Enseigner les mathématiques à l école Organisation et gestion de données

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1 Enseigner les mathématiques à l école Organisation et gestion de données

2 Du côté des programmes Cycle 2 : Cycle 3 :

3 Du côté du socle commun 2ème palier : Compétence 3 : les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique L élève est capable de :

4 Du côté des tableaux repères pour l organisation des apprentissages Cycle 2 : Cycle 3 :

5 Du côté des évaluations CM Evaluation français : exercice 19 Le vendée-globe (extrait)

6 Évaluation CM exercice 17

7 Évaluation CM exercice 19 Nombre de coupes Nombre d oeufs ,5 5 Chocolat en grammes Sucre en grammes ,5 75

8 Du côté des évaluations CM Mathématiques : exercice 9 On suppose que l enseignante achète une calculatrice par élève! On peut considérer qu il s agit d un problème de division 300 : 24 = 12,5 ; une calculatrice coûte 12,5 euros Et si on avait demandé le prix de 4 calculatrices? 300 : 24 = 12,5 et 12,5 * 4 = : 6 = 50 (6 paquets de 4 ) Règle de trois 300 ᄡ 4 Nombre de calculatrices Prix en euros , G.Gerdil-Margueron IUFM-UJF

9 La «règle de trois» Seule procédure réellement citée dans le programme Une technique qui masque les propriétés de la proportionnalité qui la fondent 4 stylos identiques coûtent 2,42 euros. Combien coûtent14 de ces stylos? «ça fait 8,47!» La règle de trois : 2,42 ᄡ14 4 Nombre de stylos ᅠ Prix des stylos en euros ,42 1,21 8,47 Nombre de stylos Prix des stylos en euros ,42 0,605 8,47

10 Un cadrage théorique : Le champ conceptuel des problèmes multiplicatifs

11 Les problèmes de proportionnalité simple et directe Deux grandeurs sont en relation de proportionnalité (on peut passer de l une à l autre par une fonction de type x) ᅠ a x Les problèmes de quatrième proportionnelle ᅠ Grandeur A Grandeur B a b a b

12 Problèmes de proportionnalité simple et directe les problèmes de quatrième proportionnelle Un des nombres est égal à 1 mais n apparaît pas forcément dans l énoncé : problèmes dits de «multiplication» ou de «division» En rangeant ses photos de vacances dans son album, Jean a rempli 12 pages de 8 photos. Nombre de pages 1 12 Nombres de photos 8? Relation privilégiée : les nombres d une même grandeur Jean a 15 euros et Marc lui dit «j ai trois fois plus que toi!». Quelle somme a Marc? Somme de Jean 1 15 Somme de Marc 3? Relation privilégiée : d une grandeur à l autre

13 Problèmes de proportionnalité simple et directe les problèmes de quatrième proportionnelle Un des nombres est égal à 1 mais n apparaît pas forcément dans l énoncé: problèmes dits de «multiplication» ou de «division» Jean a 96 photos de vacances et les range dans son album en mettant toujours le même nombre de photos par page. Il a rempli 12 pages. Combien met-il de photos par page? Nombre de pages 1 12 Nombres de photos? 96 division : recherche de la valeur d une part Jean a 96 photos de vacances et les range dans son album en mettant toujours 8 photos par page. Combien de pages a-t-il rempli? Nombre de pages 1? Nombres de photos 8 96 division : recherche du nombre de parts

14 Problèmes de proportionnalité simple et directe les problèmes de quatrième proportionnelle Aucun des nombres n est égal à 1 Procédures A : les relations de linéarité (cf les stylos) Prix de deux stylos (1,21) puis 2,42+2,42+2,42+1,21 Prix de deux stylos (1,21) - prix de 14 stylos (1,21 *7) Prix de 1 stylo (2,42 /4 soit 0,605) -prix de 14 stylos (0,605 *7) c est la règle de trois! (éventuellement disposition fractionnaire) Procédures B : le coefficient de proportionnalité Les relations prennent en compte les deux grandeurs Dans le problème des stylos, c est 0,605 Le coefficient est plus facile à percevoir quand il peut être interprété dans le contexte de la situation ; ici, c est un prix unitaire Procédures C : le produit en croix S appuie sur une propriété des suites proportionnelles Ici : 4 *? = 14 * 2, 42 Ne repose sur aucun raisonnement sur les grandeurs Non accessible à l école

15 Problèmes de proportionnalité simple et directe les problèmes à questions successives Il faut chercher plusieurs quatrièmes proportionnelles successives, les résultats étant dépendants les uns des autres Sachant que les morilles surgelées coûtent 8 euros les 150g, on demande le prix de 100g, 75g, 475g, 375g La construction d un graphique dont les points sont alignés avec l origine et le point (8, 150) devient rentable!

