UTILITE DU CALCUL LITTERAL en classe de quatrième

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1 CONDESSE Alexis professeur stagiaire mathématiques college Mont Duplan Nîmes UTILITE DU CALCUL LITTERAL en classe de quatrième Tuteur de mémoire : M Christian TESTANIERE Assesseur : M René BERNARD IUFM de Montpellier - Site de Nîmes 1999/2000

2 SOMMAIRE I) INTRODUCTION...1 II) ANALYSE DES PROGRAMMES ET MANUELS..1 II.1) PROGRAMMES..1 II.2) MANUELS 2 III) PROBLEMATIQUE..3 IV) QUESTIONNAIRE ET ANALYSE.4 IV.1) CONTEXTE...4 IV.2) QUESTIONNAIRE 4 IV.3) ANALYSE THEORIQUE..7 V) DEROULEMENT DES ACTIVITES V.1) ACTIVITE 1 9 V.2) ACTIVITE V.3) ACTIVITE V.4) ACTIVITE V.5) ACTIVITE V.6) ACTIVITE V.7) ACTIVITE VI) EVALUATION...22 VII) CONCLUSION.22 ANNEXES BIBLIOGRAPHIE

3 I) INTRODUCTION Ce mémoire professionnel est une réflexion sur les moyens dont dispose l enseignant pour montrer l utilité du calcul littéral, et l analyse de la mise en place d une séquence cherchant à montrer plusieurs possibilités d utilisation de l algèbre afin d en justifier son apprentissage pour les élèves. Cet enseignement se déroule dans une classe de quatrième du collège Mont Duplan à Nîmes. La classe est constituée de 26 élèves qui ont quatre heures de mathématiques par semaine en classe entière. J ai commencé par regarder les instructions du programme et les contenus des manuels scolaires pour voir les possibilités qui sont offertes. Une recherche théorique essaie de relever les difficultés qui peuvent se poser aux élèves. Ensuite un questionnaire soumis aux élèves m a permis de mettre en évidence leur rapport avec les expressions littérales, et ensuite de les analyser d une manière théorique pour essayer de proposer aux élèves des activités permettant de développer leur approche vis à vis du calcul littéral. L analyse de ces activités doit permettre de mettre en évidence les principales difficultés qu ont les élèves à utiliser le calcul littéral. En fin, un bilan pour vérifier l évolution du comportement des élèves par rapport à l algèbre, pour voir si ces activités leur ont permis d en comprendre l intérêt ou de repérer où subsistent des difficultés afin d y apporter éventuellement de nouvelles corrections. II) ANALYSE DES PROGRAMMES ET DES MANUELS II.1) PROGRAMMES En classe de quatrième, l apprentissage du calcul littéral est un des deux objectifs du programme de travaux numériques, et il se découpe en plusieurs parties : - Réduction d une expression littérale à une variable. - Développement. - Effet de l addition et de la multiplication sur l ordre. - Résolution de problèmes conduisant à des équations du 1 er degré à une inconnue.

4 Le programme met quand même l accent sur deux points essentiels : - Utilisation d expressions littérales pour des calculs numériques. - Utilisation du calcul littéral dans la mise en équation et la résolution de problèmes divers. Il est aussi précisé que les situations d enseignements proposées doivent exclure tout type de virtuosité, et qu au contraire elles doivent permettre aux élèves de donner du sens à l introduction du calcul littéral. Le programme indique donc clairement à l enseignant que le calcul littéral doit être considéré, par les élèves, comme un outil, et non comme un objet mathématique. II.2) MANUELS Dans les manuels scolaires l accent est mis en priorité sur les équations. Les livres proposent en général pour cette activité une rubrique «savoir faire» (quand il ne s agit pas d un chapitre entier) où une méthode de résolution des équations met en évidence le rôle du calcul littéral. Par contre, les énoncés qui essaient de montrer l utilisation du calcul littéral pour démontrer un résultat sont plus rares. Cependant dans le «cinq sur cinq» 4 e Edition Hachette propose un programme de calcul qui fait d abord calculer une expression littérale sans se soucier du résultat. Cela permet ensuite de dégager deux possibilités d étude : - d une part une traduction plus simple du problème et donc une rapidité accrue en considérant le nombre x comme une variable. - d autre part, de nouveau, une résolution d équation (en recherchant le nombre donné au départ connaissant le nombre d arrivée). De plus, parmi les exercices reprenant des programmes de calcul, un fait apparaître un résultat à démontrer puisque l on trouve, quel que soit le nombre choisi au départ, toujours le même résultat. On peut constater que les manuels se servent beaucoup du calcul littéral comme d un moyen de résolution d équation, mais les exemples d exercices utilisant différemment le calcul littéral sont peu nombreux.

