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1 Visiter notre Forum : Visiter notre page : *************************************************** * bibliothéque electronique des classes prepa * ***************************************************

2 NOUVEAU ROGRAMM

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5 Composition et mise en page : Laser Graphie Maquette intérieure : S.G. Création et Pascal Plottier Maquette de couverture : Alain Vambacas HACHEE Livre 2004, 43 quai de Grenelle, Paris Cedex 5. I. S. B. N ous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n autorisant, aux termes des articles L et L d une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective», et, d autre part, que «les analyses et les courtes citations» dans un but d exemple et d illustration, «toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite». Cette représentation ou reproduction par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l éditeur ou du Centre français de l exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

6 réface Cette collection concerne les nouveaux programmes des classes préparatoires aux Grandes Écoles mis en application à la rentrée de septembre 2004 pour les classes de Deuxième année MP, PC, PSI, et P. Les auteurs ont choisi d aborder le programme de physique par matière, et non par filière. Cependant les parties de programme spécifiques à une ou plusieurs filières sont bien signalées. Ces indications n empêchent pas un élève souhaitant approfondir ses connaissances dans un domaine donné, d étudier une partie non retenue pour sa filière. Ce découpage présente l intérêt d englober un ensemble cohérent et complet de connaissances et d applications pour une matière, ce qui est un atout pour aborder les IPE (travaux d initiative personnelle encadrés) et ADS (analyse de documents scientifiques), par exemple. La physique est une science expérimentale et doit être enseignée en tant que telle. Les auteurs ont particulièrement soigné la description des dispositifs expérimentaux et des protocoles opératoires qu ils ont illustrés de nombreux schémas. Souhaitons que leurs efforts incitent les professeurs à accorder davantage de place aux activités expérimentales, toujours très formatrices, dans leurs cours et les élèves à s y intéresser davantage pour mieux appréhender les phénomènes. La physique n est pas une science désincarnée, uniquement préoccupée de spéculations fermées aux réalités technologiques. Chaque fois que le sujet s y prête, les auteurs donnent une large place aux applications scientifiques ou industrielles propres à motiver les futurs chercheurs et ingénieurs. La physique n est pas une science aseptisée et intemporelle, elle est le produit d une époque et ne s exclut pas du champ des activités humaines. Les auteurs ont fait référence à l histoire des sciences, aussi bien pour décrire l évolution des modèles théoriques que pour replacer les expériences dans leur contexte. La physique étudie des phénomènes naturels et des systèmes dont elle cherche à modéliser les comportements et à prévoir les évolutions. Cette modélisation amène inévitablement à relier des grandeurs physiques entre elles et à opérer des traitements mathématiques. Les auteurs ont donné aux mathématiques leur juste place, en privilégiant la réflexion et le raisonnement physique et en mettant l accent sur les paramètres significatifs et les relations qui les unissent. La maîtrise de la physique nécessite un apprentissage et un entraînement : pour cela les auteurs ont sélectionné des exercices nombreux et variés, extraits des épreuves écrites et orales des concours d entrée aux Grandes Écoles ; ces exercices s appuient sur des situations concrètes et conduisent à des applications numériques correspondant à des dispositifs réels ou des phénomènes quotidiens. ous les exercices sont corrigés de façon détaillée. Dans les exercices commentés, la solution est discutée, et les erreurs à ne pas commettre signalées. L équipe d auteurs, coordonnée par Jean-Marie BRÉBEC, est composée de professeurs très expérimentés de classes préparatoires ; ils possèdent une longue pratique des concours des Grandes Écoles, et leur compétence scientifique est unanimement reconnue. Ces ouvrages de seconde année s inscrivent dans une parfaite continuité avec ceux de première année, tant dans la forme que dans l esprit, car le noyau de l équipe d auteurs est le même. Gageons que ces ouvrages constitueront de précieux outils pour les étudiants, tant pour une préparation efficace des concours que pour l acquisition d une solide culture scientifique. J.-P. DURANDEAU et M.-B. MAUHOURA 3

7 ommaire DIFFUSION DE PARICULES (PC E PSI) 5 RANSFERS HERMIQUES D ÉNERGIE. DIFFUSION HERMIQUE 32 RAYONNEMEN (MP) 77 POENIELS HERMODYNAMIQUES (PC) 2 LE CORPS PUR SOUS DEUX PHASES (PC E P) 57 BILANS D ÉNERGIE POUR UN ÉCOULEMEN SAIONNAIRE (P) 95 INDEX 223 4

8 de particules Diffusion de particules PC et PSI Au XIX e siècle, biologistes et botanistes s intéressèrent beaucoup aux phénomènes de diffusion dans les liquides organiques ; ils réalisèrent différentes expériences qui permirent de collecter de nombreuses informations, tant qualitatives que quantitatives. Après une analyse minutieuse de l ensemble des résultats collectés, et par analogie avec les lois qui régissent les phénomènes de la conduction thermique (étudiées au chapitre 2), le physiologiste allemand Adolphe Fick énonça les lois de la diffusion en 856. En donnant une interprétation physique à des phénomènes considérés comme purement biologiques, il fut, en quelque sorte, l un des tous premiers biophysiciens. Depuis, l étude des phénomènes de diffusion a gagné bien d autres domaines : chimie, électronique (fabrication des semi-conducteurs), O B J E C I F S Équation-bilan sur un nombre de particules. P R É R E Q U I S Opérateur, divergence, gradient et laplacien scalaire. 5

