Dossier de recrutement sur un poste de Professeur des Universités

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1 Dossier de recrutement sur un poste de Professeur des Universités Yves Aubry Qualifié en section 25 en février 2006 Numéro de qualification : Table des matières 1 Présentation 3 2 Mots-clefs 4 3 Notice Individuelle 5 4 Enseignement Enseignement de 1990 à Premier cycle Deuxième cycle Troisième cycle Enseignement depuis En Ecole d Ingénieurs A l Université de la Méditerranée A l Université du Sud Toulon-Var depuis septembre Enseignement à l université de Polynésie Française Enseignement en Master 2 depuis Recherche Publications Travaux d édition Articles dans des revues d audience internationale avec comité de rédaction Articles dans des proceedings d audience internationale avec comité de rédaction Article dans un book of extended abstract Articles soumis à publication Communications effectuées à une manifestation d audience internationale avec comité de sélection

2 5.1.7 Articles sans comité de lecture Organisation d une Ecole Européenne Organisation de Colloques internationaux Cryptography Conference Symposium on Algebraic Geometry and its applications, mai Cryptography Conference Rencontres Arithmétiques de Caen en Arithmetic, Geometry and Coding Theory Rencontres Arithmétiques de Caen en Rencontres Arithmétiques de Caen en Encadrement Encadrement de thèse Jurys de thèse Encadrement de moniteur Mémoires de D.E.A., de Magistère et de Master Mémoires de Maîtrise et de Master Résumé des activités de recherche Introduction Thèse de doctorat Activités à l Université de Caen Activités à l Institut de Mathématiques de Luminy Activités en Activités depuis Travail en cours Invitation à l étranger (hors congrès) Australie Canada Grèce Invitation dans une Ecole internationale Séminaires Groupe de Travail Interface Descriptif des charges collectives assumées 27 7 Pièces jointes 29 2

3 1 Présentation J ai 43 ans et ai été Maître de Conférences en Mathématiques (section 25) à l Université de Caen de 1993 à 2000 dans le laboratoire Structures Discrètes et Analyse Diophantienne (équipe C.N.R.S. ESA 6081)), devenu maintenant le Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme - CNRS UMR J étais membre de l équipe de Théorie des Nombres et plus particulièrement membre de sa composante Géométrie Algébrique. J ai été en délégation au C.N.R.S. de 2000 à 2003 à l Institut de Mathématiques de Luminy (U.P.R. 9016) à Marseille, dans l équipe Arithmétique et Théorie de l Information. Je suis maintenant Maître de Conférences en Informatique (section 27) à l Université du Sud Toulon-Var (depuis septembre 2004) dans le Groupe de Recherche en Informatique et Mathématiques (G.R.I.M.), maintenant intégré dans l Institut de Mathématiques de Toulon (Imath). Mes domaines de recherche sont la Géométrie Algébrique, la Théorie des Nombres, les Mathématiques discrètes et leurs applications à la Théorie des Codes et à la Cryptographie. Voici, en quelques mots, quelques éléments et activités que j ai menées depuis ma première nomination en tant que Maître de Conférences. Ces éléments seront partiellement développés dans les pages suivantes. Directions de 2 thèses (en cours), 4 mémoires de M2 ou DEA, 2 mémoires de magistère de l ENS-Lyon, 12 mémoires de M1 ou Maîtrise. Editeur d un livre à la SMF en articles dans des revues internationales, 5 proceedings dans des congrès internationaux, 2 articles soumis, 1 extended abstract, 4 publications internes, 1 thèse, 1 HDR. Organisateur de 7 colloques internationaux et d une Ecole Européenne. Membre de l Editorial board de la revue internationale : International Journal of Information and Coding Theory. 3 invitations à l étranger, 1 invitation dans une Ecole internationale. 20 conférences en colloques internationaux. Nombreux séminaires dans les universités françaises. Responsable de 2 séminaires et de 2 groupes de travail. Délégation CNRS en Obtention de la Hors classe en septembre Titulaire actuel de la Prime d Encadrement Doctoral et de Recherche. Membre du bureau de l Institut de Mathématiques de Toulon. J ai parti- 3

4 cipé activement au rapprochement de l équipe de Mathématiques ANAM et de l équipe d Informatique GRIM de Toulon pour constituer le laboratoire IMATH actuellement reconnu par le ministère. Responsable de Master ces 4 dernières années (emplois du temps, suivi des étudiants, présidence du jury du Master 1, du jury de VES, du jury de VAE, mise en place des stages...). Enseignement en 1er, 2ème et 3ème cycle (maintenant Licence et Master) dans différentes universités et enseignement en école d ingénieurs et autres. De manière schématique : - Enseignement standard en Mathématiques en 1er, 2ème et 3ème cycle de Mathématiques pendant une dizaine d années à l université de Caen. - Enseignement des Mathématiques pour l Informatique en Licence et Master d Informatique depuis 5 ans à l université de Toulon. - Enseignement de certaines U.E. Informatique en Licence d Informatique depuis 5 ans à l université de Toulon. - Quelques cours en Master 2 à l université d Aix-Marseille 2, en école d ingénieurs, en Licence-Pro Réseaux et d Analyse à l université de Tahiti. 2 Mots-clefs Voici les mots-clefs relatifs à mes articles dans l ordre chronologique : - Nombre de points rationnels sur un corps fini. - Quadriques projectives, sections hyperplanes. - Codes de Reed-Muller généralisées. - Surfaces algébriques, théorème de Riemann-Roch, surfaces réglées. - Codes Géométriques Algébriques, codes de Goppa. - Courbes singulières, bornes de Weil, jacobienne généralisée. - Fonction zêta des courbes. - Revêtements plats, cohomologie étale l-adique. - Corps de fonctions (à une variable sur un corps fini). - Nombre de classes d idéaux et de diviseurs, anneaux des S-entiers. - Théorie du corps de classe. - Jacobiennes, variétés abéliennes. - Codes cycliques irréductibles - Sommes de Gauss, théorèmes de Stickelberger et Gross-Koblitz. - Fonctions Gamma p-adique. - Fonctions L et nombre de classes de corps de nombres. - Densités de racines primitives. - Courbes hyperelliptiques, twist, module de Tate, conjecture de Gauss. - Anneaux des polynômes de Ore, module de Carlitz, codes cycliques tordus. - Fonctions booléennes, surfaces absolument irréductibles. - Non linéarité presque parfaite, cryptanalyse différentielle. 4

