Sommaire de la séquence 9

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1 Sommaire de la séquence 9 Séance Je redécouvre la proportionnalité Séance J applique la bonne méthode Séance Je détermine une quatrième proportionnelle Séance J applique le retour à l unité Séance J étudie la notion d échelle Séance J étudie la notion d échelle - fin Séance Je calcule un pourcentage Séance J applique un taux de pourcentage Séance J effectue des exercices de synthèse Objectifs Reconnaître si deux grandeurs sont proportionnelles. Savoir calculer un cœfficient de proportionnalité (sous formes de quotient si nécessaire). Connaître la règle de passage à l unité. Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respectifs. Tous ces éléments font l objet d une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent être utilisés qu à des fins strictement personnelles. Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d un cours ou d une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits. Cned-2009

2 séance 1 Séquence 9 Séance 1 Je redécouvre la proportionnalité Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la page précédente. Prends un nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d exercices et écris en haut de cette page : «SÉQUENCE 9 : PROPORTIONNALITÉ». Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses. je révise les acquis de la 6 e 1- On veut préparer un repas. La quantité de viande que l on veut acheter est-elle proportionnelle au nombre de personnes que l on va inviter? p oui p non 2-Le poids d une personne est-il une grandeur proportionnelle à son âge? p oui p non - Avec 0 L de carburant, une voiture moderne peut parcourir km. Combien de km cette même voiture peut-elle parcourir avec un plein de 70 L? p km p km p 1 00 km p km 4- S il faut 14 L de peinture pour peindre 7 m 2, combien de L de peinture faut-il pour peindre 2 m 2? p L p 4 L p 14 L p 2 L Prends ton cahier d exercices et effectue les deux exercices ci-dessous. Exercice 1 Voici dans le tableau ci-dessous les tarifs de location d une paire de ski. durée de location en jour prix de la location en 1 2 4,2 6, 9,7 1 16,2 Le prix de la location d une paire de ski est-il proportionnel à la durée de la location? Cned, Mathématiques e,

3 Séquence 9 séance 1 Exercice 2 Voici dans le tableau ci-dessous les tarifs pour envoyer par la poste des lettres de différents poids. poids de la lettre en g prix en timbres en 0,4 0,86 1,0 2,11 Le prix en timbres en et le poids de la lettre en g sont-ils des grandeurs proportionnelles? Prends ton cahier de cours puis recopie le paragraphe suivant. j e retiens GRANDEURS PROPORTIONNELLES Rappel : Si les valeurs d une grandeur s obtiennent en multipliant les valeurs d une autre par un même nombre, alors on dit que ces deux grandeurs sont proportionnelles. Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, on dit que l on a une situation de proportionnalité. Exemple : Ci-dessous, le nombre de litres de cocktail de fruit et le prix correspondant sont proportionnels. nombre de litres de cocktail de fruit prix 11, ,6 x,8,8 est le coefficient de proportionnalité : c est le nombre qui multiplié par le nombre de litres donne le prix. Effectue l exercice ci-dessous directement sur ton livret. Exercice 1- Que peux-tu dire des points A, B, C, D et E? Écris les coordonnées des points dans le tableau ci-dessous. 2,7 E (d) point A B C D E abscisse 1 A B C D ordonnée Que peux-tu dire des abscisses et des ordonnées des points A, B, C, D et E?. 64 Cned, Mathématiques e, 2008