9 hermodynamique Diffusion de particules.. Observation du phénomène de diffusion Débouchons une bouteille de parfum. Assez rapidement une odeur agréable s échappe du flacon et se répand dans toute la pièce : les molécules de parfum se dispersent dans l air, du flacon (zone de forte concentration) vers les extrémités de la salle (zone de faible concentration). Ce phénomène se produit même si l air de la pièce est globalement au repos (un courant d air n est absolument pas nécessaire à la diffusion du parfum). Mettons de l encre avec une seringue au fond d un verre rempli d eau. (doc. ). La teinte bleue se répand progressivement à l ensemble de l eau. Il n est pas nécessaire de mélanger l eau, l agitation de l eau ne fait qu accélérer l homogénéisation de la solution. Dans ce chapitre, nous nous proposons d étudier les caractéristiques de ce phénomène : Doc.. La teinte bleue due à l encre injecté à l aide d une seringue au fond du verre d eau, diffuse lentement. Les deux photographies ont été prises à 24 h d intervalle. La zone colorée est montée de 5 mm environ. Le phénomène de diffusion est très lent dans les liquides. Lorsque la concentration de particules (molécules, atomes, électrons,... ) contenues dans un milieu en équilibre thermique et mécanique varie d un point à un autre, ces particules se déplacent des zones où leur concentration est forte vers les zones où leur concentration est faible : on dit que les particules diffusent dans le milieu. La diffusion des particules tend à uniformiser la concentration et s arrête donc lorsque celle-ci est la même partout. La diffusion est un processus essentiellement irréversible qui se fait toujours dans le même sens, celui des concentrations décroissantes (doc. 2). Le phénomène de diffusion existe dans tous les milieux gazeux, liquide et solide. Dans les deux premiers cas, la convection (agitation naturelle ou forcée du fluide) accélère l homogénéisation du milieu. Le phénomène de diffusion de particules dans des supports solides est utilisé lors de la fabrication de semi-conducteurs en électronique où des atomes «dopants» sont placés dans des cristaux de silicium ou de germanium. La diffusion se rencontre aussi dans des cristaux présentant des défauts. Par exemple dans un cristal de cuivre présentant des lacunes, le comblement d une lacune par un atome de cuivre et par conséquent la création d une nouvelle lacune assure la diffusion des atomes de cuivre dans le cristal. On dit alors qu il y a autodiffusion car les particules qui diffusent sont de même nature que celles du milieu dans lequel elles se déplacent..2. Causes de la diffusion Àl échelle microscopique, les particules se déplacent aléatoirement dans toutes les directions sous l action de l agitation thermique. Si le milieu est homogène, les particules qui quittent un élément de volume donné pendant une durée t sont remplacées par une quantité équivalente venant de l extérieur. En revanche si la concentration n est pas uniforme, ces deux termes ne se compensent pas et les molécules des zones à forte concentration vont progressivement migrer vers des zones à plus faible concentration (doc. 3)..3. Flux de particules Soit un milieu (gaz, liquide ou solide) dans lequel peuvent diffuser des particules et une surface S orientée dans ce milieu. concentration de particules diffusion diffusion Doc. 2. La diffusion tend à uniformiser les concentrations. zone zone 2 Doc. 3. Les particules de la zone à forte concentration sont plus nombreuses à pénétrer dans la zone 2 à plus faible concentration. 6

10 . Diffusion de particules (PC et PSI) Le flux f de particules à travers la surface S est le nombre de particules traversant S par unité de temps en tenant compte de l orientation de la surface. f = dn où dn est le nombre de particules traversant S pendant la durée dt. dt Considérons, par exemple, un milieu où la concentration de particules n(x, t ) ne dépend que d une seule coordonnée d espace x et du temps t. Le nombre de particules dn qui traverse par diffusion une surface S perpendiculaire à l axe (Ox) pendant une durée dt, est proportionnelle à S et à dt : dn = jsdt. où j a la dimension d un flux de particules par unité de surface. Considérons maintenant la surface S dont la normale fait un angle q avec l axe (Ox). Elle est traversée par le même nombre de particules que la surface S normale à (Ox) (doc. 4). Nous pouvons alors écrire : dn = jsdt=jscos q dt car S = S cos q = S rn. re x = S. re x en définissant le vecteur surface ts = S rn. Nous pouvons donc définir un vecteur densité de courant de particules ej = j re x dont la direction est celle de la diffusion. Ce vecteur vérifie alors f = dn = ej.ts quel que soit l angle de la normale à la surface S dt avec (Ox). Dans le cas général, nous associons au flux de particules à travers une surface S ej.dts. une densité volumique de courant ej de particules défini par f = re x S S rj rn Doc. 4. Flux de particules : f = dn = ej. ts = ej. ts dt rj x Le flux de particules est le nombre de particules qui traverse une surface S par unité de temps. s exprime en s. Pendant une durée dt, le nombre de particules dn qui traverse S vaut dn = f dt. f est le flux du vecteur densité de courant de particules ej à travers S. ej.dus. ej s exprime en m 2.s. f = Remarque La dimension de ej est celle d une concentration multipliée par une vitesse. Imaginons que les particules sont animées d une vitesse moyenne macroscopique rv et appelons n leur concentration. Prenons une surface infinitésimale dus de normale ru (doc. 5). Les particules traversant cette surface pendant la durée dt sont celle du cylindre s appuyant sur ds et de génératrice rv dt. Le volume de ce cylindre est dv =h.ds (h hauteur du cylindre) avec h = rv. ru dt. Le nombre dn de particules traversant ds est alors dn = nrv. ru dt ds = nrv.dts dt. La quantité dn représente dt le flux de particules à travers ds, nous pouvons donc identifier ej àla quantité «nrv». La densité de courant de particules s écrit ej = nrv où rv est la vitesse de diffusion des particules..4. La loi de Fick Adolphe Fick établit vers 856 une relation de proportionnalité entre la densité de courant de particules j et le gradient de concentration n de particules milieu où la concentration ne dépend que de la coordonnée x (doc. 6). n x pour un rv dt h ru surface dt Doc. 5. Les particules du cylindre de génératrice rv dt traversent la surface ds pendant la durée dt. concentration n élevée j e x grad n Doc. 6. Loi de Fick : j(x, t) = D n t. x concentration n faible 7

