peut-on générer toutes ses traverses minimales T (H)? Si oui, comment et à quel coût? ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 3 / 19

4 Applications ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 4 / 19

5 Application en Intelligence Artificielle Contexte : ajouter une nouvelle connaissance p à un base de connaissances B premier cas : p n est pas en contradiction avec B on ajoute p à B deuxième cas : p est en contradiction avec B on enlève un ensemble R B de connaissances tel que p ne peut plus être inférée de B\R Hébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 5 / 19

6 Application en Intelligence Artificielle Contexte : ajouter une nouvelle connaissance p à un base de connaissances B premier cas : p n est pas en contradiction avec B on ajoute p à B deuxième cas : p est en contradiction avec B on enlève un ensemble R B de connaissances tel que p ne peut plus être inférée de B\R B B 1 B 2 B 3 Propriété 1. au moins une connaisance de chaque ensemble B i doit être supprimée Propriété 2. on veut faire le minimum de changements Hébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 5 / 19

7 Application en Logique Problème MSAT. Etant donnée une CNF F = C 1... C p telle que toutes les clauses sont soit positives, soit négatives. F est-elle satisfaisable? C est un problème NP-complet. Exemple sur les variables X = {x 1, x 2, x 3, x 4 } : x 1 (x 2 x 4 ) ( x 2 x 4 ) x 3 ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 6 / 19

8 Application en Logique Problème MSAT. Etant donnée une CNF F = C 1... C p telle que toutes les clauses sont soit positives, soit négatives. F est-elle satisfaisable? C est un problème NP-complet. Exemple sur les variables X = {x 1, x 2, x 3, x 4 } : x 1 (x 2 x 4 ) ( x 2 x 4 ) x 3 On définit deux hypergraphes H + = (X, E + ) et H = (X, E ) avec E + = {{x 1 }, {x 2, x 4 }}, E = {{x 2, x 4 }, {x 3 }} Pour deux hypergraphes H et H, on écrit H H si toute hyperarête de H contient une hyperarête de H : e E, e E t.q. e e. Hébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 6 / 19

9 Application en Logique Problème MSAT. Etant donnée une CNF F = C 1... C p telle que toutes les clauses sont soit positives, soit négatives. F est-elle satisfaisable? C est un problème NP-complet. Exemple sur les variables X = {x 1, x 2, x 3, x 4 } : x 1 (x 2 x 4 ) ( x 2 x 4 ) x 3 On définit deux hypergraphes H + = (X, E + ) et H = (X, E ) avec E + = {{x 1 }, {x 2, x 4 }}, E = {{x 2, x 4 }, {x 3 }} Pour deux hypergraphes H et H, on écrit H H si toute hyperarête de H contient une hyperarête de H : e E, e E t.q. e e. Propriété : Une instance F de MSAT n est pas satisfaisable ssi T (H + ) H Exemple : T (H + ) = {{x 1, x 2 }, {x 1, x 4 }} H Hébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 6 / 19

10 Application en Fouille de données s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s Motif fréquent = ensemble de colonnes qui sont présentes en même temps dans plusieurs lignes. Exemple {s 1, s 4 } n est pas un motif fréquent {s 2, s 3 } est un motif fréquent ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 7 / 19

11 Application en Fouille de données s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s Motif fréquent = ensemble de colonnes qui sont présentes en même temps dans plusieurs lignes. Exemple {s 1, s 4 } n est pas un motif fréquent {s 2, s 3 } est un motif fréquent Bordure négative = ensemble des motifs non-fréquents dont tous les sous-motifs sont fréquents. Exemple {s 1, s 4 } est un motif de la bordure négative {s 4, s 5, s 6 } n est pas dans la bordure négative car {s 4, s 6 } n est pas un motif fréquent ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 7 / 19

12 Treillis des motifs s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s1s2 s6s7 Intérêts de la bordure négative : représentation condensée des motifs fréquents Complexité algorithmes par niveaux Nb de motifs fréquents + taille de la bordure négative ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 8 / 19

13 Treillis des motifs Motifs fréquents Motifs non fréquents Bordure positive Bordure négative Intérêts de la bordure négative : représentation condensée des motifs fréquents Complexité algorithmes par niveaux Nb de motifs fréquents + taille de la bordure négative ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 8 / 19

14 Treillis des motifs Motifs fréquents Motifs non fréquents Bordure positive Bordure négative Intérêts de la bordure négative : représentation condensée des motifs fréquents Complexité algorithmes par niveaux Nb de motifs fréquents + taille de la bordure négative ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 8 / 19

15 Bordure négative et traverses minimales Base s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s T (H) est en bijection avec la bordure négative > < Base opposée s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s = Hypergraphe s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s Hébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 9 / 19

16 Analyse en moyenne ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 10 / 19

17 Nombre de traverses minimales Difficulté théorique s 1 s 3 s 2n 1 s 2 s 4 s 2n s 1 s 3 s n T (H) = 2 n T (H) = 1 Taille de la plus grande traverse s 1 s 3 s n s1 s 3 s n max = n max = 1 Bonne notion de complexité : fait intervenir la taille de la sortie Question ouverte : générer les traverses minimales est-il un problème de complexité polynomiale en la taille de la sortie (output-polynomial)? ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 11 / 19

18 Nombre de traverses minimales Difficulté théorique s 1 s 3 s 2n 1 s 2 s 4 s 2n s 1 s 3 s n T (H) = 2 n T (H) = 1 Taille de la plus grande traverse s 1 s 3 s n s1 s 3 s n max = n max = 1 Bonne notion de complexité : fait intervenir la taille de la sortie Question ouverte : générer les traverses minimales est-il un problème de complexité polynomiale en la taille de la sortie (output-polynomial)? Hébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 11 / 19