4 séance 1 Séquence 9 Prends ton cahier d exercices et effectue l exercice ci-dessous. Exercice 4 Le tableau suivant correspond-t-il à une situation de proportionnalité? Si oui, quel est le coefficient de proportionnalité? Utilise ta calculatrice! , 2,812,12,47 Prends ton cahier de cours puis recopie le paragraphe suivant. j e retiens Tableau de nombres Des nombres représentés dans un tableau représentent une situation de proportionnalité lorsque les nombres de la ligne du dessous s obtiennent en multipliant par un même nombre ceux de la ligne du dessus. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité. Exemples : 4, 7, 9 1, x 1, 4, 7, 9 12 x 1, = 4, x 1, = 4, x 1, = 7, x 1, = 7, 9 x 1, = 1, 9 x 1, n est pas égal à 12! Le tableau ci-dessus représente une situation de proportionnalité. Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Le tableau ci-dessus ne représente pas une situation de proportionnalité. Exercice Chacun des tableaux suivants correspond-il à une situation de proportionnalité? Si c est le cas, quel est le coefficient de proportionnalité? Tu n utiliseras pas ta calculatrice. a) b) , 0, 0,9 1,4 c) d) ,2 Cned, Mathématiques e,

5 Séquence 9 séance 2 Séance 2 J applique la bonne méthode Effectue l exercice ci-dessous directement sur ton livret. Exercice 6 Une voiture roule à une vitesse constante. On a mesuré la distance qu elle a parcourue au bout de deux secondes, etc. On a ensuite noté ces distances dans le tableau ci-dessous, mais quelqu un a effacé certains nombres. temps en seconde 2 20 distance en m 4 112, 1- Pourquoi la distance parcourue et le temps sont-ils proportionnels? 2- Remplis les cases vides du tableau ci-dessus. Prends ton cahier de cours puis recopie le paragraphe ci-dessous. j e retiens LES RÈGLES DE LA PROPORTIONNALITÉ Rappel : Dans un magasin de peinture, le prix du litre de peinture est proportionnel au nombre de litres achetés. Le prix de L est 1,8. Règle 1 : «la règle de la multiplication et de la division» x Calculons le prix de 1 L de peinture : nombre de litres de peinture 1 Le prix de L de peinture est 1,8. prix de la peinture (en ) 1,8 9 Comme 1 = x, le prix de 1 L de peinture est 1,8 x soit 9. x 10 Calculons le prix de 0, L de peinture : nombre de litres de peinture 0, Le prix de L de peinture est 1,8. prix de la peinture (en ) 1,8 0,18 Comme 0, = 10, le prix de 0, L de peinture est 1,8 10 soit 0, Cned, Mathématiques e, 2008

6 séance 2 Séquence 9 Règle 2 : «la règle de l addition s» Calculons le prix de 18 L de peinture le prix de L de peinture est 1,8 le prix de 1 L de peinture est 9, nombre de litres de peinture prix de la peinture (en ) 1, ,8 le prix de 18 L ( L + 1 L) est donc 1,8 + 9 soit 10,8. Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret. Exercice 7 On étudie la croissance d une bactérie dans un laboratoire. 1- Sachant que la taille de la bactérie est proportionnelle au nombre de jours de son développement, complète le tableau ci-dessous. Essaie de faire des calculs astucieux. nombre de jours de développement taille en μm de la bactérie 7 Remarque : μm veut dire micromètre. Cette unité représente un millième de millimètre (c est tout petit!) 2- Quel est le coefficient de proportionnalité de ce tableau? Exercice 8 Complète les tableaux suivants pour qu ils soient des tableaux de proportionnalité. a) b) 8 0, ,16 1, c) Prends ton cahier d exercices et effectue les trois exercices suivants. Exercice 9 Dans une station service, le prix de 10 L de gasoil est 12,. 1- Quel est le prix de 0 L, de 0 L, de 70 L, de 1 L? 2- Quel volume de gasoil peut-on acheter pour,? Utilise ta calculatrice. Cned, Mathématiques e,

