SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS ET STATISTIQUE(S) AU LYCÉE ET AVEC R

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1 ET STATISTIQUE(S) AU LYCÉE ET AVEC R I-INTRODUCTION Que disent les programmes? La simulation un outil pratique mais aussi une alternative didactique L'outil libre, gratuit et collaboratif R Analyse de quelques exemples glanés dans les ouvrages II-LA SIMULATION UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉS Ses enjeux didactiques à travers quelques exemples Réinvestir la statistique descriptive, modéliser III-LA SIMULATION UN OUTIL DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES Quelques exemples emblématiques Résolution* simulée d'exercices d'annales de bac S IV-EXPLOITER ET PROLONGER UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE Une séquence de travaux pratiques d'introduction fréquentiste à la probabilité. Du protocole à l'aed V-CONCLUSIONS

2 I-INTRODUCTION QUE DISENT LES PROGRAMMES?

3 I-INTRODUCTION En seconde (BO n 30 du 23 juillet 2009) : Statistiques et probabilité : "ces enseignements sont en relation étroite l'un avec l'autre et doivent faire l'objet d'aller et retour". "Concevoir mettre en œuvre et exploiter des simulations de situations concrètes "...(quid du protocole) L'intervalle de fluctuation d'une fréquence " peut être obtenu de façon approchée par simulation". En première : à l'aide de simulations et d'une approche heuristique de la loi des grands nombres on fait le lien" entre moyenne, variance d'une série et espérance et variance d'une variable aléatoire. On peut simuler une loi géométrique tronquée, une loi binomiale. En terminale : La simulation de sondages sur tableur permet de sensibiliser aux fourchettes de sondage.

4 I-INTRODUCTION QU' EST-CE QUE LA SIMULATION?

5 I-INTRODUCTION Ce que ne précisent pas les programmes ni les documents d'accompagnement actuels : Qu'est-ce que la simulation? Le document d accompagnement [GEPS, 2001] des programmes de première précisait : «Modéliser consiste à associer un modèle à des données expérimentales, alors que simuler consiste à produire des données à partir d'un modèle prédéfini. Pour simuler une expérience, on associe d'abord un modèle à l'expérience en cours, puis on simule la loi du modèle». Le choix d'un modèle est l'étape préliminaire indispensable, lorsque l'on conçoit une simulation. Modélisation et simulation sont donc indissociables et sont sources d'obstacles didactiques qu'il faut s'efforcer d'identifier et de résoudre. Le schéma suivant (Bernard Parzysz, 2009), illustre bien ces notions : modèle simulation Modélisation expérience 1 (phénomène étudié) Représentation Validation expérience 2 Lorsque l'on néglige la phase "modèle", l'expérience 2 est comprise comme une simple représentation de l'expérience 1!

6 I-INTRODUCTION R : POURQUOI ET COMMENT?

7 I-INTRODUCTION R : POURQUOI ET COMMENT R : un outil polyvalent, libre, performant et richement documenté, qui permet de mettre en œuvre les méthodes en Analyse, Probabilités, Analyse Exploratoire et Statistique. Notre objectif : en dépassant les simples illustrations de cours, montrer que R permet de mettre facilement en œuvre la simulation comme : Un outil didactique pour l'apprentissage des probabilités Un outil de résolution de problèmes Un champ de mise en œuvre de l'algorithmique R est un outil qui facilite l'autonomie des élèves.

8 QUATRE DES INTERFACES DE R : I-NTRODUCTION 1 - Rcmdr : les menus à cliquer

9 I-INTRODUCTION QUATRE DES INTERFACES DE R: 2 - R-GUI : la console, l'éditeur de script...

10 I-INTRODUCTION QUATRE DES INTERFACES DE R : 3 -Tinn-R : coloration syntaxique, complétion, console intégrée...

11 QUATRE DES INTERFACES DE R: I-INTRODUCTION 4 -RStudio : coloration syntaxique, complétion, console intégrée, worskpace...

12 I-INTRODUCTION ALGORITHMES ET PROGRAMMES DANS LES MANUELS

13 I-INTRODUCTION DANS LES MANUELS : SIMULER LA LOI BINOMIALE Quelle utilité de la simulation alors qu'on sait facilement calculer des probabilités binomiales (loi annoncée)? On simule 1 valeur de la variable alors qu'une loi c'est une distribution. À la difficulté de décryptage de l'algorithme s'ajoute la difficulté de floor(1+5*random()) Une généralisation est proposée mais encore pour simuler 1 valeur. Pourquoi cette différence de traitement entre n et B et m? Après avoir annoncé une loi binomiale, on demande ensuite de "tester" le programme. Mais comment? On n'a pas besoin de la loi binomiale pour simuler cette expérience. Juste le modèle équiprobable, peu lisible ici.

14 I-INTRODUCTION DANS LES MANUELS : SIMULER LA LOI BINOMIALE Un peu plus loin, sous le même titre, on trouve un autre algorithme simulant cette fois M valeurs issues d'un schéma de Bernoulli. On cumule quatre difficultés : algorithme long, modèle équiprobable peu lisible (bien que classique), distribution* simulée de S directement cumulée dans TAB[s], initialisation et affichage du tableau par boucles for(). En b) on demande d'utiliser un autre logiciel (tableur) puis de comparer distribution* simulée et distribution de probabilité (je suppose), mais comment? Pourquoi ne pas réinvestir les outils de la statistique descriptive? (je ne l'ai trouvé sur aucun des algorithmes visités!)