11 hermodynamique j = D n ou sous forme vectorielle ej = D Ograd n avec D 0. x La loi de Fick rend compte du phénomène de diffusion en reliant le vecteur densité de courant de particules au gradient de concentration. ej = D Pgrad n Le coefficient D, positif, est la coefficient de diffusion ou diffusivité du corps étudié. Il s exprime en m 2.s. Le signe indique que la diffusion s effectue toujours dans le sens des concentrations décroissantes Le coefficient D dépend de la nature des particules qui diffusent et de celles du milieu dans lequel ces particules se déplacent (doc. 7). Pour deux isotopes d un même élément, le coefficient de diffusion est d autant plus petit que la masse atomique est élevée. Cette propriété est utilisée pour séparer les isotopes 235 et 238 de l uranium sous forme d hexafluorure d uranium gazeux UF 6 : opération d «enrichissement» de l uranium. L uranium naturel contient 0,7 % de l isotope 235 et l industrie nucléaire civile nécessite une concentration de 3%environ Le coefficient D est aussi fonction de et P. Il augmente quand la température augmente ou quand la pression diminue. L augmentation de la vitesse de diffusion avec la température est un problème très important en microélectronique. La température élevée d un microprocesseur favorise la diffusion des atomes dans le cristal de silicium et par conséquent la destruction de la «puce». La diminution régulière de la taille des constituants d un microprocesseur et l augmentation de la température de travail due à des vitesses d horloge de plus en plus élevées font qu actuellement la durée de vie d un microprocesseur est limitée au plus à quelques années par le phénomène de diffusion. D ne dépend pas, sauf cas extrêmes, de la concentration n..5. Analogie entre la loi de Fick et la loi d Ohm Lorsqu un conducteur est soumis à une différence de potentiel V, il est le siège d un courant électrique dont le vecteur densité de courant électrique ej est relié au champ électrique ie = Ograd V (doc. 8) selon la loi : ej = s ie = s Ograd V où s représente la conductivité électrique du conducteur. L intensité I qui traverse le conducteur est égale au flux du vecteur ej à travers la section du conducteur et représente le débit des charges électriques. out comme la loi d Ohm, la loi de Fick est une loi «phénoménologique»:ce n est pas une loi fondamentale de la physique, mais un modèle qui donne une excellente description des résultats expérimentaux dans de nombreux cas. Rappelons qu une loi «phénoménologique» est souvent source de création d entropie (cf. H-Prépa, hermodynamique, re année). On peut également rapprocher la loi de Fick de la loi de Fourier qui traduit la conduction de la chaleur dans un milieu, dont la température n est pas homogène (doc. 9) (cf. le chapitre 2). D (m 2. s ) molécules dans un gaz molécules dans un liquide atomes dans un solide Doc. 7. Ordre de grandeur du coefficient de diffusion D:quelques ordres de grandeur. j = σ E E = grad V Doc. 8. Analogie avec la loi d Ohm. j Q = Κgrad grad Doc. 9. Analogie avec la loi de Fourier. 8

12 . Diffusion de particules (PC et PSI) 2 Équation de la diffusion Sauf cas particuliers, nous n envisagerons pas de milieu où il y a création ou destruction de particules par une réaction chimique ou nucléaire. Dans ce cas, les seuls apports de particules à un volume donné du milieu étudié se produisent par diffusion au niveau de sa surface. 2.. Diffusion à une dimension sans apport de particules Plaçons-nous dans le cas où la concentration de particules n(x, t ) ne dépend que de l abscisse x et du temps t, et supposons qu il n y ait pas d apport de particules. Notons f (x, t) le flux de particules traversant une surface de section S normale à l axe (Ox) orienté selon les x croissants : f (x, t) = j (x, t) S où j est le vecteur densité de courant de particules. Considérons alors un petit volume de section S compris entre les abscisses x et x +dx. Ce volume contient dn = nsdxparticules. Effectuons un bilan sur le nombre de particules entre les deux instants voisins t et t +dt(doc. 0). À l abscisse x, il entre dans le système δ N e = f (x, t) dt = j (x, t ) S dt particules. À l abscisse x +dx, il en sort δ N s = f (x +dx,t) = j (x +dx, t ) S dt. Comme il n y a ni création ni destruction de particules, le nombre de particules dans le volume étudié vérifie : dn(t +dt) dn(t) = δ N e δ N S comme dn(t +dt) dn(t) = N t dt Sdx et x j (x, t) x j(x + dx, t) x + dx Doc. 0. La différence entre les flux entrant et sortant tend à faire varier le nombre de particules n par unité de volume. x j (x + dx, t) j (x, t) = suivante : j x, nous obtenons par identification la relation locale S il n y a aucun apport de particules, la conservation du nombre de particules se traduit par la relation locale : n j =. t x En éliminant j à l aide de la loi de Fick j = D n, il vient : x n = D 2 n. t x 2 (D ne dépend pas de x, le corps étant supposé homogène). Dans le cas où il n y a pas d apport de particules et à une dimension, la concentration n(x, t ) vérifie l équation de la diffusion : n = D 2. n t x 2 D est le coefficient de diffusion s exprimant en m 2.s Équation de la diffusion à trois dimensions Plaçons nous maintenant dans le cas plus général où la concentration n(m) dépend des trois coordonnées du point M mais où il n y a toujours pas d apport de particules. 9

13 hermodynamique Remplaçons alors le volume élémentaire S dx précédent par un volume V non infinitésimal limité par la surface fermée S (doc. ) contenant N(t) = n dt. V ej. dts d après la définition Le flux de particules à travers la surface S est f = de ej. D après la convention d orientation des surfaces fermées, ce flux est le flux sortant de la surface S. Donc, pendant l intervalle de temps dt, le volume V reçoit un nombre de particules δ N e = fdt. La conservation du nombre de particules donne, dans ces conditions, dn = δ N e = fdt. D une part dn = d temps. V n dt = V D autre part le théorème d Ostrogradski donne f = La relation dn = fdt se traduit par l égalité quel que soit le volume V. Nous en déduisons la relation n t n t = div ej, dt dt le volume V étant indépendant du V ej. dts = n t V dt = V div ej dt. div ej dt vraie M d P d S rj d rs Doc.. Bilan de particules pour un volume quelconque. puis à l aide de la loi de Fick n t = div ( D Ograd n). Introduisons le laplacien n défini par n = div (Ograd n) et supposons le milieu homogène (D uniforme), alors n t = D n. S il n y a pas d apport de particules, la conservation du nombre de particules se traduit dans le cas général par la relation locale = div ej. n t Dans ce cas, l équation de la diffusion prend la forme : n = Dn. t Application Il se peut que le milieu dans lequel diffusent les particules puisse «créer» ou au contraire «absorber» des particules diffusantes ; il faut alors en tenir compte dans le bilan de particules. Cet apport peut se faire par voie chimique : par exemple, lors de l oxydation en solution aqueuse des ions Fe 2+ en ions Fe 3+, il y a une création volumique d ions Fe 3+ et une disparition équivalente d ions Fe 2+. Cela peut aussi se faire par voie nucléaire: dans un combustible nucléaire fissible, il y a création de neutrons entre autres particules créées. Équation de diffusion avec création de particules. Longueur critique d un barreau de plutonium Prenons le cas d une concentration n en particules ne dépendant que de la variable x et du temps et supposons qu il se crée s a particules par unité de temps et de volume. a) Écrire la nouvelle équation traduisant la conservation de la matière. b) Que devient alors l équation de diffusion? c) Considérons un barreau de plutonium de longueur L siège d une réaction de fission nucléaire :après capture d un neutron, un noyau de plutonium se brise en 0