5 3 Notice Individuelle Nom : Aubry Prénom : Yves Date et lieu de naissance : 25 Septembre 1965 à Fianarantsoa (Madagascar) Nationalité : Française Situation de famille : Marié, 3 enfants Fonctions : Maître de Conférences en Informatique (section 27) à l Université du Sud Toulon-Var. (Première nomination en tant que Maître de Conférences en Mathématiques (section 25) le 01/10/93, titularisé le 01/10/94, 1ère classe le 01/01/96, muté à Toulon le 01/09/04, Hors classe le 01/09/08) Doctorat : Thèse intitulée Variétés sur un corps fini et Codes Géométriques Algébriques soutenue le 11 Février 1993 à l Université d Aix-Marseille II - Luminy, sous la direction de Gilles Lachaud au sein du Laboratoire de Mathématiques Discrètes du C.N.R.S. de Marseille, dont le jury était composé de : - Mireille Car François Rodier (Rapporteur) - Patrick Delorme Mikhail Tsfasman (Rapporteur) - Gilles Lachaud Jacques Wolfmann - Mireille Martin-Deschamps Habilitation à Diriger des Recherches : intitulée Variétés algébriques et corps de fonctions sur un corps fini soutenue le 13 décembre 2002 à l Université d Aix-Marseille II - Luminy, au sein de l Institut de Mathématiques de Luminy, dont le jury était composé de : - Gerhard Frey (Rapporteur) Philippe Satgé - Gerard van der Geer (Rapporteur) Mikhaïl Tsfasman - Gilles Lachaud Serge Vlăduţ (Rapporteur) - Eric Reyssat Adresses professionnelles actuelles : Université du Sud Toulon-Var Institut de Mathématiques de Luminy IMATH, Bat U, BP C.N.R.S. Case 907 Avenue de l Université 163, avenue de Luminy La Garde Marseille Tél. bureau Toulon : Tél. bureau Marseille : Tél. domicile : Fax Toulon : Fax Marseille : yaubry@univ-tln.fr aubry@iml.univ-mrs.fr 5

6 4 Enseignement Avant de détailler les enseignements que j ai été amené à faire, on peut schématiser les choses comme ceci : - Enseignement standard en Mathématiques en 1er, 2ème et 3ème cycle de Mathématiques pendant une dizaine d années à l université de Caen. - Enseignement des Mathématiques pour l Informatique en Licence et Master d Informatique depuis 5 ans à l université de Toulon. - Enseignement de certaines U.E. Informatique en Licence d Informatique depuis 5 ans à l université de Toulon. - Quelques cours en école d ingénieurs, Licence-Pro Réseaux et d Analyse à Tahiti. 4.1 Enseignement de 1990 à 2000 J ai enseigné à différents niveaux à l Université d Aix-Marseille II de 1990 à 1993 puis à l Université de Caen de 1993 à Cela comprend l élaboration de sujets de devoirs à la maison, de sujets de partiels et d examens avec leurs corrigés ; la corrections de ces copies ; les oraux à faire passer ; la participation aux jurys ; l élaboration de planches d exercices et de polycopiés de cours Premier cycle J ai enseigné de 1990 à 1993 en DEUG A 1ère et 2ième année (Travaux Dirigés, Algèbre, Analyse, Géométrie) à l Université d Aix-Marseille II (Luminy) en tant que moniteur pendant ma thèse. A la suite de ma nomination comme Maître de Conférences à l Université de Caen en 1993, j ai enseigné en Travaux Dirigés en DEUG A (ancien DEUG MIAS), en première année durant les cinq premières années et en deuxième année pendant trois ans (Algèbre et Analyse), ainsi qu assumé certains cours magistraux Deuxième cycle J ai enseigné pendant cinq ans en Travaux Dirigés d Algèbre (Théorie des Groupes) en Licence de Mathématiques. J ai enseigné pendant trois ans en Travaux Dirigés d Algèbre et Arithmétique (Théorie des Anneaux, des Corps et Théorie de Galois) en Licence de Mathématiques. J ai enseigné pendant une année (cours et TD) dans le module Géométrie et groupes classiques de la Maîtrise de Mathématiques. J ai encadré pendant la période 1997/2000 neuf Travaux d Etude et de Recherche en Maîtrise de Mathématiques ainsi qu un mémoire d un élève de Mathématiques Spéciales. J ai dirigé des Leçons d Agrégation de Mathématiques. 6

7 4.1.3 Troisième cycle J ai donné un cours complet de D.E.A. en intitulé : Courbes algébriques sur un corps fini. J ai dirigé deux mémoires de DEA, deux mémoires de magistère, deux mémoires de Master 1 et un mémoire de Master 2 dans les cinq dernières années. 4.2 Enseignement depuis En Ecole d Ingénieurs J ai donné en 2001/2002, ainsi que l année 2002/2003, un cours de Théorie des codes correcteurs d erreurs à l Ecole Supérieure d Ingénieurs de Luminy (E.S.I.L.) (dirigée par Henry Kanoui). J ai également donné, à cette occasion, des T.D. ainsi que des T.P. de MATLAB (Enseignant responsable : Serge Prosperi). Il s agissait d écrire les algorithmes, puis d écrire les programmes, sur les thèmes suivants : - algorithme d Euclide et de Bézout, - addition, multiplication et division des grands nombres, - calcul de symboles de Jacobi (en vue du test de primalité de Solovay- Strassen), - test de Miller-Rabin, - génération de grands nombres premiers, - approximations d irrationnels et de transcendants (par les méthodes de Newton), - engendrer des codes de Hamming et les utiliser pour faire du décodage, - mise en place de protocoles type R.S.A A l Université de la Méditerranée - J étais responsable en 2003/2004 du module de Méthodologie des 1ères années de DEUG MIAS, MASS, SM et SV (700 étudiants) de l Université de la Méditerranée.. - Encadrement de mémoires de DEA A l Université du Sud Toulon-Var depuis septembre 2004 En Licence : En L1 : Systèmes d exploitation, Unix, Algorithmique, principes de base de la programmation, premier langage de programmation (Ordinapoche) : T.D. et T.P. au premier semestre. En L1 : T.D et T.P. de Programmation au second semestre : langage C. 7

