Comprendre les projectionst M

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1 Comprendre les projectionst M

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3 Table des matières CHAPITRE 1 : SYSTÈMES DE COORDONNÉES GÉOGRAPHIQUES... 1 Systèmes de coordonnées géographiques... 2 Ellipsoïdes et sphères... 4 Datums... 6 Datums nord-américains... 7 CHAPITRE 2 : SYSTÈME DE COORDONNÉES PROJETÉES... 9 Système de coordonnées projetées Qu est-ce qu une projection cartographique? Types de projections Autres projections Paramètres de projection CHAPITRE 3 : TRANSFORMATIONS GÉOGRAPHIQUES Méthodes de transformation géographique Transformations géodésiques basées sur les équations Transformation géodésique basée sur une Grille CHAPITRE 4 : PROJECTIONS CARTOGRAPHIQUES PRISES EN CHARGE Projections cartographiques prises en charge Projection d Aitoff Grille de l Alaska Alaska Série E Projection équivalente conique d Albers Projection équidistante azimutale Projection cylindrique équivalente de Behrmann Projection conique conforme oblique bipolaire Projection de Bonne Projection de Cassini-Soldner Projection trimétrique de Chamberlin Projection parabolique de Craster Cube Projection cylindrique équivalente... 46

4 V 52 Projection stéréographique double Projection Eckert I Projection Eckert II Projection Eckert III Projection Eckert IV Projection Eckert Projection Eckert VI Projection conique équidistante Projection cylindrique équidistante Projection équirectangulaire Fuller Projection stéréographique de Gall Projection de Gauss-Krüger Système de coordonnées géocentrique Système de coordonnées géographiques Projection gnomonique Grille nationale de la Grande-Bretagne Projection d Hammer-Aitoff Projection Mercator oblique d Hotine Projection de Krovak Projection azimutale équivalente de Lambert Projection Conique Conforme de Lambert Projection cartésienne locale Projection loximutale Proj. plane polaire quartique de McBryde-Thomas Projection de Mercator Projection cylindrique de Miller Projection de Mollweide Grille nationale de la Nouvelle-Zélande Projection orthographique Projection perspective Projection plate carrée Projection polaire stéréographique Projection polyconique Projection authalique quartique iv Comprendre les projections

5 Projection orthomorphique oblique rectifiée Projection de Robinson Projection conique simple Projection sinusoïdale Projection spatiale Oblique de Mercator Système de coordonnées State Plane Projection stéréographique Projection Times Mercator transverse Projection équidistante à deux points Projection stéréographique polaire universelle Projection Transverse de Mercator universelle Projection de Van Der Grinten I Projection perspective verticale proche Projection de Winkel I Projection de Winkel II Projection de Winkel Tripel RÉFÉRENCES CHOISIES GLOSSAIRE Table des matières v

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7 11 Systèmes Systèmes de coordonnées géogr graphiques Dans ce chapitre, vous vous familiariserez avec les concepts de longitude et de latitude. Vous étudierez en outre les parties constituantes du système de coordonnées géographiques, notamment les : Sphères et ellipsoïdes Datums Méridiens principaux