14 . Diffusion de particules (PC et PSI) plusieurs fragments et éjecte des neutrons qui peuvent provoquer la fission d autres noyaux. Supposons que la densité de neutrons n n est fonction que de la variable x et du temps. De plus, la réaction de fission assure une création volumique de neutrons proportionnelle au nombre de neutrons par unité de volume : σ a = a n. En admettant que la densité de neutrons est donnée par la relation n(x, t) =n 0 (t) sin(πx/l), montrer que la longueur du barreau présente une valeur critique au delà de laquelle il est instable. Application numérique : D = 20 m 2. s, a =,6.0 4 s. a) Considérons un petit volume de section S compris entre les abscisses x et x +dxcontenant dn = nsdxparticules. Effectuons un bilan sur le nombre de particules entre les deux instants voisins t et t +dt(doc. 2). Comme il y a création de particules et apport par diffusion à travers les surfaces d abscisse x et x +dx: àl abscisse x, il entre dans le système un nombre de particules δ N e = f (x, t) dt = j (x, t) S dt. àl abscisse x +dx, il en sort : δ N s = f (x +dx, t) dt = j (x +dx, t) S dt. S j (x) dt j (x) x a S dx dt S j (x + dx) a x + dx j (x + dx) Doc. 2. Bilan de particules entre les abscisses x et x + dx. Il y a création de δ N a = s a S dx dt particules. Le nombre de particules dans le volume étudié vérifie : dn(t +dt) dn(t) = δ N e δ N S + δ N a dn(t +dt) dn(t) = dtsdx et j j j (x + dx, t) j (x, t) = dx donc n = + s a, x t x expression à une dimension de l équation locale : n t = div ej + s a. b) La loi de Fick : j = D n donne alors n = D 2 n + s a. t t x 2 Cette relation peut se généraliser à trois dimensions en n t = D n + s a. c) Utilisons la relation de la question b): n = D 2 n + a n. t x 2 En remplaçant n par n 0 (t) sin(πx/l) dans cette équation, on obtient : = a D n 0. Cette équation admet une solution divergente si : a 2 L 2 dn 0 dt n t D d où la valeur critique de la longueur du barreau au-delà de laquelle il est instable : L max = π D a cm. 2 L 2 Pour s entraîner : ex. 7 et 8. 3 Résolution de l équation de diffusion Dans tout ce paragraphe on supposera qu il y a ni création, ni destruction de particules. 3.. Irréversibilité du phénomène de diffusion Reprenons l expérience de l encre dans le verre (doc. ). Nous ne verrons jamais le système évoluer de la photographie de droite vers celle de gauche. L expérience n est pas invariante par retournement du temps : la diffusion est un phénomène irréversible.

15 hermodynamique Cette irréversibilité est directement liée à la forme de l équation de diffusion. Imaginons que n(x, t) est solution de l équation de diffusion à une dimension. Quelle équation différentielle vérifie une évolution en sens inverse pour le système? Il faut changer le sens d écoulement du temps ce qui revient à une évolution de la concentration n(x, t) vérifiant n(x, t) = n(x, t). les dérivées partielles de n(x, t) vérifient : 2 n (x, t) = 2 n (x, t) et n (x, t) = n (x t), soit x 2 x 2 t t n = D 2 n. Donc, n(x, t) n est donc pas solution de l équation de diffusion. t x 2 L équation de diffusion n est pas invariante par retournement du temps, le phénomène de diffusion de particules est irréversible et la diffusion de particules est créatrice d entropie. Pour aller plus loin : voir chap Cas du régime indépendant du temps En régime indépendant du temps la dérivée partielle n est nulle. Dans le cas de t la diffusion sans apport de particules, n(x) vérifie l équation suivante : n =0, soit pour un problème à une dimension d 2 n = 0. dx 2 Dans un problème unidimensionnel, le vecteur densité de courant de particules dj vérifie = 0et ne dépend donc pas de x (ni de t). Le vecteur densité de courant dx de particules est un vecteur constant dans le cas d un problème à une dimension en régime permanent et la densité volumique de particules est une fonction affine de x. Application 2 Diffusion de dihydrogène à travers une membrane Les conditions aux limites en x =0et x = L donnent : n(x) = n(0) + (n(l) n(0)) x. L Le flux de molécules qui traverse la surface du ballon est = jsoù j est donné par la loi de Fick j = D dn, dx Soit un ballon de baudruche rempli de dihydrogène ; ce gaz diffuse à travers le caoutchouc de l enveloppe. Nous pouvons modéliser cette diffusion en régime permanent par un problème à une dimension en régime permanent, où en x = 0, la concentration massique c 0 de dihydrogène est de 80g/m 3 et en x =L=0, mm la concentration massique c L est négligeable. Le coefficient de diffusion D du dihydrogène à travers la membrane est D = 0 9 m 2.s. Quelle masse de dihydrogène perd par unité de temps un ballon de surface S = 0,m 2? En régime permanent, la concentration n ne dépend que de x et vérifie d 2 n = 0. dx 2 Soit en intégrant n(x) = ax + b où a et b sont des constants. soit = DS (n(l) n(0)). est un flux moléculaire. L Le flux massique f m vérifie f m = m H2 f où m H2 est la masse d une molécule de dihydrogène. De plus, la concentration massique c est reliée à la concentration moléculaire par c = m H2 n. Nous en déduisons : dm dt = f m = DS (c 0 c L ) 0,08 mg/s. L 2