15 I-INTRODUCTION DANS LES MANUELS : UN CALCUL D'ESPÉRANCE L'initialisation (voire la saisie) du tableau ne figure pas dans l'algorithme. Le langage "naturel" n'est pas assez précis, d'où la difficulté du passage à la programmation : traduire pixi n'a rien d'évident. Pertinence de la méthode, par rapport aux fonctionnalités des langages actuels.

16 I-INTRODUCTION DANS LES MANUELS : SIMULER UN JEU DE LOTERIE Cumul de la difficulté du connecteur logique, de la boucle TantQue et du positionnement du compter j. On simule 1 valeur de la variable. Comment vérifier le fonctionnement d'une simulation? La simulation ne sert pas dans le 2. où l'on demande le calcul d'une distribution de probabilité et où l'on propose d'utiliser un autre logiciel (calcul formel?) pour faire un calcul numérique d'espérance. On peut réaliser tous ces calculs, plus simplement, avec R, qui fait des illustrations graphiques.

17 I-INTRODUCTION DANS LES MANUELS : CALCULER ET SIMULER L'IF D'UNE VARIABLE FRÉQUENCE L'algorithme de calculs des IF est simplifié avec R. Je n'ai pas trouvé d'exemple d'algorithme de simulation d'un IF. Se pose le problème du mode de calcul des quantiles d'une série statistique. Il est proposé d'exécuter le programme plusieurs fois. C'est peu réaliste pour établir un nombre suffisant de résultats. Pourquoi ne pas prévoir ces répétitions dans l'algorithme lui même? Quels critères de cohérence pour comparer fréquences simulées et probabilité?

18 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ II-LA SIMULATION UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ

19 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ II-LA SIMULATION UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ LE PROBLÈME HISTORIQUE D'UN GRAND DUC DE TOSCANE Simulation : plusieurs modèles et stratégies Calculer des distributions de probabilité Superposer graphiquement fréquences simulées et probabilités LE PROBLÈME HISTORIQUE DU CROIX-PILE DE D'ALEMBERT Simulations, s'arrêter ou pas lorsque l'on gagne Simuler le rang du premier succès Calculer les distributions du rang du premier succès Superposer graphiquement fréquences simulées et probabilités UN MODÈLE D'URNE POUR ÉTUDIER LE NOMBRE DE ROUGES TIRÉES Simuler un modèle d'urne Simuler un intervalle de fluctuation Calculer l'intervalle de fluctuation d'une variable binomiale CONVERGENCE DE LA LOI BINOMIALE VERS LA LOI DE GAUSS Illustration graphique Exploration d'intervalles de fluctuation asymptotiques gaussiens SIMULATION D'UN PEIGNE D'INTERVALLES DE CONFIANCE Plusieurs illustrations graphiques CALCUL DE L'INTERVAL DE CONFIANCE "EXACT" D'UNE PROPORTION Par la méthode de Clopper et Pearson (1934)

20 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ PROBLÈME HISTORIQUE (1620) DU GRAND DUC DE TOSCANE : JETER 3 FOIS UN DÉ** (ÉQUILIBRÉ) S est la variable aléatoire prenant pour valeurs la somme des valeurs des faces obtenues ALGORITHME A1_1 LIGNES DE COMMANDES POUR SIMULER 1 JEU (de <- 1:6) # abréviation de seq(from = 1, to = 6, by = 1) [1] (jeu <- sample(de, 3, T))# abréviation de sample(x = de, size = 3, replace = TRUE) [1] (s <- sum(jeu)) [1] 16 L'aide sous R :?sample L'aide sous RStudio : touche tab sur sample (fonction contextuelle) L'apport de R?

21 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ PROBLÈME HISTORIQUE DU GRAND DUC DE TOSCANE : JETER 3 FOIS UN DÉ** ALGORITHME A1_2 LIGNES DE COMMANDES POUR SIMULER 2000 JEUX (IDENTIQUES) TABLEAU DES FRÉQUENCES DE LA SÉRIE SIMULÉE de <- 1:6 ; Nbjets = 3 ; nbsim = 2000 ; seriesomnbjets <- NULL for(i in 1:nbsim){ jeu <- sample(de, Nbjets, replace = TRUE) s <- sum(jeu) seriesomnbjets <- c(seriesomnbjets, s) #**** Affichage des résultats et des graphiques************* (tablefreqs <- table(seriesomnbjets) / nbsim) seriesomnbjets barplot(tablefreqs) L'apport de R?

