HYDRODYNAMIQUE. Exercices, feuille 2 Méthodes dimensionnelles

Transcription

1 Paris 7 PH HYDRODYNAMIQUE Exercices, feuille 2 Méthodes dimensionnelles 1 Écoulement de Poiseuille On oublie tout et on recommence... A priori, le débit volumique Q d un long tuyau rectiligne cylindrique pourrait être surtout fonction de son diamètre D, la différence de pression du fluide, p, entre les extrémités du tuyau, la longueur l du tuyau, la viscosité µ du fluide, et peu de la rugosité δ de la paroi intérieure (surtout si elle est faible), la masse volumique ρ du fluide (surtout si chaque particule fluide va à vitesse constante), &c Donnez, au moyen de la méthode dimensionnelle, une forme de l expression du débit volumique Q en fonction de D, p, l et µ. 2. Énumérez quelques formes équivalentes de la même expression. 3. Compte tenu de l expérience acquise en aspirant vos boissons favorites, quel est le comportement de Q lorsque D, p, l, µ, varient tour-à-tour? Parmi l infinité de formes équivalentes, quelles sont celles qui sont susceptibles d être plus pratiques que les autres? 4. Toujours intuitivement, qu arrive-t-il au débit si l on raboute deux tuyaux identiques aux extrémités desquels il y avait la même différence de pression? 5. En déduire finalement l expression du débit, à un facteur sans dimension, et éventuellement constant, près. 6. Les difficultés précédentes pour trouver l expression du débit, et qui ont requis l appel à l intuition (donc un effort intellectuel), étaient dues à la présence de deux paramètres pertinents, D et l, ayant la même dimension : Q peut alors dépendre de n importe quelle fonction de D/ l. Mais on peut reconnaître que dans cette situation physique (écoulement dans un long tuyau cylindrique) il y a deux catégories de longueurs, axiales et radiales, de dimensions [ l] et [D] respectivement, jouant des rôles fort différents. Procédez alors à l analyse dimensionnelle, soigneuse et intelligente, du débit Q et de la rugosité δ en termes de [D], [ p], [ l] et [µ]. 7. En vertu de l invariance par similitude de l équation Q = f(d, p, l, µ, δ), en déduire enfin, et sans aucun appel à l intuition cette fois, la forme de l expression de Q. 2 Pour éviter un calcul laborieux i) Un coup de baguette maléfique annule les interactions répulsives qui empêchent l effondrement de la Terre. Ne reste que l interaction gravitationnelle. Estimer le temps d effondrement gravitationnel de la Terre. ii) La constante de gravitation vaut G N 6, m 3 kg 1 s 2, la masse du Soleil M 2, kg et son rayon R 7, m. Estimer le temps d effondrement gravitationnel du Soleil. iii) Estimer la masse volumique (visible) de l univers et son temps d effondrement gravitationnel. 3 Sur le sable (d après B. Dulieu, mise en examen, juin 1996) Un tas de sable repose sur un plan horizontal. On perce dans ce plan un orifice circulaire de diamètre D plus grand que 4 ou 5 fois le diamètre d d un grain de sable typique. On observe alors que le sable s écoule avec un débit en volume Q régulier dépendant manifestement très peu de la taille ou de la forme du tas. i) Faire une liste des grandeurs dont a priori le débit peut dépendre. ii) Déterminer quelques formes équivalentes de la loi Q = Q 0 f(n 1, n 2,...) où f, n 1, n 2,... sont sans dimension. iii) Sur un sable donné dans lequel d est d environ 300 microns, les mesures pour trois diamètres donnent les résultats suivants : Q 1 = 0,18 cm 3 s 1 pour D 1 = 2mm, Q 2 = 0,59 cm 3 s 1 pour D 2 = 3 mm, Q 3 = 2,0 cm 3 s 1 pour D 3 = 4,5mm. Quelle est selon vous la meilleure expression du débit? Pourquoi? La fonction f est-elle une constante pour ces trois débits?

2

3

4

5

6