7 Séquence 9 séance Exercice 10 On peut recycler le papier carton afin d obtenir du papier recyclé. 2 tonnes de papier carton permettent d obtenir 1,7 tonne de papier recyclé. 1- Combien de tonnes de papier recyclé peut-on obtenir : à l aide de tonnes de papier carton? à l aide de tonnes de papier carton? à l aide de 10 tonnes de papier carton? 2- Combien faut-il de tonnes de papier carton pour obtenir :,4 tonnes de papier recyclé? 17 tonnes de papier recyclé? Exercice 11 Complète les deux tableaux ci-dessous pour qu ils représentent des situations de proportionnalité. a) 4 9 b) 2 7,2 Séance Je détermine une quatrième proportionnelle Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous. j e retiens Quatrième proportionnelle Lorsqu on cherche à calculer x ou y dans les tableaux de proportionnalité ci-contre, on dit que l on calcule une quatrième proportionnelle y x 9 Calcul de la quatrième proportionnelle : Le nombre qui multiplié par 4 donne est D où : x = = 4 = 4 soit x = 8,7 Le nombre qui multiplié par donne 4 est D où : y = = = soit y = 7, x y 9 x 4 x 4 68 Cned, Mathématiques e, 2008

8 séance Séquence 9 Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. Exercice 12 Si 2 ouvriers tapissent 0 m 2 de papier peint par jour, combien de m 2 de papier peint tapissent ouvriers en une journée? Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. je comprends la méthode RÉSOUDRE LE PROBLÈME SUIVANT : Dans un magasin, noix de coco coûtent 8. Combien coûtent 7 noix de coco? 1- Je cherche quelles grandeurs sont proportionnelles (si elles le sont). Ici, les grandeurs proportionnelles sont le nombre de noix de coco, et le prix. 2- Je construis un tableau de 4 cases. Je place les données d une grandeur sur la 1 ère ligne, et celles de l autre grandeur sur la deuxième ligne. 8 7? 1 ère grandeur : le nombre de noix de coco 2 ème grandeur : le prix - Je calcule le nombre manquant à l aide du coefficient de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est le nombre qui multiplié par donne 8 : c est 8 8 7? x = = 6 4- Je conclus. 7 noix de coco coûtent 6 E, soit 11,2 E. Effectue les quatre exercices suivants dans ton cahier d exercices. Cned, Mathématiques e,

9 Séquence 9 séance Exercice 1 Une voiture consomme L de carburant pour faire 90 km. 1- Combien de km peut-elle faire avec 7 L de carburant? 2- Combien de carburant lui faut-il pour parcourir 140 km? Exercice 14 Un pot de confiture de 600 g de la marque «Tante suzette» coûte 4,. Un pot de confiture de 800 g de la marque «fruitos» coûte. Quelle est la confiture la moins chère au kilo? Exercice 1 Il a fallu déménageurs pour déménager 40 m de meubles en une demi-journée. Combien faut-il de déménageurs pour déménager 18 m de meubles en une demi-journée? Exercice 16 Les deux tableaux ci-dessous sont des tableaux de proportionnalité. Essaie de trouver une autre méthode que celle utilisée dans le «Je retiens» précédent pour trouver x et y. 4 7 x 4 y 9 70 Cned, Mathématiques e, 2008

10 séance 4 Séquence 9 Séance 4 J applique le retour à l unité Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous. j e retiens Rappel : Dans un magasin de peinture, le prix du litre de peinture est proportionnel au nombre de litres achetés. Le prix de L est 1,8. Règle : «le retour à l unité» Calculons le prix de 1,6 L de peinture. Le principe est simple : la méthode consiste à calculer le prix d 1 L de peinture. Il suffit ensuite de multiplier ce prix «à l unité» par le nombre de litres de peinture pour obtenir le prix. Le prix de L de peinture est 1,8, donc 1 L coûte 1,8 : soit 0,6. Si l on veut alors calculer le prix de 1,6 L de peinture, on effectue : 0,6 x 1,6. On trouve 0,96. : X 1,6 nombre de litres de peinture 1 1,6 prix de la peinture (en ) 1,8 0,6 0,96 Remarque : on pouvait également écrire directement : : X 1,6 X 1,6 nombre de litres de peinture 1,6 prix de la peinture (en ) 1,8 0,96 X 1,6 Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d exercices. Exercice 17 Le prix d un tissu est proportionnel à la longueur achetée. 4 m coûtent 7,. Quel est le prix de 6,2 m? de 8,4 m? Cned, Mathématiques e,