22 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ PROBLÈME HISTORIQUE DU GRAND DUC DE TOSCANE : JETER 3 FOIS UN DÉ** ; AVEC LE NOMBRE DE JETS QUI PEUT VARIER ALGORITHME A1_4 toscanea1_4 <- function(nbjets = 3, nbsim = 2000){ seriesomnbjets <- NULL ; de <- 1:6 for(i in 1:nbsim){ jeu <- sample(de, Nbjets, replace = TRUE) s <- sum(jeu) seriesomnbjets <- c(seriesomnbjets, s) tablefreqs <- table(seriesomnbjets) / nbsim #**** Affichage des résultats et des graphiques*********** cat("tableau des fréquences simulées:\n") print(tablefreqs) barplot(tablefreqs, xlab = "Valeurs de la variable somme", ylab = "Fréquences simulées", main = "Distribution simulée de la variable S") > toscanea1_4() Tableau des fréquences* simulés : seriesomnbjets

23 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ PROBLÈME HISTORIQUE DU GRAND DUC DE TOSCANE : JETER 3 FOIS UN DÉ** UNE STRATÉGIE POUR ÉVITER LES BOUCLES ALGORITHME A1_6 toscanea1_6 <- function(nbsim = 2000){ de <- 1:6 seriejets1 <- sample(de, nbsim, replace = T) seriejets2 <- sample(de, nbsim, replace = T) seriejets3 <- sample(de, nbsim, replace = T) seriesom3jets <- seriejets1 + seriejets2 + seriejets3 tablefreqs <- table(seriesom3jets) / nbsim #**** Affichage des résultats et des graphiques*********** print(tablefreqs) barplot(tablefreqs, xlab = "Valeurs de la variable somme", ylab = "Fréquences simulées", main = "Distribution simulée de la variable S") > system.time(toscanea1_6()) seriesom3jets utilisateur système écoulé > system.time(toscanea1_4()) seriesom3jets utilisateur système écoulé

24 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ PROBLÈME HISTORIQUE DU GRAND DUC DE TOSCANE : JETER Nbjets FOIS UN DÉ À 6 FACES NON ÉQUILIBRÉ ALGORITHME A1_8 toscanea1_8 <- function(nbjets = 3, nbsim = 100){ seriesomnbjets <- NULL ; de <- 1:6 ; probafaces = de / 21 for(i in 1:nbsim){ jeu <- sample(de, Nbjets, prob = probafaces, replace = TRUE) s <- sum(jeu) seriesomnbjets <- c(seriesomnbjets, s) tablefreqs <- table(seriesomnbjets) / nbsim #**** Affichage des résultats et des graphiques*********** cat("tableau des fréquences simulées:\n") print(tablefreqs) barplot(tablefreqs, xlab = "Valeurs de la variable somme", ylab = "Fréquences simulées", main = "Diagramme en barres") > toscanea1_8() Tableau des fréquences* simulés : seriesomnbjets L'apport de R?

25 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ PROBLÈME HISTORIQUE DU GRAND DUC DE TOSCANE : JETER 3 FOIS UN DÉ** : CALCULER LA DISTRIBUTION DE PROBABILITÉ DE S ALGORITHME A1_9 probas3dea1_9 <- function(){ s <- array(0, dim = c(6, 6, 6)) for(i in 1:6){ for(j in 1:6){ for(k in 1:6){s[i, j, k] <- i + j + k tabloprobas <- table(s) / 216 return(tabloprobas) probas3dea1_9() s plot(probas3dea1_9(), col = "red", main = "Distribution de probabilité de S") L'apport de R?

26 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ GRAND DUC DE TOSCANE : SUPERPOSER DISTRIBUTION DE PROBABILITÉ ET DISTRIBUTION* SIMULÉE DE S : ALGORITHME A1_10 toscanea1_10 <- function(nbsim = 2000){ setwd("e:/hubw/irem/animstages/angerssept2012") source("toscanea1_4bis.r") tablefreqs <- toscanea1_4bis(nbsim = nbsim) source("probas3dea1_9.r") DistribprobaS <- probas3dea1_9() #**** Affichage des résultats et des graphiques*********** cat("tableau des fréquences simulées:\n") print(tablefreqs) barplot(tablefreqs, xlab = "Valeurs de la variable somme", ylab = "Fréquences simulées ou Probabilités", main = "Distribution simulée(barres), probabilité (Points rouges)", ylim = c(0,.14)) points(barplot(3:18, plot = FALSE), DistribprobaS, pch = 21, col = "red", bg = "red") > toscanea1_10() Tableau des fréquences simulés : seriesom3jets

27 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ SIMULER LE PROBLÈME HISTORIQUE (1754) DU CROIX-PILE DE D'ALEMBERT PREMIER MODÈLE : ALGORITHME A2_1 Un coup consiste à jeter une pièce (croix - pile ) équilibrée, Le jeu, en deux coups au plus, s'arrête dès que je gagne en "amenant croix". Description de la distribution* des modalités des résultats du jeu. croixpilea2_1 <- function(nbsim = 2000){ resultats <- rep(0, 3) ; piece <- c("croix", "Pile") names(resultats) <- c("gagnécoup1", "GagnéCoup2", "Perdu") for(i in 1:nbsim){ coup1 <- sample(piece, 1) if(coup1 == "Croix") { resultats[1] <- resultats[1] + 1 else { coup2 <- sample(piece, 1) if(coup2 == "Croix") { resultats[2] <- resultats[2] + 1 else { resultats[3] <- resultats[3] + 1 #**** Affichage des résultats et des graphiques*********** print(resultats / nbsim) barplot(resultats / nbsim, ylab = "Fréquences simulées") > croixpilea2_1(nbsim = 5000) (DISTRIBUTION*) GagnéCoup1 GagnéCoup2 Perdu L'apport de R?

