Devoir Surveillé 5. Bonus. Exercice 1 : Etude d un détecteur pyroélectrique

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1 Devoir Surveillé 5 La calculatrice est autorisée. Traiter chaque exercice sur une feuille différente. Les résultats doivent systématiquement être justifiés et encadrés. Ne pas hésiter à formuler des commentaires. Le barême tient compte de ces initiatives. Vérifier l homogénéité des résultats à chaque fois que c est possible. Respecter les notations de l énoncé et préciser à chaque fois la numérotation de la question traitée. Bonus Exercice 1 : Etude d un détecteur pyroélectrique Des matériaux cristallins non centro-symétriques présentent une polarisation volumique spontanée P (T ) variant fortement avec la température. Cet effet pyroélectrique est particulièrement important dans LiNbO 3 ou LiT ao 3. Bien que l effet pyroélectrique soit connu depuis les travaux de Brewster en 1824, il n a été exploité qu à partir de 1970 pour développer des capteurs très sensibles et très robustes de flux lumineux modulé, utilisables à la température ambiante. L effet pyroélectrique d un matériau est caractérisé par son coefficient pyroélectrique p liant la variation de polarisation à la variation de température. Par exemple, pour un cristal polarisé suivant l axe Ox, on a en première approximation P x (T ) = P x (T 1 ) + p(t T 1 ). Nous proposons d analyser le fonctionnement d un capteur pyroélectrique formé d un fin film de LiT ao 3, métallisé sur les deux faces afin d assurer les contacts électriques. Les valeurs numériques utilisées dans ce problème correspondent aux données indiquées par le fabricant de ce composant optoélectronique. Pour LiT ao 3, le paramètre pyroélectrique p vaut p = C.m 2.K 1. On admet la relation i = Sp dt dt liant l intensité du courant traversant le film cristallin de surface utile S, placé perpendiculairement à l axe Ox, à l évolution temporelle de la température du matériau. MPSI 3, Lycée Carnot, Dijon DS5 : page 1 S.ROGNERUD

2 Evolution de la température du film de tantalate de lithium LiT ao 3 en régime forcé Le film cristallin, d épaisseur e = 25µm et de surface S = 4mm 2, est fixé sur un support dont la température est maintenue à la valeur T 1. Les échanges énergétiques par conduction thermique entre le film de capacité thermique C T = J.K 1 et le support sont modélisés par une résistance thermique R T de valeur R T = 512K.W 1. Le cristal est éclairé par un laser modulé, délivrant une puissance lumineuse (appelée flux lumineux) Φ l (t) de la forme Φ l (t) = Φ 0 + Φ m cos(ωt) avec Φ m = 1µW. La fréquence de modulation est en général de l ordre de 1Hz. Tout le flux est absorbé par le capteur pyroélectrique. On suppose que la température dans le film cristallin est uniforme. On la note T (t). On admet que la température T (t) vérifie l équation différentielle : dt dt + T T 1 τ T = Φ l(t) C T avec τ T = C T R T 1. Lorsque le flux lumineux n est pas modulé, on a Φ l = Φ 0 et la température du cristal prend alors la valeur constante T = T 0. Exprimer T 0 en fonction de T 1, Φ 0 et R T. 2. On pose dans la suite θ(t) = T (t) T 0 et on revient à un flux modulé sinusoïdalement de composante alternative Φ a = Φ m cos(ωt). Montrer en utilisant la représentation complexe associée à ces fonctions sinusoïdales (que l on précisera) que : θ = Φ ar T jωτ T On prend une fréquence de modulation égale à 1Hz. Calculer les valeurs numériques de l amplitude des oscillations de température et du déphasage entre θ(t) et Φ a (t). Conversion pyroélectrique 4. Relier en notation complexe l intensité i du courant électrique traversant le film au flux Φ a. 5. En déduire l amplitude des oscillations du courant dans le cristal pyroélectrique pour une fréquence de modulation de 1Hz, sachant que p = C.m 2.K 1 pour LiT ao 3. Commenter. Conversion courant tension Lorsque le film de tantalate de Lithium est soumis à un flux lumineux modulé sinusoïdalement en intensité, il se comporte comme un générateur idéal de courant i(t) associé à un condensateur de capacité C e. Un conducteur ohmique de résistance très élevée R e = Ω est associé en parallèle au film pyroélectrique. 6. Etablir l expression du rapport u i en fonction de R e, C e et ω. 7. En déduire u Φ a et donner l expression littérale de l amplitude de la tension de sortie. MPSI 3, Lycée Carnot, Dijon DS5 : page 2 S.ROGNERUD

