TD n 8 - Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé

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1 TD n 8 - Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé Exercice 1 : Étude d'un circuit L série en régime sinusoïdal forcé Une bobine d'inductance L est associée à une résistance connue, de manière à constituer un circuit L. Le générateur délivre une tension e(t) sinusoïdale de pulsation ω. On relève simultanément sur un oscilloscope les signaux e(t) et u(t), ce dernier étant prélevé aux bornes de la résistance. 1 En supposant que la bobine se comporte de manière idéale, établir une équation diérentielle liant e(t) et u(t). En déduire une relation entre les amplitudes complexes E et U, en fonction de L, et ω. 2 etrouver directement cette relation en utilisant la loi du diviseur de tension. 3 Par quelle opération sur les nombres complexes déduit-on du rapport U (appelé fonction de transfert), E le rapport des amplitudes Um et le déphasage E m φ entre les signaux u(t) et e(t)? 4 Préciser les expressions obtenues dans le cas du circuit L, lorsque la bobine est idéale. On suppose la pulsation ω connue. La fréquence imposée par le générateur est f = 10 khz et la résistance est égale à 470 Ω. Les signaux obtenus sur l'écran de l'oscilloscope sont représentés sur la gure ci-dessous. On précise que les calibres verticaux sont les mêmes pour les deux voies. 5 En examinant quel signal est en retard sur l'autre, attribuer les courbes C α et C β au signal u et e qui lui correspond. 6 En utilisant les graduations présentes sur l'axe des temps, déterminer la valeur du déphasage. La connaissance de l'échelle temporelle n'est pas nécessaire. 7 Dans le modèle de la bobine idéale, quelle relation entre L, et ω déduit-on de la mesure du déphase? 8 L'examen des amplitudes est-il conforme à ce modèle? 9 eprendre alors les déductions dans le modèle de la bobine réelle, présentée au chapitre 6, et en déduire les valeurs de L et de sa résistance interne r.

2 1) du(t) + dt L u(t) = L e(t), U = 1 1, avecτ = L ; 2) U = Um ; 3) E 1+jτω E +jlω E m = U ; E 4) Um E m =, φ = arctan ( ) Lω 2 +(Lω) 2 ; 6) φ = π ; 7) = Lω ; 9) r 150 Ω et 4 L 10 mh. Exercice 2 : Modélisation d'une bobine Le modèle d'une bobine, dans une bande étroite de fréquences basses, peut-être représenté : soit sous forme série ( S, L S ), comme sur la gure de gauche, soit sous forme parallèle ( P, L P ), comme sur la gure de droite. S L S P L P 1 Déterminer les expressions de l'impédance complexe et de l'admittance complexe de chaque modèle du dipôle inductif, en fonction de la pulsation ω du régime sinusoïdal. 2 En déduire les relations de passage d'un modèle à l'autre, en fonction du facteur de qualité. Dénition : Le facteur de qualité d'un dipôle passif, caractérisé par son impédance complexe Z = + jx ou son admittance complexe Y = G + jb, est le rapport : Q = X B ou G. Que deviennent ces relations si Q 1?. 1) Z S = S + jl S ω, Y P = 1 P j 1 L P ω ; 2) P = S (1 + Q 2 ), L P = L S ( Q 2 ) Exercice 3 : éseau déphaseur On alimente un réseau constitué de deux résistors, de résistance réglables mais égales, de deux condensateurs idéaux de capacité C, par un générateur sinusoïdal, d'impédance réelle interne négligeable et de f.e.m. e(t) = E 2 cos ωt. On note ϕ le déphasage de la tension u(t), prélevée entre les bornes P et Q, par rapport à la f.e.m. e(t). C e(t) P u Q C 2/10 November 23, 2017