28 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ SIMULER UN SCHÉMA DE BERNOULLI POUR ÉTUDIER LA VARIABLE R : RANG DU PREMIER SUCCÈS : ALGORITHME A3 Un peu de mécanique pour comprendre sum(v. logique) et which() de R qui vont servir à simplifier algorithmes et programmes. Un jeu consiste à lancer une roulette de 18 secteurs équiprobables numérotés de 1 à 18, 20 fois au plus. On compte au bout de combien de fois on obtient 9. (roulette <- 1:18) [1] (ResExpe <- sample(roulette, 20, replace = TRUE)) [1] ResExpe == 9 [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE [13] TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE as.numeric(resexpe == 9) [1] sum(resexpe == 9) [1] 2 which(resexpe == 9) [1] (r <- min(which(resexpe == 9))) [1] 10 4 TRUE FALSE FALSE

29 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ SIMULER UN SCHÉMA DE BERNOULLI POUR ÉTUDIER LA VARIABLE R : RANG DU PREMIER SUCCÈS : ALGORITHME A3 Description de la distribution* simulée de R rangpremiersuccesa3 <- function(n = 20, p = 1 / 5, nbsim = 2000){ deuxalternatives <- c("succes", "echec") ; seriesimr <- NULL for(i in 1:nbsim){ ResExpe <- sample(deuxalternatives, n, prob = c(p, 1 - p), replace = TRUE) if(sum(resexpe == "succes")!= 0) { r <- min(which(resexpe == "succes")) else {r <- 0 seriesimr <- c(seriesimr, r) tablefreqr <- table(seriesimr) / nbsim MoySerieR <- mean(seriesimr) #**** Affichage des résultats et des graphiques*********** cat("\ntableau de distribution des fréquences de la\n", "variable Rang du premier succès et moyenne de la série\n") print(tablefreqr) ; print(moyserier) barplot(tablefreqr, xlab = "Valeurs de la variable rang du premier succès", ylab = "Fréquences simulées" main = "Distribution simulée de la variable R") > rangpremiersuccesa3() (DISTRIBUTION*) Tableau de distribution des fréquences simulées de la variable Rang du premier succès et moyenne de la série seriesimr [1] L'apport de R?

30 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ ALGORITHME DE CALCUL DE PROBABILITÉS AVEC LA LOI GÉOMÉTRIQUE TRONQUÉE : ALGORITHME A3_1 Graphique des probabilités cumulées " Calcul de la probabilité d'événements divers L'apport de R? geotronka3_1 = function(k, n, p){ distribx <- rep(0, n + 1) ; names(distribx) <- 0:n distribx[1] <- (1 - p)^n distribx[2:(n + 1)] <- (1 - p)^((1:n) - 1) * p proba <- distribx[k + 1] return(proba) > geotronka3_1(3:6, 10,.3) > sum(geotronka3_1(3:6, 10,.3)) [1] > (geotronkcum <- cumsum(geotronka3_1(0:10, 10,.3))) plot(0:10, geotronkcum, pch = 21, bg = "red", main = "Probabilités cumulées") Espérance numérique > (somxipi <- sum(0:10 * geotronka3_1(0:10, 10,.3))) [1] Variance numérique > somxi2pi <- sum((0:10)^2 * geotronka3_1(0:10, 10,.3)) > (vargeotronk <- somxi2pi - somxipi^2) [1]

31 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ SUPERPOSER LES GRAPHIQUES DE LA DISTRIBUTION SIMULÉE ET DE LA DISTRIBUTION GÉOMÉTRIQUE TRONQUÉE : ALGORITHME A3_2 1/3 Comment gérer le fait que toutes les valeurs de la variable ne sont pas forcément atteintes. roulette <- 1:18 ; seriek <- NULL ; n <- 10 ; nbsim <- 30 tablo <- rep(0, n + 1) ; names(tablo) <- 0:n for(i in 1:nbsim){ x <- sample(roulette, n, replace = TRUE) if(sum(x == 9)!= 0){k <- min(which(x == 9)) else {k <- 0 seriek <- c(seriek, k) tableeffk <- table(seriek) tablo[as.numeric(names(tableeffk)) + 1] <- tableeffk tableeffk tablo > tableeffk seriek > tablo

32 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ SUPERPOSER LES GRAPHIQUES DE LA DISTRIBUTION SIMULÉE ET DE LA DISTRIBUTION GÉOMÉTRIQUE TRONQUÉE : ALGORITHME A3_2 2/3 Comment gérer le fait que toutes les valeurs de la variable ne sont pas forcément atteintes. SuperpSimulProbaA3_2 <- function(n = 20, p = 1 / 5, nbsim = 2000){ TabloFreqR <- rep(0, n + 1) ; names(tablofreqr) <- 0:n setwd("e:/hubw/irem/animstages/angerssept2012") source("rangpremiersucces.r") ; source("geotronka3_1.r") tablefreqr <- rangpremiersucces(n, p, nbsim) TabloProbaR <- geotronka3_1(0:n, n, p) TabloFreqR[as.numeric(names(tableFreqR)) + 1] <- tablefreqr # Affichage des résultats et des graphiques barplot(tablofreqr, xlab = "valeurs de la variable R", ylab = "Fréquences simulées ou Probabilités", main = paste("distribution simulée(barres), probabilité (points)", "\nobtenue avec", nbsim, "simulations"), ylim = c(0, max(tabloprobar))) points(barplot(0:n, plot = FALSE), TabloProbaR, pch = 21, col = "red", bg = "red") surpepositionsimulproba(nbsim = 100) surpepositionsimulproba(nbsim = 20000) L'apport de R?