5 III) PROBLEMATIQUE Au collège, les élèves découvrent le calcul littéral. Pendant leur scolarité, au primaire, ils prennent l habitude de calculer avec des nombres, en quatrième ils vont devoir calculer avec des lettres ( pour résoudre des problèmes ou pour apprendre à développer de expressions). L introduction de l écriture symbolique et du calcul littéral constitue un obstacle didactique important. Comment les élèves vont-ils percevoir le statut des lettres? De plus celui-ci peut changer suivant les problèmes posés ; il peut s agir d une variable, d une inconnue ou d une indéterminée. Cela constitue une donc une difficulté supplémentaire pour les élèves qui vont devoir donner du sens au calcul qu ils ont à effectuer pour connaître le statut de la lettre. Les problèmes doivent être traités différemment suivant le statut des lettres ; il faut donc éviter que les élèves appliquent mécaniquement des procédés acquis précédemment, sinon cela peut entraîner des confusions lors de la résolution de problèmes divers. Les élèves ne vont-ils pas vouloir à chaque fois qu ils rencontrent une lettre la remplacer par un nombre ou bien vont-ils manipuler ces lettres sans se soucier de leurs valeurs? Dans une équation, il va falloir considérer comme connu un nombre qui, en fait, est inconnu. Cela peut gêner des élèves qui refusent de vouloir calculer avec une quantité qu ils ne connaissent pas et, par conséquent, ne pas voir le calcul littéral comme un outil leur permettant de résoudre le problème posé, mais comme un objet et n en comprenant pas l utilité. Ils vont perdre le sens du problème, et ne plus faire le rapport entre le nombre qu ils trouvent par le calcul, et le nombre qui est cherché dans le problème. Pour l élève, il n y a plus de relation entre le problème posé et le calcul effectué, ils vont donc, parfois, écrire n importe quoi, et ne plus vérifier leur résultat. C est en particulier le principal avantage, mais aussi le principal inconvénient de l algèbre que de pouvoir résoudre un problème en le décontextualisant. Comment faire pour que les élèves considèrent le calcul littéral comme un outil? et ne se sentent plus désarmés face à une expression littérale, et par conséquent puissent lui donner du sens et en comprendre toute sa valeur et tout son intérêt.

6 IV) QUESTIONNAIRE ET ANALYSE IV.1) CONTEXTE En classe de cinquième, les élèves ont entrevu l utilisation des lettres en mathématique, mais ils n ont pas été habitués à utiliser le calcul littéral. C est donc en quatrième qu ils vont le découvrir, et plus particulièrement, les possibilités que cela leur offre pour résoudre des problèmes, et de ces avantages par rapport aux méthodes arithmétiques qu ils ont utilisés jusqu à présent. Au programme de cinquième ce que les élèves ont pu voir est : - La distributivité : k ( a+b) = ka + kb. - La substitution de valeurs numériques à des lettres dans une formule, en particulier, en testant une égalité ou une inégalité à une ou plusieurs variables. IV.2) QUESTIONNAIRE Objectif Afin de faire le point sur les connaissances des élèves au sujet du calcul littéral, et du statut des lettres, je leur ai demandé de répondre par écrit aux deux questions suivantes : - Que représente pour vous une lettre en mathématiques? - Pourquoi utilise-t-on des lettres en mathématiques? Ces deux questions permettent de mieux apprécier l usage que font les élèves des lettres, si ils en comprennent l intérêt. Elles permettent aussi de placer le statut dans deux positions différentes : - La première est une question personnelle, on leur demande directement leur avis sur la place de la lettre. - La seconde considère plutôt la lettre au niveau de l institution, elle englobe les cas où l élève utilise une lettre, mais aussi le professeur. Le décalage entre les deux questions doit essayer de faire ressortir la différence de perception des lettres entre l enseignant et les élèves.

7 Analyse Ces deux questions ont d abord surpris les élèves, étant inhabituelles pour eux en mathématiques, et certains se sont retrouvés démunis faussant légèrement les résultats. Pour certains élèves, la difficulté posée par le calcul littéral est grande, car leur réponse à la première question est : «je ne sais pas». Ils utilisent des lettres, mais ne savent pas dans quel but, cela n a aucun sens pour eux, et lorsqu ils calculent, de nombreuses erreurs surviennent qu ils n ont pas la possibilité de rectifier. Leur usage des lettres se limite à nommer des droites et des points. Pour une partie des élèves, une lettre représente un nombre ou le remplace, il s agit là d un simple étiquetage, mais, en général, ils n en voient pas l utilité, sinon pour citer des exemples ( en fait pour citer une règle mathématique). La majorité des élèves répond qu une lettre représente un nombre inconnu, et même plus précisément, pour certains d entre eux, un nombre inconnu à chercher. En général la lettre n a qu un seul statut, celui d inconnue. Par contre, ce qui peut surprendre quant à son utilisation, si une partie se contente de s en servir pour rechercher le nombre inconnu en question, une autre partie de ces élèves utilisent les lettres également pour exprimer une règle générale. Ce constat permet de faire la distinction entre le statut de la lettre pour l élève qui est en général unique, et l utilisation qui est double. Cette situation peut provenir du fait que ce ne sont pas les élèves qui énoncent une règle générale, mais l enseignant, cette expression ne leur appartient pas, mais ils voient quand même l économie d écriture, et de mémorisation ou une meilleure compréhension que peut leur apporter l écriture littérale par rapport à l expression dans le langage naturel. Un élève ne considère pas le calcul littéral comme un outil, mais uniquement comme un objet mathématique, car la seule utilisation entrevue est de pouvoir poser des exercices plus difficiles et de compliquer la tâche de l élève. Parmi les élèves qui désignent une lettre comme un nombre inconnu, deux l utilise plus spécifiquement pour créer des équations, et ne pas laisser un vide qui les bloquerait dans leurs calculs, et sentent donc une réelle utilité du calcul littéral dans la résolution d équations, et un avantage par rapport à la résolution par une méthode arithmétique.

