Cours de physique. Classes 1B et 1C. Athénée de Luxembourg

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1 Cours de physique Classes 1B et 1C Athénée de Luxembourg

2 Table des matières 1 Cinématique et Dynamique Grandeurs cinématiques Base cartésienne Base de Frenet Mouvement circulaire Exercices Mouvement dans un champ de force constant Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme Mouvement dans un champ électrostatique uniforme Mouvement des planètes et des satellites Champ de gravitation Lois de Kepler Mouvement dans un champ de gravitation Satellite géostationnaire Mouvement dans un champ magnétique Force de Lorentz Mouvement dans un champ uniforme Applications Oscillateurs Systèmes oscillants Exemples d oscillateurs Mise en évidence expérimentale Définitions d oscillateurs Grandeurs caractéristiques des oscillateurs Oscillateurs mécaniques Rappels sur le ressort Équation différentielle du mouvement Solution de l équation différentielle Oscillations amorties Le phénomène de résonance Oscillateurs électriques Loi d Ohm pour une bobine Énergie magnétique d une bobine Rappel sur le condensateur Oscillations dans un dipôle RLC Équation différentielle pour un circuit LC Solution de l équation différentielle Oscillations amorties

3 1BC Table des matières Le phénomène de résonance Ondes et lumière Propagation d une onde mécanique Signal transversal, signal longitudinal, onde Célérité Propagation d une onde sinusoïdale le long d une corde Double périodicité du phénomène de propagation Équation d onde Interférences mécaniques Conditions d interférences Superposition de petits mouvements Interférences dans un milieu à une dimension Interférences dans un milieu à deux dimensions Interférences dans un milieu à trois dimensions Le phénomène de diffraction Interférences lumineuses Expérience des fentes de Young Interprétation Calcul de la différence de marche Position des maxima et des minima Relativité restreinte Les postulats d Einstein Premier postulat Deuxième postulat Définitions Relativité de la simultanéité Dilatation du temps Contraction des longueurs Expérience des muons (Frisch et Smith 1963) Description de l expérience Explication à l aide de la dilatation du temps Explication à l aide de la contraction des longueurs Quantité de mouvement Énergie Énergie d un corps Énergie au repos Équivalence énergie-masse Masse et inertie Énergie cinétique Relation entre l énergie et la quantité de mouvement Dualité onde-corpuscule Aspect corpusculaire de la lumière Expérience de Hertz (1887) Comment peut-on extraire un électron d un métal? Insuffisance du modèle ondulatoire Modèle corpusculaire de la lumière Les propriétés du photon

4 4 Table des matières 1BC Interprétation de l effet photoélectrique Propriétés d un rayonnement électromagnétique Aspect ondulatoire des particules Quantité de mouvement du photon Longueur d onde d une particule matérielle Caractère ondulatoire des particules matérielles Réactions nucléaires Généralités Définitions Lois de conservation La radioactivité Ce qu on entend par radioactivité Les différents modes de désintégration La décroissance radioactive Applications de la loi de décroissance Réactions nucléaires Énergie de liaison La fission nucléaire Fusion nucléaire États énergétiques quantifiés Les insuffisances de la physique classique Le modèle quantique La physique quantique

5 Chapitre 1 Cinématique et Dynamique 1.1 Grandeurs cinématiques En classe de 2 e nous avons introduit les grandeurs cinématiques utilisées pour décrire le mouvement d un point matériel : l abscisse curviligne, les vecteurs position, vitesse et accélération. Les vecteurs sont exprimés dans la base d un repère, le plus souvent orthonormée. Le choix de la base est arbitraire mais, en pratique, est guidé par la trajectoire et les forces qui agissent sur le mobile ; nous allons utiliser la base cartésienne et la base de Frenet Base cartésienne À un référentiel galiléen (par exemple le référentiel terrestre) nous pouvons attacher un repère cartésien (O, ı, j, k) dont les vecteurs unitaires de base sont fixes par rapport au référentiel (figure 1.1a). z z x į k O ä y x į k O æ OM ä M y (a) base cartésienne (b) vecteur position Figure 1.1 Repère orthonormé à 3 dimensions

6 6 Cinématique et Dynamique 1BC Position d un mobile Dans la base cartésienne, le vecteur position du point mobile M s exprime (figure 1.1b) : OM = x ı + y j + z k (1.1) Une autre façon de repérer la position d un mobile M sur sa trajectoire est d utiliser l abscisse curviligne. Pour cela, on choisit arbitrairement (figure 1.2) : un point A sur la trajectoire (l origine), un sens positif. z A M + s k į O ä y x Figure 1.2 Abscisse curviligne L abscisse curviligne s est la mesure algébrique de l arc ĂM. Il est à noter que pour pouvoir utiliser l abscisse curviligne, il faut connaître la trajectoire du mobile. Vecteur vitesse Le vecteur vitesse v du mobile M à l instant t nous renseigne sur la rapidité du changement du vecteur position à cet instant. Il est défini par (figure 1.3) : MM v = lim t t t t = d OM dt (1.2) M v (t) M Õ (t Õ ) O æ MM æ OM æ OM Õ Figure 1.3 Vecteur vitesse En effet : MM = MO + OM = OM OM = OM

7 1BC Cinématique et Dynamique 7 et lim t t OM t t = d OM. dt Le vecteur vitesse en M est tangent à la trajectoire en ce point et orienté dans le sens du mouvement. L expression du vecteur vitesse dans la base cartésienne se déduit des relations (1.1) et (1.2) : v = d OM = d(x ı + y j + z k) dt dt et comme les vecteurs de base sont constants : de sorte qu on puisse écrire : Remarque : v = dx dy dz ı + j + dt dt dt k (1.3) v v x = dx dt v y = dy dt v z = dz dt On utilise souvent les notations ẋ, ẏ, ż qui représentent exclusivement des dérivations par rapport au temps. Ainsi le vecteur vitesse s écrit : v = ẋ ı + ẏ j + ż k. Vecteur accélération Le vecteur accélération a à l instant t indique la rapidité de la variation du vecteur vitesse. Il est défini par (figure 1.4) : v a = lim v t t t t = d v dt M (t) v ą M Õ (t Õ ) v Õ v v Õ v Õ v Figure 1.4 Vecteur accélération De la relation (1.3) il vient : a = dv x dt ı + dv y dt j + dv z dt k

8 8 Cinématique et Dynamique 1BC d où : a = d2 x dt ı + d2 y 2 dt j + d2 z 2 dt k 2 puisque les vecteurs de base sont constants. On peut alors écrire : a a x = dv x dt = d2 x dt 2 a y = dv y dt = d2 y dt 2 a z = dv z dt = d2 z dt 2 Remarque : avec la notation pour les dérivations par rapport au temps, l accélération s écrit : a = v x ı + v y j + v z k = ẍ ı + ÿ j + z k Base de Frenet Dans la suite nous allons nous limiter à une trajectoire plane. À une telle trajectoire nous pouvons attacher le repère (M, T, N) appelé repère de Frenet (figure 1.5). y M T N Õ + N M Õ T Õ ä O į Figure 1.5 Repère de Frenet x Il s agit d un repère qui se déplace avec le mobile M ; les vecteurs de base varient par rapport au référentiel galiléen lors du déplacement du point mobile. Les caractéristiques du repère de Frenet sont : son origine est le point mobile M ; le vecteur unitaire T est tangent en M à la trajectoire et orienté dans le sens positif ; le vecteur unitaire N est normal en M à la trajectoire (et donc aussi à T ) et orienté vers l intérieur de la courbure de celle-ci. Vecteur vitesse Comme le vecteur vitesse v est tangent à la trajectoire, son expression dans la base de Frenet est : v = v T T où v T est la valeur algébrique de la vitesse en M. Ainsi :

9 1BC Cinématique et Dynamique 9 v T > 0 si le mobile se déplace dans le sens positif ; v T < 0 si le mobile se déplace dans le sens contraire. La norme du vecteur vitesse est donnée par : s s v = v T = lim t t t t dont on peut déduire la valeur algébrique de la vitesse : s s v T = lim t t t t = ds dt où s est l abscisse curviligne. Ainsi, dans la base de Frenet : v = ds dt T (1.4) Vecteur accélération Exprimer le vecteur accélération dans la base de Frenet revient à déterminer les coordonnées tangentielle a T et normale a N définies par (figure 1.6) : a = a T T + an N. a T T ą a N N Figure 1.6 Composantes du vecteur accélération On obtient le vecteur accélération par dérivation du vecteur vitesse : a = d v dt = d(v T T ) dt et en appliquant la règle sur la dérivée d un produit : a = dv T dt T + v T d T dt. Le premier terme correspond à la composante tangentielle de l accélération qui est due à la variation de la valeur de la vitesse. Le deuxième terme est une conséquence du changement de la direction du vecteur vitesse. Considérons un déplacement élémentaire assez petit pour qu il puisse être approximé par un arc de cercle de rayon r (figure 1.7). Ce rayon est appelé rayon de courbure de cette partie de la trajectoire.

10 10 Cinématique et Dynamique 1BC T Õ T T s T Õ T T r Figure 1.7 Variation de la direction du mouvement Déterminons la variation du vecteur tangent unitaire lors du déplacement élémentaire : T = T T T = T + T. Comme la norme du vecteur tangent est toujours égale à l unité, ces vecteurs forment un triangle isocèle avec l angle au sommet θ. La longueur de la base du triangle vaut : T = 2 T sin( θ/2) = 2 sin( θ/2). Le sinus d un angle de faible amplitude, exprimé en radians, est approximativement égal à cet angle : T 1 = θ = r s. Le vecteur T a la direction et le sens du vecteur normal unitaire au milieu de l arc : T = 1 r s N. En divisant cette expression par l intervalle de temps t et en prenant la limite t 0, on obtient la dérivée du vecteur tangent unitaire : d T dt = 1 r ds dt N = v T r N. L expression générale du vecteur accélération dans la base de Frenet est : a = dv T dt T + v T 2 r N (1.5) Remarques : La coordonnée tangentielle a T est positive si v T augmente et négative dans le cas contraire. L accélération est normale à la trajectoire si et seulement si le mouvement est uniforme. La coordonnée normale a N étant positive, le vecteur accélération est toujours orientée vers l intérieur de la courbure. Pour un mouvement dont le sens est à tout instant positif, v T peut être remplacé par la norme v du vecteur vitesse.

11 1BC Cinématique et Dynamique Mouvement circulaire Un mobile décrit un mouvement circulaire si sa trajectoire est un cercle. Le mouvement est circulaire uniforme (MCU) si en plus la norme du vecteur vitesse reste constante. Nous allons nous limiter au cas d un mouvement dans le sens positif. Abscisse angulaire On fixe arbitrairement une origine A sur la trajectoire circulaire d un mobile (figure 1.8). La position du point mobile M peut être repérée par l angle θ = AOM, appelé abscisse angulaire. y + O r M s A x Figure 1.8 Abscisse angulaire Les coordonnées cartésiennes de la position du mobile sont : x = r cos θ ; y = r sin θ où r est le rayon de la trajectoire circulaire. L abscisse curviligne s est : s = r θ (1.6) où l angle θ est exprimé en radians. Vitesse angulaire La relation (1.4) donne la vitesse algébrique comme la dérivée de l abscisse curviligne par rapport au temps. En utilisant la relation (1.6), nous pouvons faire apparaître l abscisse angulaire : v = ds dt = d(r θ) dt = r dθ dt = r θ. (1.7) La dérivée de l abscisse angulaire par rapport au temps est, par définition, la vitesse angulaire de rotation du point mobile M sur le cercle : ω = dθ dt = θ

12 12 Cinématique et Dynamique 1BC Elle s exprime en radian par seconde (rad/s). Une vitesse angulaire de 1 rad/s signifie que l abscisse angulaire varie de 1 rad en 1 s. En utilisant la relation (1.7), nous pouvons exprimer la vitesse v, appelée vitesse linéaire, en fonction de ω : v = r ω (1.8) Mouvement circulaire uniforme Le mouvement circulaire est uniforme si la vitesse linéaire est constante. Il en suit que la vitesse angulaire est également constante : dθ dt = ω = constante. L abscisse angulaire est obtenue en intégrant la vitesse angulaire par rapport au temps : θ = ω t + cte. La constante d intégration est déterminée en considérant l abscisse angulaire initiale θ 0 : θ(t = 0) = θ 0 = cte. Il en suit l expression de l abscisse angulaire à l instant t : θ = ω t + θ 0 Le mouvement circulaire uniforme est périodique de période T. La période est le temps nécessaire pour décrire un tour complet et s exprime en seconde (s). Nous avons : T = périmètre du cercle vitesse linéaire = 2π r v. La vitesse linéaire peut s exprimer en fonction de la période : v = 2π r T (1.9) En utilisant la relation (1.8), la vitesse angulaire est : ω = 2π T. La fréquence f du mouvement circulaire uniforme est le nombre de tours effectués par seconde. La distance parcourue par seconde étant la vitesse linéaire v, nous avons : f = vitesse linéaire périmètre du cercle = Ainsi, la fréquence est l inverse de la période : v 2π r. f = 1 T

13 1BC Cinématique et Dynamique 13 La fréquence est exprimée en hertz (Hz) : 1 Hz = 1 s 1. La vitesse angulaire peut s écrire : ω = 2π T = 2π f (1.10) Dans le cas d un mouvement circulaire uniforme, a T = 0 et l expression (1.5) du vecteur accélération dans la base de Frenet (figure 1.9a) se réduit à : a = a N N = v 2 r N = ω 2 r N. La figure 1.9b montre les vecteurs vitesse et accélération. L accélération est orientée vers le centre du cercle, on dit qu elle est centripète. + T M + v M r N ą O O (a) base de Frenet (b) vitesse et accélération Figure 1.9 Mouvement circulaire uniforme Dans un référentiel galiléen, appliquons la relation fondamentale de la dynamique au mobile en mouvement circulaire uniforme : F i = m a = m a N N. On remarque que la résultante des forces est centripète. i Exercices Exercice 1.1 Un point mobile a comme coordonnées cartésiennes dans un repère (O, ı, j ) : x = 2t 2 OM y = 3t 2 Calculer les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur accélération de ce point mobile. Exercice 1.2 La position d un enfant sur un manège est repérée par rapport à un référentiel terrestre, en coordonnées cartésiennes, dans le repère (O, ı, j ) par : x = a cos(ω t) OM y = a sin(ω t) où a et ω sont des constantes positives.

14 14 Cinématique et Dynamique 1BC 1. Déterminer, dans le même système de coordonnées cartésiennes, les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur accélération de l enfant. 2. Exprimer le vecteur accélération en fonction du vecteur position OM. Exercice 1.3 Un CD tourne à raison de 8000 tours par minute ; son diamètre est 11,8 cm. 1. Calculer sa vitesse angulaire de rotation en rad/s. 2. Calculer la vitesse linéaire d un point situé à la périphérie du disque. 3. Quelle est l accélération de ce même point dans le repère de Frenet? Exercice 1.4 Avec quelle fréquence en Hz dois-tu tourner un seau rempli d eau dans un plan vertical pour que l eau ne te tombe pas sur la tête?

15 1BC Cinématique et Dynamique Mouvement dans un champ de force constant Considérons un point mobile M sur lequel agit, en tout point de l espace, une force F. On parle d un champ de force agissant à distance. Si en tout point de l espace le vecteur force est le même, le champ de force est dit constant. Nous allons établir les équations horaires du mouvement dans les deux cas suivants : mouvement d une masse ponctuelle dans un champ de pesanteur uniforme ; mouvement d une charge ponctuelle dans un champ électrique uniforme Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme Le champ de pesanteur terrestre est caractérisé par le vecteur champ de pesanteur g dirigé vers le centre de la terre. Il n est pas uniforme globalement mais peut être considéré comme tel dans une région limitée de l espace. Pour deux points situés à la même altitude et distants de 100 km, la direction de g varie de moins de 1 et pour une différence d altitude de 100 km, la norme de g varie de 3 % environ. À l intérieur d un cube de 100 km de côtés, le champ de pesanteur peut donc être considéré comme uniforme. Étude dynamique Le système étudié est un projectile ponctuel de masse m. L étude de son mouvement se fera dans le référentiel terrestre supposé galiléen. La seule force appliquée est le poids P = m g du projectile. Nous négligeons ici le frottement de l air et la poussée d Archimède. Dans le référentiel terrestre, la relation fondamentale de la dynamique s applique : L accélération du projectile est donnée par : F i = P = m a. i a = P m = m g m = g. Le vecteur accélération est indépendant de la masse du projectile et égal au vecteur champ de pesanteur. C est un vecteur constant. Étude cinématique Nous allons choisir le repère cartésien le plus adapté à l étude du mouvement (figure 1.10) : l axe Oz est est vertical et dirigé vers le haut ; la position M 0 du projectile à l instant t = 0 est sur l axe Oz ;

16 16 Cinématique et Dynamique 1BC z v 0 M g M 0 P k ä y O į x Figure 1.10 Conditions initiales le vecteur vitesse v 0 du projectile à l instant t = 0 est contenu dans le plan Oxz et fait l angle α avec l axe Ox ; le plan Oxy est un plan horizontal. Les coordonnées du vecteur accélération dans la base cartésienne sont : a x = dv x dt = 0 a a y = dv y dt = 0 a z = dv z dt = g La vitesse est obtenue en intégrant l accélération par rapport au temps : v x = cte v v y = cte v z = g t + cte Les constantes d intégration sont déterminées en considérant la vitesse initiale : v 0x = v 0 cos α = cte v(t = 0) = v 0 v 0y = 0 = cte v 0z = v 0 sin α = cte Le vecteur vitesse à l instant t s écrit donc : v x = dx dt = v 0 cos α v v y = dy dt = 0 v z = dz dt = g t + v 0 sin α (1.11) La position est obtenue en intégrant la vitesse par rapport au temps : x = v 0 cos α t + cte OM y = cte z = 1 g 2 t2 + v 0 sin α t + cte

17 1BC Cinématique et Dynamique 17 Les constantes d intégration sont déterminées en considérant la position initiale : OM(t = 0) = OM 0 = cte 0 0 = cte z 0 = cte Nous obtenons finalement les équations paramétriques ou horaires du mouvement : x = v 0 cos α t OM y = 0 (1.12) z = 1 g 2 t2 + v 0 sin α t + z 0 Remarques : le mouvement suivant l axe Ox est uniforme ; il n y a pas de mouvement suivant l axe Oy ; le mouvement s effectue donc dans le plan Oxz ; le mouvement suivant l axe Oz est uniformément varié ; Le mouvement est indépendant de la masse m du projectile et ne dépend que des conditions initiales. Équation de la trajectoire L équation de la trajectoire ou équation cartésienne est obtenue en éliminant le temps t entre x(t) et z(t). L expression (1.12) permet d écrire : Ç å x t = v 0 cos α z = 1 g x 2 Ç å x + v 2 0 sin α + z 0. v 0 cos α v 0 cos α Finalement : z = 1 2 g (v 0 cos α) 2 x2 + tan α x + z 0 (1.13) z v ą = g O x Figure 1.11 Trajectoire du projectile dans le champ de pesanteur La trajectoire du projectile est une parabole d axe vertical contenue dans le plan Oxz et dont la concavité est orientée vers le bas. La figure 1.11 montre les vecteurs vitesse et accélération en différents points de la trajectoire.

18 18 Cinématique et Dynamique 1BC Calcul de la portée La portée horizontale est la distance horizontale entre le point de lancement M 0 du projectile et le point d impact P (figure 1.12). Dans le plan vertical Oxz, les coordonnées cartésiennes de ces deux points sont : 0 x portée M 0 ; P z 0 On applique l équation de la trajectoire (1.13) au point P : z P = 1 2 z P g (v 0 cos α) 2 x portée 2 + tan α x portée + z 0. z M 0 O x portée Figure 1.12 Portée horizontale d un projectile P x La portée horizontale est la seule solution acceptable de cette équation du second degré. Calcul de la flèche La flèche est l altitude maximale atteinte par le projectile. On peut la déterminer par les deux méthodes suivantes. Au sommet de la trajectoire, la vitesse verticale est nulle : v z = 0. La relation (1.11) donne : v z = g t + v 0 sin α = 0 t zmax = v 0 sin α. g On obtient la flèche en substituant t zmax dans l équation horaire (1.12) de z : z max = z(t zmax ). Le sommet de la trajectoire est un maximum de l équation de la trajectoire (1.13) ; la dérivée de z par rapport à x s annule en x zmax : Ç å dz = 0. dx x zmax Cette équation permet de déterminer l abscisse du sommet de la parabole. Il reste à substituer x zmax dans l équation de la trajectoire pour obtenir la flèche.