16 Problèmes de proportionnalité simple et directe les problèmes de comparaison Reposent sur deux parties constituant un tout Mise en relation des deux parties : Dans la bouteille A, je mets 4 verres d eau et 2 morceaux de sucre, dans la bouteille B, je mets 12 verres d eau et 10 morceaux de sucre. Quel est le sirop le plus sucré? Procédure A : 3 fois plus d eau dans B que dans A mais 5 fois plus de sucre Procédure B : moitié moins de sucres que de verres d eau dans A mais plus de la moitié dans B Procédure C : avec la concentration de A, 6 sucres pour 12 verres Mise en relation d une partie et du tout Dans une classe de 20 élèves, 12 déclarent aimer le foot. Dans une autre classe de 30 élèves, 15 déclarent aimer le foot. Y a-t-il une classe dans laquelle on aime plus le foot que dans l autre? Vers les pourcentages G.Gerdil-Margueron IUFM-UJF

17 Problèmes de proportionnalité simple composée Avec 100kg de blé, on fait 75 kg de farine et avec 20kg de farine, on fait 24 kg de pain. Quelle est la masse de blé pour 450 kg de pain? Procédures composées Produit des coefficients de proportionnalité pour avoir le coefficient blé/pain (0,75*1,2 soit 0,9)

18 Problèmes de proportionnalité multiple La classe de CM2 prépare une classe de mer pour 50 enfants pendant 28 jours. Comment calculer la consommation de sucre nécessaire, sachant qu il faut compter 3,5 kg de sucre par semaine pour 10 enfants? Nécessité de recourir aux procédures de proportionnalité simple en fixant provisoirement une des variables

19 Problèmes de type «produit de mesures» Julie a 3 tee-shirts et 4 pantalons différents. De combien de manière peut-elle s habiller? Procédures de type dénombrement basées sur un tableau à double entrée ou un arbre Quelle est l aire d un rectangle de 5cm de longueur et de 3cm de largeur? Aire proportionnelle à la longueur si la largeur est fixe et proportionnelle à la largeur si la longueur est fixe Formule A= l * L (si unités homogènes)

20 Un problème recherche de quatrième proportionnelle En 21 heures, une installation de chauffage consomme 7 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 90 heures? En 6 heures, une installation de chauffage consomme 78 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 18 heures? En 9 heures, une installation de chauffage consomme 36 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 108 heures? En 32 heures, une installation de chauffage consomme 104 litres de mazout. Combien consomme-t-elle en 8 heures? En quoi ces exercices sont-ils semblables? En quoi sont-ils différents?

21 Des résultats 6ème : 68 3ème : 107 En 21h En 6h En 9h En 32h 34 94

22 Des pistes pour le thème «organisation et gestion de données»

23 Des données issues d un mesurage «formule de la longueur d un cercle» (CM2) On peut donner la formule «L = 3,14 x d» On peut organiser à partir de mesurages, un véritable travail sur la proportionnalité dans le cadre «grandeurs et mesures» Phase 1 À partir de mesurages sur de vrais cylindres, relevés de mesures du périmètre du disque de base et d un diamètre (plus grande corde)

24 Des données issues d un mesurage «formule de la longueur d un cercle» (CM2) Phase 2 Observation des données et premiers constats Calcul des quotients avec la calculatrice Mise en cause de certaines mesures comme (20, 60)

25 Des données issues d un mesurage «formule de la longueur d un cercle» (CM2) Phase 3 Représentation des données sur un graphique : Et si le diamètre mesure 120 mm? Et si la longueur du cercle est 280 mm?