8 En L1 : T.D et T.P. de SQL (langage de requêtes) et Octave (logiciel type Matlab). En L1 : Cours et T.D. au second semestre de Mathématiques Discrètes. Ce cours est maintenant devenu un cours de Mathématiques pour l Informatique. En L2 : Cours au premier semestre de Théorie des Graphes. En L3 : Cours et T.D. au second semestre d Arithmétique (avec applications aux questions de primalité). En Master 1 : Encadrement de mémoires de Master (voir paragraphe encadrement ). C.M. et T.D. de Cryptographie. Cours et TD de M1 ( Sécurité des Systèmes d Information de l Université de Toulon) 2004/05 : Théorie de l Information et codage Enseignement à l université de Polynésie Française J ai enseigné pendant deux ans le Cours et les Travaux Dirigés d Analyse de Fourier en Licence de Mathématiques (2003/04 et 2004/05). J ai enseigné pendant deux ans le Cours et les Travaux Dirigés d Equations différentielles en Licence de Mathématiques (2005/06 et 2006/07) Enseignement en Master 2 depuis 2004 Cours de M2 ( Mathématiques Discrètes et Fondements de l Informatique de l Université d Aix-Marseille II - Luminy) 2ème semestre 2007/08 : Corps finis, géométrie, codes et cryptogtaphie. Cours de M2 ( Mathématiques Discrètes et Fondements de l Informatique de l Université d Aix-Marseille II - Luminy) 1er semestre 2006/07 : Théorie algébrique des nombres. Cours de M2 ( Mathématiques Discrètes et Fondements de l Informatique de l Université d Aix-Marseille II - Luminy) 2ème semestre 2006/07 : Courbes algébriques et codes géométriques algébriques. Cours de M2 ( Mathématiques Discrètes et Fondements de l Informatique de l Université d Aix-Marseille II - Luminy) 2004/05 : Théorie des Codes. 8

9 5 Recherche 5.1 Publications Travaux d édition 1.1 Edition des actes de l Ecole Européenne Algebraic Geometry and Information Theory et du colloque international Arithmetic, Geometry and Coding Theory organisés en mai 2003 au C.I.R.M. à Luminy (Marseille, France) dans la collection Séminaires et congrès de la Société Mathématique de France, Numéro 11, (2005) Articles dans des revues d audience internationale avec comité de rédaction 2.1 Coverings of singular curves over finite fields, en collaboration avec Marc Perret, Manuscripta Math. 88, (1995). 2.2 Imaginary bicyclic biquadratic functions fields in characteristic two, en collaboration avec Dominique Le Brigand de l Université de Paris VI, J. Number Theory 77, (1999). 2.3 Divisibility of zeta functions of curves in a covering, en collaboration avec Marc Perret, Archiv der Math, 82, (2004). 2.4 On the characteristic polynomials of the Frobenius endomorphism for projective curves over finite fields, en collaboration avec Marc Perret, Finite Fields and Their Applications 10, (2004). 2.5 Class number in non Galois quartic and non abelian Galois octic function fields over finite fields, Bulletin of the Greek Math. Soc, Vol. 52, (2006), On some questions related to the Gauss conjecture for function fields, en collaboration avec Régis Blache, Journal of Number Theory 128 (2008), no. 7, Articles dans des proceedings d audience internationale avec comité de rédaction 3.1 Reed-Muller codes associated to projective algebraic varieties, Lecture Notes in Mathematics 1518, Coding Theory and Algebraic Geometry, 4-17 (1993). 3.2 A Weil theorem for singular curves, en collaboration avec Marc Perret, Arithmetic, Geometry and Coding Theory , Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1-7 (1996). 9

10 3.3 Class number in totally imaginary extensions of totally real function fields, Proceedings of the Third International Conference on Finite fields and Applications, Lecture Note Series of the London Mathematical Society, Cambridge University Press, (1996). 3.4 On the weights of irreducible cyclic codes, en collaboration avec Philippe Langevin, dans Coding and Cryptography Springer Lecture Notes in Computer Science, volume 3969, pp (2006). 3.5 On the semiprimitivity of cyclic codes, en collaboration avec Philippe Langevin, Algebraic Geometry and its Applications, World Scientific, Series on Number Theory and its Applications vol. 5, pp (2008) Article dans un book of extended abstract 4.1 On the weights of irreducible cyclic codes, en collaboration avec Philippe Langevin, International Workshop on Coding and Cryptography, WCC 2005, mars 2005, Bergen, Norway, P. Charpin and O. Ythrehus editors, Articles soumis à publication 5.1 Differentially 4 uniform functions, en collaboration avec François Rodier. 5.2 A few more functions that are not APN infinitely often, en collaboration avec Gary McGuire et François Rodier Communications effectuées à une manifestation d audience internationale avec comité de sélection 07/2009 Colloque Finite Fields and Theirs applications, qui se tiendra à Dublin (Irelande) du 13 au 17 juillet 2009 ; exposé intitulé : Polynomials on F 2 m with good resistance to cryptanalysis. 04/2009 Colloque Geocrypt, qui se tiendra à Pointe-à-Pitre (Guadeloupe) du 27 avril au 1er mai 2009 ; exposé intitulé : Limiting bounds for searching polynomials on F 2 m with good resistance to cryptanalysis. 03/2009 Colloque Arithmetic, Geometry and Coding Theory - XII, C.I.R.M. (France) du 30 mars au 03 avril 2009 ; exposé intitulé : On almost APN functions. 11/2007 Colloque Arithmetic, Geometry and Coding Theory - XI qui s est tenu au C.I.R.M. (France) du 05 au 09 novembre 2007 ; exposé intitulé : On a necessary condition for the Gauss conjecture for function fields. 05/2007 Colloque Symposium on Algebraic Geometry and its applications qui se tiendra à Tahiti (Polynésie Française) du 07 au 11 mai 2007 ; exposé intitulé : On a question related to the Gauss conjecture for function fields. 10