19 1BC Cinématique et Dynamique Mouvement dans un champ électrostatique uniforme Considérons le mouvement d une particule chargée dans un champ électrostatique E uniforme. Un tel champ règne par exemple entre les armatures d un condensateur plan. Étude dynamique Le système étudié est la particule de charge q et de masse m. L étude de son mouvement se fera dans un référentiel galiléen. Les forces exercées sur la particule chargée sont le poids et la force électrostatique. L effet du poids est en général négligeable devant l effet de la force électrostatique. Exercice 1.5 Comparer ces deux forces dans le cas d un électron dans un champ électrique d intensité E = 10 6 V/m. La résultante des forces extérieures se réduit à la force électrostatique : F = q E. L accélération de la particule est donnée par : a = F m = q E m. Étude cinématique Supposons qu à l instant t = 0 la particule pénètre dans le champ électrostatique uniforme avec une vitesse v 0. Le vecteur champ est parallèle à l axe Oz : F z = q E z a z = F z m = q E z m. Remarque : le signe de a z dépend des signes de q et de E z! Les équations horaires du mouvement de la particule dans le champ électrostatique uniforme sont (voir relations 1.12) : OM x = v 0 cos α t y = 0 z = 1 q E z 2 m t2 + v 0 sin α t + z 0 Exercice 1.6 Établir ces équations en partant du vecteur accélération! Équation de la trajectoire L équation de la trajectoire devient (voir relation 1.13) : z = 1 2 q E z m (v 0 cos α) 2 x2 + tan α x + z 0

20 20 Cinématique et Dynamique 1BC La trajectoire est une parabole contenue dans le plan Oxz. L orientation de la concavité dépend du signe de q E z. Il importe de remarquer que q et E z sont des valeurs algébriques. La figure 1.13 montre la trajectoire d une charge négative dans le champ électrostatique uniforme d un condensateur plan avec E z < 0. z Ę O v 0 q<0 L x Figure 1.13 Trajectoire d une charge dans un champ électrostatique

21 1BC Cinématique et Dynamique Mouvement des planètes et des satellites Pour étudier les mouvements des planètes et des satellites, un référentiel terrestre ne peut plus être considéré comme galiléen et, par conséquent, les lois de la dynamique n y sont plus applicables. Ces mouvements seront donc décrits : dans le référentiel héliocentrique (ou de Copernic) pour les planètes ; dans le référentiel géocentrique pour les satellites de la Terre Champ de gravitation La force d interaction gravitationnelle Selon la loi de gravitation de Newton, deux corps A et B quasi ponctuels ou à symétrie sphérique, de masses M et m et dont les centres O A et O B sont distants de r, exercent l un sur l autre des forces attractives F A/B et F B/A de même direction O A O B, de même intensité mais de sens opposés (figure 1.14) : F A/B = F B/A = F = K m M r 2 A O A ų B FA/B m O B M F B/A Figure 1.14 Forces d interaction gravitationnelle La constante K est appelée constante de gravitation. Sa valeur dans le Système international d unités est : K = 6, N kg 2 m 2. Une expression vectorielle de la force gravitationnelle s obtient en définissant un vecteur unitaire u, directeur de la droite O A O B et orienté de O A vers O B (figure 1.14) : F A/B = F B/A = K m M r 2 Définition du champ de gravitation u = F u. Lorsqu une masse ponctuelle m subit les forces d attraction d un ensemble de masses, chaque terme de la somme vectorielle qui représente la résultante F est proportionnelle à m ; il en suit que la résultante est également proportionnelle à m. La grandeur vectorielle F /m est donc indépendante de m et appelée vecteur champ de gravitation.

22 22 Cinématique et Dynamique 1BC Définition Il existe un champ de gravitation en un point de l espace si une particule de masse m, placée en ce point est soumise à une force d interaction gravitationnelle F. Le vecteur champ de gravitation G est défini par : G = F m L intensité du champ de gravitation s exprime en N/kg. Le champ de gravitation dépend de la position du point de l espace considéré ainsi que des positions et des valeurs des masses qui le créent. Champ créé par une masse ponctuelle Considérons une masse ponctuelle M située en un point O de l espace. On place une masse «d essai» ponctuelle m en un point P à une une distance r = OP de la masse M. La loi de Newton donne la force exercée sur la masse m : F = K m M r 2 u où le vecteur unitaire u est dirigé de M vers m. Le champ de gravitation créé par la masse M au point P est obtenu en divisant la force par m : F G = m = K M u (1.14) r2 Le vecteur champ de gravitation est dirigé vers la masse M (figure 1.15). O M ų r Figure 1.15 Champ créé par une masse ponctuelle Une masse m placée à une distance r de M est alors soumise à la force gravitationnelle : F = m G. Comme la force est attractive, elle est dirigée vers la masse qui crée le champ. G P Champ créé par un corps à symétrie sphérique Considérons une planète (ou le Soleil,...) que nous représentons par une boule de masse M, de rayon R et de centre O. Supposons qu elle soit à symétrie sphérique, c est-à-dire que la matière est distribuée identiquement dans toutes les directions.

23 1BC Cinématique et Dynamique 23 O M ų r G P R O r z P Figure 1.16 Champ créé par un corps à symétrie sphérique Dans un tel cas on peut montrer que si le point P est extérieur à la distribution (figure 1.16), le champ de gravitation G créé en P est égal au champ qui serait créé par une masse ponctuelle M située en O : G = K M r 2 u On exprime souvent l intensité du champ de gravitation d une planète en fonction de l altitude z du point P (figure 1.16). Avec r = R + z on obtient : G = K M (R + z) 2 (1.15) Si le point P est situé à la surface de la planète, donc z = 0, l intensité du champ vaut : G 0 = K M R 2. Cette relation donne K M = G 0 R 2 que nous pouvons remplacer dans l expression (1.15) : G = G 0 R 2 (R + z) 2. L intensité G du champ de gravitation créé par une planète de rayon R à une altitude z, en fonction de l intensité G 0 à la surface de la planète s écrit finalement : Ç R G = G 0 R + z å 2 Exemple : la valeur du champ à la surface de la Terre est G 0 = 9,834 N/kg. Différence entre champ de pesanteur et champ de gravitation Le champ de pesanteur g est défini par la relation P = m g dans le référentiel terrestre nongaliléen. Le champ de gravitation G par contre est défini par la relation F = m G dans le référentiel géocentrique, qui est un référentiel galiléen (en tout cas «plus galiléen» que le référentiel terrestre). Considérons l exemple d une boule suspendue à un ressort en un point de l équateur terrestre (figure 1.17). Nous allons négliger l influence de l air. Dans le référentiel terrestre, la boule est en équilibre : P = T. Dans le référentiel géocentrique, la boule effectue un mouvement circulaire uniforme. La projection sur la direction normale donne : m a N = F T F > T.

24 24 Cinématique et Dynamique 1BC référentiel terrestre référentiel géocentrique ressort T T boule P F P = T F>T Figure 1.17 Boule suspendue à un ressort dans le champ terrestre Il en suit que F > P et donc G > g. La valeur du champ de gravitation est supérieure à la valeur du champ de pesanteur. Application numérique : avec G = 9,834 N/kg, a N = 0,034 m/s 2 et g = G a N on obtient g = 9,8 N/kg Lois de Kepler Tycho Brahé et ses assistants, parmi lesquels se trouvait Kepler, consignèrent de très nombreuses valeurs de positions de planètes dans le ciel au cours du temps. Kepler établit, à partir de ces observations très précises, trois lois qui régissent le mouvement des planètes. À l époque, ces lois étaient donc purement expérimentales. Première loi de Kepler ou loi des orbites elliptiques (1609) Énoncé Les planètes décrivent des orbites elliptiques dont le Soleil occupe l un des foyers. Une ellipse est une courbe bien précise. De même qu un cercle est caractérisé par un point, son centre et une distance, son rayon, une ellipse est caractérisée par deux points, ses foyers F et F, et une distance a nommée demi-grand axe (figure 1.18). Un point M de l ellipse vérifie : F M + MF = 2a. Le cercle est un cas particulier d ellipse dont les foyers sont confondus. Le demi-grand axe est alors le rayon du cercle. Seconde loi ou loi des aires (1609) Kepler remarqua que les planètes ne tournent pas avec une vitesse constante autour du Soleil. Il observa qu elles ont une vitesse plus grande lorsqu elles sont plus proches du Soleil.

25 1BC Cinématique et Dynamique 25 2a M F O F Õ Figure 1.18 Une ellipse et ses caractéristiques t Õ = t S A Õ = A P t Figure 1.19 Les aires A et A des surfaces colorées sont égales Précisément, cette vitesse varie de façon que l aire balayée par le rayon vecteur SP pendant un intervalle de temps déterminé reste constante quelle que soit la position de la planète sur son orbite (figure 1.19). Énoncé Le rayon vecteur SP allant du Soleil à la planète balaye des surfaces égales pendant des intervalles de temps égaux. La distance parcourue par la planète pendant l intervalle de temps t est plus grande quand la distance SP est plus petite. Il en suit que la planète a une vitesse plus grande quand elle est plus proche du Soleil. Dans le cas d une trajectoire circulaire, le mouvement de la planète est uniforme. Troisième loi de Kepler ou loi des périodes (1618) La troisième loi de Kepler est de nature différente des deux précédentes : elle unifie le mouvement de toutes les planètes en une loi universelle. Pour cette raison, on l appelle aussi loi harmonique. Soient T la période de révolution de la planète autour du Soleil et a la longueur du demigrand axe de l ellipse. La période de révolution est le temps mis par la planète pour faire complètement le tour de son orbite. Énoncé Le carré de la période de révolution d une planète autour du Soleil est proportionnel au cube de la longueur du demi-grand axe de son orbite.

26 26 Cinématique et Dynamique 1BC Quelles que soient les deux planètes (1) et (2) choisies, ont peut écrire : T a = T a. 3 2 Ce rapport dépend uniquement des caractéristiques du Soleil. Si la trajectoire est circulaire, la longueur du demi-grand axe a est égale au rayon r Mouvement dans un champ de gravitation Étude dynamique Nous allons appliquer les lois de la dynamique au mouvement d une masse m dans un champ de gravitation. Cette masse peut être par exemple un satellite dans le champ de la Terre ou encore la Terre dans le champ du Soleil. Dans le premier cas le référentiel que nous allons choisir est le référentiel géocentrique, dans le deuxième cas c est le référentiel héliocentrique (ou de Copernic). T N satellite ų F Terre r Figure 1.20 Vecteurs unitaires et force de gravitation La seule force est la force de gravitation F = m G (figure 1.20). La loi fondamentale de la dynamique permet d obtenir l accélération de la masse m : et en utilisant la relation (1.14) : F i = F = m G = m a i a = G = K M r 2 u où M est la masse du corps qui crée le champ de gravitation. On remarque que l accélération ne dépend pas de la masse m en mouvement. La plupart des trajectoires des planètes du système solaire (à l exception de Mercure) et des satellites de la Terre sont des ellipses faiblement excentriques. Une telle trajectoire peut être considérée, en première approximation, comme circulaire de rayon r. Nous allons utiliser, dans le plan de la trajectoire, le repère de Frenet dont l origine est le centre d inertie de la masse m (figure 1.20).

27 1BC Cinématique et Dynamique 27 Dans le cas d un mouvement circulaire, le vecteur unitaire u est parallèle au vecteur unitaire N de la base de Frenet et orienté dans le sens contraire de N. Il en suit que u = N et l expression de l accélération dans la base de Frenet est : a = 0 T + K M r 2 N. (1.16) Étude cinématique La relation (1.5) donne l expression générale de l accélération dans la base de Frenet en fonction des grandeurs cinématiques : a = dv dt T + v2 r N. En identifiant les deux expressions de l accélération, relations (1.16) et (1.5), l égalité des coordonnées tangentielles donne : alors que l égalité des coordonnées normales permet d écrire : dv dt = 0 v = constante (1.17) v 2 r = K M r 2 v2 = K M r. (1.18) On déduit de la relation (1.17) que le mouvement est uniforme. La relation (1.18) permet d obtenir l expression pour la vitesse linéaire constante : v = K M r. La période du mouvement circulaire uniforme se déduit de la relation (1.9) : T = 2π r v = 2π r 3 K M = 2π K M r 3 2 (1.19) On peut en déduire la 3 e loi de Kepler dans le cas particulier du mouvement circulaire : T 2 r 3 = (2π)2 K M = constante. Ce rapport est le même pour toute planète du système solaire ou pour tout satellite de la Terre. En utilisant la relation (1.8) on obtient l expression pour la vitesse angulaire : ω = v r = K M r 3 Remarques : Les vitesses linéaire et angulaire sont indépendantes de la masse en mouvement. Quand le rayon de la trajectoire augmente, les vitesses linéaire et angulaire diminuent.

28 28 Cinématique et Dynamique 1BC Satellite géostationnaire Définition Un satellite est dit géostationnaire s il reste en permanence à la verticale d un point de la surface terrestre. Il occupe une position fixe dans le référentiel terrestre. Conditions de stationnarité Quelles conditions doit vérifier un satellite pour être géostationnaire? Lorsque la Terre tourne autour de son axe polaire, les satellites stationnaires tournent également avec elle. La trajectoire d un satellite qui serait stationnaire au-dessus de Paris est circulaire dans un plan qui ne passe pas par le centre de la Terre (figure 1.21). Cela est impossible. En effet, la trajectoire d un satellite doit être dans un plan passant par le centre de la Terre pour que, d après le principe fondamental de la dynamique, les vecteurs force et accélération soient parallèles. Ce n est donc le cas que si le satellite est stationnaire au-dessus d un point de l équateur. satellite au-dessus de Paris (impossible) centre de la Terre satellite à la verticale d un point de l équateur (possible) Figure 1.21 Trajectoires de deux satellites «stationnaires» Un satellite ne peut être géostationnaire que si le plan de son orbite est confondu avec le plan de l équateur. Tout satellite géostationnaire se trouve à la verticale d un point de l équateur terrestre. Cette condition étant réalisée, la période de révolution du satellite doit être la même que la période de rotation de la Terre autour de son axe polaire. La période de révolution d un satellite géostationnaire est égale à un jour sidéral. La durée d un jour sidéral, notée T S, vaut : T S = 23 h 56 min 4 s = s. Considérons le mouvement de la Terre dans le référentiel héliocentrique (figure 1.22). Pendant un jour solaire d une durée de 24 h, la Terre tourne d un angle d environ 361. La durée d une rotation de 360, appelée jour sidéral, est inférieure à 24 h. Pour rester à la verticale du même point : Le sens de rotation du satellite autour de la Terre et celui de la Terre autour de son axe polaire doivent être identiques.

29 1BC Cinématique et Dynamique 29 Terre 24 h Soleil 1 Figure 1.22 Mouvement de la Terre dans le référentiel héliocentrique Altitude et vitesse Calculons l altitude d un satellite géostationnaire. En utilisant la relation (1.19), avec r = R T + z S, on obtient une expression reliant période et altitude : T S = 2π K MT (R T + z S ) 3 2 d où : et finalement : (R T + z S ) 3 = T S 2 K M T (2π) 2 Ã z S = 3 T S 2 K M T (2π) 2 R T. L altitude d un satellite géostationnaire est indépendante de sa masse! Avec R T = 6, m, M T = 5, kg et T S = s, l altitude d un satellite géostationnaire vaut z S = 3, m = km. La vitesse linéaire en orbite géostationnaire est : v S = K M T r = K M T R T + z S = 3,08 km/s.

30 30 Cinématique et Dynamique 1BC 1.4 Mouvement dans un champ magnétique L action d un champ magnétique sur une particule chargée en mouvement et le mouvement qui en résulte est à la base de nombreuses applications : tube de télévision, spectrographe de masse, cyclotron pour n en citer que quelques unes. Avant d étudier ce mouvement, nous allons rappeler les propriétés de la force magnétique subie par une particule chargée : la force de Lorentz Force de Lorentz Définition La force magnétique subie par une particule de charge q et de vitesse v dans un champ magnétique B s écrit : f = q v B Cette force est appelée force de Lorentz. L intensité de f s exprime en newtons (N) lorsque la charge est donnée en coulombs (C), la vitesse en mètres par seconde (m/s) et l intensité du champ magnétique en teslas (T). Les caractéristiques de la force de Lorentz sont : f est perpendiculaire à v et B, et donc au plan défini par v et B ; le sens de f est donné par la règle de la main droite : le pouce indique le sens de q v, l index celui du champ magnétique B, le majeur donne le sens de la force f ; l intensité de f est f = q sin α v B, où α est l angle formé par v et B. Remarques : La force de Lorentz est nulle si la charge est au repos ou si son vecteur vitesse est parallèle au vecteur champ. Un vecteur perpendiculaire au plan d étude sera convenablement représenté par : lorsque le vecteur est dirigé vers l avant du plan ; lorsque le vecteur est dirigé vers l arrière du plan Mouvement dans un champ uniforme Nous allons considérer une particule (ou un faisceau de particules) de charge q, de masse m et de vitesse initiale v 0, évoluant dans un champ magnétique B uniforme. Dans la suite nous allons nous limiter aux cas où v 0 B ou v 0 B. Étude expérimentale Nous rappelons ici les résultats d une expérience réalisée en classe de 2 e.

31 1BC Cinématique et Dynamique 31 Expérience 1.1 Un faisceau d électrons pénètre avec la vitesse initiale v 0 dans une ampoule contenant un gaz raréfié dans laquelle règne un champ magnétique uniforme B créé par des bobines de Helmholtz. Observations : si v 0 B, la trajectoire est circulaire. Le rayon de la trajectoire diminue quand l intensité de B augmente. Lorsque la vitesse des électrons croît, le rayon augmente. si v 0 B, le faisceau n est pas dévié. Interprétation : la modification de la trajectoire du faisceau d électrons est due à la présence de la force de Lorentz. Étude dynamique Nous allons déterminer les caractéristiques du mouvement de la particule chargée dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen. Les forces appliquées à la particule chargée sont : la force de Lorentz f = q v B en un point de la trajectoire où la vitesse de la particule est v ; le poids de la particule P = m g. Exercice 1.7 Comparer ces deux forces dans le cas d un électron se déplaçant à la vitesse v = 10 6 m/s dans un champ magnétique d intensité B = 10 3 T. Dans la suite nous allons négliger les effets du poids. Le principe fondamental de la dynamique permet d écrire : F i = f = q v B = m a. i Au cours du mouvement de la particule dans le champ magnétique, la force de Lorentz est à tout instant perpendiculaire au vecteur vitesse. Elle est donc normale à la trajectoire et ne travaille pas! Le théorème de l énergie cinétique permet alors de conclure que le mouvement de la particule est uniforme : E C = W ( f) = 0 E C = cte v = cte. L accélération de la particule est : a = q v B m. (1.20) L accélération est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs vitesse et champ magnétique. Étude cinématique Nous venons de montrer que la valeur de la vitesse de la particule reste constante au cours du mouvement : v = v 0 = constante

32 32 Cinématique et Dynamique 1BC Considérons d abord le cas v 0 B. La figure 1.23 montre le repère orthonormé utilisé. Son origine coïncide avec la position de la particule à l instant t = 0. y B f e v z O v 0 Figure 1.23 Orientation du repère orthonormé L accélération est à tout instant perpendiculaire au vecteur champ, donc : a z = dv z dt = 0 v z = constante. Comme v 0z = 0 à l instant t = 0, nous avons à tout instant : v z = dz dt = 0 z = constante. En considérant les conditions initiales, il vient z = 0. Le mouvement est décrit dans le plan z = 0 perpendiculaire à B. Dans ce plan, nous allons exprimer le vecteur accélération dans la base de Frenet. La coordonnée tangentielle a T est nulle car le vecteur accélération est à tout instant perpendiculaire à v et donc aussi à T : a T = 0. La coordonnée normale est positive et égale à la valeur de l accélération : a N = f m = q v B m. En remplaçant v par v 0. le vecteur accélération s écrit : x a = q v 0 B m N. (1.21) Identifions les expressions (1.21) et (1.5) de la coordonnée normale de l accélération : a N = v2 r = v 2 0 r où r est le rayon de courbure de la trajectoire. On a : r = m v 0 q B = q v 0 B m Comme les grandeurs m, v 0, q et B sont constantes, le rayon de courbure est constant. Le mouvement de la particule chargée est donc circulaire.

33 1BC Cinématique et Dynamique 33 Énoncé Lorsque la vitesse initiale v 0 de la particule chargée est perpendiculaire au champ magnétique B, la trajectoire est un cercle de rayon r = m v 0 q B décrit à vitesse constante dans un plan perpendiculaire à B. Le temps mis par la particule pour réaliser un tour complet est la période T du mouvement circulaire. On l obtient en divisant le périmètre du cercle par la vitesse de la particule : T = 2π r v 0 = 2π m q B. La période est indépendante de la vitesse de la particule et ne dépend que de sa nature et de l intensité du champ magnétique. Dans le cas où v 0 B, l accélération à t = 0 est nulle. Le vecteur vitesse reste donc inchangé et le mouvement de la particule est rectiligne et uniforme. Énoncé Lorsque la vitesse initiale v 0 de la particule chargée est parallèle au champ magnétique B, le mouvement est rectiligne uniforme Applications Spectrographe de masse Les physiciens et les chimistes utilisent quotidiennement une application importante de la déviation des particules dans un champ magnétique : le spectrographe de masse (figure 1.24). Cet appareil permet de séparer des ions de masses différentes et donc d analyser la composition atomique et isotopique de la matière. Les ions de masse m, de charge q et de vitesse initiale quasi nulle, sont tout d abord accélérés par une tension U jusqu à une vitesse v 0 qui, d après le théorème de l énergie cinétique, vérifie : 1 2 m v 0 2 = q U. Ils pénètrent ensuite dans une zone semi-circulaire où règne un champ magnétique B uniforme perpendiculaire à v 0. Leur trajectoire constitue alors un arc de cercle de rayon r tel que : r = m v 0 q B et en remplaçant v 0 par son expression en fonction de U, q, et m on obtient la masse d un ion : m = q B2 r 2 2 U. Les ions sont enfin recueillis sur un détecteur (plaque photographique, capteur électronique,...) où la position du point d impact permet de mesurer le rayon r de la trajectoire. Il est ainsi possible de mesurer la masse des ions incidents, mais aussi d analyser des mélanges, de séparer des isotopes, de déterminer des abondances isotopiques et de dater des échantillons de matière.