3 Fonction de transfert du détecteur Le détecteur pyroélectrique délivre en sortie une tension u image du flux lumineux incident Φ en entrée (ou du moins de la composante modulée de ce flux). On définit la fonction de transfert de ce filtre par H = u Φ a. Le fabricant de ce composant optoélectronique fournit le diagramme de réponse du capteur donné cidessous. 8. Montrer que H(jω) peut se mettre sous la forme suivante : et donner l expression de τ e. H = R eps C T 9. Quelle est la nature de ce filtre? Justifier. 10. Mettre H sous forme canonique : τ T 1 ( τ T + τ e ) jωτeτ T jω(τ T +τ e) τ T +τe H = H m 1 + jq ( ) f f 0 f 0 f Expliciter les expressions littérales de H m, Q et de f Exploitation du diagramme de réponse donné par le constructeur : (a) Préciser l unité de cette fonction de transfert H. Pour quelle fréquence obtient-on une réponse maximale du capteur d après le diagramme? Donner la valeur numérique de la tension de sortie pour cette fréquence. (b) Estimer le facteur de qualité Q exp de ce capteur à partir du graphe donné par le constructeur. Justifier votre réponse par un schéma. (c) Comparer Q exp au facteur de qualité Q th calculé à partir des valeurs des temps caractéristiques τ e = 1.49s et τ T = 0.159s. La figure ci-dessous donne : en ordonnée logarithmique H pour une amplitude du flum lumineux égale à 1µW. en abscisse logarithmique : fréquence de modulation du flux lumineux en Hz. MPSI 3, Lycée Carnot, Dijon DS5 : page 3 S.ROGNERUD

4 Exercice 2 : Modélisation d un sismomètre et réponse fréquentielle Le sismomètre représenté ci-dessous permet de mesurer l amplitude des vibrations du sol lors du passage d une onde sismique. Il est constitué d un cadre rectangulaire solidaire du sol à l intérieur duquel se trouve une masse m reliée à un ressort élastique (raideur k, longueur à vide l 0, fixé au point A du cadre) et à un amortisseur fixé au point B du cadre, exerçant sur la masse une force de frottement f = α d BM. Un dt stylet est solidaire de la masse et permet de tracer sur un feuillet déroulant, rigidement fixé à l intérieur du cadre, l évolution de son altitude. Lors du passage d une onde sismique, le cadre se met à vibrer et il entraîne avec lui la masse m. Le mouvement de la masse est retranscrit sur le feuillet. On repère l altitude de la masse à l aide d un axe (Oz) vertical descendant dont l origine est prise au niveau de sa position d équilibre (sol immobile). On note z s (t) = Z 0 cos(ωt) la déformation du sol sous l effet de l onde sismique et on définit Z = z z S, la position du stylet par rapport au niveau moyen du feuillet lorsque le sol est en mouvement. 1. Exprimer la longueur à l équilibre l eq du ressort en fonction de l 0, m, g et k. 2. Exprimer la longueur l(t) du ressort lorsque le sol est en mouvement en fonction de l eq, z et z S. 3. Montrer que Z(t) vérifie l équation différentielle : Z + ω 0 Q Ż + ω2 0Z = d2 z S dt 2 où ω 0 et Q sont à exprimer en fonction de k, m et α. 4. Etablir l expression de la fonction de transfert mécanique H 1 (jω) = Z z S. 5. On suppose que Q = 1 2. Tracer l allure des diagrammes de Bode en gain en décibel et en phase de cette fonction de transfert en fonction du logarithme décimal de la fréquence réduite u = ω ω 0 et préciser les équations des asymptotes. 6. Quel type de circuit électrique possède une réponse fréquentielle semblable? Proposer un circuit simple ayant le même rôle. On justifiera par une étude asymptotique. MPSI 3, Lycée Carnot, Dijon DS5 : page 4 S.ROGNERUD

5 7. La pulsation propre du sismomètre étant de ω 0 = 20rad.s 1, cet appareil détecte une onde sismique sous la forme de la fonction périodique Z(t) reproduite ci-contre. L amplitude est en unité arbitraire. L application d un algorithme de transformée de Fourier à Z(t) fournit les spectres de pulsations significatives, en amplitude et en phase, tracés en figure 3. A partir de cette figure, exprimer le développement en série de Fourier de Z(t), sous forme d une somme finie de cosinus : x(t) = c 0 + n c n cos(nωt + φ n ). 8. En utilisant la fonction de transfert H 1 (jω) et en rédigeant proprement, déduire le développement en série de Fourier de l excitation z S (t) = c 0 + n c n cos(nωt + φ n). On pourra présenter les résultats sous forme d un tableau. Pensez-vous que ce résultat puisse représenter une onde sismique réelle? 9. Comment devrait-on modifier les caractéristiques du sismomètre afin que l enregistrement de Z(t) permette de déduire directement z S (t)? MPSI 3, Lycée Carnot, Dijon DS5 : page 5 S.ROGNERUD

6 Problème : Relevé expérimental Un élève en TP procède au branchement d un circuit RLC série. Le choix des bobines étant restreint, il opte pour une inductance propre de L = 75mH. Il génère dans son circuit une tension sinusoïdale de fréquence variable à l aide d un GBF de résistance interne 50Ω. Il s attaque alors au relevé de valeurs efficaces de tensions mais il ne note pas aux bornes de quel dipôle il fait le relevé. Il obtient le tracé qu il fournit ci-dessous. Enfin, pour une fréquence donnée, il fait un relevé expérimental d oscillogramme en mode temporel. Il se souvient simplement qu il a relevé la tension aux bornes du générateur ainsi que la tension aux bornes du même dipôle que celui auquel on a mesuré les valeurs efficaces. Le tout est fourni ci-dessous. Proposer le circuit monté ainsi que les branchements sur l oscilloscope effectués par l élève et trouver les valeurs de R et C avec lesquelles il a travaillé. MPSI 3, Lycée Carnot, Dijon DS5 : page 6 S.ROGNERUD