11 Séquence 9 séance Exercice 18 Un moteur, à plein régime, tourne à la cadence de 40 tours en min. 1- Combien fait-il de tours à ce régime en 2 min 0 s? 2- Quel temps faut-il à ce moteur pour effectuer 1 04 tours? Exercice 19 On a représenté dans le tableau ci-dessous la vitesse d une voiture en fonction de l âge du conducteur. Complète le tableau. vitesse en km/h âge du conducteur en années 19 Séance J étudie la notion d échelle Prends ton cahier d exercices et effectue l exercice ci-dessous. Exercice 20 Voici le plan du rez-de-chaussée d une maison. Les dimensions de cette maison dans la réalité sont proportionnelles à celle du plan. Dans la réalité, la maison mesure 12,6 m de longueur. 1- Mesure la largeur de la maison sur le plan? À quoi est-elle égale dans la réalité? 2- Quel est le coefficient de proportionnalité? - Combien mesure dans la réalité la cuisine, l entrée, le bureau, le salon et le cellier? Tu donneras la longueur et la largeur de chacune de ces pièces. 72 Cned, Mathématiques e, 2008

12 séance Séquence 9 Cuisine Entrée Bureau Salon Cellier Prends ton cahier de cours puis recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous. j e retiens NOTION D ÉCHELLE Lorsque sur un plan les distances sont proportionnelles aux distances réelles, on dit que le plan est «à l échelle». Le coefficient de proportionnalité permettant de passer des distances réelles aux distances sur le plan (exprimées avec la même unité) s appelle l échelle du plan. réalité figure à l échelle Sur un plan à l échelle, les distances sont 4 fois plus petites que dans la réalité. 4 1 cm représente donc 4 cm. dimensions en m de la voiture x 4 x 1 dimensions en m 4 de la voiture miniature Cned, Mathématiques e,

13 Séquence 9 séance Prends ton cahier d exercices et effectue les exercices ci-dessous. Exercice 21 Une carte est à l échelle Qu est-ce que cela signifie? 2- Deux villes sont distantes sur cette carte de 8, cm. Quelle distance «à vol d oiseau» sépare ces deux villes dans la réalité? - Deux villages sont à une distance de 14 km «à vol d oiseau». Quelle distance sépare ces deux villages sur cette carte? Exercice 22 Voici une carte du centreville de Bordeaux. 1- Quelle est l échelle de cette carte? 2- Quelle est dans la réalité la distance qui sépare les deux arrêts de tramway (représentés par un petit tramway sur la carte)? - Place sur cette carte à l aide d une croix l emplacement d une personne qui se trouve à 2 km de la place Pey-Berléand (symbolisée par le gros carré) et sur le quai des Chartrons. Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret. Exercice 2 Représente la figure ci-dessous à l échelle 1 2 sur le quadrillage de droite. 74 Cned, Mathématiques e, 2008

14 séance 6 Séquence 9 Exercice 24 Représente la figure ci-dessous à l échelle sur le quadrillage de droite. Séance 6 J étudie la notion d échelle suite Prends ton cahier d exercice et effectue les exercices suivants. Exercice 2 1- Reproduis la figure ci-contre à l échelle 2,. 2- Y avait-il plusieurs figures possibles? cm D C A 4 cm B le demi-cercle a pour diamètre [AB] Cned, Mathématiques e,

15 Séquence 9 séance 6 Exercice Reproduis la figure ci-contre à l échelle 2. 6 cm Exercice 27 À l aide d un microscope couplé à un appareil photo, on a réussi à prendre la photo du petit animal unicellulaire ci-contre. On sait que ce petit animal mesure dans la réalité environ 0,02 cm. Quelle est l échelle de cette photo? Exercice 28 Si, sur une carte, deux ponts sont distants de 2,4 cm alors qu en réalité, ils le sont de 18 km, quelle est l échelle de cette carte? De combien sont distantes dans la réalité deux églises distantes sur cette même carte de cm? 76 Cned, Mathématiques e, 2008