34 34 Cinématique et Dynamique 1BC accélération des ions v 0 U B chambre d ionisation O 1 r 1 O 2 r 2 détecteur Figure 1.24 Schéma d un spectrographe de masse Cyclotron Le cyclotron est un accélérateur de particules chargées comme des protons ou des deutérons. Ces particules sont accélérées à grande vitesse dans le vide et servent de projectiles que l on envoie sur des cibles de matière. Les collisions qui en résultent permettent d étudier la structure de la matière. Un cyclotron est constitué de deux parties creuses demi-cylindriques (figure 1.25) dont la forme rappelle celle de la lettre D ; en raison de cette forme particulière, on les appelle «dés». source S B Ę B sortie des particules dé Figure 1.25 Éléments d un cyclotron Un champ magnétique uniforme B est appliqué perpendiculairement aux dés. Un champ électrique est établi entre les dés en leur appliquant une différence de potentiel de l ordre de 10 kv. La source S de particules à accélérer est placée près du centre de l appareil. Les particules de charge q et de masse m sont émises à la vitesse v 1 par la source. Sous l effet du champ magnétique, elles parcourent un demi-cercle de rayon r 1, dans le

35 1BC Cinématique et Dynamique 35 B B B B S Ę v 1 v 2 S Ę v 3 r 1 r 2 r 3 (a) émission des particules (b) inversion du champ Figure 1.26 Principe de fonctionnement premier dé : r 1 = m v 1 q B. Elles sont ensuite accélérées par le champ électrique (figure 1.26a) et pénètrent dans le second dé à la vitesse v 2. Leur trajectoire dans le second dé est un demi-cercle de rayon r 2 : r 2 = m v 2 q B. Comme v 2 > v 1, le rayon dans le second dé est plus grand : r 2 > r 1. Lorsque les particules pénètrent pour la seconde fois dans l espace entre les dés, il faut, pour qu elles soient à nouveau accélérées, changer le sens du champ électrique (figure 1.26b). Comme la période de rotation des particules est indépendante de leur vitesse, on inverse le champ électrique en appliquant aux dés une tension alternative qui varie suivant la même période. R v max S Figure 1.27 Trajectoire des particules Le processus se répète jusqu à ce que le rayon de la trajectoire des particules soit maximal, c est-à-dire égal au rayon R des dés (figure 1.27). La vitesse maximale des

36 36 Cinématique et Dynamique 1BC particules à la sortie de l appareil vaut : v max = q B R m.

37 Chapitre 2 Oscillateurs 2.1 Systèmes oscillants Exemples d oscillateurs Les systèmes oscillants sont d une variété impressionnante et rares sont les domaines de la physique dans lesquels ils ne jouent pas un rôle important. En voici quelques exemples : la corde vocale, le cœur humain, la balançoire, le circuit électrique oscillant, les électrons dans les atomes, les cordes en physique des particules... Nous allons étudier les oscillations de quelques systèmes oscillants simples, mécaniques et électriques. La figure 2.1 montre quelques oscillateurs mécaniques. pendule pesant pendule élastique liquide dans un tube en U Figure 2.1 Oscillateurs mécaniques Mise en évidence expérimentale Expérience 2.1 Sur un banc à coussin d air, un chariot est accroché à deux ressorts identiques (figure 2.2). Les autres extrémités des ressorts sont fixes et distantes d une longueur suffisante pour que les ressorts soient toujours tendus. Le chariot est écarté de sa position d équilibre et puis lâché. Un dispositif permet d enregistrer au cours du temps la position du chariot par rapport à sa position d équilibre.

38 38 Oscillateurs 1BC ressort chariot banc à coussin d air Figure 2.2 Schéma du dispositif expérimental Observations : Si les amortissements sont négligeables, on obtient une sinusoïde (figure 2.3a). En diminuant la puissance de la soufflerie, l épaisseur du coussin d air est réduit ce qui fait augmenter la force de frottement ; on obtient des oscillations amorties (figure 2.3b). (a) sinusoïde (b) oscillations amorties Figure 2.3 Variations de la position au cours du temps Définitions d oscillateurs Définition Un oscillateur est un système physique manifestant la variation d une grandeur physique de part et d autre d un état d équilibre. Si les variation se reproduisent identiques à elles-mêmes, l oscillateur est dit périodique. Exemples : un oscillateur mécanique effectue un mouvement d aller-retour de part et d autre de sa position d équilibre ; en électricité, un circuit dans lequel circule un courant alternatif est un oscillateur électrique. Un oscillateur est harmonique si la variation de la grandeur physique est une fonction sinusoïdale du temps. Exemples : pendule élastique, pendule pesant. Un oscillateur libre effectue des oscillations correspondant à ses propres caractéristiques. Un oscillateur est forcé s il est soumis à un autre système oscillant qui essaie de lui imposer ses oscillations. Exemple : un ressort vertical effectue des oscillations libres quand il est tenu par une main immobile ; quand la main effectue un mouvement oscillant vertical on obtient des oscillations forcées.

39 1BC Oscillateurs 39 Un oscillateur amorti effectue des oscillations dont l amplitude diminue avec le temps. Pratiquement tous les oscillateurs observés sont plus ou moins amortis à cause des frottements. Un oscillateur est entretenu si l amplitude reste constante grâce à un apport extérieur d énergie. Exemple : le pendule d une montre Grandeurs caractéristiques des oscillateurs Période et fréquence La période T est la durée d une oscillation. C est la plus courte durée après laquelle le phénomène oscillatoire se reproduit identique à lui-même. L unité de la période est la seconde (s). La fréquence f est le nombre de fois que le phénomène oscillatoire se reproduit par seconde. L unité de la fréquence est le hertz (Hz). La période et la fréquence sont reliées par : f = 1 T. Équation horaire Considérons les oscillations d un oscillateur harmonique. La variation d une grandeur x du système est sinusoïdale. Cette grandeur est par exemple : la mesure algébrique de l écart par rapport à la position d équilibre, appelée élongation, du chariot sur le banc à coussin d air de l expérience précédente ; l intensité du courant électrique dans le cas d un oscillateur électrique. La forme la plus générale de l équation horaire d un oscillateur harmonique est : x(t) = x m sin(ω t + ϕ) (2.1) où les constantes x m, ω et ϕ sont les paramètres de l oscillation qui dépendent du système considéré. Les constantes x m et ω sont choisies positives. L argument du sinus, ω t + ϕ, est la phase de l oscillation à l instant t. Remarque : on peut également remplacer le sinus par un cosinus! La grandeur x prend des valeurs entre x m et +x m ; la constante x m est la valeur maximale de x, appelée amplitude. L unité de l amplitude est égale à celle de x. La valeur de x à l instant t = 0 est donnée par : x(t = 0) = x m sin(ϕ). La constante ϕ, appelée phase initiale, tient compte de la valeur initiale de la grandeur x et du sens initial de sa variation. Il reste à déterminer la constante ω. Elle s exprime en fonction de la période T de sorte que la condition de périodicité pour la grandeur x soit vérifiée. Lorsque le temps t augmente d une période T : x(t + T ) = x m sin(ω t + ϕ + ω T )

40 40 Oscillateurs 1BC l argument du sinus augmente de 2π de sorte que : x m sin(ω t + ϕ + ω T ) = x m sin(ω t + ϕ + 2π) = x(t). Pour que cette condition soit vérifiée à tout instant, ω doit vérifier la relation : La constante ω et est appelée pulsation : ω T = 2π ω = 2π T. ω = 2π T = 2π f (2.2) L unité de la pulsation est le hertz (Hz). Remarque : tandis que l amplitude et la phase initiale sont déterminées par les conditions initiales, la pulsation dépend uniquement des caractéristiques de l oscillateur. 2.2 Oscillateurs mécaniques Comme exemple type d un oscillateur mécanique, nous allons étudier en détail les oscillations d un pendule élastique horizontal (figure 2.4). ressort solide Figure 2.4 Pendule élastique horizontal Ce système oscillant simple est composé d un solide de masse m accroché à un ressort à spires non jointives de raideur k. Le solide peut se déplacer sans frottements sur un support horizontal Rappels sur le ressort La figure 2.5 montre un ressort de raideur k sur lequel un opérateur exerce une force F à l extrémité M du ressort. La position du point M est repérée par l abscisse x. La position x = 0 correspond à un ressort non tendu. La variation de la longueur du ressort est alors égale à x ; l allongement correspond à des valeurs positives de x, la compression à des valeurs négatives. T M F O x Figure 2.5 Ressort soumis à une force F

41 1BC Oscillateurs 41 Au point M le ressort exerce la tension T, avec T = F. La force F vérifie donc la loi de Hooke ; sa seule composante est : F x = k x. Cette composante est positive dans le cas d un allongement et négative dans le cas d une compression. L énergie potentielle élastique E p d un ressort tendu est égale au travail W effectué par la force F pour allonger (ou comprimer) le ressort d une longueur x. Comme la force varie au cours du déplacement du point d application M, il faut diviser le déplacement en déplacements élémentaires dx et calculer le travail élémentaire : δw = F x dx = k x dx. Ce travail élémentaire est égal à la variation de l énergie potentielle élastique : de p = k x dx de p dx = k x. L énergie élastique est donc une primitive par rapport à x de k x : E p = 1 2 k x2 + constante. La constante d intégration est choisie de sorte que l énergie élastique d un ressort non tendu, c est-à-dire quand x = 0, soit nulle. Un ressort de raideur k étiré ou comprimé de x possède donc l énergie : E p = 1 2 k x2 (2.3) Équation différentielle du mouvement Nous allons maintenant établir l équation différentielle qui régit le mouvement de l oscillateur élastique horizontal. Nous allons d abord nous servir de la relation fondamentale de la dynamique et puis aboutir au même résultat par des considérations énergétiques. Pour simplifier la première approche, nous allons négliger toute force de frottement. Relation fondamentale de la dynamique La position du solide de masse m est repérée par l abscisse x de son centre d inertie. On écarte le solide de sa position d équilibre O et on le lâche ; il effectue ensuite des oscillations autour de O. Les forces qui s appliquent au solide sont son poids P, la réaction R du support horizontal et la tension T du ressort de raideur k (figure 2.6). Appliquons le principe fondamental de la dynamique au solide de masse m : m a = i F i = P + R + T. Considérons la projection de cette équation vectorielle dans la direction du mouvement : m a x = P x + R x + T x.

42 42 Oscillateurs 1BC ressort de raideur k T R solide de masse m P O Figure 2.6 Bilan des forces du pendule élastique horizontal Comme le mouvement est horizontal, le poids est perpendiculaire à la direction du mouvement : P x = 0. La réaction étant perpendiculaire au support, sa projection dans la direction du mouvement est nulle : R x = 0. L abscisse x, appelée élongation, est la valeur algébrique de l écart par rapport à la position d équilibre O. La coordonnée T x de la tension du ressort vérifie la loi de Hooke et est de signe opposé à celui de l élongation : T x = k x. L équation se réduit à : x m a x = k x. Avec a x = v x = ẍ et en divisant par m, on obtient l équation différentielle du mouvement : ẍ = k m x La solution de cette équation différentielle est l équation horaire x(t). Conservation de l énergie On peut établir l équation différentielle du mouvement au moyen de considérations énergétiques en remarquant que l énergie mécanique du système est conservée en absence de frottements. L énergie mécanique E est la somme de l énergie cinétique E c du solide et de l énergie potentielle élastique E p du ressort (relation 2.3) : E = E c + E p = 1 2 m v x k x2. La conservation de l énergie mécanique se traduit par : E = constante de dt = d Ä 1 m v 2 x k 2 x2ä = 0 dt d où : 1 m 2 v dv x 2 x dt + 1 k 2 x dx 2 dt = 0. Avec dv x dt = a x = ẍ et dx dt = v x l expression devient : m v x ẍ + k x v x = 0. En divisant par m v x et en réarrangeant les termes on retrouve l équation différentielle du mouvement : ẍ = k m x.

43 1BC Oscillateurs Solution de l équation différentielle Solution sinusoïdale Une solution de l équation différentielle est une fonction du temps ; c est l équation horaire x(t) de l oscillateur. L expérience 2.1 a montré que l équation horaire du pendule élastique horizontal est une sinusoïde de la forme (relation 2.1) : x(t) = x m sin(ω 0 t + ϕ). Vérifions qu une expression sinusoïdale est effectivement solution de l équation différentielle du mouvement. En dérivant une première fois par rapport à t : et une deuxième fois : ẋ = x m ω 0 cos(ω 0 t + ϕ) (2.4) ẍ = x m ω 0 2 sin(ω 0 t + ϕ) = ω 0 2 x m sin(ω 0 t + ϕ) = ω 0 2 x (2.5) on constate que l équation différentielle du mouvement est vérifiée par l expression sinusoïdale sous condition que : ω 0 2 = k m. Exercice 2.1 Montrer que x(t) = x m cos(ω 0 t + ϕ) est également solution de l équation différentielle du mouvement. Après avoir lâché le solide, le pendule effectue des oscillations sans aucune influence de l extérieur ; c est donc un oscillateur libre. Pour cette raison la constante ω 0 est appelée pulsation propre de l oscillateur. La pulsation propre ω 0 est déterminée par les grandeurs caractéristiques du pendule élastique, à savoir la raideur du ressort et la masse du solide. L amplitude x m et la phase initiale ϕ sont déterminées par les conditions initiales. Période propre L équation (2.2) relie la pulsation à la période des oscillations. La pulsation propre du pendule élastique est : ω 0 = k m ce qui donne pour la période propre du pendule élastique : T 0 = 2π ω 0 = 2π m k

44 44 Oscillateurs 1BC Vitesse et accélération instantanées En utilisant les relations (2.4) et (2.5) on obtient la vitesse : v x = ẋ = x m ω 0 cos(ω 0 t + ϕ) et l accélération du solide : a x = ẍ = x m ω 2 0 sin(ω 0 t + ϕ) = ω 2 0 x. Les facteurs qui multiplient les fonctions trigonométriques sont les valeurs maximales de la vitesse : v max = x m ω 0 et de l accélération : a max = x m ω 0 2. L accélération est toujours de signe opposé à celui de x. Le vecteur accélération est toujours dirigé vers la position d équilibre. Quand l oscillateur s éloigne de sa position d équilibre, les vecteurs v et a sont opposés : le mouvement est freiné. Lorsqu il se rapproche de la position d équilibre, les deux vecteurs ont même sens : le mouvement est accéléré. Exemple : voir figure 2.7. Conditions initiales L amplitude x m et la phase initiale ϕ sont déterminées par les conditions initiales. À l instant t = 0, la position est x 0 = x m sin(ϕ) et la vitesse v x0 = v max cos(ϕ). Nous allons considérer uniquement les cas particuliers suivants : x 0 = ± x m et v x0 = 0. Le solide est écarté de sa position d équilibre de l amplitude x m et puis lâché sans vitesse initiale. La phase initiale est ϕ = π/2 si l élongation initiale est positive et ϕ = π/2 si elle est négative. x 0 = 0 et v x0 = ± v max. Le solide est lancé depuis sa position d équilibre avec la vitesse v max. La phase initiale est ϕ = 0 si cette vitesse est positive et ϕ = π si elle est négative. L amplitude est alors donnée par x m = v max /ω 0. Exercice 2.2 Reprendre cette discussion avec x(t) = x m cos(ω 0 t + ϕ). Représentation graphique Considérons le cas où la phase initiale est ϕ = π/2. Le solide est lâché sans vitesse initiale depuis la position x 0 = x m. La position à l instant t est donnée par : x = x m sin(ω 0 t + π/2) = x m cos(ω 0 t).

45 1BC Oscillateurs 45 L expression pour la vitesse devient : v x = v max cos(ω 0 t + π/2) = v max sin(ω 0 t). L accélération s exprime en fonction de la position : a x = ω 2 0 x = x m ω 2 0 cos(ω 0 t). Le tableau 2.1 reprend les valeurs des grandeurs cinématiques à des instants particuliers. t 0 T 0 /4 T 0 /2 3 T 0 /4 T 0 ω 0 t = (2π/T 0 ) t 0 π/2 π 3π/2 2π sin(ω 0 t) cos(ω 0 t) x x m 0 x m 0 x m v x 0 x m ω 0 0 x m ω 0 0 a x 2 x m ω x m ω x m ω 0 Table 2.1 Grandeurs cinématiques à des instants particuliers La figure 2.7 montre la représentation graphique de x(t), v x (t) et a x (t). Figure 2.7 Représentation graphique de x(t), v x (t) et a x (t) Oscillations amorties L expérience avec le pendule élastique a montré qu une augmentation progressive de la force de frottement provoque une diminution de l amplitude à chaque aller retour (figure 2.8a). Les oscillations du pendule sont amorties et le mouvement n est pas périodique au sens strict. On le qualifie de pseudo-périodique et on appelle pseudo-période la durée d une oscillation. Dans le cas d un faible amortissement, la pseudo-période est légèrement supérieure à la période propre du pendule. La valeur de la pseudo-période, donc le temps pour un allerretour, ne change pas durant le mouvement. Lorsque l intensité de la force de frottement dépasse une valeur critique, il n y a plus d oscillations. Écarté de sa position d équilibre, le pendule y revient lentement sans osciller (figure 2.8b). On qualifie alors le mouvement d apériodique. Exemples : les aiguilles d instruments à cadre mobile et les amortisseurs d automobile effectuent des mouvements apériodiques.

46 46 Oscillateurs 1BC (a) pseudo-périodique (b) apériodique Figure 2.8 Régimes oscillatoires en cas de frottements Le phénomène de résonance Étude expérimentale Expérience 2.2 On utilise le dispositif solide-ressort de l expérience 2.1 auquel on adjoint un moteur électrique dont la fréquence de rotation est variable et dont l axe de rotation supporte un excentrique (figure 2.9). Un des deux ressorts a maintenant une extrémité fixée à l excentrique, son autre extrémité est reliée au solide. Un dispositif permet d enregistrer au cours du temps la position du chariot par rapport à sa position d équilibre et la position de l extrémité du ressort fixée à l excentrique. excentrique ressort chariot Figure 2.9 Schéma du dispositif expérimental banc à coussin d air La soufflerie étant à pleine puissance, on met en marche le moteur avec une fréquence de rotation très petite. On observe qu après quelques instants le mouvement du mobile devient régulier. Le mouvement observé est alors d allure sinusoïdale. Nous allons faire varier la fréquence f de rotation du moteur de part et d autre de la fréquence propre f 0 de l oscillateur et étudier l évolution de l amplitude des oscillations du solide. Description du mouvement Les figures 2.10a à 2.10d montrent les enregistrements pour le pendule élastique horizontal. Les échelles de temps et d allongement du ressort sont les mêmes sur toutes les figures. Observations : En régime établi, la fréquence des oscillations du pendule élastique est la même que la fréquence de rotation du moteur. L amplitude des oscillations est maximale si la fréquence du moteur est égale à la fréquence propre du pendule élastique (figure 2.10c).

47 1BC Oscillateurs 47 (a) oscillations libres, f 0 (b) oscillations forcées, f < f 0 (c) résonance, f = f 0 (d) oscillations forcées, f > f 0 Figure 2.10 Oscillogrammes du pendule élastique horizontal Les oscillations du système solide-ressort sont dites forcées par le mouvement du point d accrochage du ressort à l excentrique, lui-même lié au moteur. Lorsqu un oscillateur est en oscillations forcées, sa fréquence est imposée par un dispositif extérieur, appelé l excitateur. Énoncé Pour une fréquence d excitation égale à la fréquence propre de l oscillateur, l amplitude des oscillations est maximale ; c est le phénomène de résonance. Un oscillateur en oscillations forcées est aussi appelé résonateur. Influence de l amortissement On recommence l expérience en excitant le résonateur au voisinage de sa fréquence propre, puis on règle la puissance de la soufflerie à des valeurs de plus en plus faibles. On constate alors que l amplitude du mouvement diminue lorsque la puissance de la soufflerie diminue, c est-à-dire lorsque l amortissement augmente.

48 48 Oscillateurs 1BC Énoncé L amplitude du mouvement à la résonance diminue d autant plus que l amortissement est important. Courbe de résonance En représentant l amplitude x m des oscillations en fonction de la fréquence f, on obtient la courbe de résonance. La figure 2.11 montre deux courbes pour des frottements d intensités différentes. x m x m1 faibles frottements x m2 frottements plus importants f 0 f Figure 2.11 Courbe de résonance amplitude en fonction de la fréquence Les courbes présentent des maxima de valeurs respectivement x m1 et x m2. Ces maxima d amplitude sont obtenus pour une fréquence de résonance f r égale la fréquence propre f 0 du système oscillant : f r = f 0 = 1 = 1 k T 0 2π m. Suivant l intensité des frottements, la résonance peut être : aiguë (courbe pointue avec un maximum x m1 ) lorsque l amortissement est faible ; floue (courbe aplatie avec un maximum x m2 ) lorsque l amortissement est plus important. L amplitude du mouvement à la résonance diminue d autant plus que l amortissement est important. Exemples de résonances mécaniques Le phénomène de résonance peut être utile ou destructif, comme le montrent les exemples suivants : La suspension d une automobile peut être modélisée par un ressort vertical fixé entre le châssis et l axe, ce qui constitue un oscillateur. Il arrivait, sur les modèles anciens, que pour certaines vitesses et certaines irrégularités dans la chaussée, l oscillateur entre en résonance. Cela se traduisait par une forte augmentation de l amplitude verticale du mouvement de la caisse et pouvait présenter des dangers : les roues décollaient de la route et perdaient toute adhérence. Afin de limiter cet effet, on ajoute des amortisseurs,

49 1BC Oscillateurs 49 généralement à huile, qui permettent de diminuer l amplitude du mouvement en cas de résonance. Le pont de Tacoma aux États-Unis s effondra en 1940 après être entré en résonance sous l action de bourrasques de vent périodiques jouant le rôle d excitateur. De même, en 1850, le tablier d un pont suspendu sur la Maine à Angers se rompit au passage d une troupe marchant au pas cadencé. Le tablier du pont et ses cibles de suspension, présentant une certaine élasticité, constituaient un oscillateur mécanique. L excitation provoquée par les pas cadencés de la troupe l avait fait entrer en résonance, provoquant sa rupture. Les tabliers des ponts actuels sont tous arrimés au sol par l intermédiaire de vérins amortisseurs qui permettent de limiter le phénomène de résonance. La caisse de résonance d un violon permet de renforcer les notes produites par la vibration des cordes. L âme est la pièce qui lie les cordes et la caisse de résonance. Elle doit être placée sous le chevalet. La caisse de résonance et la masse d air qu elle contient constituent un oscillateur mécanique. Ce dernier possède des périodes propres de vibration qui dépendent de la forme de la caisse. Les cordes du violon jouent le rôle de l excitateur, la caisse de résonance celui du résonateur.