8 SYSTÈMES DE COORDONNÉES GÉOGRAPHIQUES Un système de coordonnées géographiques (SCG) utilise une surface sphérique en trois dimensions pour définir des emplacements sur la terre. Un SCG est souvent confondu avec un datum, lequel n est en fait qu une partie d un SCG. Un SCG comprend une unité angulaire de mesure, un méridien principal et un datum (basé sur un ellipsoïde). Un point est référencé d après ses valeurs de longitude et de latitude. La longitude et la latitude représentent des angles mesurés à partir du centre de la terre vers un point de la surface terrestre. Les angles sont souvent mesurés en degrés (ou en grades). ou des parallèles. Les " lignes verticales " ou lignes Nord-Sud sont des lignes de longitude égale ou des méridiens. Ces lignes ceinturent le globe et constituent un réseau quadrillé appelé un graticule. La ligne de latitude qui sépare les pôles est appelée l équateur. Il définit la ligne de latitude zéro. La ligne de longitude zéro est appelée méridien principal. Dans la plupart des systèmes de coordonnées géographiques, le méridien principal correspond à la longitude qui traverse Greenwich, en Angleterre. Dans d autres pays, les méridiens principaux sont les lignes de longitude qui traversent Berne, Bogota et Paris. L origine du graticule (0,0) est définie d après le point d intersection de l équateur et du méridien principal. Le globe est alors divisé en quatre quadrants géographiques calculés d après les relèvements au compas effectués à partir de l origine. Le Nord et le Sud se trouvent au-dessus et au-dessous de l équateur, l Est et l Ouest se situant à gauche et à droite du méridien principal. Le monde sous forme de globe affichant les valeurs de longitude et de latitude. Dans le système sphérique, les " lignes horizontales " ou lignes Est-Ouest, sont des lignes de latitude égale Traditionnellement, les valeurs de latitude et de longitude sont mesurées en degrés décimaux ou en degrés, minutes et secondes (DMS). Les valeurs de latitude sont mesurées par rapport à l équateur et sont comprises entre -90 au pôle Sud et +90 au pôle Nord. Les valeurs de longitude sont mesurées par rapport au méridien principal. Elles vont de -180 lorsqu on va vers l ouest jusqu à 180 lorsqu on va vers l est. Si le méridien principal est à Greenwich, l Australie, située au sud de l équateur et à l est de Greenwich, a des valeurs de longitude positives et des valeurs de latitude négatives. Parallèles et méridiens constituant un graticule. 2 Comprendre les projections

9 Si la longitude et la latitude permettent de localiser des positions exactes à la surface du globe, elles ne représentent pas des unités de mesure uniformes. C est uniquement le long de l équateur que la distance représentée par un degré de longitude avoisine la distance représentée par un degré de latitude. En effet, l équateur est le seul parallèle dont la largeur est égale à celle d un méridien. (Les cercles dont le rayon est égal à celui de la terre sphérique sont appelés grands cercles. L équateur et tous les méridiens sont des grands cercles.) Au-dessus et au-dessous de l équateur, les cercles définissant les parallèles de latitude rétrécissent progressivement jusqu à devenir un seul point aux pôles Nord et Sud, à l endroit où les méridiens convergent. Au fur et à mesure que les méridiens convergent en direction des pôles, la distance représentée par un degré de longitude est réduite à zéro. Sur l ellipsoïde Clarke 1866, un degré de longitude au niveau de l équateur est égal à 111,321 km, alors qu à 60 de latitude, il ne représente que 55,802 km. Etant donné que la longueur des degrés de latitude et de longitude n est pas standard, il est impossible de mesurer les distances ou les superficies de façon précise ni d afficher les données facilement sur une carte plate ou un écran d ordinateur. Systèmes de coordonnées géographiques 3

10 ELLIPSOÏDES ET SPHÈRES La forme et la taille de la surface d un système de coordonnées géographiques sont définies par une sphère ou par un ellipsoïde. Bien qu un ellipsoïde soit une bonne représentation de la terre, celle-ci est parfois reproduite sous forme de sphère afin de faciliter les calculs mathématiques. L hypothèse d une terre en forme de sphère est concevable pour les cartes à petite échelle (inférieure à 1: ). A cette échelle, la différence entre une sphère et un ellipsoïde n est pas détectable sur une carte. Cependant, par souci de précision sur les cartes à grande échelle (échelles de 1: ou supérieures), un ellipsoïde est indispensable pour représenter la forme de la terre. Entre ces échelles, le choix d une sphère ou d un ellipsoïde dépend de l usage qui sera fait de la carte et de la précision des données. Une sphère est basée sur un cercle, un ellipsoïde sur une ellipse. La forme d une ellipse est définie par deux rayons. Le rayon le plus long est appelé demi-grand axe et le plus court, demi-petit axe. Demi-grand axe et demi-petit axe d un ellipsoïde. Un ellipsoïde est défini par le demi-grand axe a et par le demi-petit axe b ou par a et l aplatissement. L aplatissement correspond à la différence de longueur entre les deux axes, exprimée par une fraction ou une décimale. L aplatissement f est : f = (a - b) / a L aplatissement étant une petite valeur, la quantité 1/f lui est en général préférée. Les paramètres de l ellipsoïde pour le Système géodésique mondial de 1984 (WGS 1984 ou WGS84) sont : a = ,0 mètres 1/f = 298, L aplatissement est une valeur comprise entre zéro et un. Une valeur d aplatissement de zéro signifie que les deux axes sont égaux et forment ainsi une sphère. L aplatissement de la terre avoisine 0, Une autre quantité, qui, de la même façon que l aplatissement, décrit la forme d un ellipsoïde, est le carré d excentricité, e 2. Il est représenté par : 2 e = 2 2 a b 2 a Grand et petit axes d une ellipse La rotation de l ellipse autour du demi-petit axe crée un ellipsoïde. Un ellipsoïde est également appelé ellipsoïde de révolution aplati. DÉFINITION DE DIFFÉRENTS ELLIPSOÏDES POUR UNE CARTOGRAPHIE PRÉCISE Pour mieux comprendre les caractéristiques de sa surface et ses irrégularités distinctives, la terre a fait l objet de multiples études. Ces études ont abouti à plusieurs ellipsoïdes qui représentent la terre. 4 Comprendre les projections