16 . Diffusion de particules (PC et PSI) Dans un ballon sphérique gonflé au dihydrogène sous P =bar à température de 300 K, la masse de dihydrogène est m = M H2 avec V = πr 3 3/2 PV 4 = 4 π S R 3 3 4π soit m 0, 24g. En une heure, le ballon perd 2 % de sa masse de dihydrogène. Ce n est pas négligeable et c est une des raisons pour lesquelles on a abandonné le dihydrogène au profit de l hélium pour gonfler les ballons 3.3. Régime dépendant du temps La résolution dans le cas général de l équation de diffusion ne peut pas se faire analytiquement. Nous nous restreindrons ici à quelques exemples dans le cas unidimensionnel. Dans ce cas l équation de diffusion s écrit : n = D 2 n. t x Analyse dimensionnelle L analyse dimensionnelle consiste évaluer à une constante multiplicative près les grandeurs caractéristiques d un problème à partir de considérations d homogénéité sur les coefficients intervenant dans l équation caractérisant le phénomène étudié. Le coefficient D, homogène au carré d une distance divisée par un temps, est caractéristique du phénomène de diffusion. Il donne souvent des renseignements précieux sur les ordres de grandeur de la durée t 0 et de la longueur L qui caractérisent le phénomène de diffusion. La dimension des grandeurs L et t 0 est reliée à celle de D par L 2 = [D], donc t0 le rapport L 2 est de l ordre de grandeur de D. t 0 Nous pouvons comparer les longueurs caractéristiques de diffusions sur le document 3. molécule dans un gaz molécule dans un liquide ordre de grandeur des distances caractéristiques mm à cm µm à 0, mm atomes dans un solide fm à 0 nm (fm fentomètre = 0 5 m) Doc. 3. Ordre de grandeur des distances caractéristiques de diffusion L = 5Dt correspondant à une durée t = s. Prenons l expérience du document 2:la diffusion s est produite sur une hauteur L de 0,5 cm en une durée t 0 de 24h. L ordre de grandeur de D est donc D L 2 = m 2.s. Évaluons le temps d homogénéisation de l eau dans le t0 verre (hauteur d eau L = 7cm). Pour cette hauteur, la durée t 0 correspondante vérifie D soit t 0 t 0 2 L 2 L 96 jours. t0 L Les deux valeurs D et t 0 ne sont que des ordres de grandeur mais nous pouvons tout de même remarquer que la diffusion est très lente et que seuls les phénomènes de convection assurent une homogénéisation rapide d une solution. Il en est de même pour les systèmes gazeux. En revanche, la convection est impossible dans les solides et l homogénéisation de concentration y est toujours extrêmement lente. 3

17 hermodynamique Application 3 Le coefficient de diffusion D dans le silicium dépend de la température selon la loi D = D 0 e E k B où E est l énergie d activation du processus. Un facteur limitant la durée de vie d un microprocesseur est le phénomène de diffusion. La migration des atomes provoque la destruction des transistors contenus dans la puce. Quel est l ordre de grandeur du rapport des durées de vie d un microprocesseur des années 990 et des années 2000? Pour augmenter la vitesse d exécution des programmes, il est possible d augmenter la fréquence de l horloge du microprocesseur «overclocking». Un effet indirect est l augmentation de la température du microprocesseur de 5 Cà 0 C. Que pensez-vous de cette technique? Données : E =3,5eV pour le gallium. k B =, J.K. dimension de la gravure La relation dimensionnelle L 2 = [D] permet de t0 calculer le temps caractéristique de diffusion : Durée de vie d un microprocesseur température interne années 990 0,5 µm 80 C années ,5 µm 90 C Doc. 4. Caractéristiques des microprocesseurs. t = = e E k B 2 2. D D0 Le rapport des durées de vie est sensiblement le rapport des temps caractéristiques soit : 2 E t r = 90 = 90 e kb t ( ev =,6.0 9 J). Ceci donne une durée de vie de quelques années pour les microprocesseurs actuels, durée suffisante vu qu un microprocesseur devient rapidement obsolète. Àcaractéristiques géométriques données, la durée de vie est proportionnelle à D. L «overclocking» soit le passage d une température de 00 à 00 raccourcit la durée de vie du microprocesseur d un facteur : r = e E k B r = 4,5 pour une augmentation de 5 C et r = 9,3 pour 0 C. La durée de vie du microprocesseur est alors au mieux de quelques mois. Cette technique est donc à déconseiller sauf si on prévoit un système de refroidissement très efficace. Actuellement, un gros effort est fait lors de la conception des microprocesseurs sur leur consommation électrique de façon à ne pas trop augmenter leur température quand on augmente leur fréquence d horloge Solutions particulières Nous pouvons chercher certains types de solutions particulières : sous la forme d une fonction à variables séparées : n(x, t) = f (x) g(t). Cette méthode est employée dans l exercice 8; N sous la forme n(x, t) = 0 exp x 2 : problème où à l instant initial N 0 7Dt 4Dt particules diffusantes par unité de surface orthogonale à (Ox) sont concentrées en x =0; x 24Dt sous la forme n(x, t) = n 0 2 e u2 du 0 : problème où la concentration 2π de particules diffusantes en x =0est maintenu constamment à n 0. Ces solutions particulières vérifient toutes l équation de diffusion n = D n 2, t x 2 mais vérifient rarement les conditions aux limites imposées par le problème étudié. 4

18 . Diffusion de particules (PC et PSI) Leur intérêt vient du fait que l équation de diffusion est une équation différentielle linéaire. Si nous connaissons des solutions particulières de cette équation n i (x, t), toute combinaison de ces solutions est solution de l équation de diffusion. Soit n(x, t) = a i n i (x, t) où a i est un coefficient constant. n(x, t) vérifie l équation de diffusion. Il «suffit» ensuite de chercher les solutions particulières et d ajus- i ter les coefficients a i de façon à ce que la combinaison linéaire de ces solutions vérifie les conditions aux limites. Pour s entraîner : ex. 5 et 6. Application 4 On suppose que la concentration en particules diffusantes 2 2π est donnée par :n(x, t) = n 0 0 Étude d une solution particulière x 24Dt e u2 du. 0,8 n/n 0 x = 0 x = a) racer les courbes n(x, t) dans un système d unités arbitraire pour D = m 2.s pour x fixé prenant les valeurs,2,3,4 puis pour t fixé prenant les valeurs,2,3,4. (La fonction erf (x) = 2 e u2 du appelée «fonction erreur» est connue en particulier du logiciel 3π Maple.) b) Faire un tracé de n(x, t) en fonction de x et t en dégradé de gris. c) Vérifier que pour une valeur donnée de x, le temps t /2 tel que n(x, t /2 ) =n 0 /2 est proportionnel à 2x et que pour un instant donné, l abscisse x /2 du point tel que n(x /2,t) =n 0 /2 est proportionnel à t 2. Retrouver ce résultat par une analyse dimensionnelle. a) Les tracés sont représentés sur les documents 5a et 5b. x 0 0,6 0,4 0, Doc. 5b. racé de n(x, t) à x fixé. b) Àl aide du logiciel Maple, par exemple (n 0 =et D =): 0,8 x = 3 x = 2 x = 4 t 0,8 0,6 0,4 0,2 0 n/n 0 t = 4 t = 3 t = 2 t = Doc. 5a. racé de n(x, t) à t fixé. x 0,6 0,4 0,2 0 n = 0,5 n 0 n = 0,75 n x 6 8 n = 0,25 n 0 Doc. 5c. Courbe de densité donnant la concentration des particules en fonction de x et de t. t 5