50 50 Oscillateurs 1BC 2.3 Oscillateurs électriques Loi d Ohm pour une bobine Description d une bobine On obtient un solénoïde ou bobine en bobinant un fil conducteur électrique sur un support isolant. Le fil doit toujours être enroulé dans le même sens autour de l axe du support. La bobine crée un champ magnétique lorsqu elle est parcourue par un courant électrique. L étude du phénomène de l induction magnétique en classe de 2 e a montré qu une bobine ne se réduit pas, d un point de vue électrique, à la résistance du fil qui la constitue. Elle s oppose aussi aux variations du courant. Comportement d une bobine Lorsqu une bobine est parcourue par un courant électrique i variable, une tension u B apparaît à ses bornes. Quand le courant varie rapidement, cette tension est proportionnelle au taux de variation du courant électrique : u B di dt. En introduisant un coefficient de proportionnalité en en adoptant la convention récepteur pour la définition de la tension u B, il vient : u B = L di dt où L est appelée inductance de la bobine et s exprime en henrys (H). Remarques : L intensité i du courant peut être positive ou négative. On définit un sens positif du courant qui est représenté par une flèche. Lorsque i > 0, le courant circule dans le sens indiqué par la flèche ; lorsque i < 0, le courant circule dans le sens opposé. En convention récepteur, la flèche représentant la tension est en sens inverse de celle choisie pour le sens positif du courant. Les oscillogrammes de la figure 2.12 représentent la tension aux bornes de la bobine (voie 1) pour différents courants variables (voie 2). Modélisation du comportement d une bobine Pour une variation quelconque de l intensité au cours du temps, la tension est la somme de deux termes liés respectivement à la résistance et à l inductance de la bobine. En adoptant la convention récepteur, la tension u B et l intensité i du courant sont reliées par : u B = r i + L di dt (2.6)

51 1BC Oscillateurs 51 (a) courant en dents de scie (b) courant sinusoïdal (c) courant rectangulaire Figure 2.12 Tension aux bornes de la bobine pour différents courants Cette relation, appelée loi d Ohm pour une bobine, est l équivalent pour une bobine de la relation u R = R i pour une résistance R. Elle relie, dans toutes les situations, la tension aux bornes de la bobine et l intensité du courant qui la traverse. Remarques : En courant continu, le deuxième terme s annule et la bobine se comporte comme un conducteur ohmique. Lorsque la fréquence est largement supérieure à une certaine fréquence limite, l amplitude du premier terme devient négligeable devant celle du deuxième terme. r ri i L L di dt u B Figure 2.13 Symbole de la bobine

52 52 Oscillateurs 1BC Le symbole d une bobine représente les deux paramètres caractéristiques de la bobine : sa résistance et son inductance (figure 2.13) Énergie magnétique d une bobine Mise en évidence expérimentale Expérience 2.3 Un générateur de tension continue alimente une bobine par l intermédiaire de l interrupteur S. La diode D permet le passage du courant dans le moteur dans un seul sens (figure 2.14). L axe du moteur M entraîne une hélice. L interrupteur S est ouvert depuis une assez longue durée, le moteur est au repos. On ferme S, un courant s établit dans la bobine. Le moteur ne tourne pas, la diode empêchant le courant de le traverser. Après quelques instants, on ouvre S. Le moteur se met en rotation entraînant la hélice. S D M Interprétation : Figure 2.14 Mise en évidence de l énergie magnétique Lorsque le moteur se met à tourner, il n est plus connecté au générateur qui ne peut donc pas lui fournir de l énergie. Le courant ne traverse que le moteur, la diode et la bobine dans le sens permis par la diode. Seule la bobine peut donc fournir de l énergie au moteur. L énergie restituée pendant cette phase de l expérience a été stockée dans la bobine lors de l établissement du courant, à la fermeture de l interrupteur S. Expression de l énergie magnétique La bobine possède de l énergie magnétique E L lorsqu elle est parcourue par un courant électrique. Cette énergie est égale au travail électrique W que doit effectuer le générateur lors de l établissement de ce courant. A i L r B u AB Figure 2.15 Bobine traversée par un courant La puissance électrique P fournie par le générateur pour faire circuler un courant d intensité i de A vers B (figure 2.15) à travers la bobine est : P = u AB i.

53 1BC Oscillateurs 53 Avec la loi d Ohm pour une bobine : la puissance s écrit : u AB = r i + L di dt P = r i 2 + L i di dt. Le premier terme correspond à la puissance dissipée par effet Joule et ne contribue pas à l énergie magnétique de la bobine. Le deuxième terme est égal au taux de variation de l énergie magnétique : de L dt = L i di dt. L énergie magnétique est donc une primitive par rapport au temps de l expression L i di dt. Nous avons : E L = 1 2 L i2 + constante. La constante d intégration est choisie de sorte que l énergie d une bobine qui n est pas parcourue par un courant, c est-à-dire lorsque i = 0, soit nulle. L énergie magnétique emmagasinée dans une bobine d inductance L parcourue par un courant d intensité i est : E L = 1 2 L i Rappel sur le condensateur Les armatures d un condensateur portent des charges opposées. La tension u AB armatures A et B est reliée à la charge q de l armature A par : u AB = q C entre les (2.7) où C est la capacité du condensateur. A i q q B C u AB Figure 2.16 Conventions pour le condensateur La variation de la charge du condensateur est due à un courant électrique d intensité i. Avec les conventions de la figure 2.16 nous avons : i = dq dt. (2.8) L énergie potentielle électrique E C d un condensateur chargé est égale au travail électrique effectué pour charger le condensateur.

54 54 Oscillateurs 1BC La puissance électrique fournie au condensateur est : P = u AB i. Elle est égale au taux de variation de l énergie électrique. En utilisant les relations (2.7) et (2.8) il vient : de C = q dq dt C dt. L énergie électrique est une primitive par rapport au temps de l expression q dq C dt. Nous avons : E C = 1 q 2 2 C + constante. La constante d intégration est choisie de sorte que l énergie d un condensateur non chargé, c est-à-dire lorsque q = 0, soit nulle. L énergie électrique emmagasinée dans un condensateur de capacité C portant la charge q est : E C = 1 2 q 2 C Oscillations dans un dipôle RLC Expérience 2.4 Le circuit (figure 2.17) comporte un générateur de tension continue, un condensateur de capacité C, une bobine et une résistance variable R. Lorsque l interrupteur S est basculé dans la position 1, le condensateur se charge jusqu à ce que la tension à ses bornes u C soit égale à la f.é.m. E du générateur. 1 2 voie 1 S L C R Figure 2.17 Décharge d un condensateur dans une bobine En basculant S en position 2, on isole le générateur, le condensateur se décharge dans la bobine et dans la résistance montées en série. L oscilloscope enregistre la tension u C au cours de la décharge. On choisit initialement pour R la valeur R = 0,1 kω. On observe (figure 2.18a) que la décharge du condensateur est oscillante amortie. Elle n est pas périodique puisque u C ne reprend pas la même valeur à des intervalles de temps égaux ; l amplitude des oscillations décroît au cours

55 1BC Oscillateurs 55 du temps. La tension u C s annule à des instants séparés par des intervalles de temps égaux ; la décharge est dite pseudo-périodique. La pseudo-période est la durée qui sépare deux passages successifs de u C par 0 dans le même sens. (a) oscillations amorties, R = 0,1 kω (b) oscillations amorties, R = 1 kω (c) décharge apériodique, R = 10 kω Figure 2.18 Oscillogrammes des oscillations libres d un circuit RLC L expérience est répétée avec des valeurs de résistance plus grandes. Avec R = 1 kω la décharge est toujours oscillante amortie, mais l amortissement est plus important (figure 2.18b). Lorsque la résistance est très grande, par exemple pour R = 10 kω, les oscillations disparaissent (figure 2.18c). La tension décroît sans changer de signe. La décharge est apériodique. En annulant R, l amortissement, bien que plus faible, n est pas nul. La résistance de la bobine est la cause de cet amortissement. Énoncé Lorsque la résistance du circuit RLC est faible, la décharge du condensateur dans la bobine est oscillante amortie. L amortissement augmente avec la résistance totale du circuit. Au-delà d une valeur limite, la décharge devient apériodique.

56 56 Oscillateurs 1BC Équation différentielle pour un circuit LC Nous allons maintenant établir l équation différentielle qui régit les oscillations d un circuit LC ; la résistance totale du circuit est supposée négligeable. Loi des mailles Considérons le circuit LC de la figure 2.19 constitué d une bobine d inductance L et de résistance négligeable et d un condensateur de capacité C. i L u L u C q q C i Figure 2.19 Circuit oscillant LC L application de la loi des mailles donne : u L + u C = 0. Avec les relations (2.6) et (2.7) et en prenant r = 0 : u L = L di et u C = q dt C cette équation s écrit : L di dt + q C = 0. (2.9) En utilisant la relation (2.8) entre charge et intensité du courant, la dérivée par rapport au temps de l intensité est : di dt = d2 q dt = q. 2 En divisant l équation (2.9) par L et en réarrangeant les termes, l équation différentielle pour le circuit LC devient : q = 1 L C q Remarques : En remplaçant dans l équation différentielle q par C u C (relation 2.7) et en divisant ensuite par C on obtient l équation différentielle : ü C = 1 L C u C. Pour dériver par rapport au temps, on remarque que C est une constante et donc q = C ü C.

57 1BC Oscillateurs 57 L équation différentielle pour la charge a la même forme que celle pour l élongation d un oscillateur mécanique. Conservation de l énergie Nous allons établir cette même équation différentielle à partir de considérations énergétiques. L énergie E du système est la somme de l énergie électrique E C du condensateur et de l énergie magnétique E L de la bobine : E = E C + E L = 1 2 q 2 C L i2. Lorsque la dissipation d énergie par effet Joule peut être négligée, l énergie du système reste constante : E = constante de dt = d ( 1 q L 2 C 2 i2) = 0 dt d où : 1 2 q dq 2 C dt + 1 L 2 i di 2 dt = 0. Avec les conventions de la figure 2.19 nous avons i = dq dt devient : q i + L i q = 0. C di et dt = d2 q dt 2 = q. L expression En divisant par L i et en réarrangeant les termes on retrouve l équation différentielle du circuit LC : q = 1 L C q Solution de l équation différentielle Solution sinusoïdale Une solution de l équation différentielle est une fonction du temps ; c est l équation horaire q(t) de l oscillateur électrique. Les résultats expérimentaux et la forme de l équation différentielle suggèrent une solution sinusoïdale de la forme : q(t) = Q m cos(ω 0 t + ϕ) où Q m > 0 est la charge maximale de l armature positive du condensateur. Vérifions que cette fonction est effectivement solution de l équation différentielle du circuit. En dérivant une première fois par rapport à t : et une deuxième fois : q = Q m ω 0 sin(ω 0 t + ϕ) (2.10) q = Q m ω 0 2 cos(ω 0 t + ϕ) = ω 0 2 Q m cos(ω 0 t + ϕ) = ω 0 2 q

58 58 Oscillateurs 1BC on constate que l équation différentielle est vérifiée par la fonction sinusoïdale sous condition que : ω 0 2 = 1 L C. Exercice 2.3 différentielle. Montrer que q(t) = Q m sin(ω 0 t + ϕ) est également solution de l équation Lorsqu une bobine est branchée aux bornes d un condensateur chargé, le condensateur va se décharger et se charger périodiquement sans aucune influence de l extérieur ; le circuit LC est donc un oscillateur libre. Pour cette raison la constante ω 0 est appelée pulsation propre de l oscillateur. La pulsation propre est déterminée par les grandeurs caractéristiques du circuit LC, à savoir la capacité C du condensateur et l inductance L de la bobine. La charge maximale Q m et la phase initiale ϕ sont déterminées par les conditions initiales. Période propre La pulsation propre des oscillations libres du circuit LC est : ω 0 = 1 L C La relation (2.2) permet d obtenir la période propre : T 0 = 2π ω 0 = 2π L C (2.11) Tensions et intensité du courant La tension aux bornes du condensateur est donnée par la relation (2.7) : u C = q C = U m cos(ω 0 t + ϕ) où U m = Q m C est l amplitude de la tension u C. La loi des mailles permet d obtenir la tension aux bornes de la bobine : u L = u C = U m cos(ω 0 t + ϕ). L intensité du courant est obtenue à l aide des relations (2.8) et (2.10) : i = q = I m sin(ω 0 t + ϕ) où I m = Q m ω 0 est l amplitude de l intensité i. Le circuit LC est donc traversé par un courant alternatif sinusoïdal.

59 1BC Oscillateurs 59 Conditions initiales Les grandeurs Q m et ϕ sont déterminées par les conditions initiales, c est-à-dire par les valeurs de u C et i à l instant t = 0. Considérons l exemple d un condensateur qui a été chargé à l aide d un générateur de f.é.m. E. Lorsqu on branche la bobine sur ce condensateur chargé, la tension initiale au bornes du condensateur est E et sa charge initiale vaut Q m = C E. Nous avons à l instant t = 0 : E = U m cos(ϕ). L intensité du courant doit être nulle initialement car le courant ne peut pas s établir de façon instantanée dans la bobine : 0 = I m sin(ϕ). Il résulte de ces deux conditions que ϕ = 0 et U m = E, et ainsi : u C = U m cos(ω 0 t) = E cos(ω 0 t) u L = U m cos(ω 0 t) = E cos(ω 0 t) i = I m sin(ω 0 t) = C E ω 0 sin(ω 0 t) Exercice 2.4 Reprendre cette discussion si q(t) = Q m sin(ω 0 t + ϕ). Représentation graphique Le tableau 2.2 reprend les valeurs des tensions et de l intensité du courant à des instants particuliers. t 0 T 0 /4 T 0 /2 3 T 0 /4 T 0 ω 0 t = (2π/T 0 ) t 0 π/2 π 3π/2 2π sin(ω 0 t) cos(ω 0 t) u C U m 0 U m 0 U m u L U m 0 U m 0 U m i 0 C U m ω 0 0 C U m ω 0 0 Table 2.2 Tensions et intensité à des instants particuliers La figure 2.20 montre la représentation graphique de u C (t), u L (t) et i(t). Figure 2.20 Représentation graphique de u C (t), u L (t) et i(t) On constate que u C et i sont déphasées de π/2.

60 60 Oscillateurs 1BC Oscillations amorties L expérience 2.4 a montré que si la résistance totale du circuit n est pas négligeable, les oscillations sont amorties : l amplitude diminue. L effet de la résistance est comparable à celui d une force de frottement dans le cas d oscillations mécaniques. Pour une discussion de l influence de la résistance sur l amortissement, voir la section L énergie du système électrique n est plus constante mais elle est dissipée progressivement par effet joule. L équation différentielle et sa solution ne sont plus valables Le phénomène de résonance Étude expérimentale qualitative Un circuit LC livré à lui-même constitue un oscillateur libre de fréquence propre f 0. Que va-t-il se passer si nous allons forcer des oscillations dans un tel circuit? Expérience 2.5 Considérons le cas d un dipôle RLC série branché aux bornes d un générateur de tension alternative sinusoïdale. Nous allons utiliser le montage de la figure La capacité du condensateur vaut C = 18 µf, l inductance de la bobine est L = 9 mh. La fréquence propre est obtenue à l aide de la relation (2.11) et vaut f 0 = T 1 0 = 395 Hz. G R C L voie 2 voie 1 Figure 2.21 Circuit RLC en régime forcé Les figures 2.22a à 2.22c montrent les oscillogrammes du circuit RLC en régime forcé. Les échelles de temps et de tension sont les mêmes sur toutes les figures. L amplitude de la tension aux bornes du générateur (voie 1) est gardée constante. D après la loi d Ohm, l intensité i(t) circulant dans le circuit est proportionnelle à la tension aux bornes de la résistance (voie 2). Observations : En régime établi, la fréquence des oscillations du courant électrique est égale à celle du générateur de tension. L amplitude de l intensité est maximale si la fréquence du générateur est égale à la fréquence propre du circuit LC (figure 2.22c). Le générateur de tension joue le rôle de l excitateur et impose sa fréquence aux oscillations du circuit RLC ; ces oscillations sont dites forcées par le générateur de tension. Énoncé Pour une fréquence d excitation égale à la fréquence propre du circuit LC, l amplitude des oscillations du courant électrique devient maximale, c est le phénomène de résonance.

61 1BC Oscillateurs 61 (a) oscillations forcées, f < f 0 (b) oscillations forcées, f > f 0 (c) oscillations forcées, f = f 0 Figure 2.22 Oscillogrammes du circuit RLC en régime forcé C est pourquoi un circuit RLC en oscillations forcées est aussi appelé résonateur. Courbe de résonance Expérience 2.6 Nous mesurons à l aide d un ampèremètre l amplitude I du courant électrique. La figure 2.23 montre le montage utilisé. Le voltmètre sert à vérifier que l amplitude de la tension du générateur reste constante lors des mesures. Les résultats des mesures sont représentés à l aide de la courbe amplitude I en fonction de la fréquence f. La figure 2.24 représente deux courbes pour des valeurs différentes R 1 et R 2 de la résistance du circuit. Les courbes présentent des maxima de valeurs respectivement I 1 et I 2. Ces maxima d amplitude sont obtenus pour une fréquence de résonance f r égale à la fréquence propre f 0 du circuit oscillant non-amorti : f r = f 0 = 1 T 0 = 1 2π L C. Suivant les valeurs de la résistance, la résonance peut être :

62 62 Oscillateurs 1BC V G A I R C L Figure 2.23 Montage utilisé pour déterminer la courbe de résonance I I 1 R 1 I 2 R 2 =2R 1 f 0 f Figure 2.24 Courbe de résonance amplitude en fonction de la fréquence aiguë (courbe pointue de maximum I 1 ) lorsque la résistance est faible ; floue (courbe aplatie de maximum I 2 ) lorsque la résistance est plus importante. L amplitude de l intensité du courant électrique diminue d autant plus à la résonance que la résistance du circuit est importante.

63 Chapitre 3 Ondes et lumière 3.1 Propagation d une onde mécanique Signal transversal, signal longitudinal, onde Un signal mécanique est une déformation de courte durée d un milieu élastique. Cette déformation ne reste pas localisée à l endroit où elle est produite, mais elle se déplace dans le milieu élastique : elle se propage. Après le passage du signal le milieu reprend son état initial. Le point de départ du signal est la source S ; la direction et le sens dans lesquels le signal se déplace constituent la direction et le sens de propagation. (a) t = t 1 (a) t = t 1 (b) t = t 2 (b) t = t 2 (c) t = t 3 Figure 3.1 Signal transversal (c) t = t 3 Figure 3.2 Signal longitudinal Si, lors du passage de la déformation, les différents points du milieu se déplacent perpendiculairement à la direction de propagation (figure 3.1), la déformation est un signal transversal. Si, lors du passage de la déformation, les différents points du milieu se déplacent dans la direction de propagation (figure 3.2), la déformation est un signal longitudinal.