3 1 Déterminer, en régime sinusoïdal forcé, l'expression de la tension u(t). 2 Exprimer ϕ et préciser comment il varie quand on fait varier de 0 à l'inni. 1) U = 1 jcω E; 2) ϕ = 2Arctan (Cω). 1 + jcω Exercice 4 : Filtre de Colpitts 1 Exprimer la tension U 2 en fonction de la tension U 1. K 1) H = ) 1+jQ( ω avec K = Ceq ω ω 0 C 2, C eq = C 1C 2 C 1 +C 2, Q = C eq ω 0 et ω 0 = 1 LCeq 0 ω Exercice 5 : Vibrations d'un moteur Un balourd provoque des vibrations du châssis lors du fonctionnement d'un moteur. Il est nécessaire de prévoir un système de suspension, pour amortir et éviter que ne se propagent ces vibrations. Le moteur est assimilé à un point matériel M, de masse m. La suspension peut être modélisée par un ressort vertical, de longueur à vide l 0 et de raideur k, placé en parallèle avec un amortisseur qui exerce sur le moteur une force de freinage verticale f = α dz dt u z. 1 Le moteur ne fonctionne pas et est immobile. Déterminer la longueur l eq du ressort. La position du moteur dans ce cas est prise comme origine de l'axe Oz. 2 Le moteur étant toujours arrêté, on écarte le moteur de sa position d'équilibre puis on le laisse évoluer librement. 2.1 Établir l'équation diérentielle vériée par z(t). 2.2 On pose λ = α 2m le coecient de frottement, ω 0 = k m la pulsation propre, et on suppose λ < ω 0. Donner la forme générale de la solution z(t) en fonction des paramètres λ et ω 0. Comment appelle-t-on ce type de régime? Déterminer les constantes d'intégration sachant que z(0) = z 0 et dz (0) = 0. dt 3/10 November 23, 2017

4 2.3 Écrire l'énergie mécanique E m du système en fonction de z et dz dt. Le système est-il conservatif? Que vaut de m dt? etrouver ainsi l'équation du mouvement obtenu en Le moteur fonctionne désormais. Tout se passe alors comme s'il apparaissait une force supplémentaire de la forme F = F 0 cos(ωt) u z. 3.1 Donner la nouvelle équation diérentielle vériée par z(t). 3.2 En régime sinusoïdal établi, on recherche des solutions de la forme z(t) = Z 0 cos(ωt + ϕ) et v(t) = dz dt = V 0 cos(ωt + ψ). Donner l'équation vériée par la grandeur complexe V = V 0 e jψ. 3.3 Exprimer V 0 en fonction de ω et des paramètres λ, ω 0 et F 0 m. Étudier les variations de V 0 en fonction de ω et montrer qu'il y a résonance pour une pulsation qu'on déterminera. Tracer l'allure de V 0 (ω). 3.4 La pulsation ω vaut 628 rad s 1. Le moteur a une masse m = 10 kg. On dispose de deux ressorts, l'un de raideur k 1 = N m 1 et l'autre de raideur k 2 = N m 1. Lequel faut-il choisir pour réaliser pour réaliser la suspension? ( 1) l eq = l 0 mg ; 2.1) z + α k mż + k z = 0 ; 2.2) z = z m 0 cos(ωt) + 1 Ω = ω 2 0 λ 2 et τ P = 1 λ ; 2.3) E m = 1 2 mż kz2, de m dt F 0 cos(ωt) ; 3.2) jωv + 2λV + ω2 0 V = F 0 ; 3.3) V 1 m jω m 0 = V (ω r ) = F 0 α ; 3.4) k 2. τ P Ω sin(ωt) ) exp ( t τ P ), = αż 2 ; 3.1) z + α mż + k m z = α, 1+ ω2 0 4λ 2 ( w ω 0 ω 0 ω ) 2 F0 ω r = ω 0 et Exercice 6, ésolution de problème : Le mal des transports Pour des fréquences inférieures à 0, 5 Hz, les organes internes du corps entrent en résonance (en particulier l'estomac) et le mal des transports apparaît. 1 Sera-t-on malade dans cette voiture? On déterminera pour cela la fréquence de résonance de cette voiture. On donne deux photos d'une roue avec et sans cric : 4/10 November 23, 2017