8 Un élève considère que le calcul littéral lui permet d écourter les calculs, il a donc une approche différente des autres élèves, pour lui, la lettre à davantage un statut de variable ( ou d indéterminée). Pour un élève, la lettre possède deux statuts différents, car elle lui sert à remplacer un nombre inconnu, mais aussi un nombre quelconque. Si cet élève arrive à attribuer deux statuts différents à la lettre ( ceux d inconnu et variable), il ne parvient pas à en exprimer l utilité. Cette enquête permet donc de s apercevoir que l utilité des lettres, et plus particulièrement du calcul littéral, est limitée pour les élèves. Le véritable intérêt trouvé est celui d une expression plus rapide, plus facile à retenir et souvent plus compréhensible. Quelquefois cela leur sert à trouver des inconnues, mais en ayant déjà une expression littérale donnée. Ils ont du mal à percevoir le calcul littéral comme un outil performant qui peut simplifier leurs raisonnements et leurs calculs, et un gain de temps appréciable dans certains cas. IV.3) ANALYSE THEORIQUE On a vu précédemment que les élèves ont des difficultés à considérer le calcul littéral comme un outil, et lorsque celui-ci est perçu commet tel, alors ils ne l utilisent que d une seule manière réduisant largement son champ d action, et par conséquent, ils vont limiter leur connaissance du calcul algébrique, ses possibilités. Ils ont avoir des difficultés à construire du sens autour de cette notion, et souvent cela va les amener à commettre des erreurs, car n ayant pas de sens, les règles de calcul vont être mal assimilées et vont les amener à en construire de nouvelles afin d éliminer la lettre ou pour simplifier une écriture qui leur paraît compliquée. Il va donc falloir développer chez l élève ses capacités à raisonner à l aide du calcul littéral et de ses différentes applications. La difficulté pour l enseignant va être de donner du sens au calcul littéral, mais en même temps les élèves vont devoir acquérir des automatismes qui leur sont indispensables, étant donné que c est en quatrième que les élèves vont, pour la première fois, effectuer véritablement du calcul littéral. Il y a une nécessité pour l enseignant de donner clairement les éléments à retenir, et donc de décontextualiser les problèmes, et donc de provoquer des risques de dérapages et une perte du sens. D autant plus qu il y a une nécessité d assurer un minimum de réussite dans l immédiat aux élèves afin qu ils ne se lassent pas et ne se découragent pas. Il faut tout de même éviter que l apprentissage ne se limite à un renforcement d algorithmes où les conditions d utilisation ne sont jamais maîtrisées.

9 Une importante difficulté dans l enseignement du calcul littéral est qu il faut à la fois que les élèves acquièrent des automatismes, mais aussi qu ils construisent du sens autour de cette notion, que la question «ça sert à quoi» que se posent les élèves ne reste pas sans réponse. Il faut que le calcul littéral soit mis en relation avec des problèmes plus concrets. La lettre doit être le lien entre le monde contextualisé et le monde abstrait. Cela entraîne deux obstacles importants à franchir pour l élève : - d une part le passage du nombre à la lettre - d autre part la manipulation des lettres et des règles de calcul. L élève aura des connaissances de calcul littéral s il est capable de les faire fonctionner en tant qu outil explicite adapté à un problème qui lui donne du sens. Pour convaincre l élève de l utilité et de la nécessité du calcul littéral, il faut le lui présenter comme un outil performant et adapté à la tâche qui lui est dévolue, qu en fait, il ne lui complique pas les choses comme certains élèves le pensent, mais au contraire, va lui simplifier les problèmes, et lui permettre de les comprendre. Il va aussi falloir persuader les élèves que le calcul littéral va pouvoir les aider dans plusieurs types de problèmes différents, et qu il n est pas cantonné à un seul champ d action, et plus particulièrement la résolution d équations. Les domaines d action du calcul littéral en quatrième sont variés et dépendent en partie du statut de la lettre : Lorsque la lettre à un statut de variable, le calcul littéral va permettre de simplifier l expression de départ et par conséquent de diminuer les opérations à effectuer par la suite, donc un risque d erreur amoindri, et surtout un gain de temps considérable. Lors d un exercice, les élèves avaient, dans un premier temps, à calculer une expression pour différentes valeurs : (x + 3) + (2x + 4) pour x = 2, 3 et 4. Un élève a remarqué qu il obtenait les résultats plus rapidement en simplifiant d abord l expression littérale, puis en remplaçant la variable par les différentes valeurs demandées. Cette utilisation du calcul littéral correspond aux activités 5 et 6.