19 hermodynamique n: =(x,t) -erf(x/2/t^(/2));# définition de n à partir de la fonction erf plot({seq(n(a,t),a=.4)},t=e-0..0) ;# tracé des courbes n(x, t) à x fixé pour x =..4 (éviter la valeur t =0) plot({seq(n(x,b),b=..4)},x=e-0..0);# tracé des courbes n(x, t) à x fixé pour t =..4 plots[densityplot](-n(x,t),x=e-0..0,t =E-0..0)# permet un tracé en dégradé de gris de la concentration en particules : noir concentration = blanc concentration nulle) (doc. 5c). c) Nous remarquons que n(x, t) est en fait une fonction de la seule variable u = x 2. Si n(x 0, t 0 ) = n 0 /2, alors : t Donc le temps t /2 tel que n(x, t /2 ) = n 0 /2 à x fixé est proportionnel à 2x. Par exemple : t /2 (x =4) =2t /2 (x =2). n(b 2 n x 0, b t 0 ) = 0. 2 Donc l abscisse x /2 telle que n(x, t /2 ) = n 0 /2 à t fixé est proportionnelle à t 2. Par exemple : x /2 (t =3) =9x /2 (t =). Le paramètre caractéristique de la diffusion est D homogène à x 2, on retrouve donc les relations de propor- t tionnalité prévues. n n(a x 0, a t 0 ) =

20 . Diffusion de particules (PC et PSI) LE PHÉNOMÈNE DE DIFFUSION Lorsque la concentration de particules (molécules, atomes, électrons,... ) contenues dans un milieu en équilibre thermique et mécanique varie d un point à un autre, ces particules se déplacent des zones où leur concentration est forte vers les zones où leur concentration est faible : on dit que les particules diffusent dans le milieu. La diffusion des particules tend à uniformiser la concentration et s arrête donc lorsque celle-ci est la même partout. La diffusion est un processus essentiellement irréversible qui se fait toujours dans le même sens, celui des concentrations décroissantes. Le phénomène de diffusion existe dans tous les milieux gazeux, liquide et solide. Dans les deux premiers cas, la convection (agitation naturelle ou forcée du fluide) accélère l homogénéisation du milieu. LOI DE FICK Le flux de particules f est le nombre de particules qui traverse une surface S par unité de temps. f s exprime en s. Pendant une durée dt, le nombre de particules dn qui traverse S vaut dn = f dt f est le flux du vecteur densité de courant de particules ej à travers S : ej s exprime en m 2.s. CQFR f = ej.dts. La loi de Fick rend compte du phénomène de diffusion en reliant le vecteur densité de courant de particules au gradient de concentration : ej = D Ograd n. Le coefficient D, positif, est la coefficient de diffusion ou diffusivité du corps étudié. Il s exprime en m 2.s. Le signe indique que la diffusion s effectue toujours dans le sens des concentrations décroissantes ÉQUAION DE LA DIFFUSION Cas à une dimension S il n y a aucun apport de particules, la conservation du nombre de particules se traduit par la relation locale = j n, la concentration n(x, t) vérifie alors l équation de la diffusion n = D 2 n. t x t x 2 Cas à trois dimensions S il n y a pas d apport de particules, la conservation du nombre de particules se traduit par la relation locale n = div ej. L équation de la diffusion prend la forme n = D n. t t D est le coefficient de diffusion s exprimant en m 2.s. PROPRIÉÉS DE L ÉQUAION DE DIFFUSION L équation de diffusion n est pas invariante par retournement du temps, le phénomène de diffusion de particules est irréversible et la diffusion de particules est créatrice d entropie. Le coefficient D, homogène au carré d une distance divisée par un temps, est caractéristique du phénomène de diffusion. Il donne souvent des renseignements précieux sur les ordres de grandeur de la durée t 0 et de la longueur L qui caractérisent le phénomène de diffusion. 7

21 Contrôle rapide Avez-vous retenu l essentiel? Quand rencontre-t-on le phénomène de diffusion? Quelle relation lie le vecteur courant de particules au flux de particules? Quelle est la signification du signe dans la loi de Fick? Savez-vous démontrer l équation de la diffusion à une dimension? Pourquoi cette équation traduit-elle un phénomène irréversible? Du tac au tac (Vrai ou faux). La diffusion n a lieu que dans les fluides. Vrai Faux 2. La diffusion est en général un phénomène très lent. Vrai Faux 5. L ordre de grandeur du coefficient de diffusion est : a. pour un gaz : cm 2. s b. pour un liquide 0 8 m 2.s c. pour un solide : µm 2. s 3. La loi de la diffusion à une dimension s écrit : a. b. c. n x n t n t = D = D = D 2 n t 2 2 n x 2 2 n x 2 4. La loi de diffusion traduit un phénomène irréversible parce que : a. c est une équation du second ordre en x b. c est une équation du premier ordre en t c. si n(x, t ) est solution de cette équation, n(x, t ) ne l est pas. 6. Une diffusion se produit dans un milieu de distance caractéristique L avec une diffusivité D. Le temps caractéristique de diffusion t 0 est donné par la relation : a. t 0 = b. t 0 = c. t 0 = L v L 2 D L D 2 d. t 0 = L 2 D Solution, page 27. 8