64 64 Ondes et lumière 1BC Une onde est une série de signaux qui se suivent à des intervalles de temps réguliers ; elle peut être transversale ou longitudinale Célérité Définition On appelle célérité c la vitesse de propagation d un signal ou d une onde. Propriétés : La célérité c ne dépend pas de la forme du signal. Dans un milieu homogène donné la célérité c est constante. Pour atteindre le point M (figure 3.3a), le signal met un temps t tel que OM = c t. Le point M reproduit le mouvement de la source avec un retard : t = OM c c est-à-dire le mouvement de M à la date t est identique au mouvement de S à la date t t. (a) milieu à une dimension (b) milieu à deux dimensions Figure 3.3 Célérité d un signal Dans un milieu homogène à deux (figure 3.3b) ou à trois dimensions, la célérité c est la même dans toutes les directions. La célérité c dépend de la nature et de l état du milieu de propagation (tableau 3.1) Propagation d une onde sinusoïdale le long d une corde Célérité le long d une corde Le long d une corde tendue, la célérité dépend de la tension F T de la corde et de sa masse par unité de longueur, appelée masse linéaire µ, selon la relation : c = FT µ (3.1)

65 1BC Ondes et lumière 65 signal milieu de propagation célérité en m/s son air à 0 C 330,7 air à 20 C 342,6 air à 40 C 354,1 eau de mer à 15 C 1500 acier 5000 hydrogène à 20 C 1300 lumière vide eau 2, verre ordinaire Table 3.1 Célérités dans différents milieux Longueur d onde et période Considérons une source S dont le mouvement est sinusoïdal de période T. Pour comprendre la déformation progressive de la corde, il est commode de la représenter à différents instants : t = 0 : la source commence son mouvement (figure 3.4a) ; t = T/4 : t = T/2 : t = 3 T/4 : t = T : t = 2 T : la source a fait un quart d oscillation (figure 3.4b), le front d onde atteint le point M 1 tel que OM 1 = c T/4 ; la source a fait une demi-oscillation (figure 3.4c), le front d onde atteint le point M 2 tel que OM 2 = c T/2 ; la source a fait trois quarts d oscillation (figure 3.4d), le front d onde atteint le point M 3 tel que OM 3 = c 3 T/4 ; la source a effectué une oscillation complète (figure 3.4e), la déformation atteint une longueur de corde qu on appelle longueur d onde λ = c T ; la source a effectué deux oscillations complètes (figure 3.4f) ; la déformation atteint une longueur de corde 2 λ = c 2 T = 2 c T. Définition La longueur d onde λ est la distance parcourue par l onde en une période T. La longueur d onde dépend à la fois de la période T, donc de la source, et de la célérité c, donc du milieu de propagation. λ = c T (3.2) La fréquence f = 1 T de la source permet d écrire : λ = c f Double périodicité du phénomène de propagation Périodicité temporelle Un point M donné du milieu exécute, comme la source, une vibration sinusoïdale qui se reproduit identiquement à elle-même après le temps T. La durée T est la période dans le

66 66 Ondes et lumière 1BC (a) t = 0 (b) t = T/4 (c) t = T/2 (d) t = 3 T/4 (e) t = T (f) t = 2 T Figure 3.4 Propagation d un signal sinusoïdal temps. La sinusoïde qui représente les variations de l élongation d un point en fonction du temps est appelée sinusoïde des temps. Elle est représentée dans le repère (O, t, y) (figure 3.5). La projection du point S sur Oy (figure 3.5a) est appelée élongation de la source S et est notée y S. La projection du point M sur Oy (figure 3.5b) est appelée élongation du point M et est notée y M. (a) y S (t) (b) y M (t) Figure 3.5 Sinusoïdes des temps La sinusoïde des temps du point M d abscisse x se déduit de la sinusoïde des temps de la source par une translation t = x/c le long de l axe des temps.

67 1BC Ondes et lumière 67 Périodicité dans l espace À un instant t donné on retrouve le même état vibratoire le long de la corde à une distance égale à la longueur d onde λ. La distance λ est la période dans l espace. La sinusoïde qui représente les variations de l élongation dans l espace, à un instant donné, est appelée sinusoïde des espaces. Elle se confond avec l image qu on obtiendrait en photographiant la corde à l instant t considéré. Elle est représentée dans le repère (O, x, y) (figure 3.6). (a) y t (x) (b) y t+t/4 (x) (c) y t+t/2 (x) (d) y t+3 T/4 (x) (e) y t+t (x) Figure 3.6 Sinusoïdes des espaces La sinusoïde des espaces progresse au cours du temps, avec une vitesse c égale à la célérité : la vibration de la source engendre dans le milieu une onde progressive. Deux points M et N de la corde, séparés des distances λ, 2 λ,..., n λ avec n Z, ont à tout instant la même élongation ; ils vibrent en phase : x = x N x M = n λ = 2n λ 2 (3.3) Deux points M et P de la corde, séparés des distances λ/2, 3 λ/2,..., (2n + 1) λ/2 avec n Z, ont à tout instant des élongations opposées ; ils vibrent en opposition de phase : x = x P x N = (2n + 1) λ 2 (3.4) Équation d onde L équation horaire de la source S peut s écrire sous la forme : y S (t) = Y 0 sin(ω t + ϕ)

68 68 Ondes et lumière 1BC où y S (t) est l élongation de la source S à la date t, Y 0 est l amplitude de la source et ω la pulsation de la source. La période T et la pulsation ω sont reliées par la relation : ω = 2π T. Nous supposons que la propagation se fait sans amortissement dans le sens des x positifs. Pour atteindre le point M situé à la distance x de la source S, l onde met le temps : t = x c. L élongation y M du point M à la date t est la même que l élongation y S de la source à la date antérieure t t : et avec c T = λ il vient : y M (t) = y S (t t) = Y 0 sin [ω (t t) + ϕ] ï Å = Y 0 sin ω t x ã ò + ϕ c ï 2π Å = Y 0 sin t x ã ò + ϕ T c ï Å t = Y 0 sin 2π T x ã ò + ϕ c T ï Å t y M (t) = Y 0 sin 2π T λã x ò + ϕ où x est l abscisse du point M. Tous les points ont la même amplitude et la même pulsation que la source, mais ils n effectuent pas le même mouvement en même temps. Ainsi : ï Å t y(x, t) = Y 0 sin 2π T λã x ò + ϕ (3.5) est l équation de l onde progressive en fonction des variables x et t.

69 1BC Ondes et lumière Interférences mécaniques Conditions d interférences L interférence est un phénomène qui résulte de la superposition de deux ondes de même nature et de même fréquence. Les sources émettrices de ces ondes doivent être cohérentes, c est-a-dire présenter l une sur l autre un déphasage constant et avoir la même fréquence. Si le déphasage est nul, donc si les sources sont en phase, on dit qu elles sont synchrones Superposition de petits mouvements Quand deux signaux se rencontrent, ils se croisent sans se gêner ; leur propagation et leur forme ne sont pas modifiées après le croisement. (a) avant croisement (b) pendant croisement (c) après croisement Figure 3.7 Signaux de même signe (a) avant croisement (b) pendant croisement (c) après croisement Figure 3.8 Signaux de signes opposés Pendant le croisement, l élongation résultante est donnée par la règle de superposition des petits mouvements. Énoncé Lorsque deux signaux colinéaires de faible amplitude se superposent en un point M, l élongation résultante y est égale à la somme algébrique des élongations y 1 et y 2 que provoqueraient en M les deux signaux en se propageant seuls : y = y 1 + y 2. Les deux signaux peuvent ainsi se renforcer (figure 3.7) lors de leur croisement ou bien se détruire (figure 3.8).

70 70 Ondes et lumière 1BC Interférences dans un milieu à une dimension Réflexion d un signal à l extrémité du milieu Lors de la réflexion sur une extrémité fixe (figure 3.9), l élongation change de signe. (a) signal incident (b) signal réfléchi Figure 3.9 Extrémité fixe (a) signal incident (b) signal réfléchi Figure 3.10 Extrémité libre La réflexion à l extrémité libre (figure 3.10) se fait sans changement de signe. Expérience de Melde Expérience 3.1 Un vibreur anime l extrémité S d une corde tendue d un mouvement vibratoire sinusoïdal (figure 3.11). Figure 3.11 Dispositif expérimental À l extrémité E, au contact de la poulie, une onde réfléchie de même fréquence prend naissance et se propage en sens opposé. On peut varier la longueur utile SE = l de la corde, la tension F T de la corde mesurée par un dynamomètre et la fréquence f du vibreur.

71 1BC Ondes et lumière 71 Observations : Pour un réglage convenable, la corde vibre en plusieurs fuseaux d égale longueur (figures 3.11 et 3.12). (a) t = 0 (b) t = T/4 (c) t = T/2 (d) t = 3 T/4 (e) t = T Figure 3.12 Aspect stroboscopique de la corde Les extrémités des fuseaux sont appelés nœuds N i (i N), les milieux des fuseaux sont appelés ventres de vibration V i (i N). La longueur d un fuseau est égale à λ/2. L extrémité E en contact avec la poulie est un nœud. En première approximation, l extrémité S fixée au vibreur peut également être assimilée à un nœud. Vu de loin, le système paraît immobile ; il n y a pas de progression le long de la corde. Pour cette raison le phénomène est appelé onde stationnaire. L éclairage stroboscopique 1 permet de voir que la corde se déforme sur place. L amplitude des vibrations est nulle aux nœuds et maximale aux ventres. L aspect de la corde dépend : de la tension F T de la corde ; de la longueur l la corde ; de la fréquence f du vibreur. L apparence en fuseaux n est obtenue que pour des valeurs discrètes de ces paramètres. Le nombre n de fuseaux : 1 Le stroboscope est un appareil qui permet d émettre des flash lumineux à une fréquence donnée. Si cette fréquence des éclairs est égale à la fréquence de l oscillateur, alors on observe un repos apparent. Si la fréquence des éclairs est légèrement inférieure à la fréquence de l oscillateur, alors on observe un mouvement ralenti apparent.

72 72 Ondes et lumière 1BC diminue quand on augmente la tension F T de la corde (sans modifier sa longueur l ni la fréquence f) ; augmente quand on augmente la longueur l utile de la corde (sans modifier sa tension F T ni la fréquence f) ; augmente lorsqu on augmente la fréquence f du vibreur (sans modifier ni la longueur l ni la tension F T ). Interprétation : Une onde stationnaire résulte de l interférence de deux ondes qui se propagent suivant la même direction, mais en sens opposés : l onde incidente y 1 (x, t) issue de la source en S et l onde réfléchie y 2 (x, t) qui prend naissance à l extrémité fixe E. Ces deux ondes ont la même fréquence et la même amplitude. Aux ventres ces deux ondes arrivent à tout instant en phase, il y a interférence constructive. D après le principe de superposition, l amplitude résultante est égale à la somme des amplitudes des ondes composantes. Aux nœuds ces deux ondes arrivent à tout instant en opposition de phase, il y a interférence destructive. D après le principe de superposition, l amplitude résultante est nulle. Étude théorique des ondes stationnaires Soit T la période du vibreur dont l équation horaire peut s écrire sous la forme : Å 2π ã y(t) = Y 0 sin T t. (3.6) Le point M se trouvant à l abscisse x est sollicité à la fois par deux ondes : l onde incidente y 1 (x, t) issue de S et l onde y 2 (x, t) réfléchie en E. En tenant compte de l expression (3.6), l équation d onde y 1 (x,t) de l onde incidente s écrit : ï Å t y 1 (x, t) = Y 0 sin 2π T λãò x. L onde réfléchie a parcouru la distance 2l x et subit un saut de phase de π à l extrémité fixe E. Son équation d onde y 2 (x,t) est : ñ Ç t y 2 (x, t) = Y 0 sin 2π T 2l x å ô + π. λ Le mouvement résultant de M sera calculé en appliquant la relation trigonométrique : sin p + sin q = 2 sin p + q 2 cos p q 2.

73 1BC Ondes et lumière 73 D où : y M = y 1 + y 2 ï Å t = Y 0 sin 2π T λãò x ñ Ç t + Y 0 sin 2π T 2l x å ô + π λ ñ Ç 2t = 2 Y 0 sin π T 2l å + π ô ñ Ç å 2l 2x cos π π ô λ 2 λ 2 ñ Ç åô ñ Ç 2l 2x 2t = 2 Y 0 sin π sin π λ T 2l å + π ô λ 2 Ç = 2 Y 0 sin 2π l x å Ç sin 2π t λ T 2π l λ + π å 2 = A M sin Å2π t ã T + Φ. L amplitude résultante A M, indépendante de t, vaut : Ç A M = 2 Y 0 sin 2π l x å λ (3.7) Le point M d abscisse x a un mouvement de période T, de phase Φ et d amplitude A M. Si M est situé sur un nœud, l amplitude A M est nulle, donc : 2π l x λ = k 0 π k 0 Z l x = k 0 λ 2 x = l k 0 λ 2 Puisque l = n λ 2, l abscisse du k-ième nœud s écrit (avec k = n k 0) : x Nk = k λ 2 k Z (3.8) Si M est situé sur un ventre, l amplitude A M est maximale, donc : 2π l x λ = (2k 1 + 1) π 2 k 1 Z l x = (2k 1 + 1) λ 4 x = l (2k 1 + 1) λ 4 Puisque l = n λ 2, l abscisse du k -ième ventre s écrit (avec k = n k 1 ) : x Vk = (2k + 1) λ 4 k Z (3.9)

74 74 Ondes et lumière 1BC Application aux instruments à cordes La corde, tendue entre deux points fixes, vibre en un nombre entier de fuseaux, donc sa longueur est égale à un multiple de la demi-longueur d onde : l = n λ 2 = n c 2 f = n FT 2 f µ (3.10) avec : n nombre de fuseaux c célérité le long de la corde c = F T tension de la corde µ masse linéaire de la corde f fréquence de la vibration f = c λ FT µ Énoncé Pour F T, µ et l donnés, on obtient une onde stationnaire seulement pour les fréquences vérifiant la relation : f = n 2 l FT µ n N (3.11) Ces fréquences sont appelées fréquences propres de la corde vibrante. La valeur n = 1 correspond au son le plus grave que la corde puisse émettre : c est le son fondamental. La corde vibre alors en un seul fuseau. Aux valeurs n = 2, 3,... correspondent des sons plus aigus, appelés harmoniques. La formule des cordes vibrantes montre que : la fréquence du son fondamental augmente avec la tension de la corde, propriété utilisée pour accorder les instruments ; plus la masse linéaire est grande, plus la fréquence du son émis est faible, donc plus le son est grave, pour une tension et une longueur données ; plus la corde est courte, plus la fréquence est élevée, donc plus le son émis est aigu, pour une tension et une masse linéaire données Interférences dans un milieu à deux dimensions Mise en évidence expérimentale Expérience 3.2 Une fourche munie de deux pointes est fixée à l extrémité d un vibreur (figure 3.13). Les pointes O 1 et O 2 ont ainsi même fréquence et constituent deux sources cohérentes. Elles font naître à la surface de l eau des ondes circulaires. Observations :

75 1BC Ondes et lumière 75 Figure 3.13 Dispositif expérimental À la surface libre du liquide on observe des rides fixes, bien nettes entre O 1 et O 2. Elles ont la forme d arcs d hyperboles dont les foyers sont O 1 et O 2. On les appelle des lignes ou des franges d interférences (figure 3.14). Elles disparaissent si l une des pointes vibre sans toucher l eau. Figure 3.14 Franges d interférences Interprétation Supposons que les deux pointes frappent l eau exactement au même instant. O 1 et O 2 constituent alors deux sources non seulement cohérentes, mais synchrones. Supposons de plus qu elles pénètrent à la même profondeur dans l eau : O 1 et O 2 constituent alors deux sources synchrones de même amplitude. Avec un choix convenable de l origine des temps leur équation horaire est du type : Å 2π ã y(t) = Y 0 sin T t.

76 76 Ondes et lumière 1BC Figure 3.15 Distances entre sources et point d observation Soit M un point de la surface de l eau (figure 3.15) situé à la distance d 1 de O 1 et à la distance d 2 de O 2. L onde venant de O 1 impose au point M le mouvement d équation horaire : ñ Ç t y 1 (t) = Y 0 sin 2π T d åô 1. λ L onde venant de O 2 impose au point M le mouvement d équation horaire : ñ Ç t y 2 (t) = Y 0 sin 2π T d åô 2. λ Le mouvement résultant en M est y = y 1 + y 2. Interférence constructive : L amplitude du mouvement résultant est maximale aux points où les deux vibrations y 1 et y 2 sont en phase. L application de la relation : sin a = sin b a = b + n 2π n Z donne : Ç t y 1 = y 2 2π T d å Ç 1 t = 2π λ T d å 2 + n 2π. λ D où la condition que doit vérifier un point d une frange d amplitude maximale : d 2 d 1 = 2n λ 2 n Z (3.12) À chaque valeur de n correspond une hyperbole. Les points qui obéissent à la condition n = 0 sont ceux appartenant à la médiatrice de [O 1 O 2 ]. Les points qui obéissent à la condition n 0 appartiennent à une famille d hyperboles de foyers O 1 et O 2. Interférences destructive : L amplitude du mouvement résultant est minimale aux points où les deux vibrations y 1 et y 2 sont en opposition de phase. L application de la relation : sin a = sin b a = b + (2n + 1) π n Z donne : Ç t y 1 = y 2 2π T d å Ç 1 t = 2π λ T d å 2 + (2n + 1) π. λ D où la condition que doit vérifier un point d une frange d amplitude minimale : d 2 d 1 = (2n + 1) λ 2 n Z (3.13)

77 1BC Ondes et lumière 77 À chaque valeur de n correspond une hyperbole. Les points qui obéissent à cette condition appartiennent à une autre famille d hyperboles de foyers O 1 et O 2 qui s intercalent entre celles des interférences constructives. Points intermédiaires : L état vibratoire en un point M dépend donc de la différence des distances de ce point aux deux sources : δ = d 2 d 1 est appelée différence de marche. Figure 3.16 Construction des franges d interférences Conclusions Les conditions d interférences constructives ou destructives peuvent se résumer comme suit : Si la différence de marche en M est égale à un nombre pair de demi-longueurs d onde, c est-à-dire la différence de marche est un nombre entier de longueurs d onde, l amplitude en M est maximale. Si la différence de marche en M est égale à un nombre impair de demi-longueurs d onde, l amplitude en M est minimale.

78 78 Ondes et lumière 1BC Interférences dans un milieu à trois dimensions Détection des ondes acoustiques Les ondes sonores ou acoustiques sont des ondes longitudinales qui se propagent dans tout milieu élastique, en particulier dans l air. L onde se propage dans toutes les directions de l espace à partir de la source. L oreille mise à part, le détecteur de choix est le microphone. Sa pièce maîtresse est une membrane élastique que l onde sonore met en vibration. Les vibrations mécaniques de la membrane sont ensuite transformées en vibrations électriques, c est-à-dire en tension alternative qu on peut visualiser sur l écran d un oscilloscope. Interférences de deux ondes acoustiques Expérience 3.3 Deux haut-parleurs P 1 et P 2 (figure 3.17), alimentés par un même générateur basse fréquence, sont placés l un à côté de l autre. Un microphone mobile est relié à un oscilloscope. Figure 3.17 Interférences d ondes acoustiques Observations : Quand on déplace le microphone parallèlement à l alignement des deux haut-parleurs, l amplitude de la vibration sonore qu il détecte passe alternativement par un minimum et par un maximum. Ces variations de l amplitude du son détecté peuvent être observées non seulement dans le plan des deux haut-parleurs, mais dans tout l espace compris entre eux. Interprétation : L onde sonore détectée résulte de l interférence des deux ondes acoustiques cohérentes émises par les deux haut-parleurs. En tout point M où l amplitude est maximale, la différence de marche des deux ondes acoustiques est telle que : P 1 M P 2 M = n λ = 2n λ 2 n Z. En tout point N où l amplitude est minimale, la différence de marche des deux ondes acoustiques est telle que : P 1 N P 2 N = (2n + 1) λ 2 n Z.

79 1BC Ondes et lumière Le phénomène de diffraction Comment se comporte une onde lorsqu elle rencontre un obstacle? Expérience 3.4 À l aide d une lame rectiligne on crée une onde progressive rectiligne à la surface de l eau dans une cuve à ondes. On interpose sur le parcours de l onde un écran muni d une fente étroite ou un obstacle étroit. (a) Photographie (b) Schéma Figure 3.18 Diffraction d une onde rectiligne par une fente étroite La photographie 3.18a montre l onde après le passage d une fente de largeur inférieure à la longueur d onde. On remarque que l onde pénètre dans la «zone d ombre» de l écran ; la fente se comporte comme une source secondaire d ondes circulaires. On dit qu il y a diffraction de l onde rectiligne par la fente. (a) Photographie (b) Schéma Figure 3.19 Diffraction d une onde rectiligne par un obstacle étroit Le phénomène de diffraction est également observé lorsqu une onde rencontre un obstacle étroit. Des ondes circulaires pénètrent dans la «zone d ombre» de l obstacle (photographie 3.19a). Définition La diffraction est le phénomène par lequel une onde est déviée de sa trajectoire initiale lorsqu elle rencontre une ouverture ou un obstacle dont la dimension est de l ordre de la longueur d onde.

80 80 Ondes et lumière 1BC 3.3 Interférences lumineuses Expérience des fentes de Young Expérience 3.5 Une source monochromatique intense éclaire un écran percé d une fente O. Cette fente donne naissance à un faisceau divergeant qui éclaire un second écran percé de deux fentes très fines et parallèles, O 1 et O 2, distantes de quelques millimètres (figure 3.20). Par le phénomène de diffraction, les deux fentes O 1 et O 2 se comportent comme des sources identiques divergentes. Un écran E, placé parallèlement au plan des fentes, recueille la lumière issue de O 1 et O 2. Figure 3.20 Expérience des fentes de Young Ce dispositif a permis au physicien britannique Thomas Young ( ) de démontrer la nature ondulatoire de la lumière. Observations : Sur l écran on observe une série de raies parallèles, de même largeur, alternativement brillantes et sombres : ce sont des franges d interférences. Elles ne sont observables que si l écran E est placé dans la zone de recouvrement des faisceaux issus de O 1 et O Interprétation Il est surprenant de voir qu en certains points de l espace : lumière + lumière obscurité. Cette expérience rappelle l expérience des interférences mécaniques où en certains points de l espace : mouvement + mouvement immobilité; son + son silence. Par analogie, il faut admettre qu une lumière monochromatique est une vibration sinusoïdale qui se propage à partir de la source lumineuse. La fréquence de l onde lumineuse est caractéristique de la couleur de la lumière. La lumière issue de O éclaire les deux fentes fines O 1 et O 2. Celles-ci se comportent, par le phénomène de diffraction, comme deux nouvelles sources identiques de lumière. En un point M de la région où les deux faisceaux divergents se superposent, les ondes lumineuses interfèrent :

81 1BC Ondes et lumière 81 il y a lumière en M si l interférence y est constructive ; il y a obscurité en M si l interférence y est destructive Calcul de la différence de marche L état vibratoire en un point M dépend de la différence de marche de ce point aux deux sources O 1 et O 2 : δ = d 2 d 1 = O 2 M O 1 M. Soit D la distance séparant le plan des fentes du plan de l écran, d 1 et d 2 les distances séparant un point M des sources O 1 et O 2, a la distance séparant les deux fentes et x l abscisse du point M de l écran repéré par rapport à la médiatrice (IJ) de [O 1 O 2 ]. Figure 3.21 Différence de marche Le triangle O 1 MK est rectangle en K : O 1 M 2 = O 1 K 2 + KM 2. Le triangle O 2 ML est rectangle en L : O 2 M 2 = O 2 L 2 + LM 2. Avec : O 1 K = O 2 L = D KM = x a 2 LM = x + a 2 O 1 M = d 1 O 2 M = d 2 ces expressions s écrivent : et : d 1 2 = D 2 + d 2 2 = D 2 + Å x a ã 2 2 Å x + a 2 ã 2.