11 09/2005 Colloque Arithmetic, Geometry and Coding Theory - X qui s est tenu au C.I.R.M. (France) du 26 au 30 septembre 2005 ; exposé intitulé : Cyclic codes with few different weughts. 03/2005 International Workshop on Coding and Cryptography, WCC 2005, mars 2005, Bergen, Norway, P. Charpin and O. Ythrehus : exposé intitulé : On the weights of irreducible cyclic codes. 11/2004 Workshop Nombres de points sur un corps fini, Université de la Méditerranée, 29 et 30 novembre 2004 (F. Rodier) ; conférencier invité ; exposé intitulé : Fonction zêta des courbes sur un corps fini. 05/2003 Colloque Arithmetic, Geometry and Coding Theory - IX, CIRM, France, mai 2003 ; exposé intitulé : Zeta function and bounds à la Weil. 03/2003 Workshop Computational Aspects of Algebraic Curves and Cryptography, Université de Floride, 3-7 mars 2003 (G. Frey et H. Voelklein) ; conférencier invité ; exposé intitulé : Zeta function of connected curves over finite fields. 05/2001 Sixième congrès international Finite Fields and theirs applications qui s est tenu à Oaxaca (Mexique) du 21 au 25 mai 2001 exposé intitulé : Connected curves over finite fields. 05/2001 Colloque Arithmetic, Geometry and Coding Theory - VIII qui s est tenu au C.I.R.M. (France) du 14 au 18 mai 2001 ; exposé intitulé : Divisibility of zeta functions in a covering of curves. 04/1998 International conference on coding theory, cryptography and related areas (H. Tapia-Recillas), Guanajuato (Mexique) ; exposé intitulé : Class number in quartic functions fields in even characteristic. 07/1995 Third International Conference on Finite Fields and Applications, Glasgow (Ecosse), Juillet 1995, (S.D. Cohen). Exposé : Class number in biquadratic function fields. 09/1993 Colloque 18èmes journées Arithmétiques, Bordeaux, Septembre 1993, (J. Martinet). Exposé : Courbes singulières et nombre de points sur un corps fini. 06/1993 Colloque Second International Conference on Finite Fields : Theory, Applications and Algorithms, University of Nevada, Las Vegas (U.S.A.), juin 1993 (P. Shiu). Exposés : Coverings of Singular curves over finite fields, et Weil inequality for singular curves. 10/1992 Colloque Eurocode, Udine (Italie), Octobre 1992, (P. Camion). Exposé : Algebraic Geometric Codes on Surfaces 11

12 10/1991 Colloque AAECC-9, New Orleans (U.S.A.), Octobre 91 (H.F. Mattson, T. Mora, T.R.N. Rao). Exposé : Reed-Muller Codes on Quadrics and Maximal Hypersurfaces. 10/1991 Colloque Algebraic Geometry and Coding Theory 3, juin 1991 au C.I.R.M., Marseille, Luminy (H. Stichtenoth, M. Tsfasman). Exposé : Reed-Muller Codes Associated to Projective Algebraic Varieties. 03/1991 Workshop de Sophia-Antipolis (P. Solé) : Codes, Graphes, Caractères, (25, 26, 27 mars 91). Exposé Sections hyperplanes et intersection de Quadriques. Application aux Codes Correcteurs d Erreurs Articles sans comité de lecture 6.1 Algebraic geometric codes on surfaces, Eurocode, Udine (Italie), (1992). 6.2 Une formule de nombres de classes, Rapport de Recherche S.D.A.D. - C.N.R.S. ESA 6081, (1998-3). 6.3 Principal imaginary bicyclic function fields, Rapport de Recherche S.D.A.D. - C.N.R.S. ESA 6081, (1998-4). 6.4 An analogue of an Artin conjecture for zeta function of algebraic curves, en collaboration avec Marc Perret, Prétirage de l Institut de Mathématiques de Luminy no , (14 pages), (2002). 12

13 5.2 Organisation d une Ecole Européenne J ai été co-organisateur (avec Gilles Lachaud) d une Ecole Européenne, sous l égide de l European Science Fondation, intitulée Géométrie Algébrique et Théorie de l Information qui s est tenue au C. I. R. M. du 12 au 16 mai Le programme de cette Ecole était composé des quatre cours suivants (voir le site web http ://iml.univ-mrs.fr/%7eaubry/ecole.html) : 1. Mathematical Background of Public Key Cryptography (Gerhard Frey, Université d Essen, Allemagne) ; 2. On Curves and Function Fields over finite fields (Arnaldo Garcia, Institut de Mathématiques Pures et appliquées du Brézil) ; 3. Elliptic curves over finite fields and algorithms (René Schoof, Université de Rome, Italie) ; 4. Sphere packings in Euclidean and Hamming spaces (Gregory Kabatianski, I.P.P.I., Institut pour les Problèmes de la Transmission des Informations, Moscou, Russie). Les participants étaient majoritairement des étudiants en thèse français et étrangers (50 participants). 5.3 Organisation de Colloques internationaux Cryptography Conference 2008 Membre du comité d organisation du colloque international Yet an Another Conference in Cryptography qui s est tenu du 22 septembre au 2 octobre 2008 à Porquerolles, France, dont le thème principal portait sur les fonctions booléennes (voir http ://grim.univ-tln.fr/yacc08/) Symposium on Algebraic Geometry and its applications, mai 2007 J étais membre du comité d organisation du Symposium on Algebraic Geometry and its applications qui s est tenu du 07 au 11 mai 2007 à l université de Polynésie Française, Tahiti. Les conférenciers invités étaient : Everett Howe, Center for Communications Research, San Diego, USA ; Gerhard Frey, Universitat Duisburg-Essen, Germany ; Jean-Marc Couveignes, Université Le mirail, Toulouse, France ; Felipe Voloch, University of Texas, Austin, USA ; Christophe Soulé, Institut des Hautes Etudes Scientifiques, Bures-sur-Yvette, France Cryptography Conference 2006 J étais co-organisateur (avec Pascal Véron) du colloque international Yet an Another Conference in Cryptography qui s est tenu du 19 au 23 juin 2006 à Porquerolles, France. Le colloque, dédié à la Cryptographie, s est focalisé plus particulièrement sur les thèmes suivants : pairings en cryptographie, générateurs aléatoires et sécurité prouvée (voir http ://grim.univ-tln.fr/yacc06/). 13