10 Lorsque la lettre a un statut d inconnue, le calcul littéral va permettre de retrouver, grâce à une équation le nombre de départ. C est sous cette forme que les élèves sont habitués à rencontrer littéral, comme le montre le questionnaire précédent. La difficulté à montrer l utilité du calcul littéral dans ce cas provient du fait, qu en général, les élèves peuvent résoudre un problème de manière arithmétique, ce qui leur évite de le mathématiser, phase qu ils ont du mal à réaliser. Il faut proposer aux élèves des problèmes qui ne peuvent pas se résoudre facilement par l arithmétique, et qui vont les obliger à utiliser le calcul littéral et donc montrer son utilité par sa simplicité d utilisation et par sa performance par rapport aux méthodes classiques employées jusqu alors. Cela correspond aux activités 1 et 2. Lorsque la lettre a un statut d indéterminée, qu elle ne représente plus un nombre particulier, mais un nombre quelconque (comme le signalait un élève), ce qui correspond entre autre au cas d une règle générale (ou d une formule), le calcul littéral va servir à démontrer un résultat. Dans cette situation que les élèves ont peu l habitude de rencontrer, le calcul littéral va être la seule possibilité de répondre au problème posé, une situation d exclusivité qui va renforcer son statut d outil fondamental. C est le cas des activités 3 et 4. V) DEROULEMENT ET ANALYSE DES ACTIVITES VI.1) ACTIVITE 1 : Présentation L exercice posé aux élèves est le suivant : Pensez à un nombre, retranchez 8, puis multipliez par 5, puis ajoutez 10, et enfin ajoutez encore 3. Déroulement Dans cet exercice, les élèves doivent dans un premier temps exécuter une séance de calcul avec un nombre qu ils ont choisi. Puis dans une

11 deuxième partie, je demande les résultats qu ils ont trouvés puis de rechercher les nombres choisis au départ pour obtenir ces résultats. Analyse Les élèves commencent par appliquer l algorithme de calcul avec des nombres qu ils ont choisi, pour la plupart simples afin de faciliter leurs calculs. Certains ont du mal à effectuer cette première phase de l exercice, car ils ne comprennent pas le sens du mot «retranchez», je demande donc aux autres élèves de le leur expliquer. Les élèves doivent écrire sur leur cahier la série de calculs qu ils effectuent, ce qui me permet de voir que l algorithme est appliqué de manière correcte, afin que de trop nombreuses erreurs ne viennent pas perturber le déroulement de l activité. Après avoir vérifié que les calculs ne sont pas erronés, je demande à certains élèves de communiquer leurs résultats, ils sont écrits au tableau. Les élèves ont maintenant pour tâche de retrouver les nombres qui ont été choisis à l origine par leurs camarades pour obtenir les résultats inscrits. Deux stratégies différentes sont employées par les élèves : Des élèves prennent des nombres au hasard et appliquent l algorithme de calcul pour voir si le résultat trouvé correspond bien à ce que l on cherche. D autres appliquent l algorithme dans le sens contraire, en prenant soin de changer les opérations à chaque fois. Les nombres choisis par les élèves au départ étant assez simples, dans chaque cas les eux méthodes donnent de bons résultats dans l ensemble. Cependant les élèves qui appliquent la seconde méthode ne ressentent pas l utilité de vérifier si ce qu ils trouvent correspond au résultat demandé, et le cas échéant, ils ne peuvent pas repérer leurs erreurs. Les élèves étant pris par le jeu, ils proposent de nouveaux résultats dont les solutions sont beaucoup plus compliquées, afin que les autres ne puissent pas résoudre leur problème. L exercice étant rendu nettement plus difficile, les élèves qui appliquent la première méthode n arrivent plus à retrouver les nombres de départ, tandis que ceux qui appliquent la seconde méthode parviennent à retrouver les nombres demandés ( aux erreurs de calcul près pour certains, mais qui ne

12 les voient pas, car ils ne pensent pas à vérifier l exactitude de leur résultat). Les élèves remarquent donc qu une méthode plus scientifique est mieux adaptée à la résolution d un problème mathématique, que des essais hasardeux qui ne peuvent convenir que dans un cadre limité où les valeurs recherchées sont assez simples. V.2) ACTIVITE 2 Présentation L exercice posé aux élèves, est légèrement différent de celui de l activité précédente : Pensez à un nombre, ajoutez 7, puis multipliez par 3, ajoutez le nombre choisi au début, et enfin retranchez 1. Objectif Dans l exercice précédent, une méthode consistant à résoudre l algorithme à l envers permettait de répondre au problème. Ici, cette méthode est inadaptée, et les élèves vont devoir adopter une nouvelle stratégie si ils veulent parvenir à leur fin. Ils vont donc avoir besoin du calcul littéral, et par conséquent en ressentir une réelle utilité. Déroulement Comme dans l exercice précédent, les élèves doivent d abord appliquer l algorithme de calcul, ensuite retrouver les nombres de départ pour des résultats donnés à l avance. Analyse Les élèves commencent par effectuer leurs calculs comme dans le premier exercice, mais certains voient apparaître une difficulté avec la phrase : «ajoutez le nombre choisi au début». D autres élèves répondent donc à la question pour aider leurs camarades à effectuer leurs calculs. Après avoir choisi quelques résultats, je demande donc aux élèves de retrouver les nombres de départ. Cette fois-ci, se souvenant de l exercice précédent, beaucoup plus d élèves essayent d appliquer l algorithme dans le sens contraire. Quelques uns, néanmoins, continuent d essayer avec plusieurs valeurs pour vérifier si elles conviennent.