11 Généralement, un ellipsoïde est sélectionné pour s adapter à un pays ou à une zone particulière. L ellipsoïde le mieux adapté à une région n est pas forcément similaire à l ellipsoïde adapté à une autre région. Jusqu à présent, les données nord-américaines utilisaient un ellipsoïde déterminé par Clarke en Le demi-grand axe de l ellipsoïde Clarke 1866 atteint ,4 mètres et le demi-petit axe ,8 mètres. En raison des variations des caractéristiques gravitationnelles et superficielles, la terre n est ni une sphère parfaite ni un ellipsoïde parfait. La technologie des satellites a révélé plusieurs écarts elliptiques ; par exemple, le pôle Sud est plus proche de l équateur que le pôle Nord. Les ellipsoïdes déterminés par satellite remplacent de plus en plus les anciens ellipsoïdes mesurés au sol. Par exemple, le nouvel ellipsoïde standard en Amérique du Nord est le Système de référence géodésique de 1980 (GRS 1980), dont les rayons atteignent ,0 et ,31414 mètres. La modification de l ellipsoïde d un système de coordonnées entraînant la modification des valeurs mesurées précédemment, bon nombre d organisations n ont pas opté pour les ellipsoïdes plus récents (et plus précis). Systèmes de coordonnées géographiques 5

12 DATUMS Si un ellipsoïde représente approximativement la forme de la terre, un datum définit la position de l ellipsoïde par rapport au centre de celle-ci. Un datum fournit un cadre de référence permettant de mesurer des emplacements sur la surface de la terre. Il définit l origine et l orientation des lignes de latitude et de longitude. Dès que vous modifiez le datum ou plutôt, le système de coordonnées géographiques, les valeurs des coordonnées de vos données évoluent. Voici les coordonnées en DMS d un point de contrôle à Redlands, Californie, dans le datum nord-américain de 1983 (NAD 1983 ou NAD83) Voici le même point dans le datum nord-américain de 1927 (NAD 1927 ou NAD27) La valeur de longitude diffère d environ trois secondes, alors que la valeur de latitude diffère d environ 0,05 seconde. Un datum local aligne son ellipsoïde de façon à l adapter précisément à la surface de la terre dans une zone particulière. Un point sur la surface de l ellipsoïde est mis en correspondance avec une position particulière sur la surface de la terre. Ce point est également désigné sous le nom de point d origine du datum. Les coordonnées du point d origine sont fixes et tous les autres points sont calculés d après ce point d origine. L origine du système de coordonnées d un datum local ne se trouve pas au centre de la terre. Le centre de l ellipsoïde d un datum local est décalé par rapport au centre de la terre. Le NAD 1927 et les datums européens de 1950 (ED 1950) sont des datums locaux. Le NAD 1927 est conçu de façon à s adapter autant que possible à l Amérique du Nord, alors que l ED 1950 a été créé exclusivement pour l Europe. Puisqu un datum local aligne son ellipsoïde très précisément sur une zone particulière de la surface de la terre, il n est pas adapté à une utilisation en dehors de la zone pour laquelle il a été conçu. Au cours des 15 dernières années, les données de satellite ont fourni aux géodésiens de nouvelles mesures pour définir l ellipsoïde le mieux adapté à la terre, qui associe les coordonnées au centre de masse de la terre. Un datum centré sur la terre ou géocentrique utilise comme origine le centre de masse de la terre. Le datum le plus récemment développé et le plus couramment utilisé est le WGS Il sert de cadre aux mesures des emplacements au niveau international. 6 Comprendre les projections