33 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ SUPERPOSER LES GRAPHIQUES DE LA DISTRIBUTION SIMULÉE ET DE LA DISTRIBUTION GÉOMÉTRIQUE TRONQUÉE : ALGORITHME A3_2 3/3 Comment gérer le fait que toutes les valeurs de la variable ne sont pas forcément atteintes. L'apport de R?

34 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ SIMULER UN INTERVALLE DE FLUCTUATION D'UNE VARIABLE FRÉQUENCE X/n : ALGORITHME A5 La simulation de l'expérience des n épreuves est faite par la fonction 1/2 SimulXSucces()définie à l'intérieur de la fonction principale. IF_SimulA5 <- function(n = 20, p =.7, pif =.95, nbsim = 2000){ SerieSimulX <- NULL # Définition de la fonction nombre de succès lors de n épreuves indep. SimulXSucces <- function(n, p){ x <- sum(sample(c(0, 1), n, prob = c(1 - p, p), replace = TRUE)) return(x) # Fin fonction for(i in 1:nbsim){ x <- SimulXSucces(n, p) SerieSimulX <- c(seriesimulx, x) quantseriex <- quantile(seriesimulx, probs = c((1 - pif) / 2, (1 + pif) / 2)) tablfreqx <- table(seriesimulx) / nbsim tablfreqcumx <- cumsum(tablfreqx) propif_sim <- sum(seriesimulx >= quantseriex[1] & SerieSimulX <= quantseriex[2]) / nbsim #**** Affichage des résultats et des graphiques*********** cat("distribution simulée cumulée de la variable X\n") ; print(tablfreqcumx) cat("\nquantiles série X\n") ; print(quantseriex) cat("\nquantiles série X / n\n") ; print(quantseriex / n) cat("\npourcentage de valeurs de la série comprises dans l'if :", propif_sim, "\n\n") barplot(tablfreqcumx, xlab = "Valeurs de la variable X", ylab = "Fréquences simulées cumulées", main = "Intervalle de fluctuation simulé de X") abline(h = c((1 - pif) / 2, (1 + pif) / 2), col = "red")

35 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ SIMULER UN INTERVALLE DE FLUCTUATION D'UNE VARIABLE FRÉQUENCE X/n : ALGORITHME A5 La fonction quantile() offre 9 façons différentes de les calculer (paramètre "type"), toutes détaillées, bibliographie à l'appui, dans la documentation en ligne(help(quantile)). Le type par défaut est le 7, utilisé par les tableurs classiques, SAS utilise le type 3, Minitab et SPSS le type 6, et GeoGebra4 utilise le type 1 (!) Hyndman, R. J. and Fan, Y. (1996) Sample quantiles in statistical packages, American Statistician, 50, > IF_SimulA5() Fréquences* simulées cumulées de la variable X Quantiles série X 2.5% 97.5% Quantiles série X / n 2.5% 97.5% Pourcentage de valeurs de la série comprises dans l'if : L'apport de R? 2/2

36 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ CALCUL D'UN INTERVALLE DE FLUCTUATION D'UNE VARIABLE BINOMIALE X ET DE LA VARIABLE FRÉQUENCE CORRESPONDANTE X/n ALGORITHME A5_1 1/2 Un des modes de calcul faisant office de définition - du document ressource de première S L'IF [a ; b], de probabilité 1 e (pif dans la fonction), de la variable X est tel que : a est le plus petit entier tel que P(X a) > e / 2 ; b est le plus petit entier tel que P(X b) 1 e / 2 Pas de boucle tant que, mise en œuvre directe de la définition de 1ère IF_BinoCalculA5_1 <- function(n = 20, p =.7, pif =.95){ repartx <- pbinom(0:n, n, p) rang_a <- min(which(repartx > (1 - pif) / 2)) a <- rang_a - 1 rang_b <- min(which(repartx >= (1 + pif) / 2)) b <- rang_b - 1 #**** Affichage des résultats et des graphiques*********** if(a!= 0) {cat("p(x <=", a - 1, ")=", repartx[rang_a - 1], "\n") cat("p(x <=", a, ")=", repartx[rang_a], "\n\n") else {cat("p(x <=", a, ")=", repartx[rang_a], "\n\n") cat("p(x <=", b - 1, ")=", repartx[rang_b - 1], "\n") cat("p(x <=", b, ")=", repartx[rang_b], "\n\n") cat("avec une probabilité d'au moins", pif, "\n") cat("l'intervalle de fluctuation de X est :[", a,";", b, "]\n") cat("l'intervalle de fluctuation de X/n est :[", a / n,";", b / n, "]\n") cat("sa probabilité est de", sum(dbinom((a:b), n, p)), "\n\n") plot(0:n, repartx, pch = 21, col = "red", bg = "red", cex =.5, xlab = "Valeurs de la variable X", ylab = "Probabilités cumulées", main = "Intervalle de fluctuation binomial de X") abline(h = c((1 - pif) / 2, (1 + pif) / 2), col = "red")