19 Algorithmes Fredman et Khachiyan (Dual, 1996) pour étudier la complexité théorique du problème de dualisation d une DNF complexité : O(T log T ) si T est la taille combinée de l entrée et de la sortie C. Hébert et A. Bretto (MT-Miner, 2005) algorithme par niveaux utilise des règles d élagages Règle 1 : tout sur-ensemble d une traverse ne peut être une traverse minimale. Règle 2 : si un ensemble de sommets E contient un sous-ensemble qui intersecte le même nombre d hyperarêtes, alors E et tout ses sur-ensembles ne peuvent être des traverses minimales. complexité : O(T 2 max ) avec T la taille combinée de l entrée et de la sortie et max la taille de la plus grande traverse minimale Question : quel est le meilleur algorithme? Hébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 12 / 19

20 Algorithmes Fredman et Khachiyan (Dual, 1996) pour étudier la complexité théorique du problème de dualisation d une DNF complexité : O(T log T ) si T est la taille combinée de l entrée et de la sortie C. Hébert et A. Bretto (MT-Miner, 2005) algorithme par niveaux utilise des règles d élagages Règle 1 : tout sur-ensemble d une traverse ne peut être une traverse minimale. Règle 2 : si un ensemble de sommets E contient un sous-ensemble qui intersecte le même nombre d hyperarêtes, alors E et tout ses sur-ensembles ne peuvent être des traverses minimales. complexité : O(T 2 max ) avec T la taille combinée de l entrée et de la sortie et max la taille de la plus grande traverse minimale Question : quel est le meilleur algorithme? Hébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 12 / 19

21 Expériences Modèle aléatoire de Erdös-Rényi : nombre de sommets : 50 nombre d hyperarêtes : 1000 probabilité d appartenir à une hyperarête : p p Dual 326 fail fail fail fail fail fail fail 59 MT-Miner fail fail fail fail fail T (H) ???? 4396 max ????? Modèle aléatoire pour les analyses : nombre de sommets : n nombre d hyperarêtes : m = α n, α R + probabilité d appartenir à une hyperarête : p Question : est-ce un bon modèle? Hébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 13 / 19

22 Expériences Modèle aléatoire de Erdös-Rényi : nombre de sommets : 50 nombre d hyperarêtes : 1000 probabilité d appartenir à une hyperarête : p p Dual 326 fail fail fail fail fail fail fail 59 MT-Miner fail fail fail fail fail T (H) ???? 4396 max ????? Modèle aléatoire pour les analyses : nombre de sommets : n nombre d hyperarêtes : m = α n, α R + probabilité d appartenir à une hyperarête : p Question : est-ce un bon modèle? Hébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 13 / 19

23 Première formule s 1 s 2 s j k 1 1 que des 0 k ou 1 k j que des 0 1 au moins deux 1 par ligne Nombre moyen de traverses minimales de longueur j ( ) m n ( n N j = j k 1,..., k j k k j = j k i 1 ) (pq j 1 ) k1+...+k j (1 q j jpq j 1 ) n (k1+...+k j ) ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 14 / 19

24 Formule intégrale On peut écrire Lemme F (X, Y ) = N j = ( ) m F (pq j 1, 1 q j jpq j 1 ) avec j ( ) n X k1+...+k j Y n (k1+...+k j ) k k j = j k i 1 k 1,..., k j La fonction F vérifie la formule intégrale n! F (X, Y ) = (Y + t t j ) n j dt 1... dt j (n j)! [0,X ] j ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 15 / 19

25 E[ T (H) ] = Nombre moyen de traverses minimales m j=1 ( ) m n! (1 q j t 1... t j ) n j dt 1... dt j j (n j)! [0,pq j 1 ] j On sépare la somme en deux parties : j log q < 0.75 log n et j log q 0.75 log n Théorème Le nombre moyen de traverses minimales dans un hypergraphe à m sommets, n hyperarêtes et sous le modèle d Erdös et Rényi de paramètre p = 1 q est asymptotiquement ( ) m E[ T (H) ] w j0 + w j0+1 avec w j = (1 e npqj 1 ) j. j et j 0 = 1 (log n + log log n log log log n + O(1)) log q Plus simplement log n/ log E[ T (H) ] = O (n q ) ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 16 / 19

26 Taille moyenne de la plus grande traverse Théorème La taille moyenne de la plus grande traverse minimale dans un hypergraphe à m sommets, n hyperarêtes et sous le modèle d Erdös et Rényi de paramètre p = 1 q est asymptotiquement E[max] = 1 (2 log n log log n) + O(log log log n) log q ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 17 / 19

27 Fredman et Khachiyan (1996) Complexité : Comparaison des algorithmes O(T log T ) Asymptotique : C. Hébert et A. Bretto Complexité : Asymptotique : si T est la taille combinée de l entrée et de la sortie O O ( ) exp log4 n log q 2 O(T 2 max ) ( ) exp log2 n log q ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 18 / 19

28 Conclusion Résultats la taille de la plus grande traverse est logarithmique en le nombre d hyperarêtes le nombre de traverses minimales est sous exponentiel on peut faire des comparaisons d algorithmes Améliorations autres modèles probabilistes améliorer les complexités données résultats qui mélangent pire des cas et en moyenne ébert, Bretto, Lhote (GREYC, Université de Caen Basse-Normandie) Traverses minimales d un hypergraphe 19 / 19