DM17 Révisions électrocinétique / mécanique

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1 DM17 Révisions électrocinétique / mécanique I Véhicule sur une route ondulée [ENSTIM 2006] Le véhicule étudié est modélisé par un parallélépipède rectangle, de centre de gravité G et de masse M, reposant sur une roue par l intermédiaire de la suspension dont l axe OG reste toujours vertical. L ensemble est animé d une vitesse horizontale v = v e x. La suspension est modélisée par un ressort de constante de raideur k = 1, N.m 1 (de longueur à vide l 0 ) et un amortisseur fluide de constante d amortissement h = 4, u.s.i. La masse de l ensemble est M = 1000 kg. z G z G,éq G v = v e x z G e z C e x (k,l 0 ) O h z O,éq (k,l 0 ) L O e h z O Route ondulée Niveau moyen de la route La position verticale du véhicule est repérée par z G dans le référentiel terrestre galiléen. L origine du référentiel est prise sur la ligne moyenne des déformations du sol. On note z O la cote du centre de la roue (de rayon R) par rapport au niveau moyen de la route. L amortissement entre M et la roue introduit une force de frottement fluide, exercée par l amortisseur sur M, qui s écrit : ( dzg F = h. dz ) O ez Dans les première questions la route est parfaitement horizontale (figure de gauche). La route ne présente aucune ondulation et le véhicule n a aucun mouvement vertical. 1) Déterminer la position z G,éq de G lorsque le véhicule est au repos. x Suite à une impulsion soudaine, le véhicule acquiert un mouvement d oscillations verticales. On cherche dans cette question à établir l équation différentielle caractéristique du mouvement par une méthode énergétique. Le mouvement étudié est celui de l écart par rapport à la position d équilibre : z = z G z G,éq. Les énergies potentielles seront exprimées en fonction de z et à une constante additive près. 2) Établir l expression de l énergie potentielle de pesanteur du véhicule assimilé à un point matériel de masse M placé en G. 3) Établir l expression de l énergie potentielle élastique de ce même système 4) Appliquerlethéorèmedel énergiecinétiqueàlamassem placéeengetendéduirel équation différentielle en z caractéristique du mouvement.

2 Révisions Électrocinétique / Mécanique ) Dessiner, qualitativement, les allures envisageables de la fonction z(t). (la résolution de l équation différentielle n est pas demandée). Le véhicule se déplace maintenant à vitesse horizontale constante v sur un sol ondulé (figure de droite). L ondulation est assimilée à une sinusoïde de période spatiale L et d amplitude A. z O peut alors s écrire z O = R+A.cos(ωt) = z O,éq +e(t). Le mouvement étudié est toujours l écart par rapport à la position d équilibre : z = z G z G,éq. Pour les applications numériques, on prendra L = 1 m et A = 10 cm. 6) Quelle est l unité de h? 7) Exprimer ω en fonction de v et L. Vérifier l homogénéité du résultat. 8) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la masse M dans le référentiel terrestre supposé galiléen, établir l équation différentielle en z régissant le mouvement. On recherche la solution z(t) de cette équation différentielle sous une forme sinusoïdale z(t) = Z m cos(ωt + ϕ). On pose z = Z.e jωt, réponse complexe du véhicule à l excitation sinusoïdale e(t) = z O R = A.e jwt. ω Z 9) Montrer que : 1+j A = 1 ω2 ω0 2 ω 1 +j ω 10) Calculer numériquement ω 0, ω 1 et Q. en exprimant ω 0, ω 1 et Q en fonction de k, h et M. 11) Donner l expression du module Z A en fonction de ω 0, ω 1 et Q. II Facteur de Puissance [ENAC 2002] Un générateur de tension idéal délivrant une force électromotrice sinusoïdale de valeur efficace E = 380 V et de fréquence f = 50 Hz alimente un circuit constitué par une lampe à incandescence de résistance R = 38 Ω i 3 A connectée en parallèle à un moteur M que l on peut schématiser par une bobine et un résistor associés en série e(t) R (cf. figure ci-contre). Les courants i 1, i 2, i 3 sont caractérisés par : - leurs déphasages respectifs ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 par rapport à la tension e(t) i 2 B - leurs intensités efficaces respectives I 1, I 2 et I 3 - leurs amplitudes complexes respectives I 1, I 2, I 3. Rq : on rappelle que le module z d un nombre complexe z peut s écrire : z = z.z i 1 r L 1) Comment s écrit la loi d Ohm aux bornes de la lampe à incandescence? En déduire la valeur de ϕ 2 ainsi que l expression de I 2 en fonction de E et R. 2) Comment s écrit, en notations complexes, la loi des nœuds en A? En déduire l expression de I 3 en fonction de I 1 et I 2. A) I 3 = I 2 1 +I2 2 +2I 1I 2 cosϕ 1 B) I 3 = I 1 +I 2 C) I 3 = I 1 +I 2 +2 I 1 I 2 cosϕ 1 D) I 3 = I 2 1 +I2 2 2I 1I 2 cosϕ 3 3) En déduire l expression de cosϕ 1 en fonction de I 1, I 3, E et R. On mesure I 1 = 6 A et I 3 = 15 A : quelle est la valeur numérique de cosϕ 1? 4) Calculer la puissance moyenne P M, sur une période, absorbée par le moteur. 2 Qadri J.-Ph. PTSI

3 Révisions Électrocinétique / Mécanique A) P M = 2302 W B) P M = 1691 W C) P M = 3953 W D) P M = 1943 W 5) En déduire la résistance interne r du résistor de la modélisation du moteur. 6) En déduire l inductance L de la bobine de la modélisation du moteur. 7) Calculer la puissance moyenne P g, sur une période, fournie par le générateur. A) P g = 5491 W B) P g = 2307 W C) P g = 1553 W D) P g = 755 W 8) Calculer la facteur de puissance cosϕ 3 de l installation. A) cosϕ 3 = 0,8781 B) cosϕ 3 = 0,9633 C) cosϕ 3 = 0,9880 D) cosϕ 3 = 0,9375 9) On désire modifier le facteur de puissance de l installation. Pour cela, on branche un condensateur aux bornes du moteur. On appelle i 4 = I 4 2cos(ωt+ϕ4 ) l intensité qui le parcourt. Comment s écrit la loi d Ohm généralisée (i.e. en notation complexe) aux bornes du condensateur? En déduire la valeur de ϕ 4 ainsi que l expression de I 4 en fonction de E, C et ω. 10) Calculer la valeur de sa capacité C pour que le nouveau facteur de puissance de l installation cosϕ 3 soit égal à l unité. A) C = 43,5 µf B) C = 25,1 µf C) C = 12,4 µf D) C = 33,7 µf III Filtre du premier ordre On alimente le circuit du schéma par une tension sinusoïdale u e (t) = U em cos(ωt). La tension de sortie s écrit u s = U sm cos(ωt+ϕ). 