5 1) f r 1, 6 Hz. Exercice 7, ésolution de problème : Détermination de la viscosité d'une huile de silicone On possède, au laboratoire, 2 bouteilles d'huile de silicone, de viscosité dynamique η respective de 500 mpa s et 1000 mpa s. Les étiquettes ont malheureusement été perdues. Pour identier les bouteilles, on réalise l'expérience suivante dans une d'elle. Un sphère de rayon r = 1, 5 cm et de masse m = 200 g est suspendue à un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0 = 10 cm. Déplacée dans l'huile de coecient de viscosité η, la sphère est soumise à une force de frottement donnée par la formule de Stokes f = 6πηr v, où v est la vitesse de sphère. La sphère est soumise de plus à une force excitatrice sinusoïdale F = F m cos(2πft) u z. On fait varier la fréquence f d'excitation et on enregistre l'amplitude de la vitesse ainsi que son déphasage par rapport à la force excitatrice. Les résultats sont présentés ci-dessous. 5/10 November 23, 2017

6 1 Déduire des courbes ci-dessus la viscosité de la bouteille dans laquelle a été réalisée l'expérience. 1) η = 1000 mpa s. 6/10 November 23, 2017

7 Pour s'entraîner seul(e) - 8. Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé Questions de cours 1 Pour un signal sinusoïdal, dénir les termes (et donner les relations entre eux si elles existent) : amplitude, phase instantanée, phase à l'origine, pulsation, fréquence, période, valeur ecace. 2 Déterminer la valeur moyenne de la valeur absolue d'un signal sinusoïdal, de la partie positive d'un signal sinusoïdal, d'un signal sinusoïdal au carré. 3 Déterminer la valeur ecace d'un signal créneau, d'un signal sinusoïdal, d'un signal triangle, de la valeur absolue d'un signal sinusoïdal, de la partie positive d'un signal sinusoïdal. 4 Dénir le signal complexe associé à un signal réel s(t) = S m cos(ωt + ϕ). Comment retrouve-t-on le signal réel? 5 Dénir son amplitude complexe. Quelles informations contient-elle? Comment les retrouve-t-on? 6 Donner la forme canonique d'une équation diérentielle linéaire du second ordre, avec pour second membre, une fonction sinusoïdale de phase à l'origine nulle. Déterminer, à l'aide de la notation complexe, sa solution particulière. 7 Dénir les impédances réelle et complexe d'un dipôle. Que valent-elles pour un résistor? une bobine idéale? un condensateur idéal? Mêmes questions avec les admittances. 8 Donner et démontrer l'expression de l'impédance complexe du dipôle équivalent d'une association en série de deux dipôles ; d'une association en parallèle de deux dipôles. 9 Énoncer la loi des noeuds en terme de potentiels. cf. cours. Exercice 9 : Étude d'un signal sinusoïdal de moyenne non nulle Un signal électrique, issu d'un capteur, s'exprime sous la forme s(t) = S 0 + S m cos(ωt), où ω = 6, rads 1. A. Caractéristique du signal 1 Le signal est-il périodique? Si la réponse est armative, préciser sa période et sa fréquence. 2 eprésenter son graphe sur quelques périodes, pour S 0 = 2, 0 V et S m = 1, 0 V. 3 Calculer sa valeur moyenne. Quel type d'appareil électrique permet de la mesurer? 4 On utilise un voltmètre alternatif, qui eectue une mesure MS. Quel résultat obtient-on? B. Oscillogrammes