16 séance 7 Séquence 9 Séance 7 Je calcule un pourcentage Prends ton cahier d exercices et effectue l exercice ci-dessous. Tu peux utiliser ta calculatrice. Exercice 29 Le collège «Marcel Pagnol» comporte 260 élèves dont 208 sont demi-pensionnaires (il n y a pas d internes). 1- Quelle est la proportion de demi-pensionnaires de ce collège? 2- On cherche maintenant à calculer le pourcentage d élèves demi-pensionnaires de ce collège. C est le nombre d élèves demi-pensionnaires qu il y aurait dans un collège : ayant la même proportion de demi-pensionnaires que le collège «Marcel Pagnol» comportant 100 élèves. Quel est le pourcentage de demi-pensionnaires du collège «Marcel Pagnol»? - Quel est le pourcentage d élèves externes de ce collège? Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous. j e retiens POURCENTAGES Calcul d un pourcentage Pour calculer un pourcentage, on peut utiliser un tableau de proportionnalité. Exemple : Une entreprise de 210 employés comporte 84 femmes. Quel est le pourcentage de femmes dans cette entreprise? nombre d'employés nombre de femmes x Il y a 40 % de femmes dans cette entreprise. 84 En effet : 100 = Cned, Mathématiques e,

17 Séquence 9 séance 7 Prends ton cahier d exercices et effectue les exercices ci-dessous. Tu pourras utiliser ta calculatrice. Exercice 0 Arthur a profité des soldes pour s acheter un pull. Le prix initial était de 8,0 et la remise était de 8, À quel pourcentage du prix initial correspond la remise? 2- Combien le pull a coûté à Arthur? Exercice 1 Lisa vient de s acheter un jean. Elle a payé 44,8 car le jean était en solde : elle a gagné 6,40. Quel est a été le pourcentage de la remise? Exercice 2 Un hamburger d une célèbre marque américaine pèse 140 g. Il contient 6,40 g de protides (protéines), 6,12 g de lipides (graisses) et 61,2 g de glucide (sucres). 1- Quelles sont les pourcentages de protides, de lipides et de glucides contenus dans ce hamburger? 2- Le reste (tout ce qui n est ni protides, ni lipides, ni glucides) est de l eau. Quel est le pourcentage d eau contenu dans ce hamburger? Exercice Voici les résultats au baccalauréat de deux lycées en 2007 : lycée Chateaubriand : 191 candidats 18 reçus lycée Emile Zola : 186 candidats 180 reçus Quel lycée à obtenu les meilleurs résultats? 78 Cned, Mathématiques e, 2008

18 séance 8 Séquence 9 Séance 8 J applique un taux de pourcentage Prends ton cahier d exercices et effectue l exercice ci-dessous. Exercice 4 On a vu dans le «Je retiens» précédent une entreprise qui comportait 40 % de femmes. Combien y aurait-il de femmes dans une entreprise de 60 employés qui comporterait également 40 % de femmes? Peux-tu répondre à cette question à l aide d un tableau de proportionnalité? Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous. j e retiens J applique un pourcentage Calculer % d un nombre revient à multiplier ce nombre par Exemple : Calculer les % de =, =, % de 1 représentent 0, Prends ton cahier d exercices et effectue les deux exercices suivants. Tu pourras utiliser ta calculatrice. Exercice La mémoire du baladeur numérique de Noé a une capacité de 12 Mo. Elle est à 8 % occupée. 1- Combien de Mo de la mémoire du baladeur sont occupés? 2- Combien de Mo reste-t-il de libres dans la mémoire du baladeur de Noé. Exercice 6 Lors de soldes, un magasin propose des réductions : 2 % sur les tee-shirts et 0 % sur les pantalons. Clémence achète deux tee-shirts à 17 chacun, et un pantalon à 26,0 (les réductions sur les prix ne sont pas encore faites). Combien Clémence a-t-elle payé au total? Prends ton cahier d exercices et effectue l exercice suivant. Cette fois, tu n utiliseras pas la calculatrice. Cned, Mathématiques e,