37 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ CALCUL D'UN INTERVALLE DE FLUCTUATION D'UNE VARIABLE BINOMIALE X ET DE LA VARIABLE FRÉQUENCE CORRESPONDANTE X/n ALGORITHME A5_1 2/2 Affiche les principaux éléments du calcul et l'if de X et de X/n plus le graphique > IF_BinoCalculA5_1() P(X <= 9 )= P(X <= 10 )= P(X <= 17 )= P(X <= 18 )= Avec une probabilité d'au moins 0.95 L'intervalle de fluctuation de X est :[ 10 ; 18 ] L'intervalle de fluctuation de X/n est :[ 0.5 ; 0.9 ] Sa probabilité est de L'apport de R?

38 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ EXPLORATION D'UN INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE D'UNE VARIABLE BINOMIALE : ALGORITHME A5_3bis 1/2 Probabilité binomiale de l'if asymptotique de seconde p±1/racine(n) Cette probabilité est représentée en fonction de la taille n de l'échantillon. pifasya5_3bis <- function(n = 1000, p =.5, proba =.95){ P <- function(n, p, proba){ binf <- max(floor(n * p - sqrt(n)), 0) bsup <- min(floor(n * p + sqrt(n)), n) sum(dbinom((binf + 1):bsup, n, p)) y <- NULL for(i in 1:n) y[i] <- P(i, p, proba) #*****Affichage des graphiques*************** plot(0:n, y, cex =.5, ylim = c(.9, 1), xlab = "Taille n de l'échantillon", ylab = "Probabilité binomiale d'être dans l'if asymptotique", main = "paste("exploration de l'intervalle de fluctuation :", "influence de n avec ppop =", p))) abline(h = proba, col = "red")

39 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ EXPLORATION D'UN INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE D'UNE VARIABLE BINOMIALE : ALGORITHME A5_3bis 2/2 Probabilité binomiale de l'if asymptotique de seconde p±1/racine(n)

40 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ EXPLORATION D'UN INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE D'UNE VARIABLE BINOMIALE : ALGORITHME A5_3 1/2 Probabilité binomiale de l'if asymptotique de terminale p±1,96*racine(p(1-p)/n) Cette probabilité est représentée en fonction de la taille n de l'échantillon. pifasya5_3 <- function(n = 200, p =.5, proba =.95){ P <- function(n, p, proba){ g <- qnorm(1 - (1 - proba) / 2) binf <- max(floor(n * p - g * sqrt(p * (1 - p) * n)), 0) bsup <- min(floor(n * p + g * sqrt(p * (1 - p) * n)), n) sum(dbinom((binf + 1):bsup, n, p)) y <- NULL for(i in 0:n) y[i + 1] <- P(i, p, proba) #***************Affichage des graphiques****************** plot(0:n, y, cex =.4, ylim = c(.9, 1), xlab = "Taille n de l'échantillon", ylab = "Probabilité binomiale d'être dans l'if asymptotique", main = "Exploration de l'intervalle de fluctuation : influence de n") abline(h = proba, col = "red")

41 II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ EXPLORATION D'UN INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE D'UNE VARIABLE BINOMIALE : ALGORITHME A5_3 2/2 Probabilité binomiale de l'if asymptotique de terminale p±1,96*racine(p(1-p)/n) pifasya5_3(n = 200, p =.5) L'apport de R? pifasya5_3(n = 2000, p =.5)

42 III-UN OUTIL DU RÉSOLUTION DE PROBLÈME III-LA SIMULATION UN OUTIL DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

43 III-UN OUTIL DU RÉSOLUTION DE PROBLÈME III-LA SIMULATION UN OUTIL DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES SIMULER LE PROBLÈME DES ANNIVERSAIRES SIMULER LE PROBLÈME DU CHEVALIER DE MÉRÉ SIMULER LA MARCHE ALÉATOIRE DE LA PUCE SIMULATIONS DE QUELQUES MARCHES ALÉATOIRE À TEMPS D'ARRET SIMULER LE PÉTRAIN DU PATISSIER ET SES PAINS AUX RAISINS RÉSOLUTION* SIMULÉE DE QUELQUES EXERCICES D'ANNALE DE BAC S SIMULER LE PROBLÈME DES CHAINES DE LONGUEUR 6 SIMULER LE PROBLÈME DES CHAPEAUX DE MONTMORT (permutations sans point fixe) SIMULER LE PROBLÈME DES COLLECTIONS D'IMAGES SIMULER LE PROBLÈME DU DÉPOUILLEMENT D'UNE ÉLECTION SIMULER LES URNES DE POLYA (évolution et distribution) SIMULER LES URNES D'EHRENFEST (évolution et distribution) SIMULER LE JEU DE 5 DÉS DE JEANNE PETITE FILLE DE MICHEL SIMULER LE JEU DU FRANC-CARREAU SIMULER LE JEU DE L'AIGUILLE DE BUFFON SIMULER UNE GRANDEUR CALCULÉE À PARTIR DE GRANDEURS MESURÉE