14 Les conférenciers invités étaient les suivants : M. Abdalla (ENS, France), X. Boyen (Voltage Security, USA), D. Galindo (Univ. of Nijmegen, The Netherlands), F. Hess (Univ. of Berlin, Germany), P. Liardet (CMI, France), H. Niederreiter (National University of Singapore), J.-J. Quisquatter (U. of Louvain, Belgium), N. Sendrier (Inria, France), I. Shparlinski (ACAC, Macquarie U., Australie). Le colloque comprenait 70 personnes (capacité maximale du site) Rencontres Arithmétiques de Caen en 2005 J ai co-organisé, avec Bruno Anglès, les Rencontres Arithmétiques de Caen en juin 2005, intitulées : Arithmétiques des courbes sur les corps finis. Il s agit de mini-colloques sur trois jours d audience internationale. Le nombre de participants était de 70 personnes. Les conférenciers invités étaient : G. Cornelissen (Université d Utrecht Hollande), G. Frey (Université d Essen Allemagne), E.U. Gekeler (Université de Saarbrucken Allemagne), D. Hayes (Université du Massachussets Etats-Unis), H. Niederreiter (Université de Singapour), M. Perret (Université Toulouse II France), M. Reversat (Université Paul-Sabatier France), M. Rosen (Université de Brown Etats-Unis), R. Schoof (Université de Rome Italie), A. Schweizer (KIAS Corée), H. Stichtenoth (Université d Essen Allemagne), S. Vladuts (IML France). Leurs conférences étaient les suivantes : - H. Niederreiter : Function fields with many rational places and improvements on the TVZ bound in coding theory. - H. Stichtenoth : On the genus of some wild towers of function fields over finite fields - M. Perret : On the number of points of algebraic varieties - G. Frey : Covers of elliptic curves by curves of genus 2 and related Hurwitz spaces - S. Vladuts : How many points has a random curve over a finite field? - E. U. Gekeler : Frequencies of group structures on elliptic curves - D. Hayes : Cyclotomic Euler Systems in Function Fields - M. Rosen : Average Value Theorems in Function Fields - R. Schoof : On the class number of cyclotomic number field - G. Cornelissen : Drinfeld modular curves in algebraic geometry - A. Schweizer : Construction of quadratic function fields whose class groups have m-rank at least 4 Voir le site web à l url : http :// 14

15 5.3.5 Arithmetic, Geometry and Coding Theory J ai été co-organisateur (avec Gilles Lachaud et Mikhail Tsfasman) d un colloque international, sous l égide de l European Science Fondation, intitulé Algebraic Geometry and Coding Theory qui s est tenu au C. I. R. M. du 19 au 23 mai Les thèmes qui ont été abordés lors de ce colloque ont été les suivants (voir le site web http ://iml.univ-mrs.fr/%7eaubry/agct9.html) : - Théorie de nombres, corps globaux, nombre de classes, régulateurs, corps de classe. - Géométrie algébrique, variétés sur les corps finis, variétés modulaires, courbes et leurs jacobiennes, distributions de Frobenius. - Fonction zêta des corps globaux, méthodes analytiques et bornes, théorie asymptotique. - Réseaux, empillements de sphères. - Théorie des codes, spécialement les codes géométriques algébriques, poids généralisés, métriques non classiques. - Méthodes arithmétiques et géométrico-algébriques en cryptographie. Le colloque comprenait 75 participants (capacité maximale du C.I.R.M.). Les conférenciers étaient composés, entre autres, de J.-P. Serre, Y. Zarhin, E. Bayer, M. Skriganov, J.W.P. Hirschfeld, B. Kunyavski, H. Stichtenoth... Voir le site web http ://iml.univ-mrs.fr/%7eaubry/agct9.html Rencontres Arithmétiques de Caen en 1999 J ai été co-organisateur (avec Philippe Satgé et Emmanuelle Frossard) des Rencontres Arithmétiques de Caen de 1999 dont l ambition était de faire un tour d horizon des principales facettes de la Théorie des Nombres. Les conférenciers invités étaient : - Christophe Soulé (I.H.E.S.) : Valeurs de fonctions L, hauteurs et régulateurs. - Daniel Bertrand (Univ. Paris VI) : Arithmétique et équations différentielles. - Boas Erez (Univ. Bordeaux I) : Théorie de la ramification pour les schémas arithmétiques. - Jean-Louis Colliot-Thélène (C.N.R.S., Univ. d Orsay) : Arithmétique des zéro-cycles ; le cas des surfaces réglées. - Loïc Merel (Univ. Paris VII) : Arithmétique et géométrie des courbes modulaires : résultats et problèmes. - Jacques Tilouine (I.U.F., Univ. Paris XIII) : Représentations galoisiennes et formes modulaires. - Pierre Lochak (E.N.S.) : Eléments de Théorie de Grothendieck-Teichmüller. - David Grant (Univ. Colorado) : A formula for the number of elliptic curves with no exceptional primes. 15

16 Pour plus de précisions, voir : http :// Rencontres Arithmétiques de Caen en 1994 J ai été organisateur des Rencontres Arithmétiques de Caen de 1994 dont le thème était : Variétés algébriques sur un corps fini. C est ma première expérience en tant qu organisateur de colloques. Un fascicule contenant les exposés a été édité à l université de Caen. 16

17 5.4 Encadrement Encadrement de thèse Encadrement de la thèse de Jean-Christophe Godin sur la coloration des graphes (thèse débutée le 1er septembre 2006). Pour modéliser les problèmes d allocation de fréquences dans les réseaux cellulaires, la théorie des graphes, et en particulier la coloration et la choisissabilité des graphes, est un outil adapté. La conjecture d Erdos, Rubin et Taylor d une part, et la conjecture de McDiarmid et Reed d autre part, ont pour objet, pour certains rapports, la choisissabilité de graphes et la coloration de sous-graphes induits, sans triangle, du réseau triangulaire. Le travail de cette thèse a été de démontrer ces conjectures dans certains cas. Deux articles sont soumis et deux autres sont en préparation. Ces résultats ont été présentés à divers colloques (conférence internationale en Combinatoire, Géométrie et Informatique Théorique, Cirm du 02 au 04 mai 2007 : A new approach of the McDiarmid and Reed conjecture ; également à l IHP, octobre 2007). - J.-C. Godin : Choosability of a weighted graph and a new approach of the McDiarmid and Reed conjecture, soumis à Discrete Mathematics. - J.-C. Godin : Multicoloration of a graph and a new approach of the Mc- Diarmid and Reed conjecture, soumis à European journal of Combinatorics. Encadrement de la thèse de Safia Haloui sur les courbes elliptiques et leurs applications à la cryptographie (thèse débutée le 1er septembre 2007). Il s agit d étudier les applications des pairing de Weil sur les courbes elliptiques à des fins cryptographiques. La détermination des degrés des plongements du groupe des points rationnels dans le groupe multiplicatif d un corps fini est un problème actuel extrêmement fécond. Ces plongements sont notamment utilisés pour construire des protocoles cryptographiques basés sur l identité. Le deuxième aspect de son travail est l étude du nombre de points rationnels sur un corps fini des variétés de Prym. Celles-ci ne sont en général pas des variétés abéliennes et l on sait par Beauville que toute variété abélienne de dimension inférieure à 5 est une dégénérescence d une variété de Prym (sur un corps algébriquement clos) Jurys de thèse Membre du jury (décembre 2006) de la thèse de Doctorat de l université de Caen de Erwan Le Yaouanc intitulée : Problèmes de type Kummer-Vandiver dans les corps de fonctions. Membre du jury (avril 2005) de la thèse de Doctorat de l université de la Polynésie Française de Jean Chaumine intitulée : Corps de fonctions algébriques et algorithme de D.V. Chudnovsky et G.V. Chudnovsky pour la multiplication dans les corps finis. 17

