Thermodynamique TD8 TSI Exercice 1 : Lois d association des résistances. Deux matériaux thermostatés

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1 Thermodynamique TD8 TSI Exercice 1 : Lois d association des résistances Deux matériaux thermostatés aux températures et sont initialement séparés par un milieu équivalent à du vide. On les relie par des matériaux conducteurs de conductivité, surface et longueur respectives,,,, et. Deux situations sont envisagées : 1 e situation : En régime stationnaire, le flux est stationnaire et uniforme et donc Lorsque les deux résistances sont en parallèle, on a : Mur Balcon et,, Avec un flux total donné par :,, e situation : Soit une résistance équivalent donnée par :,,,, La résistance de l ensemble emble a tendance à être donc fixée par la «plus faible» Lorsque les deux résistances sont en série : 1) Pour les deux situations, on envisage un régime stationnaire. La conduction thermique est unidirectionnelle et unidimensionnelle. Exprimer la résistance thermique équivalente pour les deux situations. 2) On envisage l installation d un balcon sur une maison. Quelle est la meilleure des deux solutions présentées ci-dessous? Donc : La résistance de l ensemble a tendance à être fixée par la plus grande. Donc, en présence d un pont thermique (résistance faible en parallèle), l isolant n a pas grande utilité car la résistance est fixée «par les pertes». Il faut donc préférer la mise en série et donc l utilisation d un jambage.

2 Exercice 2 : Simple et double vitrage On considère une pièce à la température 20. La température extérieure est 5. - Simple vitrage On étudie les transferts thermiques avec l extérieur à travers une vitre en verre de conductivité thermique 1.., de largeur 50cm, de longueur 60cm et d épaisseur 3mm. On suppose qu il y a un flux sortant à travers les parois de la pièce et on se place en régime stationnaire. On néglige le flux conducto-convectif et les effets de bords (flux unidirectionnel et unidimensionnel). 1) Définir et calculer la résistance thermique de la vitre. En déduire le flux thermique sortant à travers le simple vitrage = =1,5 Pour le double vitrage : Les résistances sont en série et : =2 + = ,03 0,01 0,3 10/ La résistance est principalement liée à la lame d air (qui est dans le pratique un gaz d argon à basse pression) = =1,5 On note la très bonne efficacité du double vitrage. A noter que nous sommes maintenant à du triple vitrage! - Double vitrage On remplace le simple vitrage par un double vitrage constitué de deux vitres (identiques à la précédente) renfermant une couche d air de conductivité thermique = 0,01.., d épaisseur 30mm. 2) Calculer le flux thermique sortant à travers le double vitrage. Analyser. Pour le simple vitrage : Comme pour l exercice précédent la résistance thermique est donnée par : = et l on trouve alors : = 0, , =10 / 30 On trouve alors le flux thermique :

3 Exercice 3 : Chauffage d une pièce On souhaite maintenir constante la température d une pièce à 20. La résistance thermique des 4 murs et du sol est 0,1.. La résistance thermique du plafond est =0,001.. La température extérieure est =10. On se place en régime stationnaire. On néglige le flux conducto-convectif. 1) Calculer la puissance thermique à apporter à la pièce pour maintenir constante sa température 2) On améliore l installation thermique en ajoutant une plaque de matériau isolant entre le plafond et les tuiles. Calculer la résistance thermique de ce matériau afin de réaliser une économie de 60% sur la puissance thermique. On peut donc directement utiliser la loi d association parallèle de l ensemble : = + 0,001/ = Donc = =, =10 La résistance du plafond devient alors = +?. Donc : = + Et : = = soit : Exercice 4 : Résistance thermique entre deux cylindres coaxiaux On considère un matériau conducteur compris entre deux cylindres coaxiaux, de rayon et >, de conductivité. Les parois cylindriques de ce matériau sont maintenues constantes à la température pour = et à la température pour =. On se place en régime stationnaire, on néglige les effets de bords et le système présente un profil des températures à symétrie cylindrique. Donner la résistance thermique entre deux cylindres de hauteur en fonction de,, et. Etudier le cas particulier où et sont très proches. Les invariances de la température sont celles du vecteur densité de courant qui est radial : =. En régime stationnaire le flux est conservatif et : = 2= 2 Donc : = et = Donc : = Si les deux rayons sont proches alors : Et : + =1+ = et on retrouve une résistance analogue à celle d une plaque d épaisseur. + = Et : = =,, =0,002/ Donc il faut un isolant supplémentaire dont la résistance est de 0,001K/W