44 III-UN OUTIL DU RÉSOLUTION DE PROBLÈME SIMULATION DU PROBLÈME DES ANNIVERSAIRES : ALGORITHME B1_1 Il s'agit de calculer la probabilité que, dans une assemblée de m personnes, il y en ait au moins deux qui aient la même date anniversaire. Préciser le modèle, utilisation de la fonction unique(). simanivb1_1 <- function(m = 10, nbsim = 1000){ annee <- 1:365 tousdiff <- 0 for(j in 1:nbsim){ resultexpe <- sample(annee, m, replace = T) if(length(resultexpe) == length(unique(resultexpe))) tousdiff <- tousdiff + 1 aumoinsdeux <- (1 - tousdiff / nbsim) # Affichage des résultats et des graphiques cat("une estimation de la probabilité qu'au moins deux personnes\n", "aient le même jour anniversaire dans une assemblée de", m, "personnes\nvaut :", aumoinsdeux, "\n\n") > simanivb1_1() Une estimation de la probabilité qu'au moins deux personnes aient le même jour anniversaire dans une assemblée de 10 personnes vaut : > simanivb1_1(n = 50) Une estimation de la probabilité qu'au moins deux personnes aient le même jour anniversaire dans une assemblée de 50 personnes vaut : 0.974

45 III-UN OUTIL DU RÉSOLUTION DE PROBLÈME SIMULER LA MARCHE ALÉATOIRE DE LA PUCE : ALGORITHME B3 En partant de l'origine, la puce se déplace sur un axe gradué, aléatoirement vers la gauche ou vers la droite, d'une unité avec les proba 0,5 et 0,5, (p, 1-p). Simuler le point d'arrivée de "marches" de 30 sauts. marcheb3 <- function(nbsim = 100, nbsaut = 30, p =.5){ seriearrivees <- NULL ; choix <- c("droite", "gauche") for(i in 1:Nbsim){ x <- 0 for(j in 1:nbSaut){ sens <- sample(choix, 1, prob = c(p, 1 - p)) if(sens == "gauche") {x <- x - 1 else {x <- x + 1 seriearrivees <- c(seriearrivees, x) posimoy <- mean(seriearrivees) distfreqposi <- table(seriearrivees) / Nbsim # Affichage des résultats et des graphiques print(posimoy) par(mfrow = c(1, 2)) barplot(distfreqposi, horiz = T, ylab = "Position d'arrivée", xlab = "Fréquences simulées") plot(1:nbsim, seriearrivees, type = "l", xlab = "Répétitions") abline(h = posimoy, col = "green") > marchea(nbsaut = 30, p =.5, Nbsim = 100) [1] 0.2

46 III-UN OUTIL DU RÉSOLUTION DE PROBLÈME SIMULER LA MARCHE ALÉATOIRE DE LA PUCE : ALGORITHME B3 En partant de l'origine, la puce se déplace sur un axe gradué, aléatoirement vers la gauche ou vers la droite, d'une unité avec les proba 0,5 et 0,5, (p, 1-p). Simuler le point d'arrivée de "marches" de 30 sauts. > marchea(nbsaut = 30, p =.5, Nbsim = 100) [1] 0.2

47 III-UN OUTIL DU RÉSOLUTION DE PROBLÈME RÉSOLUTION* DE PROBLÈMES DE BAC S PAR SIMULATION EXEMPLE 1 : 2012-S-Mars-Nouvelle Calédonie-Exercice 2 : un dé et deux urnes ALGORITHME C1 1/3

48 III-UN OUTIL DU RÉSOLUTION DE PROBLÈME RÉSOLUTION* DE PROBLÈMES DE BAC S PAR SIMULATION EXEMPLE 1 : ALGORITHME C1 NelleCaled2012C1 <- function(nbsim = 2000, nbpartie = 10, probaseuil = 1 / 10){ decub <-1:6 urne1 <- rep(c("brouge", "bnoire"), c(3, 1)) urne2 <- rep(c("brouge", "bnoire"), c(3, 2)) seriegagne <- NULL for(i in 1:nbsim){ NbGagne <- 0 for(k in 1:nbpartie){ resultde <- sample(decub, 1) if(resultde == 1) { resulturne <- sample(urne1, 1) else { resulturne <- sample(urne2, 1) if(resulturne == "bnoire") {NbGagne <- NbGagne + 1 seriegagne[i] <- NbGagne moyennegagne <- mean(seriegagne / nbpartie) tabfreq <- table(seriegagne) / nbsim tabfreqcum <- cumsum(tabfreq) tabfreqcumdec <- 1 - tabfreqcum + tabfreq N <- min(as.numeric(names(which(tabfreqcumdec < probaseuil)))) cat("\nestimation de la probabilité de tirer une boule noire :\n", moyennegagne, "\n") cat("\nfréquences cumulées décroissantes estimées de la variable X\n") print(tabfreqcumdec) cat("\nplus petite valeur N de X telle que P(X>=N)<", probaseuil, "=", N, "\n") barplot(tabfreqcumdec, xlab = "Nombre de parties gagnées", ylab = "Fréquences simulées décroissantes", main = "Diagramme en barres") abline(h = probaseuil, col = "red") 2/3