18 Membre du jury (juin 2004) de la thèse de Doctorat de l université d Aix- Marseille II de Rédha Samet intitulée : Sur l arithmétique des modules de Drinfeld sur les corps finis. Membre du jury (juin 2004) de la thèse de Doctorat de l université d Aix- Marseille II de Mohamed Saadbouh Ahmed intitulée : Modules de Drinfeld de rang 2 sur un corps fini Encadrement de moniteur Tutorat de M. Gigault de Crisenoy, Allocataire Moniteur Normalien à l Université de Caen de 1999 à Mémoires de D.E.A., de Magistère et de Master 2 Pour l année 2006/07 : direction du mémoire de Master 2 de l Université d Aix-Marseille II de Safia Haloui. Travail intitulé : Pairings sur les courbes elliptiques. Pour l année 2004/05 : direction du mémoire de Master 2 de l Université d Aix- Marseille II de Rahobisoa Herimalala. Travail intitulé : Taux de transmissions des codes géométriques. Pour l année 2002/03 : direction du mémoire de D.E.A. de l Université d Aix- Marseille II de Jérémy Arnold intitulé : Variétés abéliennes supersingulière en Cryptologie. Pour l année 2001/02 : direction du mémoire de Magistère de 2ième année de l Ecole Normale Supérieure de Lyon de M. Scotto intitulé Théorie de la Multiplication complexe. Pour l année 2000/01 : - direction du mémoire de D.E.A. de l Université d Aix-Marseille II de A. Essellamy intitulé Courbes elliptiques et cryptographie : l attaque M. O. V.. - direction du mémoire de Magistère de l Ecole Normale Supérieure de Lyon de M. Scotto intitulé Le problème du logarithme discret sur les courbes elliptiques de trace Mémoires de Maîtrise et de Master 1 Pour l année 2005/2006 : direction d un mémoire de Master 1 Sécurité des Systèmes d Information de l Université du Sud- Toulon Var, intitulé : Courbes algébriques et cryptographie. Pour l année 2004/2005 : direction d un mémoire de Master 1 Sécurité des Systèmes d Information de l Université du Sud- Toulon Var, intitulé : Tests de primalité : un enjeu cryptographique. Pour les années 1996/97, 1997/98, 1998/99, 1999/2000 : direction de nombreux mémoires de Maîtrise de Mathématiques (T.E.R. : Travail d Etude et de Recherche) de l Université de Caen. 18

19 5.5 Résumé des activités de recherche Introduction Les variétés algébriques sur un corps fini apparaissent de façon naturelle dans bien des situations. Par exemple lors de la résolution d équations diophantiennes, où l existence de solutions modulo un nombre premier est une condition nécessaire à celle de solutions entières. Elles apparaissent également directement dans la construction de différents objets de Mathématiques discrètes ou de géométrie finie. André Weil a formulé des conjectures concernant leur fonction zêta (rationalité, équation fonctionnelle, Hypothèse de Riemann), qu il a lui-même démontrées dans le cas des courbes et des variétés abéliennes et qui le furent par la suite par Pierre Deligne dans le cas général. Elles concernent le nombre de points rationnels de ces variétés et c est ce qui forme le cœur de nos recherches en Géométrie Algébrique. En effet, outre nos résultats sur les codes sur les quadriques (cf [3.1]) et sur les surfaces (cf [6.1]), nous avons dans une série d articles (cf [3.2], [2.1], [2.3], [2.4]) étudié et déterminé totalement et explicitement la fonction zêta des courbes sur un corps fini. Les corps de fonctions à une variable sur un corps fini représentent la facette Arithmétique des courbes sur un corps fini. Etudiés par Emil Artin dans sa thèse, ils admettent, comme les corps de nombres, des anneaux d entiers (relatifs à un ensemble fini de places) et des groupes de classes d idéaux fractionnaires. Ils constituent l un des objets de nos recherches en Théorie des Nombres (cf [3.4], [2.2], [2.5]). Enfin, les codes cycliques occupent une place importante en Théorie des codes et l étude de leurs poids en est un enjeu majeur. La Théorie des Nombres nous permet d affiner leur classification : c est le propos de nos récents travaux (cf [4.1], [3.5] et [3.6]). Le lien entre la fonction zêta d une courbe algébrique et le nombre de classes d idéaux de son corps des fonctions rationnelles passe par l ordre du groupe des points rationnels de sa jacobienne. C est ce pont que nous utilisons pour démontrer une condition suffisante à la conjecture de Gauss sur les corps de fonctions dans [2.6]. Voici en quelques lignes un survol chronologique plus précis de nos travaux Thèse de doctorat Nous nous sommes tout d abord intéressés au nombre de points rationnels sur un corps fini des hypersurfaces quadriques (pouvant être dégénérées) et plus particulièrement à leurs sections hyperplanes ainsi qu à leurs intersections entre elles (voir [3.1]) ; ceci s appliquant à la détermination des paramètres de codes correcteurs d erreurs associés à ces variétés. La construction par Goppa de codes géométriques algébriques à partir d une courbe algébrique a permis d établir un résultat théorique remarquable en théorie 19