8 5 Compte tenu des valeurs examinées précédemment, peut-on utiliser un oscilloscope pour visualiser l'oscillogramme de ce signal? 6 À l'entrée de l'oscilloscope, il est possible d'utiliser un couplage direct DC ou alternatif AC. On précise que le choix de ce dernier a pour eet de supprimer la valeur moyenne du signal. Quels oscillogrammes observe-t-on dans les deux cas? 7 Dénir l'amplitude crête-à-crête. 1) T = 0, 1 ms, f = 10 4 Hz ; 3) < s >= 2, 0 V ; 4) S e = 2, 1 V ; 7) S cc = 2, 0 V. Exercice 10 : Impédances complexes et réelles d'une bobine idéale et d'une bobine réelle 1 Pour une bobine idéale d'inductance L, rappeler l'équation diérentielle liant l'intensité i(t) la traversant à la tension u(t) à ses bornes. 2 En déduire une relation de proportionnalité entre les amplitudes complexe I et U, permettant de dénir l'impédance complexe Z L de la bobine idéale. 3 On modélise une bobine réelle de résistance interne r par l'association série d'une bobine idéale d'inductance L et d'un résistor de résistance r. eprendre les questions 1 et 2 pour ce nouveau dipôle. 1) u(t) = L di(t) dt ; 2) Z L = jlω ; 3) u(t) = ri(t) + L di(t) dt, Z = r + jlω. Exercice 11 : Notation complexe et signaux d'entrée/sortie On étudie le circuit de la gure 2: 1 Déterminer l'équation diérentielle reliant e(t) et s(t). 3 Tracer s(t) dans le cas où on travaille en basse ou haute fréquence. 2 La tension d'entrée est e(t) = E m cos(ωt). En utilisant la notation complexe, déterminer s en fonction de e. En déduire l'amplitude et le déphasage de s(t) par rapport à e(t). e(t) C s(t) 1) ds(t) + 2 dt C s(t) = 1 C e(t); 2) S = E 2 + jcω, S = E C 2 ω, 2 ϕ = ArctanCω 2. Exercice 12 : ésonance en tension 8/10 November 23, 2017

9 e C L s(t) On considère le circuit LC représenté cicontre, composé d'un résistor, de résistance, d'une bobine idéale d'inductance L, d'un condensateur idéal, de capacité C, alimenté par une source idéale de tension, de f.e.m. e sinusoïdale, de pulsation ω. 1 Donner l'expression complexe de s. 2 Établir qu'il existe un phénomène de résonance pour la tension s. Préciser la pulsation à laquelle ce phénomène se produit et calculer la valeur de l'amplitude de la tension s à cette pulsation. 3 Déterminer la bande passante correspondante. 4 En déduire l'expression du facteur de qualité. 5 Que peut-on dire du déphasage à la résonance de la tension s? 6 Comparer cette résonance avec la résonance en intensité d'un circuit LC série. 1) S = 4) Q = 1 2 x ; 1 [ ( 1 + j Cω 1 Lω )]E; 2) ω r = ω 0 avec ω 0 = 1, S(ω r ) = E 1 ; 3) x = LC 2Q ; 5) Arg(S) = Arctan [ ( Q x 1 )]. x Exercice 13 : Analogie entre résonance de vitesse et d'intensité On considère l'oscillateur mécanique de la gure ci-dessous, excité par une force variant sinusoïdalement dans le temps F e = F cos(ωt) u x 1 appeler l'équation diérentielle régissant l'évolution de x = l l 0, allongement du ressort, dans le cas où des frottements visqueux sont présents. On fera intervenir le coecient de qualité Q et la pulsation propre ω 0. On posera A = F mω0 2, où m est la masse du point matériel mobile M. 2 En déduire l'expression, en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω, de l'amplitude V de la vitesse. 3 Existe-t-il une résonance de vitesse, c'est-à-dire un maximum de V lorsque la pulsation ω varie? Quelles propriétés analogues obtient-on dans le cas du comportement d'un circuit LC? V 4 Tracer l'allure du graphe donnant ω 0 A en fonction de u = ω, pour ω 0 Q = 1 et Q = 3. Faire apparaître sur les graphes l'intervalle u correspondant à une amplitude supérieure à la valeur maximale divisée par 2. Commenter qualitativement. 9/10 November 23, 2017

10 1) ẍ + ω 0 Q ẋ + ω2 0x = ω 2 0A cos(ωt) ; 2) V = ωω 2 0 A (ω 2 0 ω2 )+( ωω 0 Q ) 2. 10/10 November 23, 2017