13 Dans l ensemble, les élèves sont bloqués par ce problème, car le fait de réutiliser le nombre de départ dans l algorithme rend inefficace la première méthode. Seul un élève en remarquant que les nombres proposés sont tous des multiples de 4 parvient à retrouver les valeurs ( les nombres cherchés étaient tous des entiers). Un autre parvient à donner des résultats en remplaçant «le nombre choisi au début» systématiquement par 3 ( il s agissait de la valeur qu il avait employée dans la première partie de l exercice). Mais ne vérifiant pas ses calculs, ne c était pas aperçu que ses valeurs étaient erronées. Un autre élève, ayant remarqué qu il y avait un nombre inconnu à rechercher, à donc, par habitude, proposé de remplacer ce nombre par la lettre x. Grâce à cette remarque, les élèves se remettent au travail, mais en ayant une stratégie plus adaptée au problème rencontré. Cela permet aux élèves d obtenir une équation, qui va leur permettre de répondre à la question. Pour pouvoir résoudre l équation, et voir quelles sont les opérations à effectuer, il faut auparavant interpréter l expression obtenue : 4x+20. Certains élèves arrivent à traduire 4x+20 comme : Pensez à un nombre, multipliez par 4 et ajoutez 20. Le nouveau problème reformulé, peut donc être résolu de la même manière que le précédent puisque, maintenant, il n y a plus de difficulté. Dans cette activité, les élèves prennent conscience de l utilité du calcul littéral, car il leur permet en remplaçant une valeur inconnue par une lettre à transformer cette écriture et donc de poser un nouveau problème qui leur est connu et auquel ils savent répondre. Les élèves voient donc deux avantages du calcul littéral : - Il permet de résoudre un problème avec un nombre inconnu. - La transformation d une écriture en une autre plus simple. V.3) ACTIVITE 3 Présentation L exercice suivant est proposé aux élèves : Pensez à un nombre, ajoutez 5, puis multipliez par 2, ensuite retranchez 10 et divisez par 2.

14 Objectif Dans cet exercice, le nombre final est le nombre choisi au départ. Le problème consiste à démontrer ce résultat pour n importe quel nombre, donc à utiliser le calcul littéral sous un nouvel aspect. Donc d étendre son champ d action pour les élèves. Déroulement Dans un premier temps les élèves doivent appliquer l algorithme de calcul à plusieurs nombres qu ils auront choisi, puis à faire une remarque sur les résultats obtenus. Dans un deuxième temps, il s agit de démontrer que le résultat est valable pour n importe quel nombre. Analyse Les élèves effectuent leur calcul sans erreurs, et remarquent facilement qu à chaque fois le résultat trouvé est égal au nombre de départ. A ce moment, je leur demande si cette remarque est valable pour n importe quel nombre choisi. Les élèves répondent «oui» puisque chacun d entre eux a pu le constater sur son exemple et ceci quelle que soit la valeur de début. Pour essayer d invalider cette réponse, et prouver que leur raisonnement est insuffisant, et que le problème n est pas aussi simple qu il n y paraît, je leur propose l exercice suivant : Calculer 2x² et 4x pour x = 2 et x = 0. Dans les deux cas les élèves trouvent le même résultat pour les deux expressions. Quand je leur affirme donc que 2x² = 4x car cela marche pour mes exemples, des élèves disent que cela ne convient, car pour x = 3, on obtient des résultats différents. En faisant l analogie avec l exemple précédent, je leur fais remarquer qu un résultat n est pas forcément valable parce que le modèle convient pour plusieurs exemples, que peut-être pour un nombre mon résultat ne convient pas. Je leur demande donc comment on pourrait procéder pour être sûr du résultat, et ne pas avoir à effectuer le calcul pour chaque nombre.

15 Certains proposent d essayer avec des nombres d apparence compliquée. D autres font remarquer que cela ne change rien au problème car on ne peut pas les essayer tous. Les élèves éprouvent des difficultés par rapport à l exercice précédent car ils sont dans une situation nouvelle, et que pour eux, une lettre sert à remplacer un nombre inconnu pour résoudre un problème, mais ici, ils n ont pas de nombre inconnu à rechercher, et donc le passage par le calcul littéral ne s impose pas pour eux. En insistant sur le fait que ce que l on cherche doit marcher pour tous les nombres, cela doit supposer qu on ne se laisse pas influencer par la valeur d un nombre particulier pour le calcul, et qu il faut procéder comme si on ne le connaissait pas ; une élève propose de remplacer le nombre par x, puisque, à priori on ne le connaît pas.( On revient au cas où la lettre va remplacer un nombre inconnu, donc à leur statut de la lettre en mathématique). Les élèves vont donc appliquer le programme de calcul non pas avec un nombre connu, mais un nombre qu à priori ils ne connaissent pas : x. Une fois leurs calculs effectués, les élèves parviennent à trouver le résultat «x». Ici se pose un problème d interprétation du résultat obtenu, que cela signifie-t-il? Je leur propose d essayer en remplaçant x par une valeur afin qu ils puissent visualiser la relation entre le nombre de départ et le résultat trouvé. Dans l ensemble, les élèves arrivent à comprendre ce qu ils viennent d obtenir, qu en remplaçant x par n importe quel nombre, je trouve le même résultat car il n y a aucune modification. Cette activité permet aux élèves de constater une autre utilité du calcul littéral : - Démontrer un résultat. V.4) ACTIVITE 4 Présentation Dans la continuité des activités précédentes les élèves ont le problème suivant : Pensez à un nombre, ajoutez 3, puis multipliez par 2, ensuite retranchez 5, puis retranchez deux fois le nombre de départ.