20 des Codes. Nous avons donné une construction de codes géométriques algébriques à partir d une surface algébrique, et donné des estimations de ses paramètres fondamentaux (voir [6.1]). Lesquels paramètres sont intimement liés à des nombres de points rationnels d intersections de variétés projectives. Dans le cas où celles-ci sont des courbes, elles n ont aucune raison a priori d être lisses ou irréductibles. C est pourquoi, par la suite, nous avons étudié les courbes singulières, et, avec la collaboration de Marc Perret, nous avons généralisé la borne de Weil portant sur l estimation du nombre de points rationnels sur un corps fini d une courbe algébrique projective absolument irréductible lisse au cas de telles courbes non nécessairement lisses (voir [3.2]) : Théorème 1 Soit X une courbe algébrique projective absolument irréductible définie sur le corps fini k = F q. Alors X(F q ) (q + 1) 2g q + X 2g q + π g 2π q, où g est le genre géométrique de X et π son genre arithmétique, où X = X(k) X(k) et où X est la normalisée de X Activités à l Université de Caen Nous avons ensuite établi, toujours avec Marc Perret, un résultat généralisant à la fois celui de [3.1] et celui connu dans le cas lisse, portant sur la différence des nombres de points rationnels dans un revêtements de courbes non nécessairement lisses (voir [2.1]). Nous nous sommes alors tournés vers les corps de fonctions à une variable sur un corps fini. Nous avons établi un théorème de finitude en ce qui concerne les extensions totalement imaginaires d extensions totalement réelles de corps de fonctions dont le nombre de classes d idéaux du corps imaginaire est fixé (voir [3.4]) : Théorème 2 Soient K/F q (X) un corps de fonctions totalement réel de degré fixé et L/K une extension totalement imaginaire de degré fixé > 1. Soit B la clôture intégrale de F q [X] dans L et supposons que le nombre de classes d idéaux de B est fixé. Alors, à isomorphisme près, il n y a qu un nombre fini de telles extensions L/K. Dans le cas où ces extensions sont quadratiques, nous donnons une formule du nombre de classes relatif en terme de fonction L, ainsi qu une formule liant cette fonction L à une somme de caractères de type Legendre dans le cas du nombre de classe 1 (voir [6.2]). Si l on suppose de plus que le groupe de Galois d une telle extension est isomorphe au groupe de Klein, via la théorie du corps de classes ainsi que des factorisations de fonctions zêta et des estimations de régulateurs, nous déterminons ces corps en caractéristique impaire (voir [6.3]) ainsi qu en caractéristique paire, cette fois en collaboration avec Dominique Le Brigand, via les extensions d Artin-Schreier et des calculs de nombres de points de jacobiennes (voir [2.2]). 20

21 5.5.4 Activités à l Institut de Mathématiques de Luminy A l issu de ce travail, nous nous sommes à nouveau penchés sur le comportement des fonctions zêta des courbes dans un revêtement (plat) de courbes algébriques projectives absolument irréductibles. Nous avons montré, à nouveau avec Marc Perret, la divisibilité de ces fonctions zêta dans la situation précédente (voir [2.3]) ainsi que dans le cas plus général de courbes supposées seulement connexes (voir [2.4]), que l on peut interpréter comme un analogue de la conjecture d holomorphie d Artin sur les fonctions zêta de Dedekind des corps de nombres : Théorème 3 Soient f : Y X un morphisme fini et plat entre variétés algébriques quasi-projectives définies sur k et F l endomorphisme de Frobenius agissant sur les espaces de cohomologie étale l-adique à support compact de X et Y. Alors, pour tout i 0, le polynôme det(1 F T H i c(x, Q l )) divise le polynôme det(1 F T H i c(y, Q l )) dans l anneau Z[T ]. Nous avons ensuite déterminé explicitement les polynômes caractéristiques de l endomorphisme de Frobenius sur les groupes de cohomologie étale l-adiques de courbes projectives connexes. Pour le H 1, on procède par dévissage : tout d abord pour les courbes absolument irréductible, puis seulement réductible sur le corps de base pour terminer avec le cas connexe (voir [2.4]). Combinée à la divisibilité de [6.4], cela permet de donner une estimation de la différence du nombre de points rationnels dans un revêtement de courbes connexes (voir [2.4]) : Théorème 4 Pour tout morphisme surjectif fini et plat f : Y X entre courbes algébriques projectives absolument connexes Y and X définies sur k ayant respectivement r Y et r X composantes k-irréductibles Y i et X i de genres géométriques g Yi et g Xi, on a : r Yi Y (k) X(k) (r Y r X )q + 2( g Yi g Xi ) q + Y X (r Y r X ) Activités en 2004 i=1 Enfin, nous nous sommes penchés à nouveau sur des problèmes de nombre de classes dans les corps de fonctions totallement imaginaires qui sont extensions de corps réels. Nous avons établi dans [2.5] l équivalence entre le problème du nombre de classes relatif égal à 1 dans une extension quartique non galoisienne imaginaire et celui dans une extension octique galoisienne imaginaire diédrale. Nous avons également établi une caractérisation des corps quartiques imaginaires non galoisiens de nombre de classes relatif impair ainsi qu un moyen de calcul des caractères apparaissant dans ces extensions quadratiques. r Xi i=1 21

22 5.5.6 Activités depuis 2004 Nous avons travaillé sur une conjecture sur les codes cycliques irréductibles à deux poids. Nous avons montré, en collaboration avec Philippe Langevin, qu il n existait pas de tels codes binaires si les paramètres des codes vérifient une congruence particulière, ainsi que raffiné les résultats de McEliece sur la divisibilité des poids via des fonctions Gamma p-adiques et les théorèmes de Stickelberger et de Gross-Koblitz (voir [4.1] et [3.6]). Nous avons ensuite généralisé ces résultat au cas de toute caractéristique et pour une classe de codes plus générale, à savoir celle des codes cycliques irréductibles possédant 3 p-classes cyclotomiques (voir [3.6]). Notre résultat ne dépend pas de l Hypothèse de Riemann Généralisée, contrairement à celui de Schmidt et White datant de Nous nous sommes appuyés sur des estimations de sommes de Gauss et de nombres de classes de corps de nombres quadratiques imaginaires. Nous avons également affiné les résultats de Mc Eliece sur la distribution des poids des codes cycliques en caractéristique impaire en étudiant finement, via les congruences de Stickelberger et la formule de Gross-Koblitz, les valuations p-adiques des sommes de Gauss en jeu (voir [4.1] et [3.6]). D autre part, on peut montrer que si un corps de fonctions (à une variable) quadratique réel sur F q (avec q 5) a un anneau des entiers principal (relativement à la place infini associée à l élément transcendant) alors le numérateur de sa fonction zêta n admet que des racines simples. La conjecture de Gauss, quant à elle, prétend qu il existe une infinité de corps de fonctions quadratiques réels principaux. Pour faire un pas vers cette conjecture, nous avons démontré (voir [2.6]) qu il existe une infinité de corps de fonctions quadratiques réels dont le numérateur de sa fonction zêta n ait que des racines simples, une interprétation géométrique de ceci découlant de l étude par Tate des endomorphismes des variétés abéliennes. Nous nous sommes intéressés à des questions connexes, à savoir lorsque ce polynôme est irréductible ou absolument irréductible. Nous sous sommes intéressés depuis 2008 à des questions de fonctions booléennes à haute rsistance à la cryptanalyse différentielle. Les fonctions APN (Almost Perfect Nonlinear) ou encore les fonctions de 4-uniformité différentielle sont des candidates pour des protocoles de chiffrement à clef privée. Nous avons obtenus des résultats sur ces questions dans les articles [5.1] et [5.2]. 22