49 III-UN OUTIL DU RÉSOLUTION DE PROBLÈME RÉSOLUTION* DE PROBLÈMES DE BAC S PAR SIMULATION EXEMPLE 1 : ALGORITHME C1 NelleCaled2012C1() Estimation de la probabilité de tirer une boule noire : Fréquences* simulées cumulées décroissantes de la variable X seriegagne Plus petite valeur N de X telle que P(X>=N)< 0.1 = 7 3/3

50 III-UN OUTIL DU RÉSOLUTION DE PROBLÈME RÉSOLUTION* DE PROBLÈMES DE BAC S PAR SIMULATION EXEMPLE 3 # 2010-S-NovembreNouvelle-Calédonie Exercice 3 : urne boules, tirages # avec et sans remise ALGORITHMES C3 1/4

51 III-UN OUTIL DU RÉSOLUTION DE PROBLÈME RÉSOLUTION* DE PROBLÈMES DE BAC S PAR SIMULATION EXEMPLE 3 : ALGORITHME C3_1 2/4 3_1 : L'expérience consiste à tirer deux boules simultanément simurnsansc3_1 = function(n = 2, nbr = 3, nbv = 2, nbsim = 2000){ urne <- rep(c("brouge", "bverte"), c(nbr, nbv)) ; SerieXSim <- NULL TabloFreqX <- rep(0, n+1) ; names(tablofreqx) <- 0:n for(i in 1:nbsim){ ResultExpe <- sample(urne, n, replace = FALSE) x <- sum(resultexpe == "bverte") SerieXSim[i] <- x tablefreqx <- table(seriexsim) / nbsim TabloFreqX[as.numeric(names(tableFreqX)) + 1] <- tablefreqx #***********Affichage des résultats et des graphiques************ cat("distribution* simulée de X nombre de vertes\n") ; print(tablofreqx) cat("\nestimation de la probabilité de 0 verte =", TabloFreqX[1], "\n\n") cat("moyenne de la distribution simulée du nombre X de vertes =", mean(seriexsim), "\n\n") cat("estimation de la probabilité de 2 boules de la même couleur =", TabloFreqX[1] + TabloFreqX[3], "\n\n") barplot(tablofreqx, xlab = "Nombre de vertes", ylab = "Fréquences* simulées", main = "Distribution* simulée de X") > simurnsansc3_1() Distribution* simulée de X nombre de vertes Estimation de la probabilité de 0 verte = Moyenne de la distribution simulée du nombre X de vertes = Estimation de la probabilité de 2 boules de la même couleur =

52 III-UN OUTIL DU RÉSOLUTION DE PROBLÈME RÉSOLUTION* DE PROBLÈMES DE BAC S PAR SIMULATION EXEMPLE 3 : ALGORITHME C3_2 3_2 : L'expérience consiste à tirer deux boules successivement, avec remise de le première si elle est verte, sans remise sinon simavecsansc3_2 = function(n = 2, nbr = 3, nbv = 2, nbsim = 2000){ urne1 <- rep(c("brouge", "bverte"), c(nbr, nbv)) urne2 <- rep(c("brouge", "bverte"), c(nbr, nbv - 1)) TabloEffM <- rep(0,4) ; names(tabloeffm) <- c("vv", "VR", "RV", "RR") for(i in 1:nbsim){ T1 <- sample(urne1, 1) if(t1 == "brouge"){t2 <- sample(urne1, 1) else { T2 <- sample(urne2, 1) if(t1 == "bverte" & T2 == "bverte") TabloEffM[1] <- TabloEffM[1]+1 if(t1 == "bverte" & T2 == "brouge") TabloEffM[2] <- TabloEffM[2]+1 if(t1 == "brouge" & T2 == "bverte") TabloEffM[3] <- TabloEffM[3]+1 if(t1 == "brouge" & T2 == "brouge") TabloEffM[4] <- TabloEffM[4]+1 TabloFreqM <- TabloEffM / nbsim # Affichage des résultats et des graphiques cat ("Tableau des fréquences simulées des modalités de la variable M\n") print (TabloFreqM) cat("\nestimation de la probabilité de seule la première est verte\n=", TabloFreqM[2], "\n\n") cat("estimation de la probabilité de une seule verte\n=", TabloFreqM[2] + TabloFreqM[3], "\n\n") cat("estimation de la probabilité que, sachant qu'une seule verte a", "été tirée,\nce soit la première =", TabloFreqM[2] / (TabloFreqM[2] + TabloFreqM[3]), "\n\n") barplot(tablofreqm, xlab = "COUPLES TIRÉS", ylab = "Fréquences simulées", main = "Distribution* simulée de M") 3/4

53 III-UN OUTIL DU RÉSOLUTION DE PROBLÈME RÉSOLUTION* DE PROBLÈMES DE BAC S PAR SIMULATION EXEMPLE 3 : ALGORITHME C3_2 3_2 : L'expérience consiste à tirer deux boules successivement, avec remise de le première si elle est verte, sans remise sinon > simavecsansc3_2() Tableau des fréquences simulées des modalités de la variable M VV VR RV RR Estimation = Estimation = Estimation été tirée, de la probabilité de seule la première est verte de la probabilité de une seule verte de la probabilité que, sachant qu'une seule verte a ce soit la première = /4

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