1) De quel type de filtre s agit-il? (Justifier votre réponse par des considérations simples sur le comportement asymptotique du filtre) 2) Déterminer la fonction de transfert H de ce filtre. Montrer qu elle peut se mettre sous la forme : H = H 0 Exprimer H 0 et ω 0 en fonction de R 1, et C. 1+j ω ω 0 R 1 e=u e (t) 3) Que deviennent ces deux expressions dans le cas où = R 1? C is=0 s=u s (t) Pour la suite on donne : U em = 6 V, R 1 = = 680 Ω et C = 4,7 µf. On rappelle que log2 0,3 4) Tracer le diagramme de Bode asymptotique et réel de la réponse en gain en décibels G db = f(log(x)) (où x note la pulsation réduite x = ω ω 0 ). On prendra soin auparavant : - de fournir les équations des trois courbes : courbe de réponse en gain en décibel (G db ), asymptote basses fréquences (G db (ABF)) et asymptote hautes fréquences (G db (AHF)) - de préciser la valeur du gain en décibels lorsque ω = ω 0 5) Tracer le diagramme de Bode asymptotique et réel de la réponse en phase ϕ = f(log(x)). On prendra soin auparavant : - de fournir les équations des trois courbes : courbe de réponse en phase (ϕ), asymptote basses Qadri J.-Ph. PTSI 3

4 Révisions Électrocinétique / Mécanique fréquences (ϕ(abf)) et asymptote hautes fréquences (ϕ(ahf)) - de préciser la valeur de la phase lorsque ω = ω 0 6) Quelle est la bande passante de ce filtre? AN : calculer la pulsation de coupure correspondante. 7) Sachant que la tension d entrée a une fréquence f = 10 khz et une amplitude U em = 6 V, déterminer l atténuation (gain) en décibels de ce filtre. En déduire l amplitude de la tension de sortie. 8) Si une composante continue E = 6 V est ajoutée à u e (t), quelle sera la tension de sortie s(t) associée à la nouvelle tension d entrée e(t) = u e (t)+e? Solution I Véhicule sur une route ondulée [ENSTIM 2006] 1) On étudie le véhicule, assimilé à un point matériel {G,M} dans le référentiel terrestre considéré galiléen. Il est soumis : - à son poids : M g = Mg e z - à la force de rappel du ressort : F r = k.(l l 0 ) e z = k.(z G z O l 0 ) e z - à la force de frottement fluide : F = h.(ż G z O ) e z Lorsque le véhicule est au repos, le PFD s écrit : 0 = M g k.(z G,éq z O,éq l 0 ) e z On en déduit : z G,éq = l 0 +R Mg 2 (car z O,éq = R) k 2) Pour établir l énergie potentielle de pesanteur (à une constante près), on cherche à écrire le travail élémentaire du poids sous la forme de l opposé de la différentielle de l énergie potentielle de pesanteur : δw(m g ) = M g d CG = Mg ez d(z Gez ) = dmgz G = de pg E p,g = Mgz G +Cte Donc : E p,g = Mgz +K 3 (car z G = z +z G,éq ) 3) Pour établir l énergie potentielle élastique (à une constante près), on cherche à écrire le travail élémentaire de la force de rappel du ressort sous la forme de l opposé de la différentielle de l énergie potentielle élastique : δw( F r ) = F r d CG = k.(zg z O,éq l 0 ) ( ) e z d(z 1 Gez ) = d 2 k.(z G z O,éq l 0 ) 2 = de p,él Donc : E p,él = 1 2 k.(z G z O,éq l 0 ) 2 +K soit, d après 2 : E p,él = 1 ( 2 k. z Mg ) 2 +K 4 k 4) Le ThmE k s écrit, entre t et t+ : Soit, par dérivation temporelle : de k = δw(m g )+δw( F r )+δw( F) de k = de p g et puisque δw( F) = F d CG et que ( + de pélas d ) CG R + δw( F) = v G = v e x + dz G ez, on a, d après 3 et 4 : ( ) ( d 1 2 Mż2 G = d(mgz) d ( 1 2 k. z Mg ) ) 2 h.( dz G k dz O,éq ). dz G 4 Qadri J.-Ph. PTSI