82 82 Ondes et lumière 1BC Calculons la différence des deux carrés d 2 2 d 1 2 : Å d 2 2 d 2 1 = D 2 + x + a ã 2 Å D 2 x a ã Å = x + a ã 2 Å x a ã = x 2 + 2x a Å a ã x 2 + 2x a Å a ã = 2x a 2 + 2x a 2 = 2a x. En appliquant la différence de deux carrés : (d 2 d 1 )(d 2 + d 1 ) = d 2 2 d 1 2 (d 2 d 1 )(d 2 + d 1 ) = 2a x d 2 d 1 = 2a x d 2 + d 1 Les distances a et x sont très faibles devant D (a et x sont de l ordre du mm, tandis que D est de l ordre du m). Les rayons O 1 M et O 2 M sont donc peu inclinés par rapport à la médiatrice (IJ). On pourra faire l approximation suivante : d 2 + d 1 2D. Il vient : δ = d 2 d 1 = d où l expression de la différence de marche : 2a x = 2a x d 2 + d 1 2D δ = a x D (3.14) Position des maxima et des minima Positions des franges brillantes On observe une frange brillante en M si l interférence y est constructive, c est-à-dire si : δ = 2n λ 2 n Z et en tenant compte de la relation (3.14) : a x D = n λ x = n λ D a. Les abscisses des franges brillantes sont donc : 0, ± λ D a, ± 2 λ D a, ± 3 λ D a,... La frange centrale est brillante. Deux franges brillantes voisines sont séparées par la distance constante λ D a.

83 1BC Ondes et lumière 83 Positions des franges obscures On observe une frange obscure en M si l interférence y est destructive, c est-à-dire si : δ = (2n + 1) λ 2 n Z et en tenant compte de la relation (3.14) : a x D = (2n + 1) λ 2 x = 2n + 1 λ D 2 a. Les abscisses des franges obscures sont donc : ± 1 2 λ D a, ± 3 λ D 2 a, ± 5 λ D 2 a,... Deux franges obscures voisines sont séparées par la distance constante λ D a. Figure 3.22 Positions et indices des franges Interfrange et longueur d onde de la lumière Définition L interfrange i est la distance constante qui sépare deux franges voisines de même nature. i = λ D a (3.15) Pour une lumière monochromatique donnée, les franges sont d autant plus éloignées que les fentes sont rapprochées ou que l écran se trouve loin des fentes. L interfrange dépend de la longueur d onde de la lumière. La mesure de l interfrange permet de déterminer la longueur d onde de la lumière utilisée. Dans le domaine de la lumière visible, on trouve des longueurs d onde comprises entre 0,40 µm (lumière violette) et 0,80 µm (lumière rouge).

84 Chapitre 4 Relativité restreinte «Je n ai aucun talent particulier. Je suis simplement curieux.» (Albert Einstein) 4.1 Les postulats d Einstein En 1905, Albert Einstein ( ) publie un article qui allait révolutionner le monde de la physique, intitulé «Zur Elektrodynamik bewegter Körper» (Einstein A Annalen der Physik 1 17 : ). Il y expose une nouvelle théorie en remplaçant les conceptions de l espace et du temps absolu de Newton par des conceptions relativistes sur ces grandeurs. Pour cela il se fonde sur deux hypothèses dont il étudie de façon théorique les conséquences logiques. Il pense que les résultats pourraient éventuellement être vérifiés ultérieurement par l expérience Premier postulat Le principe de la relativité référentiels d inertie. Toutes les lois de la physique sont les mêmes dans tous les Autrement dit, des expériences identiques menées à l intérieur de n importe quel référentiel d inertie (référentiel galiléen) donneront toutes les mêmes résultats. La vitesse d un référentiel d inertie est sans effet. Il est impossible de trancher la question : sommes-nous au repos ou en mouvement rectiligne uniforme? Exemple 4.1 Le café que vous versez dans votre tasse s écoule exactement de la même manière, que vous vous trouviez au repos dans votre salon, ou dans le compartiment d un train animé d une vitesse constante sur un tronçon rectiligne, ou encore dans un avion en mouvement rectiligne et uniforme. 1

85 1BC Relativité restreinte 85 Exemple 4.2 Un vaisseau spatial B se déplace d un mouvement rectiligne uniforme par rapport à un autre vaisseau A au repos par rapport à la Terre. A et B constituent des référentiels d inertie. Dans chacun des vaisseaux les astronautes effectuent la même expérience qui consiste à allumer une lampe à l avant du vaisseau et à mesurer la vitesse de la lumière émise. Résultat : ils trouvent tous les deux la même valeur c = km/s Deuxième postulat Le principe de la constance de la vitesse de la lumière La vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels d inertie. Elle est indépendante du mouvement de sa source ou de l observateur. Exemple 4.3 Reprenons les vaisseaux A et B de l exemple 4.2 avec en plus une étoile lointaine double envoyant ses ondes lumineuses vers les deux vaisseaux (figure 4.1). Les astronautes de A et de B mesurent la vitesse de la lumière issue de chacune des deux étoiles, ainsi que celle de la lumière issue d une lampe se trouvant à bord de leur vaisseau : ils trouvent pour toutes ces vitesses le même résultat c = km/s. Remarque : Figure 4.1 Constance de la vitesse de la lumière Ce postulat est difficile à admettre. Si la lumière est une onde mécanique on s attend à ce que sa vitesse soit mesurée par rapport à un certain milieu de propagation. Mais on n a pas pu trouver un tel milieu. Si la lumière est constituée de particules, sa vitesse devrait être mesurée par rapport à sa source. L expérience montre qu il n est pas ainsi. La théorie de l électromagnétisme prévoit l existence d ondes se propageant dans le vide à une vitesse constante, indépendante du référentiel d étude et dont la valeur est c =

86 86 Relativité restreinte 1BC km/s. Ce résultat fut confirmé par l expérience de Michelson et Morley et conduisit Einstein à formuler son deuxième postulat. 4.2 Définitions Événement Un événement est un phénomène qui se produit en un point de l espace et à un instant unique dans le temps. Observateur Un observateur est une personne ou un dispositif automatique pourvu d une horloge et d une règle. Chaque observateur ne peut relever que les événements de son entourage immédiat et doit s en remettre à des collègues pour relever les instants correspondants à des événements distants. Référentiel Un référentiel est un ensemble d observateurs répartis dans l espace. Un seul observateur est en fait assez proche d un événement pour l enregistrer, mais les données pourront être communiquées plus tard aux autres observateurs. 4.3 Relativité de la simultanéité Faisons «l expérience par la pensée» («Gedankenexperiment») suivante : Trois astronautes se déplacent à travers l espace, d un mouvement rectiligne et uniforme par rapport à la Terre, au moyen des vaisseaux spatiaux A, C et B (figure 4.2). Les vaisseaux se suivent à des distances rigoureusement égales. C porte le commandement pour l ensemble de la flotte. Les ordres sont transmis aux vaisseaux A et B au moyen d ondes électromagnétiques se propageant à la vitesse c. Figure 4.2 Relativité de la simultanéité de deux événements Afin de synchroniser les horloges de A et de B, C émet l information : «Il est midi pile!» Les événements «A capte l information» et «B capte l information» sont observés d une part par les astronautes et d autre part par des observateurs terrestres (nous-mêmes par exemple). Qu observent les astronautes? Les astronautes se voient mutuellement au repos. Les distances de A et de B par rapport à C sont identiques. Le signal électromagnétique transmettant l information à la vitesse c est reçu simultanément par A et B, qui vont ainsi pouvoir synchroniser leurs horloges.

87 1BC Relativité restreinte 87 Qu observons-nous? A va à la rencontre du signal, tandis que B fuit le signal. Comme la vitesse de propagation du signal vaut également c pour nous, l information est captée d abord par A, et puis, un peu plus tard seulement, par B. Pour nous, les deux événements ne sont donc pas simultanés. Conclusion Deux événements séparés dans l espace qui ont lieu simultanément dans un référentiel ne se produisent pas simultanément dans un autre référentiel en mouvement rectiligne uniforme par rapport au premier. 4.4 Dilatation du temps Considérons une «horloge à lumière», où une impulsion lumineuse effectue des va-et-vient dans un tube entre deux miroirs parallèles distants d une longueur L (figure ci-contre). Un mécanisme compte le nombre d allers et retours comme dans les horloges mécaniques normales. Embarquons cette horloge dans un vaisseau en mouvement rectiligne uniforme de vitesse v par rapport à la Terre. Supposons en plus que la vitesse soit perpendiculaire au tube de l horloge. Mesurons l intervalle de temps entre les événements «le signal part du miroir inférieur» et «le signal est reçu par le miroir inférieur». Que mesure l astronaute? Pour l astronaute, l horloge est au repos. Le signal lumineux parcourt une distance 2L = c T 0 entre les deux miroirs. L intervalle de temps T 0 mesuré entre les deux événements vaut dans le référentiel des astronautes : Que mesurons-nous? T 0 = 2L c. Pour nous, l horloge est en mouvement uniforme de vitesse v et le signal parcourt une distance plus longue. D après le second postulat, la vitesse du signal lumineux est pour nous également c. Il met donc un temps T/2 > T 0 /2 pour parcourir la distance AB > L entre les deux miroirs (figure 4.3). Déterminons la relation entre T et T 0. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle ABC permet d écrire : Ç c T å 2 Ç = v T å 2 + L Comme L = c T 0 2, il vient : Ç c T å 2 Ç = v T å 2 Ç + c T å

88 88 Relativité restreinte 1BC Figure 4.3 Trajectoire de la lumière dans le référentiel terrestre En simplifiant : d où : et finalement : (c T ) 2 (v T ) 2 = (c T 0 ) 2 T 2 = (c T 0) 2 c 2 v = T v2 T = T 0 c 2 1 v2 c 2. (4.1) Comme le dénominateur est inférieur à 1, T > T 0. Dans le référentiel terrestre, où on a disposé deux horloges séparées dans l espace, l intervalle de temps est supérieur à celui enregistré dans le référentiel de l astronaute, à l aide d une seule horloge. Définition La durée entre deux événements se produisant au même lieu de l espace est appelée intervalle de temps propre. Cet intervalle est mesuré par une seule horloge se trouvant à l endroit où les événements se produisent. Définition La durée entre deux événements se produisant en des lieux différents de l espace est appelée intervalle de temps impropre. Cet intervalle ne peut être mesuré que par deux horloges se trouvant aux deux endroits où les événements se produisent. Conclusion Deux horloges A et B séparées dans l espace, enregistrent entre deux événements un intervalle de temps impropre t impropre plus grand que l intervalle propre t propre enregistré par une seule horloge se déplaçant de A vers B, et qui est présente aux deux évé-

89 1BC Relativité restreinte 89 nements : t impropre = t propre 1 v2 c 2 La figure 4.4 représente les intervalles de temps impropre et propre en fonction de la vitesse. Discussion : Figure 4.4 Relation entre intervalles de temps impropre et propre Pour les faibles vitesses, inférieures à 10 % de la vitesse de la lumière, il n y a pratiquement pas de différence entre les indications des horloges en mouvement et de celles au repos. L idée du temps absolu de la mécanique classique reste une approximation valable. Pour les vitesses approchant la vitesse de la lumière, le temps doit être considéré comme une grandeur relative, dépendant de l observateur qui le mesure. Remarque : les horloges en mouvement retardent! Si, dans l expérience par la pensée précédente, nous nous équipons également d une «horloge à lumière» (au repos), nous mesurons sur elle, pour un aller et retour du signal, la durée propre T 0 (la même que l astronaute mesure sur son horloge au repos, à cause du premier postulat). Nous constatons : pendant que sur l horloge de l astronaute, en mouvement, le signal a parcouru un aller et retour, celui sur notre horloge au repos a parcouru plus d un aller et retour. Nous concluons : l horloge de l astronaute (en mouvement) marche plus lentement que notre horloge (au repos). En termes simples : l horloge en mouvement retarde. Si, dans l expérience par la pensée précédente, l astronaute examine notre «horloge à lumière» (en mouvement pour lui), il doit aboutir à la même conclusion, c.-à-d. que notre horloge en mouvement marche plus lentement que la sienne au repos.

90 90 Relativité restreinte 1BC Conséquence : Pour l observateur terrestre, tout ce qui se passe dans le vaisseau spatial (gestes quotidiens, mouvements de machines, battements du cœur et autres phénomènes physiologiques,...), se déroule au ralenti. De même pour l astronaute observant l observateur terrestre! 4.5 Contraction des longueurs Considérons un vaisseau en train de se déplacer de la Terre vers Jupiter en ligne droite et à vitesse v constante, par rapport à la Terre et à Jupiter (figure 4.5). Admettons également que cette distance reste rigoureusement constante de sorte que l ensemble «Terre + Jupiter» constitue un référentiel d inertie, de même que le vaisseau en mouvement par rapport au référentiel «Terre + Jupiter». Figure 4.5 Mesure de la distance Terre-Jupiter Mesurons la distance Terre-Jupiter dans les deux référentiels. Connaissant la valeur v de la vitesse du vaisseau, il suffit de mesurer la durée du voyage, c est-à-dire la durée entre les événements «le vaisseau passe à la hauteur de la Terre» et «le vaisseau passe à la hauteur de Jupiter», et de calculer la distance cherchée. Que mesure l astronaute? Pour l astronaute, les deux événements se passent tout près de son vaisseau, donc au même endroit. Une seule horloge lui suffit. Il mesure la durée propre T 0. Dans le référentiel de l astronaute, la distance Terre-Jupiter est une longueur en mouvement. Elle est notée L et vaut : L = v T 0. (4.2) Que mesurons-nous? Pour nous, les deux événements ne se passent pas au même endroit. Nous devons installer deux horloges synchronisées, une première horloge sur Terre afin de repérer la date du premier événement, et une autre sur Jupiter pour celle du deuxième événement. Nous mesurons manifestement une durée impropre T.

91 1BC Relativité restreinte 91 Par contre dans notre référentiel, la distance Terre-Jupiter est une longueur au repos. Elle est notée L 0 et vaut : L 0 = v T. (4.3) En divisant membre par membre les équations (4.2) et (4.3) en en simplifiant par v on obtient : L = T 0 L 0 T. D après l équation (4.1) on a : L = 1 v2 L 0 c L = L v2 c. 2 Comme la racine carrée est inférieure à 1, L < L 0. Dans le référentiel de l astronaute, la longueur (L en mouvement) est plus courte que dans le référentiel terrestre (L 0 au repos). Conclusion Une longueur est plus courte dans un référentiel par rapport auquel elle est en mouvement (L mouvement ), que dans un référentiel par rapport auquel elle est au repos (L repos ). L mouvement = L repos 1 v2 c 2 La figure 4.6 représente les longueurs en mouvement et au repos en fonction de la vitesse. Discussion : Figure 4.6 Relation entre longueurs en mouvement et au repos Il n y a que les longueurs parallèles au vecteur vitesse qui dépendent du référentiel dans lequel on les mesure. (La longueur L de l horloge lumineuse du chapitre précédent était la même dans les deux référentiels!) Pour les faibles vitesses (inférieures à 10 % de la vitesse de la lumière), il n y a pratiquement pas de différence entre les longueurs en mouvement et celles au repos. L idée de l espace absolu de la mécanique classique reste une approximation valable. Pour les vitesses approchant la vitesse de la lumière, la longueur doit être considérée comme une grandeur relative, dépendant de l observateur qui la mesure.

92 92 Relativité restreinte 1BC Pour les photons dont la vitesse est c, la dimension spatiale parallèle à leur déplacement a complètement disparue. Remarque : les longueurs en mouvement raccourcissent! Considérons le référentiel terrestre, où se trouve une règle graduée au repos, et un vaisseau spatial, de vitesse v par rapport à la Terre, muni également d une même règle graduée. L observateur terrestre aussi bien que l astronaute voient leur règle au repos, de longueur L 0. L observateur terrestre mesure, pour la longueur de la règle du vaisseau en mouvement par rapport à lui, une longueur raccourcie L < L 0. De même, l astronaute mesure la longueur L < L 0 pour la règle terrestre. Conséquence : Si un corps initialement au repos est mis en mouvement il raccourcit suivant la direction parallèle au mouvement. 4.6 Expérience des muons (Frisch et Smith 1963) Description de l expérience L expérience des muons est une preuve expérimentale de la dilatation du temps et de la contraction des longueurs. Les muons sont des particules élémentaires produites dans la haute atmosphère par bombardement avec les protons du rayonnement cosmique, et qui se désintègrent spontanément pour donner d autres particules. Si on a N 0 muons à l instant t = 0, on observe qu à un instant ultérieur t il en reste N : N = N 0 e ln 2 t T 0. où T 0 = 1,5 µs est la demi-vie des muons mesurée dans un référentiel où les muons sont au repos. L expérience de Frisch et Smith (figure 4.7) consistait à compter le nombre N 1 de muons détectés par heure au sommet du Mount Washington (New Hampshire, altitude 1910 m) ainsi que celui N 2 détecté au niveau de la mer (altitude 3 m). Le compteur fut réglé pour compter les muons ayant une vitesse égale à 0,995 c. Les résultats furent les suivants : N 1 = 563 ± 10 muons et N 2 = 408 ± 9 muons. Un calcul simple montre qu en absence de considérations relativistes, il n y a pas moyen d expliquer que les muons atteignent en nombre tellement élevé le niveau de la mer. En effet, les muons mettraient 6,4 µs pour parcourir les 1907 m et le nombre de muons qui atteindraient le niveau de la mer serait seulement de : 6,4 ln 2 N 2 = N 1 e 1,5 = 29. La dilatation du temps et la contraction des longueurs nous fournissent l explication correcte.

93 1BC Relativité restreinte 93 Figure 4.7 Expérience des muons de Frisch et Smith Explication à l aide de la dilatation du temps L intervalle de temps entre les événements «le muon passe au Mount Washington» et «le muon passe au niveau de la mer» est un intervalle de temps propre t 0 pour le muon et un intervalle de temps impropre t, beaucoup plus grand, pour l observateur terrestre. Comme t = 6,4 µs et v = 0,995 c on obtient pour la durée du parcours vue par le muon : t 0 = t 1 v2 = 0,64 µs. c2 De même, la demi-vie de 1,5 µs est un intervalle de temps propre pour le muon et un intervalle de temps impropre T, considérablement allongé, pour l observateur terrestre : T = T 0 1 v2 c 2 = 15 µs. Dans le référentiel du muon, la demi-vie vaut 1,5 µs et la durée du parcours 0,64 µs. Le nombre de muons atteignant le niveau de la mer vaut donc : 0,64 ln 2 N 2 = N 1 e 1,5 = 419 ce qui est une bonne concordance compte tenu des erreurs expérimentales. Dans le référentiel terrestre, la durée de vie moyenne vaut 15 µs et la durée du parcours 6,4 µs. On trouve le même nombre N Explication à l aide de la contraction des longueurs Dans le référentiel du muon, la distance à parcourir du sommet du Mount Washington au niveau de la mer est une longueur en mouvement, beaucoup plus courte que la longueur

94 94 Relativité restreinte 1BC L repos = 1907 m mesurée dans le référentiel terrestre : L mouvement = L repos 1 v2 = 191 m. c2 Cette faible distance sera parcourue en 0,64 µs. On retrouve le résultat précédent! Remarque : L effet mesuré dans cette expérience est loin d être négligeable! La désintégration des muons s est faite à un rythme 10 fois plus lent qu au repos. Tous les jours, les physiciens qui étudient les particules de haute énergie, travaillant sur des accélérateurs de grande puissance, ont affaire à des particules qui se désintègrent spontanément plus de 100 fois plus rapidement que les muons. Si la dilatation du temps ne jouait pas, elles se désintégreraient et disparaîtraient avant d avoir parcouru plusieurs mètres, même en se déplaçant presque à la vitesse de la lumière. C est parce que leur désintégration est ralentie qu on peut les observer à plus de 100 mètres du point où ils sont produits dans l accélérateur. On peut, en conséquence, les utiliser dans d autres expériences. La dilatation du temps devient ainsi une affaire quotidienne pour ces physiciens. 4.7 Quantité de mouvement Selon le premier postulat d Einstein, les lois physiques sont les mêmes dans tous les référentiels d inertie. Les trois principes de Newton, la conservation de la quantité de mouvement ainsi que la conservation de l énergie s appliquent toujours et dans tous les référentiels d inertie. La relation fondamentale de la dynamique s écrit : i F i = d p dt où p est le vecteur quantité de mouvement. Pour que cette loi fondamentale vérifie le premier postulat d Einstein, il faut donner une nouvelle définition au vecteur p. Définition La quantité de mouvement relativiste d une particule, de masse au repos m 0, animée d une vitesse v, est définie par : p = m v = où m est la masse relativiste définie par : m 0 v 1 v2 c 2 m = m 0 1 v2 c 2 La figure 4.8 représente la quantité de mouvement par unité de masse en fonction de la vitesse :

95 1BC Relativité restreinte 95 Figure 4.8 Quantité de mouvement par unité de masse en rouge la quantité de mouvement relativiste par unité de masse ; en bleu la quantité de mouvement classique (p classique = m 0 v) par unité de masse. Discussion : Si v = 0 alors m = m 0 qui est la masse au repos de la particule. Elle est égale à la masse en mécanique classique. Pour les faibles vitesses (inférieures à 10 % de la vitesse de la lumière), la quantité de mouvement est pratiquement égale à son expression en mécanique classique : p m 0 v. L expression classique reste donc une approximation valable. Pour les vitesses approchant la vitesse de la lumière, la quantité de mouvement doit être considérée comme grandeur relativiste, dépendant de l observateur qui la mesure. 4.8 Énergie Énergie d un corps Définition L énergie totale d un corps de masse au repos m 0 et de vitesse v s écrit : E = m c 2 = m 0 c 2 (4.4) 1 v2 c 2 Pour un corps de vitesse nulle : E 0 = m 0 c 2.