16 Objectif Il s agit dans cette activité de nouveau de démontrer un résultat à l aide du calcul littéral en réinvestissant les connaissances acquises grâce à l activité précédente. Déroulement Les élèves essaient l algorithme de calcul avec des nombres qu ils choisissent, puis doivent faire une remarque sur le résultat obtenu Dans un second temps, ils doivent démontrer ce résultat. Analyse Après avoir effectué les calculs, les élèves s aperçoivent qu ils obtiennent toujours le nombre 1. Sauf un, qui trouve un résultat différent, après avoir ré effectué ses calculs, il retrouve le bon résultat. Un autre intrigué, veut essayer avec des nombres plus compliqués. Les élèves, influencés par l exercice précédent, décident d'effectuer le calcul avec la lettre x. Toujours à cause de l exercice précédent, les élèves savent qu il faut trouver 1, et parfois leurs calculs sont faussés en fonction du résultat à trouver. Dans l ensemble le raisonnement est correct, et l interprétation du résultat, cette fois-ci, ne pose pas beaucoup de problèmes, car le résultat ne dépend pas du nombre choisi au départ, et quel que soit ce nombre le calcul donne 1. Les élèves prennent davantage conscience de l utilité du calcul littéral, et s aperçoivent qu il permet de montrer qu un résultat est toujours valable sans avoir à procéder à plusieurs essais avec plusieurs nombres, et à chaque cas particulier. Un élève fait même remarquer qu il peut poser un problème légèrement différent en remplaçant certains nombres à partir de l expression littérale, sans en altérer le résultat. V.5) ACTIVITE 5 Présentation L exercice proposé aux élèves est le suivant : On considère un rectangle ABCD de largeur 2 cm. Calculer le périmètre de ce rectangle lorsque la longueur vaut successivement de 1 à 10 cm.

17 Objectif Cet exercice est proposé dans l optique d une utilisation future de résultats à l aide d un tableur. La plupart des élèves en ayant déjà la connaissance car ils suivent une option informatique. Le but recherché est d écrire un programme qui sera compréhensible par l ordinateur, qui pourra calculer le périmètre en fonction des valeurs qui lui seront proposées en données dans la case correspondante. Les élèves doivent, en conséquence, écrire un programme de calcul que l ordinateur pourra identifier, et calculer automatiquement à partir de la valeur indiquée pour la variable. Dans cet exercice, les élèves vont devoir considérer la lettre comme une variable (les différentes valeurs de la longueur), et l algèbre va permettre de simplifier l expression. Les élèves vont surtout devoir faire le lien entre la cellule de l ordinateur et la variable. Analyse Au début, les élèves sont un peu déconcertés, et ne comprennent pas bien la consigne. Certains veulent calcule les périmètres en fonction des valeurs qui leurs sont données, et donc effectuer dix calculs différents. Pour essayer de les en dissuader, je leur demande de calculer lorsque la longueur varie de 1 à 100. Par conséquent, ces élèves se demandent s'il n y a pas une autre solution plus adaptée à ce problème, qui va donc leur éviter de calculer cent fois la même chose, et qu en plus, ils possèdent un outil capable d effectuer les calculs à la condition qu on lui dise quels calculs il va devoir exécuter. Les élèves prennent conscience de l intérêt qu ils vont avoir à écrire une formule, car, par la suite, ils n auront plus à calculer, mais seulement à entrer la valeur donnée dans le tableau, l ordinateur se chargeant du reste. Certains élèves demandent des précisions sur le fonctionnement de l ordinateur, et de ses connaissances. Je leur précise qu il comprend toutes les opérations mathématiques, à condition qu on lui dise avec quoi calculer (quelle case), mais par contre qu ils sont obligés de mathématiser le problème car, pour l instant, il n est pas capable d exécuter le problème si on lui parle français. Pour représenter la case, les élèves vont choisir de la nommer x, comme ils ont l habitude de représenter une variable ou une inconnue en mathématique. Une fois franchie la difficulté du lien entre la case et la lettre, les élèves vont écrire deux formules différentes :