22 Exercice commenté Diffusion de neutrons dans un réacteur nucléaire On étudie la diffusion de neutrons dans la matière fissile (du plutonium 239 par exemple) d un réacteur. On suppose que le milieu dans lequel évoluent les neutrons est homogène et contient N P atomes de plutonium par unité de volume. N P est supposé uniforme et indépendant du temps. On désigne par : n(m, t) le nombre de neutrons par unité de volume en un point M, à l instant t ; ej (M, t) le vecteur densité de courant de neutrons en M, à t. D le coefficient de diffusion. Le réacteur est sphérique, de centre O, de rayon a, et on admet que le vecteur ej s écrit ej = j ee r (ee r vecteur unitaire radial) et que n et j ne dépendent que de la distance r = OM et de t. On suppose pour simplifier que tous les neutrons ont des vitesses de même module moyen v et qu ils parcourent une distance entre deux chocs avec des noyaux de plutonium. ) Au cours des collisions, une fraction des neutrons peut être absorbée par les noyaux ; en outre, certains neutrons absorbés conduisent à la fission du noyau de plutonium qui produit des neutrons appelés neutrons secondaires. Pour simplifier, on admet, qu en moyenne, il y a K (K ) neutrons créés pour un neutron absorbé, et on suppose que les neutrons secondaires ont même vitesse v que les neutrons initiaux. Montrer que le nombre n de neutrons par unité de volume vérifie l équation différentielle : = r2 + B2 n et exprimer le coefficient constant B 2 en fonction de D,, a, v et K. 2) On se place en régime indépendant du temps. a) En remarquant que d r2 dn = d 2 (rn) déterminer la fonction n(r). r 2 dr dt r dr 2 D n t r 2 r n t On appellera n 0 le nombre de neutrons par unité de volume pour r =0. b) On montre en théorie de la diffusion, qu une condition simple rendant compte de la discontinuité du milieu pour r = a est d imposer à n de s annuler à une «distance extrapolée» égale à b =(a+0,7 ) où est la distance entre deux chocs. Montrer que ce régime de fonctionnement ne peut exister que si a possède une valeur critique a 0 qu on exprimera en fonction de B et. c) Application numérique : D =20 m 2. s ; = s =5, m 2 (section efficace de collision neutron, noyau de plutonium) ; Np v =2000 m.s ; K =2,75 ; a =0,3. masse volumique du plutonium r =9, kg.m 3 ; masse atomique du plutonium A =239 g; nombre d Avogadro N a =6, mol. Calculer, a 0 et la masse critique de plutonium qui correspond à a 0. 3) a) Prévoir qualitativement l évolution en fonction du temps du flux de neutrons lorsque a est supérieur ou inférieur à la valeur critique a 0. b) On cherche une solution de l équation de diffusion en régime dépendant du temps sous la forme d une fonction à variables g(r) séparées n(r, t ) = f (t) r. Cette fonction vérifie la condition n(b, t ) =0évoquée à la question 2)b). 3) a) Déterminer n(r, t ) en fonction de n 0 densité de neutrons en r =0àt=0. Retrouver le résultat de 3)a). 9

23 Exercice commenté Il n est pas possible d utiliser l équation de diffusion car il y a création de neutrons. Il faut donc refaire un bilan de matière et utiliser ensuite la loi de Fick. Le nombre de neutrons entre les sphères de rayon r et r +dr est : dn(r, t) =n(r,t)dv =n(r,t) 4r 2 dr. La variation de ce nombre pendant la durée dt s effectue à r fixé donc : dn(r, t+dt) dn(r, t)=4r 2 dr n dt. t ) Effectuons un bilan du nombre de neutrons contenus entre deux sphères voisines de rayons r et r +dr, pendant une durée dt (cf figure ci-dessous). création de neutrons j (r, t) j (r + dx, r) absorption de neutrons Pendant la durée dt, les neutrons peuvent : être absorbés par un noyau entre les deux sphères ; être créés par fission dans le volume entre les deux sphères ; entrer par diffusion au niveau de la sphère de rayon r; sortir par diffusion au niveau de la sphère de rayon r + dr. Le flux de neutrons à travers une surface ej. en dts. est f = Le vecteur normal à une sphère est e r et j ne dépend que de r et de t. D où : f(r, t) = j(r, t)s(r) = 4r 2 j(r, t) à travers une sphère de rayon r. Attention, les surfaces des sphères de rayon r et r + dr sont différentes : f(r + dr, t) =j(r + dr, t)s(r + dr) = 4(r + dr) 2 j(r + dr, t). Ne développez pas l expression f(r, t) f(r + dr, t), utilisez la relation : f (r + dr, t) f(r, t) = dr. Contrairement au cas où il n y a pas apport de matière, le flux f (r) n est pas indépendant de r en régime permanent car il y a création de neutrons. En régime permanent, le nombre de neutrons créés dans la sphère de rayon r par unité de temps est égal au flux de neutrons à travers sa surface soit : r 0 f r (K ) av n(x) 4πx 2 dx = f (r). En dérivant cette expression par rapport à r et après simplifications, on trouve : (K ) av r 2 d(r n(r) = 2 j). dr L accroissement algébrique du nombre de neutrons dans le volume compris entre ces deux sphères, soit 4πr 2 dr n est dû à la différence entre les flux : t entrant f (r, t ) =4πr 2 j(r, t ) et sortant f (r +dr, t ) =4π(r+ dr) 2 j (r +dr, t ); à laquelle s ajoute la différence entre les neutrons créés et les neutrons absorbés dans le volume compris entre les deux sphères : n (4πr 2 dr) dt neutrons absorbés, Kn (4πr 2 dr) dt neutrons créés, où n représente le nombre de collisions neutron-noyau par unité de volume et de temps. Le temps entre deux chocs pour un neutron est = donc n = nv ; v (j(r, t ) 4r 2 j (r +dr, t ) 4π(r +dr) 2 ) dt = 4π ainsi, après quelques simplifications élémentaires l équation : n = d (r 2 j ) + (K ) av n. t r 2 d r Il reste à utiliser la loi de Fick : ej = D Ograd n conduit à j = D n. r Il vient finalement n = r2 n r 2 D t r et le coefficient positif B 2 vaut B 2 =(K ) v. D + (K ) v n D drdt; nous obtenons 2)a) En régime permanent, n ne dépend plus que de r et l équation précédente se réduit à: d r2 dn + B2 n = 0 r 2 dr dr soit encore, en utilisant l aide apportée par l énoncé : d 2 (rn) dr 2 r + B 2 (rn) = 0. (r 2 j) d r 20