19 Séquence 9 séance 8 Exercice 7 Calcule mentalement : a) 0 % de 6,4 b) 2 % de 0,6 c) 200 % de 8, d) 110 % de 800 Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d exercices. Tu pourras utiliser ta calculatrice. veffectue les deux exercices ci-dessous dans ton cahier d exercices. Exercice 8 Dans une colonie de vacances, deux groupes d enfants vont faire de la spéléologie. Le premier groupe est constitué de 2 enfants et de 6 moniteurs. Le deuxième groupe est constitué de 16 enfants et de 4 moniteurs. 1- À quoi correspondent les proportions 6 2 et Exprime ces deux proportions à l aide de pourcentages.? - Dans quel groupe y a-t-il relativement le plus de moniteurs? Exercice 9 Transforme les fractions suivantes en pourcentages : a) 1 b) 1 2 c) 4 d) 6 10 Exercice 40 Le prix d une voiture a baissé de 10 % le mois dernier et, ce mois ci, il a augmenté de 10 %. Cette voiture coûtait au départ. Sais-tu quel est son prix aujourd hui? 80 Cned, Mathématiques e, 2008

20 séance 9 Séquence 9 Séance 9 J effectue des exercices de synthèse Prends ton cahier d exercices et effectue les deux exercices ci-dessous. Prends ton cahier de cours puis note ce qui suit après l avoir lu. Exercice 41 La longueur d un cercle de rayon r est-elle proportionnelle à r? Si oui, quel est le coefficient de proportionnalité? Exercice Quelle est la longueur d un cercle de rayon 1 cm? d un demi-cercle de rayon 1 cm? d un quart de cercle de rayon 1 cm? d un cinquième de cercle de rayon 1 cm? Recopie et complète le tableau ci-dessous. portion de cercle de rayon 1 cm angle de la portion en cercle demi-cercle quart de cercle cinquième de cercle longueur de l arc en cm 2- Penses-tu que la longueur d un arc de cercle soit proportionnelle à l angle correspondant? Reporte-toi maintenant au corrigé des questions 1 et 2 dans ton livret de corrigés avant de faire la troisième question. x l - Calcule la longueur en cm d un arc de cercle de rayon 1 cm dont l angle est. Tu donneras ensuite une valeur approchée par défaut au centième. 1 cm Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche directement la (les) réponse(s) exacte(s) sur ton livret. Une fois les 10 questions faites, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses. Cned, Mathématiques e,

21 Séquence 9 séance 9 je m évalue 1-La longueur d un cercle est-elle proportionnelle à son rayon? p oui p non - Les deux grandeurs du tableau cidessous sont-elles proportionnelles? distance parcourue par la voiture en m p oui p non temps en s 10 2, 40 - Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité. A quoi x est-il égal? p p x p 7 44 p À quelle distance dans la réalité correspondent cm sur un plan dont l échelle est p cm p km p cm p 12 cm Lors d élections, 1 personnes sur 40 ont voté pour monsieur Dupond. Quel pourcentage cela représente-t-il? p 4 % p 0,4 % p 4 p 222 %? 2- L aire d un carré est elle proportionnelle à son côté? p oui p non 4- Les deux grandeurs du tableau cidessous sont-elles proportionnelles? vitesse d une voiture en km/h 4 8,9 p oui p non temps en s 1,2 2, Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité. A quoi y est-il égal? p p y 9 p 6 p 9 8- Quelle est l échelle d un plan pour lequel une distance dans la réalité de 1 km est représentée par cm? p 1 p p 1 1 p Pierre achète un article qui coûte 4, et qui est en solde : la remise à la caisse est de 20 %. Combien va-t-il payer à la caisse? p 8,4 p 2,2 p 6, p 4,8 82 Cned, Mathématiques e, 2008

22 Notes : Cned, Mathématiques e,