26 Des données issues d un mesurage «formule de la longueur d un cercle» (CM2) Phase 4 Institutionnalisation : «Pour trouver la longueur d un cercle, on multiplie son diamètre par un nombre compris entre 3,1 et 3,2» On approche ainsi le coefficient de proportionnalité sans que celui-ci est un sens de type» grandeur-quotient» ou prix unitaire Ouverture vers le nombre π Les 100 premières décimales de π : 3, Depuis le 31 décembre 2009, les mathématiciens connaissent environ 2700 milliards de décimales de π, grâce à de savants calculs à l aide d ordinateurs très puissants Les 627 premières décimales du nombre π, affichées dans la salle des maths du Palais de la Découverte à Paris

27 Des données construites Chaque jour, le li マ vre et la t ortue font une partie du jeu dホfini par la r マ gle suivante. On lance un dホ. Si le d ホ tombe sur une face rouge, l e liマ vre fait un seul bond et mange la salade. Si le d ホ tombe sur une face noire, l a tortue avance jusquᄡネ lᅰaire de repos et le liマ vre reste ネ dormir. Le dホ est alors l ancホ une nouvelle fois. Sᅰil tombe sur une face rouge, le liマvre fait un bond et mange la salade. Sinon, i l se rendort et la tortue dᅰun bond j usquᅰネ la salade et la mange. Celui qui a mangホ l a salade a gagn ホ. Pour manger la salade, vaut-il mieux ミtre le liマvre ou la tortue? Pourquoi?

28 Des données construites Phase 1 Une première réponse spontanée L idée d expérimentation Quic ktime ᆰ et un d ホ c ompre s s eur Graphis mes s ont requis pour vis ionner c ette image.

29 Des données construites Phase 2 Cumul des résultats de plusieurs binômes Fabrication d histogrammes (feuille à petit carreau, un carreau par occurrence) Constats Cumuls des résultats de la classe fabrication d un histogramme global Constats Idée de l information apportée en augmentant le nombre de parties

30 Des données construites Le dé électronique : - de nombreuses parties accessibles instantanément - des constats identiques

31 Des données construites A la fin de la séquence, des représentations qui ont changé Quic k Time ᆰ et un d ホ c ompre s s eur Graphis mes s ont requis pour vis ionner c ette image. Quic k Time ᅰ et un d ホ compres s eur Graphis mes s ont requis pour vis ionner c ette image.

32 Des données construites

33 Des données en lien avec d autres thématiques «Save water, please!» Je suis prêt à m engager à ne pas laisser couler l eau pendant que je me savonne les mains, à arrêter le robinet pendant que je me brosse les dents et à les rincer en utilisant un verre Quelle quantité d eau vais-je ainsi économiser chaque jour? En un an? Idée d expérimentation Travail sur le mesurage, les unités de volume, les conversions Travail possible sur la lecture d une facture d eau et calcul de l économie financière ainsi réalisée

34 Des données en lien avec d autres thématiques «Save water, please!» Si les habitants de l agglomération grenobloise (48 communes) dont les eaux usées rejoignent la station d épuration Aquapole, en font autant, combien de m 3 aura-t-elle à retraiter en moins chaque année? (la station Aquapole traite en moyenne m3/j avec des pointes à m3/j) Trouver un moyen de situer cette économie sur une échelle pertinente pour comprendre son ordre de grandeur? Travail sur les grands nombres Travail sur l ordre de grandeur, sur les changements d échelle Approche de la notion de pourcentage sur des grands nombres

35 Des données en lien avec d autres thématiques «Save water, please!» Pour le lavage des mains, 1,5 l sans couper l eau et 0,75 l en coupant l eau Pour le brossage des dents, 4 l sans couper l eau et 0,25 l avec un verre Si je me lave les mains trois fois par jour et si je me brosse les dents deux fois par jour, je réalise une économie de 9,75 l d eau par jour et donc de 3559 l par an Pour habitants prenant le même engagement, cela ferait une économie d eau de litres soit environ 1,5 millions de m3 par an. (ou par jour) Un camion-citerne transportant litres, cela nécessiterait un convoi de 195 camions chaque jour!

36 Des données en lien avec d autres thématiques «Toute la lumière sur votre éclairage» (source ADEME) A partir de combien d heures d éclairage, peut-on considérer que la lampe basse consommation est amortie?

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