24 . Diffusion de particules (PC et PSI) Souvent dans un problème à symétrie sphérique où on étudie une grandeur physique f(r), l introduction de la fonction g(r) =r a f(r) avec a = ou 2 permet d obtenir une équation différentielle plus simple. Ici g(r) = rn vérifie l équation différentielle g + B 2 g = 0. La condition aux limites en r = 0 se traduit par deux relations g(0) = 0 (n n est g(r) pas infini en 0) et lim = n 0. r 0 r N oubliez jamais qu une concentration doit toujours rester positive. La solution générale de cette équation s écrit: rn = n sin Br + n 2 cos Br et les constantes d intégration n et n 2 sont déterminées par les conditions aux limites : en r =0, n doit rester fini et égal à n 0 ce qui impose : n n n 2 =0 et n = puisque sin Br 0 n B lorsque r 0 B r n d où : n(r) = 0 sin Br Br 2) b) En outre, n doit s annuler pour r = b, ce qui impose Bb = mπ (m entier). Or, n doit bien évidemment rester positif et l entier m ne peut qu être égal à ;le rayon du réacteur doit donc avoir la valeur critique : a 0 = b 0 0,7 = π 0,7. B 2)c) Application numérique : r N P = = 4, m 3 ; = = 3,4.0 2 m; A NP s B 2 = (K ) a v =, m 2 ; D a 0 = π 0,7 = 5, m 2 soit 5,62 cm ; B masse critique de plutonium = r 4 3 π a 0 3 4,7 kg. La méthode de résolution d une équation différentielle à variables séparées est à connaître. Pour connaître le signe de la constante apparaissant dans cette méthode, il est utile de savoir qu une fonction hyperbolique du type a exp(rt) +bexp( rt) s annule au plus une fois, ce n est pas le cas d une fonction sinusoïdale. Donc, une fonction s annulant deux fois et vérifiant l équation différentielle f (x) =af(x) est sinusoïdale et impose a 0. 3)a) Si a est différent de a 0, les conditions aux limites ne sont plus satisfaites et la solution précédente ne convient pas:le réacteur ne peut pas fonctionner en régime stationnaire. Qualitativement, on peut remarquer que quand on augmente le rayon du réacteur, on augmente la probabilité d absorption des neutrons et on favorise la fission et inversement : si a a 0, le réacteur est instable et diverge (explosion nucléaire) ; si a a 0, le réacteur est instable et s arrête. 3)b) L équation différentielle n = 2 n + B 2 n devient : D t r x 2 D f (t) g(r) = f (t) g(r) + B 2 f (t) g(r). En divisant les deux membres par le produit f (t) g(r) supposé non nul : D f (t) f (t) g(r) = + B 2. g(r) Le membre de gauche est une fonction du temps, celui de droite une fonction de r. Ils sont donc égaux à une constante b. g(r) vérifie alors g(r) +(B 2 b ) g(r) =0. La fonction g(r) s annule pour r =0et r = b, et c est une fonction sinusoïdale de r : g(r) = A sin (kr) avec k 2 = B 2 b. Hachette Livre, H-Prépa hermodynamique, 2 e année, MP PC PSI P, La photocopie non autorisée est un délit. 2

25 Exercice commenté De plus, n(r, t) et g(r) ne pouvant pas changer de signe k = π et b = B 2 π 2 b b 2 ou, en introduisant b 0 de la question 2) : b 2 0 b = π 2. Par ailleurs, f (t) vérifie f (t) = bdf(t), donc f (t) = f (0) e bdt. Avec les conditions initiales, nous obtenons finalement : sin n(r, t) = n π 0 br e bdt. r Par suite, si a a 0 et b b 0, nous constatons que b est positif, n augmente, le réacteur peut s emballer et exploser. En revanche, si a a 0 et b b 0, n diminue et le réacteur peut s arrêter. Il faut donc un contrôle très strict du nombre de neutrons dans les réacteurs nucléaires pour éviter que ces réacteurs ne s emballent ou ne s arrêtent. «Heureusement» lors de l emballement d un réacteur, l explosion du cœur dilue la matière fissible et arrête très rapidement la réaction en chaîne, ce n est pas le cas d une bombe nucléaire où un explosif chimique confine la matière fissible pendant la durée de la réaction de fission. b 2 22

26 Exercices État stationnaire de diffusion On désire étudier le cas d une diffusion de particules entre deux réservoirs de particules. Le premier réservoir, de concentration n,est à l abscisse x 0 ;le second, de concentration n 2,àl abscisse + x 0. Initialement, le milieu séparant ces deux réservoirs est interrompu par une paroi imperméable à la diffusion placée en x = 0. À l instant initial, cette paroi est retirée. Les courbes ci-dessous représentent les concentrations n (x, t), pour x compris entre x 0 et + x 0, aux temps t < t 2 < t 3 < t 4. Au-delà de t = t 4, la courbe tracée n évolue quasiment plus. ) Commenter ces résultats. Existe-t-il un temps caractéristique t c associé à cette observation? 2) Établir l expression de la concentration obtenue au bout d un temps t t c. x 0 t = t 4 Diffusion de molécules à travers une membrane Dans cet exercice, on se propose de travailler avec un flux molaire plutôt qu un flux de particules ; le rapport entre les deux flux est égal au nombre d Avogadro. La diffusion de molécules à travers une membrane est utilisée dans des domaines très divers, en médecine par exemple. On considère le dispositif représenté ci-dessous : V c t= t t = t 3 n n 2 n t = t 2 x x e V 2 c 2 x 0 x Les deux compartiments, séparés par une membrane verticale poreuse, contiennent une même solution moléculaire, mais à des concentrations molaires différentes c et c 2 (c > c 2 ). Leurs volumes constants seront notés respectivement V et V 2.La membrane, de surface S et d épaisseur e, comporte par unité de surface n pores cylindriques d axe horizontal normal à la paroi. Les pores sont supposés identiques. Dans chacun d eux s établit un flux macroscopique de molécules suivant (Ox) de densité molaire j D tendant à égaliser les concentrations. On admettra que j D est donné par la loi de FICK, le coefficient de diffusion étant égal à D. À une date t les concentrations, maintenues homogènes sur les volumes V et V 2,sont c (t) etc 2 (t). On notera : c = c (t) c 2 (t). ) En admettant que dans un pore la concentration est une fonction affine de x, montrer que la densité de flux molaire ej m des molécules à travers toute la membrane est de la forme : e x vecteur unitaire de (Ox). ej m = K c e x, On donnera K, appelé perméabilité de la membrane, en fonction de n, D, e et r rayon d un pore. 2) Calculer la valeur numérique de r. Données :K=0 6 m.s, n = 0 6 pores par cm 2, e = 0 µm etd=0 9 m 2. s. 3) Établir l équation différentielle donnant c(t). 4) Intégrer cette équation. On notera = KS +. Au bout de quelle durée la différence des concentrations est-elle égale au dixième de sa valeur initiale? Données :V =2 L, V 2 = LetS=200 cm 2. * Diffusion d atomes dans un solide D après Concours Commun Polytechnique On utilise très souvent les phénomènes de diffusion pour la fabrication des transistors dans l industrie micro-électronique. La diffusion d atomes tels que le bore dans un substrat de silicium permet, par exemple, de modifier considérablement les propriétés électriques de ce dernier. x0 ions implantés à t0 c(x, t) x V c(xdx,t) xdx V2 23