4 Exercice 5 : Importance de la conduction et de la convection dans un refroidissement thermique Une source thermique, qui maintient une température constante et uniforme, occupe l espace 0 ; elle est séparée de l air ambiant à la température (pour > par une plaque d épaisseur constituée d un matériau de conductivité thermique. En, la plaque se refroidi par convection avec l air ambiant (le coefficient de convection est h en.. ). On considère uniquement le régime stationnaire, le problème est à une seul dimension (pas d effet de bords) et les échanges en 0 et sont limités à une surface transversale. 1) Donner l expression du vecteur densité de flux thermique pour la conduction et le transfert conductoconvectif en fonction, entre autre, de, et. 2) En déduire l expression de la résistance thermique de l ensemble. 3) Examiner les deux cas limites et En régime stationnaire, pour ce problème à 1D, le vecteur densité de flux thermique de conduction est := Pour le vecteur densité de flux conductoconvectif, on utilise la loi de Newton =h On trouve alors la résistance thermique de chaque tranche en calculant le flux de chaque vecteur densité de flux : = =h Donc : = + Si : alors la résistance thermique liée à la conduction thermique est faible et la température et c est le transfert conducto-convectif qui limite le plus l évacuation de la chaleur. C est le cas de notre corps dont la température de surface est proche de 37, le placer en courant d air va améliorer le transfert conducto-convectif Si alors c est la conduction thermique limite l évacuation de la chaleur alors le flux conducto-convectif est efficace. C est le cas d un thermos qui se refroidit (en plein vent, le thermos ne se refroidit pas beaucoup plus vite)

5 Exercice 6 : Ailette de refroidissement Pour éviter un échauffement trop important des appareils électriques, dû à l effet Joule, on munit l arrière de leur boitier d ailettes de refroidissement métalliques. Dans note cas, chaque ailette est parallélépipédique, d épaisseur 1, de largeur =10 et de longueur =10. Dans les calculs on admettra que. totale évacuée par une ailette. Combien faudrait-il fixer d ailette sur le boîtier pour évacuer une puissance totale =200? En régime stationnaire, le flux rentrant dans et le flux sortant sont égaux : =2h + D où : Soit : 2h +=0 2h =0 En fonctionnement stationnaire, le boîtier de l appareil maintient une température =60. L air extérieur est à température constante et uniforme =20, sauf au voisinage immédiat de l ailette, entourée d une couche limite d air vérifiant la loi de Newton dont le coefficient de transfert conducto-convectif est h= Dans l ailette, on admet une conduction thermique est monodimensionnel et unidirectionnel suivant, la loi de Fourier s applique et la conductivité est = ) Ecrire le bilan en régime stationnaire des échanges thermiques d une tranche de l ailette de largeur. En déduire que la température est la solution de l équation différentielle : =. 2) Résoudre cette équation et donner l expression simplifiée de compte tenu de l inégalité entre et. 3) Exprimer par deux méthodes et calculer numériquement la puissance thermique =0 = 2h D où = 1 Ainsi : = + + Avec =, on a =0 = + Donc la puissance évacuée, qui s identifie à la puissance (par continuité du flux en =0), est donnée par : = = Ou encore par :

6 2h 2h 2h Donc 20 Il faut donc 10 ailettes de ce type. Exercice 7 : Echangeur thermique On considère un tube métallique cylindrique d axe, de longueur, de rayon intérieur et de rayon extérieur, de conductivité thermique. A l intérieur de ce tube est contenue de l eau en écoulement dont la température est. L air à l extérieur de la structure est maintenue à température constante à. Les échanges thermiques à l interface eau/paroi intérieure (respectivement paroi extérieur/air) sont modélisés par la loi de Newton avec le coefficient d échange h (respectivement h ). On supposera que les échanges thermiques se font uniquement suivant (vecteur unitaire radial). Tous les transferts thermiques sont supposés stationnaires. On donne : 100.,h =50.,h = 25., =30, =40 =20 1) Déterminer la résistance linéique puis la conductance linéique de la canalisation. 2) En appliquant le premier principe des et systèmes en écoulement, déterminer la longueur du tube assurant un refroidissement de l eau à la température atmosphérique à 1% près. Le débit massique est =0,01/ et la capacité thermique massique de l eau est =4000//. On négligera les variations d énergies cinétique et potentielle Dans ce problème, nous avons trois résistances (linéiques) en série : - Résistance eau-paroi liée à un échange conducto-convectif : - Résistance de conduction thermique : / - Résistance paroi-air liée à un échange conducto-convectif : Donc la résistance linéique totale est : Soit = 1 = + / h 2 2 h 0,03.. / Donc le premier principe de la thermodynamique des systèmes en écoulement entre et + : h+ h= h+ h= + = + = Donc : = 1 Donc : =5= 1 =5 + / h 2 2 h = ,01 0,03 6