18 - certains se contentant d écrire la formule sous sa forme la plus simple : (x + 2) 2 - d autres, au contraire, vont développer l expression et l écrire : 2x + 4 Un élève cependant a préféré utiliser directement la numérotation de la case en employant A 2 au lieu de x, notation qu il a obtenue en représentant le problème sous forme d un tableau. Cet exercice a permis aux élèves de comprendre l intérêt d une expression littérale, elle permet de synthétiser un problème. V.6) ACTIVITE 6 Présentation Les élèves ont à programmer l exercice suivant : On parcourt une distance de 100 km. Une partie du trajet est effectuée à 80 km/h, et l autre à 120 km/h. Problème : Calculer la vitesse moyenne quand la distance parcourue à 80km/h est 10, 20, km. Objectifs Comme dans l exercice précédent, il s agit d écrire un programme de calcul qui va être effectué par l ordinateur. Un des objectifs est de voir si les élèves ont assimilé le lien entre la lettre et la case du tableur, qu elle est une boite dans laquelle on peut mettre un objet inconnu et travailler avec, que ce même objet peut prendre plusieurs valeurs différentes suivant les cas. Après cette étape de transformation des écritures, il va être demandé aux élèves de voir si l on ne peut pas réduire les opérations qui ont été effectuées et se ramener à une expression plus simple qui permet un gain de place et de rapidité ou d efficacité dans les calculs. Le calcul littéral doit, ici, avoir une utilité pour réduire une expression et la rendre plus compréhensible sans avoir à effectuer des calculs intermédiaires. Analyse Comme dans l activité précédente, les élèves doivent écrire un programme qui peut être compris par l ordinateur.

19 Le résultat à trouver étant plus compliqué, car nécessitant plusieurs opérations, il n est pas évident pour les élèves de trouver le problème à résoudre. Il y a donc une réflexion qui est faite en commun pour analyser le problème, et ainsi pouvoir y répondre. A partir de la formule v=d/t le problème est décomposé en plusieurs parties : - Trouver la durée totale du trajet. - Trouver les durées des trajets à 80 km/h et à 120 km/h. - Trouver la distance effectuée à 120 km/h. Ces résultats sont récapitulés dans un tableau qui est écrit au tableau : Distance parcourue à 80 km/h Durée du trajet à 80 km/h Distance parcourue à 120 km/h Durée du trajet à 120 km/h Durée totale du trajet Vitesse moyenne Une fois le problème décomposé sous cette forme, qui le leur rend plus compréhensible, les élèves reçoivent les mêmes consignes, à savoir écrire un programme pour que l ordinateur puisse calculer chacune de ces données. Devant les difficultés d une certaine partie des élèves, je fais préciser quelle est la valeur qu il faudra rentrer dans l ordinateur, donc celle qui va jouer le rôle de variable. Ce qui débloque les élèves, et l ensemble arrive à désigner la variable x comme la distance parcourue à 80 km/h. A ce niveau, un élève demande si l on peut se servir des cases qui ont déjà été remplies pour s en servir comme d une nouvelle variable. Le fonctionnement de l ordinateur l autorisant, les élèves ont aussi le droit d utiliser les cases connues comme de nouvelles variables. Cette possibilité offre donc aux élèves deux possibilités de réflexion : - soit en introduisant une nouvelle variable - soit en travaillant avec une seule Cela amène à proposer deux tableaux différents :

20 Distance parcourue à 80 km/h x Durée du trajet à 80 km/h 80 /x = y Distance parcourue à 120 km/h 100-x Durée du trajet à 120 km/h (100-x)/120=z Durée totale du trajet y+z Vitesse moyenne 1/(y+z) Distance parcourue à 80 km/h x Durée du trajet à 80 km/h 80/x Distance parcourue à 120 km/h 100-x Durée du trajet à 120 km/h (100-x)/120 Durée totale du trajet (100-x)/ /x Vitesse moyenne 1/( (100-x)/ /x) Arrivé à ce stade de l exercice, on peut voir deux méthodes bien différentes. Pour essayer de faire choisir les élèves un tableau ou l autre, je fais simplifier le tableau en supprimant des lignes pour revenir plus précisément au problème posé au départ, et éliminer des valeurs superflues. Je propose donc de remplir le tableau suivant : Distance parcourue à 80 km/h Durée totale du trajet Vitesse moyenne Les élèves doivent proposer un programme qui permette de remplir ce tableau sans avoir à rajouter des lignes supplémentaires. Les élèves disposent des deux tableaux, et certains se contentent de supprimer les lignes des tableaux précédents. Je demande donc de vérifier si les nouveaux tableaux conviennent, et certains font remarquer que le premier modèle ne convient plus car les valeurs y et z ne sont plus connues, et par élimination c est le second modèle qui va permettre de résoudre le problème, car l ordinateur va pouvoir continuer à l utiliser. Une fois le problème restreint à un seul tableau, il va falloir essayer d exprimer plus simplement les expressions afin de faciliter l écriture du programme à rentrer dans l ordinateur. Et c est le calcul littéral qui va les aider à formuler cette nouvelle expression. Après avoir effectué les calculs, les élèves donnent une expression plus simple et présentent un tableau très simplifié avec seulement deux lignes et une expression simple à calculer.