96 96 Relativité restreinte 1BC La formule E = m c 2, la plus célèbre de la physique probablement, traduit l équivalence entre l énergie et la masse. Note historique : Albert Einstein a démontré incorrectement la formule dans son article «Ist die Trägheit eines Körpers von dessen Energieinhalt abhängig?» (Einstein A Annalen der Physik 18, ). La formule fut établie correctement pour la première fois par Max Planck («Zur Dynamik bewegter Systeme», Planck M Annalen der Physik 26, 1 34) Énergie au repos La quantité E 0 = m 0 c 2 est l énergie totale d un corps au repos. Elle représente la somme de toutes les énergies internes (thermique, nucléaire, chimique), et des énergies potentielles (électrique, gravitationnelle, élastique). Exemple 4.4 Pour m 0 = 1 g, on obtient E 0 = J (énergie énorme!). Exemple 4.5 Pour un électron de masse au repos m 0 = 9, kg, on obtient E 0 = 8, J = 511 kev. Remarque : en utilisant l expression de l énergie au repos, l expression pour l énergie totale peut s écrire : E = E 0 1 v2 c 2. (4.5) Équivalence énergie-masse L équivalence entre l énergie et la masse constitue l un des aspects les plus célèbres de la théorie de la relativité restreinte : si l énergie d un corps varie, alors sa masse varie également. Ainsi, la libération d énergie E 0 lors de la fusion ou de la fission nucléaire (noyaux pratiquement au repos) s accompagne d une diminution de masse au repos m 0, d après E 0 = m 0 c 2. De même, dans toute réaction chimique libérant de la chaleur ou de la lumière, la masse au repos totale des constituants diminue. La loi de la conservation de la masse (loi de Lavoisier) doit être remplacée par la loi de la conservation de l énergie. Par ailleurs, un photon d énergie E, entrant en interaction avec une autre particule (ou avec un champ électromagnétique assez fort), peut se matérialiser en une paire électron-positron (positron = anti-électron) où chacune des deux particules (de masse au repos m 0 ) créées acquiert l énergie E/2 = m c 2 (où m est la masse relativiste). L énergie du photon doit donc être supérieure à 2 m 0 c 2. L équivalence entre l énergie et la masse amène les physiciens à exprimer la masse au repos d une particule en unités d énergie. Exemple 4.6 La masse au repos du proton m 0 = 1, kg correspond à l énergie m 0 c 2 = 1, J. Il serait possible, mais on ne le fait pratiquement jamais, de dire

97 1BC Relativité restreinte 97 qu un proton a une masse au repos m 0 = 1, J/c 2. L énergie est plutôt exprimée en électron-volts (ev) : 1, , ev = 9, ev = 938 MeV. Ainsi on dira que la masse au repos du proton est m 0p = 938 MeV/c 2. Exemple 4.7 Pour la masse au repos du neutron on trouve m 0n = 940 MeV/c 2, celle de l électron est m 0e = 0,511 MeV/c Masse et inertie La théorie de la relativité révèle que l inertie d un corps de masse au repos m 0 et de vitesse v est exprimée par la masse relativiste : m = m 0 = E 1 v2 c. 2 c 2 Lorsque la vitesse est faible (inférieure à 10 % de la vitesse de la lumière), on retrouve le résultat de la physique classique, à savoir que l inertie est exprimée par la masse au repos : m 0 = E c 2. En physique classique, la masse d un corps est indépendante de sa température, de son énergie potentielle etc. Pourtant, selon la relativité restreinte, la masse au repos dépend de la température : une tarte chaude a plus d énergie, plus de masse au repos et donc plus d inertie qu une tarte identique froide. De même lorsqu on comprime un ressort, le supplément d énergie élastique accroît sa masse au repos, et donc son inertie. Pour une lampe de poche allumée, la masse au repos et l inertie diminuent. (Les très faibles variations de la masse au repos des corps macroscopiques ne sont pourtant pas mesurables!) Énergie cinétique Si v 0 alors le corps possède l énergie E = m c 2 qui est la somme de l énergie au repos E 0 et de l énergie cinétique E c. Définition L énergie cinétique relativiste d une particule de masse au repos m 0 et de vitesse v est définie par : E c = E E 0 = m c 2 m 0 c 2 = m 0 c 2 m 0 c 2. 1 v2 c 2 Discussion :

98 98 Relativité restreinte 1BC Pour les faibles vitesses (inférieures à 10 % de la vitesse de la lumière), on peut utiliser le développement limité d ordre un : 1 1 x x2, pour x 0,1 pour montrer que l énergie cinétique E c est pratiquement égale à son expression classique 1 2 m 0 v 2. Pour les vitesses approchant la vitesse de la lumière, l énergie cinétique doit être considérée comme grandeur relativiste, dépendant de l observateur qui la mesure. Lorsque v c, alors E c. Lorsque v c, alors E. Or une particule d énergie infinie n existe pas. Donc v = c est impossible pour une particule matérielle. Voilà un résultat surprenant de la relativité restreinte. Énoncé Aucune particule de masse au repos non nulle ne peut atteindre et donc dépasser la vitesse de la lumière Relation entre l énergie et la quantité de mouvement En élevant au carré l expression (4.5) de l énergie totale on obtient : d où : E 2 = E v2 c 2 Ç å E 2 1 v2 = E 2 c 2 0 E 2 E 2 v2 c = E En utilisant l expression (4.4) pour remplacer E dans le deuxième terme : E 2 m 2 c 4 v2 c 2 = E 0 2 E 2 = m 2 v 2 c 2 + E 0 2. L expression m v correspond à la valeur p de la quantité de mouvement. On obtient finalement une relation entre l énergie totale d une particule, sa quantité de mouvement et son énergie au repos : E 2 = p 2 c 2 + E 0 2 (4.6) Discussion : Les expériences en physique des particules donnent des informations sur l énergie totale et sur la quantité de mouvement d une particule détectée. L expression (4.6) permet alors de calculer l énergie au repos et donc la masse au repos de la particule. Pour des particules matérielles de très grande vitesse, E est largement supérieur à E 0, et on obtient : E p c.

99 1BC Relativité restreinte 99 Les photons sont des particules qui se déplacent à la vitesse de la lumière. Leur masse au repos est par conséquent nulle et l expression (4.6) peut être simplifiée : E = p c. Même si la masse au repos d un photon est nulle, il transporte de la quantité de mouvement dont il faut tenir compte lors de collisions avec d autres particules! L énergie E et la quantité de mouvement p d une particule dépendent du référentiel dans lequel on les mesure. Par contre la quantité E 2 p 2 c 2 ne dépend pas du référentiel. C est une quantité invariante. On l appelle invariant relativiste.

100 Chapitre 5 Dualité onde-corpuscule 5.1 Aspect corpusculaire de la lumière Expérience de Hertz (1887) Une plaque de zinc montée sur un électroscope est chargée, puis éclairée par la lumière émise par une lampe à vapeur de Hg (figure 5.1). lumière riche en UV plaque de zinc lampe à vapeur de Hg électroscope chargé Figure 5.1 Dispositif de l expérience de Hertz Observations : L expérience comporte trois étapes : 1. Initialement la plaque de zinc et l électroscope sont chargés négativement : l aiguille de l électroscope dévie. Puis la plaque de zinc est éclairée : l électroscope se décharge. 2. La plaque de zinc est rechargée négativement et une plaque de verre est interposée entre la lampe et le zinc : il n y a plus de décharge bien que le zinc soit toujours éclairé à travers le verre. Même en rapprochant davantage la lampe de la plaque, la décharge n a pas lieu. La plaque de verre est enlevée : la décharge s effectue immédiatement.

101 1BC Dualité onde-corpuscule La plaque de zinc est chargée positivement, puis éclairée : la décharge ne se produit pas. Interprétation : La lumière, éclairant la plaque de zinc, permet d extraire des électrons du métal. À l étape 1, les électrons, une fois extraits, sont repoussés par la charge négative de la plaque : la décharge s effectue. À l étape 2, la lumière ayant traversé le verre n a plus l énergie «adéquate» pour sortir des électrons du zinc, malgré le fait qu en approchant la lampe on ait augmenté l énergie captée. La lumière émise par la lampe à Hg est riche en rayonnement ultraviolet. Or le verre arrête le rayonnement ultraviolet (fréquence ν > 7, Hz). Il laisse par contre passer le rayonnement visible et infrarouge lequel ne permet donc pas d extraire des électrons même s il est très intense! À l étape 3, la plaque de zinc, chargée positivement, rappelle les électrons émis : la décharge n est pas observée. Définition On appelle effet photoélectrique l extraction d électrons de la matière par un rayonnement électromagnétique Comment peut-on extraire un électron d un métal? Un métal est constitué par un réseau cristallin d ions positifs entre lesquels circulent des électrons liés au réseau mais libres de se déplacer à l intérieur de ce réseau. Pour extraire un électron, il faut lui fournir une énergie W s, appelée travail de sortie ou travail d extraction. Elle représente l énergie de liaison de l électron au réseau métallique. énergie électron libre ayant l énergie cinétique E c E c électron libre sans énergie cinétique W s électron lié au réseau cristallin Figure 5.2 Diagramme énergétique pour un électron Le diagramme énergétique de la figure 5.2 illustre que : à l intérieur du métal, l électron a le moins d énergie, car il est lié au réseau ; lorsque l électron a capté l énergie E = W s, il est sorti du métal et est au repos (E c = 0) ; lorsque l électron a capté une énergie E > W s, il est sorti du métal et a une énergie cinétique E c = E W s.

102 102 Dualité onde-corpuscule 1BC Insuffisance du modèle ondulatoire Dans le cadre du modèle ondulatoire, un rayonnement lumineux est considéré comme une onde électromagnétique. Comme toute onde, une onde électromagnétique transporte de l énergie de façon continue. L énergie transportée par unité de temps à travers une surface est : proportionnelle à l intensité de la lumière (égale au carré de l amplitude de l onde) ; indépendante de la fréquence de l onde. Ce modèle n arrive pas à expliquer certains résultats de l expérience de Hertz : un rayonnement UV peut extraire des électrons du métal alors qu un rayonnement du domaine visible de même intensité n y arrive pas ; un rayonnement visible de forte intensité n apporte pas, même après une durée considérable, l énergie nécessaire pour extraire des électrons du métal Modèle corpusculaire de la lumière L expérience de Hertz permet de conclure que l énergie apportée par un rayonnement lumineux, bien que quantitativement suffisante, ne l est pas toujours qualitativement. Pour expliquer l effet photoélectrique, nous devons renoncer au modèle ondulatoire et recourir au modèle corpusculaire de la lumière. L hypothèse suivante fut formulée par Einstein en Modèle corpusculaire de la lumière Un rayonnement électromagnétique de fréquence ν peut être considéré comme un faisceau de particules indivisibles : les photons. Chaque photon transporte un quantum d énergie : où h représente la constante de Planck. E = h ν Les propriétés du photon Le photon (ou grain de lumière) est une particule élémentaire relativiste associée à une onde électromagnétique de fréquence ν. Cette coexistence de propriétés corpusculaires et ondulatoires est appelée dualité onde-corpuscule. Les principales propriétés du photon sont : On lui attribue une masse au repos nulle. Sa masse relativiste n est pas nulle et vaut E/c 2. Il a une charge électrique nulle. Il se déplace dans le vide à la vitesse c = m/s. Son énergie est E = h ν avec h = 6, J s. Comme ν = c h c la relation précédente peut également s écrire : E = λ λ.

103 1BC Dualité onde-corpuscule Interprétation de l effet photoélectrique Considérons un photon d énergie E = h ν pénétrant dans un métal. Sur son parcours, il peut éventuellement rencontrer un électron et lui céder quasi instantanément toute son énergie. Le photon est complètement absorbé, il disparaît. Ainsi, contrairement aux phénomènes ondulatoires, l énergie n est pas échangée de façon continue, mais de façon discontinue par paquets indivisibles, de contenu E = h ν chacun. Ces paquets représentent la plus petite quantité d énergie échangée et sont appelés quanta d énergie. Énoncé L effet photoélectrique est une interaction entre un photon et un électron, où le photon cède toute son énergie. Lorsqu un électron absorbe un photon, trois cas sont envisageables : h ν = W s L énergie du photon est égale au travail de sortie de l électron et suffit tout juste à expulser l électron hors du métal! La fréquence correspond alors à la fréquence seuil du métal : ν = ν s = W s h. h ν < W s ν < ν s L énergie du photon est inférieure au travail de sortie et donc insuffisante pour extraire un électron du métal ; l effet photoélectrique ne se produit pas et l électron reste prisonnier du réseau métallique. h ν > W s ν > ν s L énergie du photon est supérieure au travail de sortie. L électron capte l énergie h ν. La partie W s de cette énergie sert à libérer l électron du réseau métallique ; l électron conserve l excédent sous forme d énergie cinétique E c : E c = h ν W s = h ν h ν s = h (ν ν s ) ce qui est la relation d Einstein pour l effet photoélectrique (prix Nobel 1921) Propriétés d un rayonnement électromagnétique Un rayonnement électromagnétique est caractérisée par sa fréquence ν et sa puissance P. La puissance d un rayonnement électromagnétique éclairant une surface s écrit : P = N t h ν où N est le nombre de photons frappant la surface pendant l intervalle de temps t. Remarque : L augmentation de la puissance d une source de lumière monochromatique de fréquence donnée fait augmenter le nombre de photons émis par seconde.

104 104 Dualité onde-corpuscule 1BC 5.2 Aspect ondulatoire des particules Quantité de mouvement du photon Le photon est une particule associée à une onde électromagnétique. L énergie E de la particule est liée à la fréquence ν de l onde par la relation : E = h ν = h c λ. (5.1) où h est la constante de Planck, c la vitesse de la lumière et λ la longueur d onde. L étude de la relativité restreinte a montré que l énergie du photon peut aussi être exprimée en fonction de sa quantité de mouvement p : E = p c. (5.2) Les relations (5.1) et (5.2) donnent : et finalement : h c λ = p c λ = h p. (5.3) Longueur d onde d une particule matérielle En considérant les analogies entre onde et particule d une part et entre onde électromagnétique et photon d autre part, Louis de Broglie présenta en 1924 (prix Nobel en 1929) la théorie suivante : Énoncé À toute particule de quantité de mouvement p est associée une onde de longueur d onde λ avec : λ = h p Davisson et Germer ont réalisé en 1927 une expérience (la figure 5.3 montre le schéma du dispositif) mettant en évidence le comportement ondulatoire des électrons. Ils ont pu vérifier expérimentalement la formule de De Broglie pour les électrons. canon à électrons polycristal de nickel détecteur Figure 5.3 Schéma du dispositif utilisé par Davisson et Germer

105 1BC Dualité onde-corpuscule 105 (a) photons (b) électrons Figure 5.4 Diffraction par une feuille d aluminium Figure 5.5 Interférences d électrons par une double fente

106 106 Dualité onde-corpuscule 1BC Caractère ondulatoire des particules matérielles D autres expériences de diffraction par un cristal (figure 5.4) ou d interférences par une double fente (figure 5.5) ont confirmé les hypothèses de De Broglie. Dualité onde-corpuscule Toutes les particules présentent un caractère ondulatoire. Le caractère ondulatoire des particules est d autant plus prononcé que la longueur d onde associée à la particule est grande, c est-à-dire que la quantité de mouvement de la particule est faible (relation 5.3). Ceci explique pourquoi il est impossible de mettre en évidence le caractère ondulatoire d un corps macroscopique. Il faudrait utiliser des obstacles de diffraction d une dimension largement inférieure à la taille des protons.

107 Chapitre 6 Réactions nucléaires 6.1 Généralités Définitions Un atome est constitué d électrons et d un noyau, lui-même constitué de nucléons (protons et neutrons). Le nombre de masse, noté A, est le nombre de nucléons d un noyau. Le nombre de charge, noté Z, est le nombre de protons de ce noyau. Le nombre de neutrons est donc N = A Z. L atome étant électriquement neutre, Z désigne également le nombre de ses électrons ; il est aussi appelé numéro atomique de l atome. Un élément chimique est l ensemble des atomes de même numéro atomique Z. On connaît actuellement une centaine d éléments chimiques. Un nucléide est l ensemble des atomes de noyau identique, ou l ensemble de ces noyaux. Deux atomes ou deux noyaux d un même nucléide ont même nombre de charge Z et même nombre de masse A. On représente un nucléide de l élément X par l écriture : A ZX. Actuellement, on connaît environ 1500 nucléides naturels ou artificiels. Ils se distinguent les uns des autres soit par leur nombre de masse, soit par leur nombre de charge, soit par les deux à la fois. Les différents nucléides d un même élément chimique sont dits isotopes. Deux isotopes ont même nombre de charge Z mais un nombre de masse A différent. Les noyaux des isotopes diffèrent par leur nombre de neutrons N. Exemple 6.1 Les nucléides 12 6C et 14 6C sont deux nucléides différents du même élément chimique carbone, ils sont isotopes Lois de conservation Lors des réactions nucléaires, les grandeurs suivantes sont conservées : Le nombre de nucléons A. La charge électrique et donc aussi le nombre de charge Z.

108 108 Réactions nucléaires 1BC L énergie des particules participant à la réaction et formant un système isolé. On rappelle que l énergie totale E d une particule est la somme de l énergie cinétique E c et de l énergie au repos E 0 : E = E c + E 0. Il est important d inclure l énergie au repos dans le bilan énergétique car elle tient compte de l énergie de liaison d un noyau atomique. La quantité de mouvement. 6.2 La radioactivité Ce qu on entend par radioactivité En 1896, Henri Becquerel découvrit que l uranium et ses composés émettent continuellement un rayonnement. Pierre et Marie Curie poursuivant les travaux commencés par Becquerel ont donné à ce phénomène le nom de radioactivité. Définition On appelle radioactivité la transformation spontanée d un noyau atomique au cours de laquelle un rayonnement est émis. On rencontre de nombreux éléments radioactifs naturels. L uranium 238 ou 235 est un des éléments radioactifs naturels les plus importants. Le radon 222 est un gaz radioactif naturel, issu des roches et terrains contenant de l uranium. Le corps humain contient également des éléments radioactifs : le potassium 40 et le carbone 14. Parmi les 1500 nucléides connus, il en existe environ 325 naturels : 274 sont stables, leur noyau ne se modifie pas spontanément au cours du temps ; 51 sont instables car ils sont radioactifs, leur noyau est susceptible à tout moment de subir un changement pouvant porter sur le nombre de masse A et/ou sur le nombre de charge Z. Si on classe ces nucléides stables en fonction des nombres qui les caractérisent, N et Z, on peut tracer une courbe de stabilité (figure 6.1). Les noyaux instables radioactifs se situent : de part et d autre de la courbe de stabilité ; ces nucléides possèdent un excès ou un défaut de neutrons ; au-delà du dernier nucléide stable (Z = 82), ces nucléides possèdent un excès de nucléons. Ce sont les noyaux lourds.

109 1BC Réactions nucléaires 109 (a) réelle (b) schématique Figure 6.1 Courbe de stabilité Les différents modes de désintégration La radioactivité α Définition La radioactivité α est l émission de noyaux d hélium 4 2He par certains noyaux. Les noyaux d hélium sont aussi appelés particules ou rayons α. Les noyaux émetteurs α ont des nombres de masse et de charge élevés (A > 200 ; Z > 82) ; ce sont des noyaux trop lourds et donc instables. La radioactivité α se traduit par une réaction nucléaire représentée par l équation : A Z X 4 2He + A Z Y. A et Z sont reliés à A et à Z par les règles de conservation du nombre de nucléons et de la charge électrique : A = A + 4 Z = Z + 2. On obtient alors : A Z X 4 2He + A 4 Z 2Y Exemple : Ra 4 2He Rn. Le nucléide X est appelé le noyau «père», Y est le noyau «fils». La particule α est éjectée du noyau avec une certaine énergie cinétique. La désintégration du noyau lourd rapproche le noyau fils de la courbe de stabilité (figure 6.2).