5 Révisions Électrocinétique / Mécanique Soit, avec ż = ż G (non nul puisqu il y a mouvement) : 1 2.M. 2. ż. z = Mg ż 1 2.k. 2. ż. ( z Mg k ) h. ż.ż Donc : z + h M.ż + k M.z = 0 Rq : Si l énoncé n avait pas été aussi directif, on aurait pu retrouver ce résultat par application directe du théorème de la puissance mécanique à la masse m : de m = P NC de k + de p = P ( F ) de k + de p g + de pélas = F v G 5) Cf Cours M4 et courbes déjà rencontrées en E3 6) [h] = [F] [v] = M.L.T 2 L.T 1 = M.T 1 donc : u(h) = kg.s 1 7) Par définition de la pulsation : ω = 2π où T est la période temporelle du mouvement. T La vitesse étant constante, elle est définie par le rapport entre une distance et le temps correspondant : v = dx = L 2π.v. D où : ω = T L 8) Le PFD s écrit : M a G = M g k.(z G z O l 0 ) e z h.(ż G z O ) e z 5 En projetant 5 1 : M z = k.(z G z G,éq (z O z O,éq )) h.(ż G ż O ) Commeż G = ż puisquez = z G z G,éq,l équationdevient: M z = k.(z (z O z O,éq )) h.(ż ż O ) Comme z O = R+Acos(ωt) = z O,éq +e(t) : z + h M.ż + k M.z = k M.e+ h M.ė z + ω 0 Q.ż +ω2 0.z = ω 2 0.e+ ω 0 Q.ė 9) Cette équation devient, en régime sinusoïdal et en notation complexe : ( ω0 2 ω2 +j ω ) ( ) 0 Q ω.z = A. ω0 2 +jω 0 Q ω Z ω0 2 +jω 0 A = Q ω ω0 2 ω2 +j ω 0 Q ω = On en déduit : ω 1+j Z A = ω 1 1 ω2 ω0 2 +j ω avec ω 0 = k M 10) ω 0 = 10 rad.s 1 Q = 2,5 ω 1 = 25 rad.s 1 11) Z A = ( 1 ω2 ω ω2 ω1 2 ) 2 ( ω + ) 2 Q = km h 1+j ω +j ω 1 ω2 ω 2 0 ω 1 = = k h Qadri J.-Ph. PTSI 5

6 Révisions Électrocinétique / Mécanique II Facteur de Puissance [ENAC 2002] 1) Loi d Ohm aux bornes de la résistance R : e(t) = R.i 2 (t) i 2 (t) = E 2 R cos(ωt) = I 2 2cos(ωt+ϕ2 ) avec I 2 = E R et ϕ 2 = 0 2) Loi des nœuds en A : I 3 = I 1 +I 2 avec I 1 = I 1.e jϕ 1 et I 2 = I 2 (puisque ϕ 2 = 0). On en déduit : I3 2 = I 3.I 3 = (I 1.e jϕ 1 +I 2 ).(I 1.e jϕ 1 +I 2 ) = I1 2 +I2 2 +I 1I 2 (e jϕ 1 +e jϕ 1 ) soit : I 3 = I1 2 +I2 2 +2I 1I 2 cosϕ 1 Rép. A) 3) D où : cosϕ 1 = I2 3 I2 1 I2 2 2I 1 I 2 soit, puisque I 2 = E R : cosϕ 1 = R2 (I 1 3 I2 1 ) E2 2R.I 1.E 0,7417 4) En régime sinusoïdal, la puissance moyenne reçue par le moteur soumis à la tension e (d amplitude complexe E = E m ) et parcouru par l intensité i 1 (d amplitude complexe I 1 = I 1m.e jϕ 1 ) s écrit : P M = 1 2 E mi 1m cosϕ 1 Donc, en faisant apparaître les grandeurs efficaces : P M = E.I 1.cosϕ 1 = 1691 W Rép. B) 5) L impédance complexe du moteur : Z 1 = r +jlω = E I 1 = E I 1.e jϕ 1 = Z 1 cosϕ 1 jz 1 sinϕ 1 On a donc : cosϕ 1 = r Z 1 avec Z 1 = E I 1 Dès lors P M = E.I 1.cosϕ 1 s écrit également : P M = I 2 1.Z 1.cosϕ 1 = r.i 2 1 D où : r = P M I Ω Rq : On pouvait écrire : r = Z 1 cosϕ 1 = E I 1 cosϕ 1 47 Ω 6) Comme par ailleurs : Z 1 = r 2 +L 2 ω 2 = E, on en déduit : L = 1 E 2 I 1 2πf I1 2 r mh 7) Puissance moyenne reçue par la résistance R : P R = E.I 2.cosϕ 2 = E.I 2 = E2 = 3800 W. R D où la puissance moyenne fournie par le générateur : P g = P M +P g = 5491 Ω Rép. A) 8) Puisque P g = E.I 3.cosϕ 3 on en déduit : cosϕ 3 = P g E.I 3 = 0,9633 Rép. B) 9) La loi d Ohm généralisée aux bornes du condensateur : E = I 4 jcω Soit I 4.e jϕ 4 = jcωe = CEω.e j π 2. Donc : ϕ 4 = π 2 et I 4 = CEω 10) La nouvelle