23 5.6 Travail en cours Outre le travail en cours sur les fonctions booléennes, nous travaillons également sur l utilisation des polynômes tordus pour mettre en évidence l existence de nouveaux codes comme cela a été fait par Boucher et Ulmer en 2006 et Ce travail en cours se fait en collaboration avec Harald Niederreiter. Nous travaillons également avec Marc Perret sur les revêtements non ramifiés des courbes et des codes de Goppa que l on peut associer à de tels revêments en vue d approcher la conjecture MDS pour les codes géométriques algébriques. 23

24 5.7 Invitation à l étranger (hors congrès) Australie Invitation à l université de Macquarie à Sydney (Australie) par Igor Shparlinski en novembre et décembre Canada Invitation à l université de Laval à Québec (Canada) par Claude Levesque en décembre Grèce Invitation à l Université de Thessalonique (Grèce) par Dimitris Poulakis en décembre 2001 (exposé dans le séminaire d Algèbre, Théorie des Nombres et Informatique Théorique de l Université de Thessalonique). 5.8 Invitation dans une Ecole internationale J ai été invité à donner une série de conférences dans une Ecole internationale regroupant douze nationalités différentes sur les Codes et la Cryptographie à l Université de Dakar (Sénégal) ; nous étions quatre conférenciers. 02/2004 Ecole Internationale de Codes Correcteurs d erreurs et de Cryptographie, Dakar, Sénégal, du 23 février au 05 mars 2004 ; séries d exposés intitulés : Géométrie Algébrique et borne de Gilbert-Varshamov. 5.9 Séminaires Voici la liste des exposés de séminaire que j ai donné (hors groupes de travail). 01/2009 : Séminaire Algébrique de l Université du Sud Toulon-Var, exposé : Sur les fonctions APN 12/2008 : Séminaire Algébrique de l Université du Sud Toulon-Var, exposé : Théorie de Galois directe et inverse. 12/2007 : Séminaire de l Université Macquarie, Sydney, Australie, exposé : Hyperelliptic curves and 2-torsion points. 10/2007 : Séminaire de l USTV, (GTI), exposé : La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer pour les néophytes. 12/2006 : Séminaire de l Institut Fourier (R. Gillard), Grenoble, exposé : Anneaux d entiers principaux et polynômes zêta. 11/2006 : Séminaire Arithmétique et Théorie de l Information (G. Lachaud), Marseille, exposé : Sur une condition nécessaire à la conjecture de Gauss. 24

25 11/2006 : Séminaire du Groupe de recherche en Informatique et Mathématiques de Toulon (Y.A. et V. Gillot), Toulon, exposé : Corps de fonctions principaux et jacobiennes. 12/2005 Séminaire Arithmétique et Théorie de l Information (G. Lachaud), Marseille, exposé : Sommes de Gauss, racines primitives et codes cycliques. 12/2005 Séminaire de Théorie des Nombres de l Université de Laval à Québec, Canada (C. Levesque), exposé : Sur la fonction zêta des variétés sur un corps fini. 12/2004 Séminaire du GRIM de l Université du Sud Toulon-Var (P. Langevin), Toulon, exposé : Cryptographie : protocoles et groupes utilisés. 12/2003 Séminaire de Théorie des Nombres de l Université de Toulouse II (J.- M. Couveignes), Toulouse, exposé : Groupe des S-classes et fonctions L dans les corps de fonctions. 04/2003 Séminaire A2C2 de l Université de Montpellier II (P. Michel), Montpellier, exposé : Fonction zêta des courbes sur un corps fini. 01/2003 Séminaire de Théorie des Nombres de l Université de Provence (P. Liardet), Marseille, exposé : Polynômes caractéristiques de l endomorphisme de Frobenius. 12/2002 Séminaire Arithmétique et Théorie de l Information (G. Lachaud), Marseille, exposé : Variétés algébriques et corps de fonctions sur un corps fini. 12/2001 Séminaire de Théorie des Nombres de l Université de Thessaloniki, (D. Poulakis), Thessalonique, Grèce ; exposé : Sur un analogue de la conjecture d holomorphie d Artin. 03/2001 Séminaire Arithmétique et Théorie de l Information (G. Lachaud), Marseille, exposé : Divisibilité des fonctions zêta dans un revêtement. 03/2001 Séminaire I3S ( P. Solé), Sophia-Antipolis, exposé : Le logarithme discret sur les variétes abéliennes. 12/2000 Séminaire du Groupe de Recherche en Informatique et Mathématiques ( J. Wolfmann), Toulon, exposé : Cryptosystèmes hyperelliptiques. 11/2000 Séminaire Arithmétique et Théorie de l Information ( G. Lachaud), Marseille, exposé : Jacobiennes à multiplication complexe. 04/2000 Séminaire d Algèbre de Marseille ( J.-P. Soublin), Marseille, exposé : Problème de Gauss dans les corps de fonctions. 10/1998 Séminaire de Théorie des Nombres de l Université de Caen ( Y. Aubry), Caen, exposé : Nombre de classes dans les corps de fonctions. 03/1998 Journée Arithmétique et Théorie de l Information ( G. Lachaud), Marseille, exposé : Problème de nombre de classes dans les corps de fonctions. 03/1997 Séminaire Arithmétique et Théorie de l Information ( G. Lachaud), Marseille, exposé : Problème de nombre de classes dans les corps de fonctions. 25