110 110 Réactions nucléaires 1BC (a) transition (b) schéma Figure 6.2 Désintégration α d un noyau lourd L astérisque ( ) indique que le noyau fils peut être émis dans un état excité, qui donne lieu ultérieurement à un rayonnement γ. Remarque : Pour un atome radioactif, la réaction nucléaire de désintégration ne porte que sur les noyaux. Le cortège électronique de l atome n est pas modifié. De ce fait, dans l écriture de la réaction nucléaire, X est un noyau. Sinon, on écrirait par exemple, pour les atomes et les ions : Ra 4 2He Rn 2. La radioactivité β La radioactivité β, encore appelée rayonnement β, est l émission d électrons par certains noyaux. La désintégration β se produit pour des nucléides instables trop riches en neutrons ; elle résulte de la désintégration, dans le noyau, d un neutron qui se transforme en un proton avec émission d un électron et d un antineutrino : 1 0n 1 1p + 1e ν. La réaction nucléaire β est représentée par l équation : A Z X 0 1e ν + A Z Y. L existence de l antineutrino fut postulée par Wolfgang Pauli pour rétablir la conservation de l énergie lors de la désintégration β. En effet, l étude du bilan énergétique de cette réaction nucléaire montre que l énergie du noyau père est toujours supérieure à la somme des énergies du noyau fils et de l électron ; l antineutrino emporte une partie de l énergie initiale. L antineutrino est une particule sans charge, sa masse au repos est quasiment nulle. Il est très difficile de le détecter car il n interagit que très faiblement avec la matière.

111 1BC Réactions nucléaires 111 La conservation du nombre de nucléons et de la charge électrique relient respectivement A à A et Z à Z : A = A Z = Z 1. On obtient alors : A Z X 0 1e ν + Z+1Y A (a) transition (b) schéma Exemple : 14 6C 0 1e ν N. Figure 6.3 Désintégration β Les noyaux situés à gauche de la courbe de stabilité se désintègrent par émission β ; cette désintégration rapproche le noyau fils de la courbe de stabilité (figure 6.3). Le noyau fils peut être émis dans un état excité et l électron est éjecté avec une énergie cinétique plus ou moins importante. La radioactivité β + La radioactivité β + se produit avec des nucléides obtenus artificiellement au laboratoire. C est pourquoi on la qualifie de radioactivité artificielle, elle est caractéristique des noyaux trop riches en protons. Elle résulte de la désintégration, dans le noyau, d un proton qui se transforme en un neutron avec émission d un positron et d un neutrino : 1 1p 1 0n + 0 1e + 0 0ν. La réaction nucléaire β + est représentée par l équation : A Z X 0 +1e + A Z Y + 0 0ν. Le positron est une particule de masse égale à celle de l électron mais de charge opposée. L existence du neutrino fut postulée pour rétablir la conservation de l énergie lors de la

112 112 Réactions nucléaires 1BC désintégration β +. Le neutrino est une particule sans charge, sa masse au repos est quasiment nulle. Il est très difficile de le détecter car il n interagit que très faiblement avec la matière. Remarque : le neutrino et l antineutrino de même que l électron et le positron forment des couples particule-antiparticule. En tenant compte de la conservation du nombre de nucléons et du nombre de charge, on obtient les relations suivantes : D où l équation de la réaction : A = A Z = Z + 1. A Z X 0 +1e + A Z 1Y + 0 0ν (a) transition (b) schéma Exemple : 30 15P 0 1e + 0 0ν Si. Figure 6.4 Désintégration β + Les noyaux situés à droite de la courbe de stabilité se désintègrent par émission β + ; cette désintégration rapproche le noyau fils de la courbe de stabilité (figure 6.4). Le noyau fils est émis ou non dans un état excité ; le positron est éjecté avec une énergie cinétique plus ou moins importante. L émission γ L émission γ est une émission de rayonnements électromagnétiques très éner- Définition gétiques. À la suite d une désintégration α, β ou β +, le noyau fils est émis dans un état excité. Il retrouve son état fondamental en émettant un ou plusieurs photons de haute énergie. Un photon n a ni charge ni masse au repos ; il est caractérisé par Z = 0 et A = 0.

113 1BC Réactions nucléaires 113 Au cours de l émission γ, le nucléide se conserve : A Z Y A ZY + un ou plusieurs γ Le rayonnement γ est très pénétrant. Il peut traverser plusieurs dizaines de centimètres de plomb, ou plusieurs mètres de béton La décroissance radioactive Désintégration d un noyau radioactif La transformation d un noyau instable en un autre noyau n est pas un processus de «vieillissement» continu mais se passe d un seul coup ; une telle transformation nucléaire est appelée désintégration. Il est impossible de prévoir la date de la désintégration d un noyau particulier. Sur un ensemble de noyaux instables identiques, il est impossible de prévoir lesquels de ces noyaux vont se désintégrer à une date donnée. Le phénomène de la désintégration d un noyau radioactif est donc imprévisible et aléatoire. Vu le caractère aléatoire de la désintégration, il est impossible de trouver une loi qui décrirait le comportement d un seul noyau. On peut cependant prévoir avec précision l évolution statistique d un grand nombre de noyaux identiques. La loi de décroissance radioactive Considérons un échantillon contenant N noyaux radioactifs d un nucléide donné à la date t. Le phénomène de désintégration va provoquer la décroissance du nombre de noyaux. Pendant un très court intervalle de temps t, le nombre de noyaux varie de N. Le nombre de noyaux ayant subit une désintégration pendant cet intervalle de temps est donc égal à N. Le signe moins est nécessaire car N est négatif. La probabilité de désintégration pendant l intervalle de temps t est : probabilité = N N. Comme la désintégration n est pas un processus de «vieillissement», cette probabilité ne varie pas au cours du temps. Elle est proportionnelle à l intervalle de temps t : N N t N N = λ t où λ est un coefficient de proportionnalité appelée constante radioactive. Elle représente la probabilité de désintégration par unité de temps, s exprime en s 1 et ne dépend que du nucléide. On obtient ainsi : N t = λ N et à la limite t 0 : dn = λ N. dt (6.1)

114 114 Réactions nucléaires 1BC Cette relation est une équation différentielle qu on peut résoudre en écrivant : 1 N dn dt = λ et en introduisant la fonction logarithme naturel (ou népérien) : d ln N dt = λ. Cette équation différentielle admet comme solution : ln N = λ t + c où c est une constante d intégration déterminée par les conditions initiales. Si à l instant t = 0 le nombre de noyaux est N 0, la constante vaut c = ln N 0. D où : ln N ln N 0 = λ t ln N N 0 = λ t. En appliquant à cette relation la fonction exponentielle, on obtient la loi de décroissance radioactive : N N 0 = e λ t. Énoncé la loi : Le nombre N(t) de noyaux radioactifs contenus dans un échantillon varie suivant N(t) = N 0 e λ t où λ est la constante radioactive du nucléide et N 0 le nombre de noyaux initialement présents. La demi-vie d un nucléide Un nucléide radioactif est le plus souvent caractérisé par sa demi-vie t 1/2 (ou période radioactive) préférablement à λ. Définition La demi-vie (ou période radioactive) d un nucléide est l intervalle de temps au bout duquel la moitié des noyaux initialement présents ont subi une désintégration. La demi-vie varie d une fraction de seconde jusqu à des milliards d années selon le nucléide considéré. Pour trouver une relation entre la demi-vie t 1/2 et la constante radioactive λ, on écrit, pour t = t 1/2 : N(t 1/2 ) = N 0 2 N 0 e λ t 1/2 = N 0 2 e λ t 1/2 = 1 2 λ t 1/2 = ln 1 2 = ln 2

115 1BC Réactions nucléaires 115 et finalement : t 1/2 = ln 2 λ Pour chaque intervalle de temps correspondant à une demi-vie, le nombre de noyaux est divisé par deux (figure 6.5). Figure 6.5 Loi de décroissance radioactive Applications de la loi de décroissance Activité d un échantillon radioactif Définition L activité A à une date t d un échantillon contenant N noyaux radioactifs est définie comme étant le nombre de noyaux qui se désintègrent par seconde : A(t) = dn dt. En utilisant la relation (6.1), on peut écrire : A(t) = λ N(t) L activité est proportionnelle au nombre de noyaux présents et varie donc suivant la même loi exponentielle : A(t) = λ N 0 e λ t et en définissant l activité initiale A 0 = λ N 0 on a : A(t) = A 0 e λ t Dans le système international, l unité d activité est le becquerel (Bq). Un becquerel correspond à une désintégration par seconde. L activité d un échantillon de masse m, de masse molaire atomique M et de demi-vie t 1/2 peut être calculée en utilisant : λ = ln 2 t 1/2

116 116 Réactions nucléaires 1BC et : ce qui permet d écrire : où N A est le nombre d Avogadro. N = N A m M A = ln 2 N A m M t 1/2 Exemple 6.2 Le calcul de l activité de 1 g de Ra de masse molaire 226 g/mol et de demivie 1600 ans donne A = 3, Bq. Cette valeur correspond au curie (Ci), ancienne unité de l activité. La datation en géologie Plusieurs éléments radioactifs peuvent être utilisés pour dater les roches. On considère ici l exemple de la datation par le plomb. Le plomb ordinaire non radioactif est un mélange des isotopes 204 Pb, 206 Pb, 207 Pb et 208 Pb. Les différentes désintégrations radioactives des isotopes de l uranium et du thorium produisent tous les isotopes du plomb à l exception de l isotope 204 Pb. Si le plomb d un échantillon ne contient pas 204 Pb, cela indique que le plomb présent a été produit par désintégration radioactive. L échantillon peut alors servir à la datation. Par application de la relation N(t) = N 0 e λt, concernant l uranium, on peut trouver la date de début de désintégration, donc de formation de l échantillon. Pour cela, il suffit de connaître le rapport r = N /N entre le nombre N de noyaux d uranium et le nombre N de noyaux de plomb à un instant donné. Le bilan de toutes les désintégrations successives permet de dire que la disparition d un noyau d uranium correspond à l apparition d un noyau de plomb. Cela permet de déterminer N 0 : N 0 = N + N = (1 + r) N = (1 + r) N 0 e λt et on a alors : (1 + r) = e λt. La demi-vie de l uranium 238 U est 4, années, λ est donc connu. On peut calculer t à partir de r. Exemple 6.3 Pour un échantillon on mesure r = 0,8. Un calcul permet de conclure qu il s est écoulé 3, années depuis la formation de l échantillon. La datation en archéologie On peut aussi dater l âge d une matière animale ou végétale grâce aux éléments radioactifs. L isotope 14 6C du carbone, radioactif β, de demi-vie t 1/2 = 5730 ans, est présent dans l atmosphère sous forme de dioxyde de carbone, en proportion infime mais constante par rapport à l isotope 12 6C : r 0 = N(14 6C) N( 12 6C)

117 1BC Réactions nucléaires 117 Les végétaux absorbent le dioxyde de carbone atmosphérique et fixent l isotope 14 du carbone dans leur tissu. Tous les êtres vivants consommant des plantes absorbent également cet isotope. Au cours de leur vie, végétaux, animaux et humains en contiennent une proportion constante (r 0 = ). Après la mort, l isotope 14 6C n est plus absorbé. Sa teneur diminue au rythme des désintégrations radioactives. La mesure de l activité d un échantillon permet d évaluer le rapport r, donc la date de sa mort. En effet : r = r 0 e λt. La mesure de ce rapport r sur un objet ancien permet de dater cet objet. Exemple 6.4 La mesure de l activité d une momie dans un sarcophage donne un rapport r = Un calcul donne t = 4222 ans. La momie est dans le sarcophage depuis 4222 ans. 6.3 Réactions nucléaires Énergie de liaison À l intérieur d un noyau, les nucléons, protons et neutrons, sont confinés dans un très petit volume. La répulsion électromagnétique intense des protons devrait faire éclater le noyau, mais les nucléons s attirent par interaction forte. Cette interaction, dont la portée n excède pas la taille du noyau, est identique entre nucléons qu ils soient protons ou neutrons. Énergie de liaison d un noyau Les nucléons d un noyau sont fortement liés de sorte qu il faut fournir de l énergie pour les séparer, c est-à-dire pour «casser» leurs liaisons. Définition L énergie de liaison d un noyau, que l on note E l, est l énergie qu il faut fournir au noyau pris au repos pour le dissocier en ses différents nucléons obtenus isolés et immobiles. On peut donc écrire l énergie de liaison d un noyau A ZX : E l = E nucléon E X = Z E proton + (A Z) E neutron E X. Les énergies du noyau et de ses constituants sont des énergies au repos. En utilisant la relation d Einstein, l expression devient : E l = Z m p c 2 + (A Z) m n c 2 m X c 2 où m X, m p et m n sont les masses au repos respectivement du noyau, d un proton et d un neutron. Ainsi : E l = [Z m p + (A Z) m n m X ] c 2. L expression entre crochets est la différence entre la masse au repos des nucléons et la masse au repos du noyau, différence appelée défaut de masse.

118 118 Réactions nucléaires 1BC Définition Pour un noyau A ZX, on constate un défaut de masse m positif : m = Z m p + (A Z) m n m X En valeur relative, le défaut de masse est de l ordre du pourcent. L énergie de liaison s exprime à l aide du défaut de masse : E l = m c 2 Exemple 6.5 La masse d un noyau d hélium est m X = 6, kg, celle de ses nucléons est 2 m p +2 m n = 6, kg. Le défaut de masse d un noyau de hélium est m = 5, kg, soit 0,8 % de la masse du noyau. L énergie de liaison vaut E l = 4, J. Énergie de liaison par nucléon La figure 6.6 représente l énergie de liaison par nucléon E l A masse. en fonction du nombre de Figure 6.6 Énergie de liaison par nucléon On constate que les noyaux légers et lourds présentent une énergie de liaison par nucléon plus faible que les noyaux moyens. Une réaction nucléaire libère de l énergie si l énergie de liaison des produits est supérieure à celle des réactifs (figure 6.7). De ce fait, si deux noyaux légers se soudent pour former un noyau moyen, la réaction, appelée réaction de fusion, libère de l énergie. De même, lors de la réaction, appelée fission nucléaire, au cours de laquelle un noyau lourd se casse en deux noyaux moyens, il y a libération d énergie.

119 1BC Réactions nucléaires 119 Figure 6.7 Fusion de noyaux légers et fission d un noyau lourd La fission nucléaire Principe et intérêt de la fission La fission est la cassure d un noyau lourd en noyaux plus légers. Nous allons nous intéresser ici au cas de l uranium 235. Sous l impact d un neutron, le noyau d uranium 235 se brise en deux noyaux plus légers et deux ou trois neutrons, tout en libérant une énergie importante. Bilan d une réaction de fission Une réaction possible de la fission du noyau d uranium 235 est : 1 0n U 94 38Sr Xe n Comme pour toute autre transformation nucléaire, il y a conservation du nombre de masse et du nombre de charge. L énergie libérée par cette réaction est considérable : E = E réactifs E produits = (m n c 2 + m U c 2 ) (m Sr c 2 + m Xe c m n c 2 ). Remarque : un gramme d uranium libère la même énergie que la combustion de 1,8 tonnes de pétrole. Figure 6.8 Exemple d une fission d un noyau d uranium

120 120 Réactions nucléaires 1BC La fission d un noyau d uranium peut donner différents noyaux plus légers (figure 6.8). L équation générale d une fission est : ou bien : 1 0n U A ZX A 92 ZY n 1 0n U A ZX A 92 ZY n. Remarque : les noyaux X et Y sont souvent radioactifs β et émis dans un état excité et donnent alors lieu à l émission de rayons γ. La réaction en chaîne À la suite de la capture d un neutron, un noyau fissile d uranium 235 ou de plutonium 239 a subi une fission. Plusieurs neutrons accompagnent les produits de fission. Dans l exemple de la figure 6.9, les trois neutrons secondaires provoquent trois nouvelles fissions, qui génèrent trois neutrons de seconde génération, qui déclenchent à leur tour neuf fissions tertiaires. La réaction en chaîne prend un tour explosif, ce qui arrive dans une bombe atomique où la proportion de noyaux fissiles est très élevée. Figure 6.9 Réaction en chaîne incontrôlée Dans le cœur d un réacteur où les noyaux fissiles ne dépassent pas 4 % et où beaucoup de neutrons se perdent en route, le nombre de neutrons entretenant la fission est exactement un et la réaction en chaîne s entretient sans se développer Fusion nucléaire Principe de la fusion Une fusion nucléaire est une réaction au cours de laquelle deux noyaux légers s unissent, c està-dire fusionnent, pour en former un plus lourd, tout en libérant une énergie importante. Les principales réactions de fusion se font à partir de l hydrogène 1 1H et de ses deux isotopes, le deutérium 2 1H et le tritium 3 1H.

121 1BC Réactions nucléaires 121 Bilan d une réaction de fusion Les figures 6.10 et 6.11 montrent deux exemples de réactions de fusion. 2 1H + 2 1H 3 1H + 1 1p Figure 6.10 Fusion nucléaire donnant du tritium 2 1H + 2 1H 3 2He + 1 0n. Figure 6.11 Fusion nucléaire donnant un isotope de l hélium Comme pour toute autre transformation nucléaire, il y a conservation du nombre de masse et du nombre de charge. Pour la réaction de fusion : l énergie libérée est : 2 1H + 3 1H 4 2He + 1 0n E = E réactifs E produits = (m 2H c 2 + m 3H c 2 ) (m 4He c 2 + m n c 2 ). Remarque : la fusion d un gramme de tritium libère la même énergie que la combustion de 13,5 tonnes de pétrole.

122 Chapitre 7 États énergétiques quantifiés 7.1 Les insuffisances de la physique classique Les travaux de Rutherford au début du 20 e siècle avaient abouti à un modèle atomique dans lequel la majeure partie de la masse atomique est concentrée dans un volume très petit, de rayon de l ordre de m, appelé noyau atomique, chargé positivement. Les charges négatives, les électrons, se déplacent autour du noyau ; l atome occupe une sphère de rayon de l ordre de m. Selon la théorie classique de l électromagnétisme, une charge accélérée, tel qu un électron en mouvement circulaire, émet continuellement un rayonnement électromagnétique. L énergie de l atome devrait diminuer et, par conséquent, l électron devrait s approcher du noyau atomique suivant une spirale. Les atomes ne seraient pas stables, ce qui n est pas observé! Le rayonnement électromagnétique émis par un atome serait de courte durée (de l ordre de 10 8 s) et son spectre devrait présenter un ensemble continu de longueurs d onde, c est-à-dire que toutes les couleurs seraient présentes. En comparant le spectre d émission de l atome d hydrogène et le spectre du rayonnement thermique émis par les corps denses (Soleil, arc électrique, filament incandescent,...), on constate que : Le spectre du rayonnement thermique (figure 7.1a) est continu ce qui veut dire que toutes les longueurs d onde y sont représentées. (a) émis par un corps dense (b) émis par l atome d hydrogène Figure 7.1 Spectres de rayonnements électromagnétiques Le spectre d émission de l atome d hydrogène (figure 7.1b) est discontinu. On ne peut distinguer que quelques raies colorées auxquelles correspondent des longueurs d ondes

123 1BC États énergétiques quantifiés 123 discrètes ou des photons d énergies discrètes. 7.2 Le modèle quantique Pour résoudre le problème de la stabilité de l atome et expliquer l existence des spectres discontinus, le physicien danois Niels Bohr reprend en 1913 le modèle planétaire pour proposer un modèle quantique pour l atome d hydrogène. 1 re hypothèse L atome ne peut exister que dans certains états énergétiques bien définis (E n avec n N ). L énergie de l atome est quantifiée. 2 e hypothèse Les transitions d un état vers un autre se font par sauts («Quantensprünge») et sont accompagnées de l émission ou de l absorption d un photon d énergie E : avec : E i énergie correspondant à l état initial E f énergie correspondant à l état final ν fréquence du rayonnement émis ou absorbé E = E f E i = h ν (7.1) Remarque : les hypothèses sont formulées de sorte qu elles ne s appliquent pas seulement à l atome d hydrogène mais aussi à tout autre atome. Exemple 7.1 Les énergies des états de l atome d hydrogène peuvent être calculées à l aide de la formule de quantification suivante : E n = E 1 n 2 (7.2) avec : n nombre quantique principal (n N ) E 1 = 13,6 ev énergie de l état fondamental de l atome E n énergie de l atome correspondant à l état caractérisé par le nombre quantique n. Dans le modèle des couches («Schalenmodell»), à chaque nombre quantique n correspond une couche électronique : n = 1 n = 2 n = 3. couche K couche L couche M. La figure 7.2a montre les niveaux d énergie de l atome d hydrogène. Le niveau de référence (E = 0) de l énergie est celui de l électron au repos, libéré de l attraction du noyau (n ). La figure 7.2b montre les intensités du spectre visible (figure 7.3) en fonction de la longueur d onde, correspondant aux premières transitions de la série Balmer.

124 124 États énergétiques quantifiés 1BC (a) niveaux d énergie (b) intensités du spectre visible (série Balmer) Figure 7.2 Atome d hydrogène Remarques : Si E f < E i, il y a émission d un photon. Un spectre d émission (figure 7.3) s obtient en faisant traverser la lumière émise par une source à travers un spectroscope. On obtient des raies colorées sur un fond noir. Figure 7.3 Spectre d émission de l atome d hydrogène Si E f > E i, il y a absorption d un photon. Un spectre d absorption (figure 7.4) s obtient en interposant sur la trajectoire de la lumière blanche l élément absorbant. On obtient des raies noires sur un fond arc-en-ciel. Figure 7.4 Spectre d absorption de l atome d hydrogène 7.3 La physique quantique La dualité onde-corpuscule de la matière et du rayonnement est traitée avec succès dans le cadre de la physique quantique. La mécanique quantique, la théorie de l électrodynamique

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