loi des nœuds en A s écrit : I 3 = I 1 +I 2 +I 4 I 3. jϕ 3 = I1.e jϕ 1 +I 2 +I 4.e 1π 2 Imposer un facteur de puissance cosϕ 3 = 1 revient à imposer ϕ 3 = 0. La loi des nœuds s écrit alors : I 3 = I 1 cosϕ 1 +I 2 +j(i 1 sinϕ 1 +I 4 ) I 1 sinϕ 1 +I 4 = 0 Cette dernière relation nous donne le signe de sinϕ 1 puisque sinϕ 1 = I 4 = CEω < 0 I 1 I 1 Comme cosϕ 1 est déjà connu (cf. 3)), on en déduit la valeur de sinϕ 1 : sinϕ 1 = 1 cos 2 ϕ 1 0,6707 Enfin, on obtient la capacité cherchée : C = I 1sinϕ 1 E.2π.f 33,7 µf Rép. D) 6 Qadri J.-Ph. PTSI

7 III Filtre du premier ordre Révisions Électrocinétique / Mécanique 1) Une condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert à basses fréquences et comme un fil à hautes fréquences : on en déduit qu il s agit d un filtre passe-bas. R is=0 à Basses 1 Fréquences e=u s= e (t) u s (t) R 1 + is=0 R 1 e=u e (t) C s=u s (t) R 1 is=0 e=u e (t) s=0 à Hautes Fréquences 2) L impédance complexe équivalente de la résistance en parallèle avec la capacité C s écrit : 1. jcω Z = 1+ 1 = 1+j Cω jcω La fonction de transfert s obtient facilement à partir du diviseur de tension : u s = Z R 1 +Z u e H = u s u e = Donc : H = R j Cω 1+j Cω = R 1 + +jr 1 Cω R j R 1 R 1 + Cω Soit : H = H 0 1+j ω ω 0 avec H 0 = et ω 0 = R 1 + R 1 + R 1 C 3) lorsque R 1 = : H 0 = 1 2 et ω 0 = 2 R 1 C 4) En introduisant la pulsation réduite x = ω ω 0 : H = H 0 1+jx soit : H = H 0 1+x 2 et donc : G db = 20logH = 20logH 0 10log(1+x 2 ) - Asymptote BF : ω ω 0 x 1 : G db (ABF) = 20logH 0 = 20log2 6,0 db L ABF est une droite horizontale de valeur 6,0 db. - Asymptote HF : ω ω 0 x 1 : G db (AHF) = 20logH 0 20logx L AHF est une droite de pente 20 db/déc et d ordonnée à l origine 6,0 db. - Pour ω = ω 0, on a x = 1 et donc : G db = 20logH 0 10log2 = 30log2 9,0 db 5) Comme : H = H 0 1+jx = Hejϕ, on a ϕ = arg(h) = arg(h 0 ) arg(1+jx) Donc : ϕ = arctanx - Asymptote BF : ω ω 0 x 1 : ϕ(abf) = 0 Qadri J.-Ph. PTSI 7

8 Révisions Électrocinétique / Mécanique Asymptote HF : ω ω 0 x 1 : ϕ(ahf) = π 2 = 90 - Pour ω = ω 0, on a x = 1 et donc : ϕ = arctan1 = π 4 = 45 6) Le filtre étant un filtre passe bas, H max = H(ω = 0) = H 0 donc, la bande passante est [0,ω c ] avec la pulsation de coupure ω c telle que : H max = H H(ω c ) = x H 2 c = 1 ω c = ω 0 = 2 = 626 rad.s 1 0 R 1 C 1+x 2 c 7) Pour f = 10 khz, ω = 2πf 62,8 khz, x 100,4 soit : G db = 20logH 0 10log(1+x 2 ) 46,0 db ( ) Usm (ω) Comme G db = 20logH = 20log U sm(ω) U em U em = 10 GdB 20 on en déduit : U sm 10 2,6 U em = 0,03 V U em 8) Le filtre étant linéaire, pour obtenir la tension de sortie s associée à e, il suffit de sommer la tension de sortie u s précédemment calculée et la tension de sortie S calculée pour une tension d entrée constante E : e = u e +E s = u s +S Dans le cas du régime continu, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert et la composante continue de la tension de sortie est (cf. 1)) : S = H 0.E =.E = E R = 3 V La tension de sortie est donc : s(t) = U sm cos(ωt+ϕ)+s S = 3V car U sm S Rq : Le filtre passe-bas coupe la composante sinusoïdale u e de fréquence f = 10 khz de la tension d entrée e(t) car f f c = ω c 100 Hz 2π 8 Qadri J.-Ph. PTSI