21 Cet exercice permet de mettre en évidence aux élèves le calcul littéral comme moyen de simplifier une expression et de la rendre utilisable directement pour calculer les valeurs d un problème en fonction d une variable. V.7) ACTIVITE 7 Présentation Développer et réduire (x-2) (x+2) Utiliser l égalité établie ci dessus pour calculer facilement Objectif Le but de cet exercice est de montrer l utilité du calcul littéral dans des calculs numériques, qu il permet de faciliter ces calculs. Analyse Les élèves étant habitués à calculer des expressions de ce type, cela ne leur pose pas beaucoup de difficultés, et ils arrivent à trouver la nouvelle expression. La deuxième partie pose plus de difficultés, les élèves ne voient pas forcément le rapport entre les deux expressions, et certains calculent sans se soucier du résultat qu ils ont trouvé. La confrontation des deux méthodes utilisées par les élèves permet de dégager la plus intéressante et d adapter ce type de problème à des valeurs différentes. Il permet dégager l utilité du calcul littéral lors des calculs numériques, et la simplification qu il peut apporter aux élèves, ainsi qu une certaine généralisation des résultats. VI) EVALUATION Après les activités proposées, les élèves ont eu à répondre au même questionnaire qu au début, afin de voir leurs évolutions vis à vis du statut des lettres et du calcul littéral, s'ils ont conscience des nouvelles possibilités que ce dernier leur offre.

22 Si le statut de la lettre, dans leur esprit, n a pas changé, elle est toujours considérée en grande majorité comme un nombre inconnu, par contre, pour certains, son utilisation et son utilité se diversifient. Si pour une partie des élèves, sa seule fonction demeure la recherche d un nombre inconnu, certains lui rajoutent d autres fonctions. Ils reconnaissent entre autre son utilité dans la démonstration d une propriété, pour expliquer une généralité. Les élèves ont eu ensuite lors d une évaluation à comparer deux programmes de calculs. Les essayer avec un nombre donné, puis démontrer que les deux programmes sont équivalents. Les élèves ont le réflexe de se servir du calcul littéral, mais les transcriptions sont parfois mal effectuées ce qui empêche les élèves de trouver le bon résultat. Pour les autres le travail est fait correctement et l interprétation est souvent bonne, et cet exercice ne leur pose pas de très grandes difficultés. Les élèves ont remarqué, qu effectivement le calcul littéral pouvait leur être utile pour démontrer un résultat, car leurs calculs sont indépendants de la valeur que l on attribue à la lettre, et donc leur résultat est toujours valable. VII) CONCLUSION Les élèves ont conscience de l intérêt du calcul littéral pour résoudre une équation même s ils préfèrent utiliser une méthode arithmétique quand ils en ont la possibilité. Cette utilisation va être renforcée par la suite du programme ou les élèves vont pouvoir comparer l efficacité des méthodes algébriques et arithmétiques et voir la supériorité de l algèbre dans la plupart des cas et sa simplicité d explication, ce qui va renforcer leur intérêt dans l utilisation du calcul littéral dans ce domaine. Cet intérêt va aussi s accentuer avec la progression des élèves dans leurs études où le calcul littéral va être de plus en plus nécessaire. Essayer de leur faire comprendre ses différents usages le plus tôt possible permet de les faire progresser plus rapidement, et assimiler la suite des programmes plus facilement. Ce mémoire montre les difficultés qu ont les élèves à percevoir les différentes utilisations du calcul littéral. En général ils se contentent d une seule utilisation de cet outil, ils le spécialisent et restreignent ses capacités.

23 Mais la principale difficulté qu ont les élèves à utiliser le calcul littéral est la traduction de leur énoncé en une expression littérale. S'ils comprennent les facilités de calcul une fois le problème traduit, ils ont beaucoup de mal à faire le rapprochement entre un texte en langage naturel et un texte en langage algébrique. Par conséquent, même si les élèves comprennent l intérêt du calcul littéral dans divers domaines, son utilisation est limitée par des problèmes de traduction. Un travail plus spécifique correspondant uniquement à écrire un même problème sous différentes formes devrait pouvoir développer l utilisation du calcul littéral, et une meilleure compréhension de ses mécanismes.

24 BIBLIOGRAPHIE IREM de Montpellier : Activités pour le cycle central : Des nombres et des lettres IREM de Poitiers : Le calcul littéral au collège (groupe 1 er cycle) IREM des Pays de Loire : Des mathématiques au cycle central T M.J. PERRIN-GLORIA : Mathématique et langage. p 55.

25 Résumé Ce mémoire est l analyse d une séquence d enseignement dont le but est de montrer aux élèves les diverses utilisations du calcul littéral en classe de quatrième. Il met en évidence les difficultés qu ont les élèves à se servir du calcul littéral comme d un outil, et par conséquent les diverses utilisations que l on peut en faire. Mais aussi, les difficultés qu ont les élèves à considérer qu un problème en langage naturel peut souvent se transformer dans le langage algébrique, et donc ressentir le calcul littéral comme un outil. Este memorio es la analysis de un curso sobre las diferentas utilisaciones de las lettras en matematicas. Se puede ver las dificuldades de los alumnos a servirse de las lettras como algo que puede ayudarlos, y mas particularmente en la diversificacion de sus utlisaciones. Tambien se puede ver las dificuldades de los alumnos a piensar que un problema en un lenguage natural puede ponerse en un lenguage algebrico. Mots clés : - Calcul littéral - Inconnue - Variable - Démonstration - Langage - Equation