13 DATUMS NORD-AMÉRICAINS NAD 1927 et NAD 1983 sont les deux datums horizontaux utilisés presque exclusivement en Amérique du Nord. NAD 1927 Le NAD 1927 utilise l ellipsoïde Clarke 1866 pour représenter la forme de la terre. L origine de ce datum est un point sur la terre correspondant à Meades Ranch au Kansas. Plusieurs points de contrôle du NAD 1927 sont calculés d après les observations des années Ces calculs furent réalisés manuellement par sections et prirent plusieurs années. Les erreurs variaient donc de station en station. NAD 1983 Plusieurs avances technologiques en matière d étude et de géodésie (les théodolites électroniques, le système de positionnement global ou GPS, l interférométrie à très longue ligne de base et les systèmes Doppler) ont révélé les faiblesses du réseau de points de contrôles existant. Les différences sont particulièrement visibles lors de la comparaison entre le contrôle existant et les études récemment établies. L établissement d un nouveau datum a permis à un seul datum de couvrir, de façon cohérente, l Amérique du Nord et les zones avoisinantes. HARN OU HPGN Au niveau des états, un effort constant est réalisé visant à améliorer le niveau de précision du datum NAD 1983 à l aide de techniques d étude sophistiquées, qui n étaient pas couramment disponibles au moment du développement du datum NAD Cet effort, concrétisé par le High Accuracy Reference Network (HARN) ou le High Precision Geodetic Network (HPGN) est un projet de collaboration mené par le National Geodetic Survey et chacun des états. Actuellement, tous les états ont fait l objet d une nouvelle étude. Cependant, toutes les études n ont pas encore été rendues publiques. En septembre 2000, les quadrillages de 44 états et de deux territoires étaient publiés. AUTRES DATUMS DES ETATS-UNIS Outre le NAD 1927, l Alaska, Hawaii, Porto Rico et les Iles Vierges ainsi que certaines îles d Alaska utilisaient d autres datums. Voir le chapitre 3 intitulé " Transformations géographiques ", pour plus d informations. Les nouvelles données sont référencées dans le NAD Le NAD de 1983 repose sur des observations terrestres et par satellite, à l aide de l ellipsoïde GRS L origine de ce datum correspond au centre de masse de la terre. Cela a une incidence sur la localisation superficielle de toutes les valeurs de longitude et de latitude ; une incidence importante puisqu elle entraîne le déplacement des points de contrôle précédents en Amérique du Nord, de 500 pieds parfois. Pendant 10 ans, l effort conjoint de plusieurs nations a permis la création d un réseau de points de contrôle pour les Etats-Unis, le Canada, le Mexique, l Amérique centrale et les Caraïbes. L ellipsoïde du GRS 1980 est pratiquement identique à l ellipsoïde du WGS Les systèmes de coordonnées WGS 1984 et NAD 1983 sont tous les deux centrés sur la terre. Les deux systèmes étant si proches, le NAD 1983 est compatible avec les données GPS. Les données GPS brutes sont à l heure actuelle reportées dans le système de coordonnées WGS Systèmes de coordonnées géographiques 7

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15 2 Systèmes Systèmes de coordonnées projetées Les systèmes de coordonnées projetées sont des systèmes de coordonnées conçus pour des surfaces planes comme une carte imprimée ou un écran d ordinateur. Les rubriques de ce chapitre incluent : Caractéristiques et types de la projection cartographique Différents types de paramètres Personnalisation de la projection cartographique grâce à ses paramètres Systèmes de coordonnées projetées communs

16 SYSTÈME DE COORDONNÉES PROJETÉES Un système de coordonnées projetées se définit sur une surface plane, à deux dimensions. Contrairement à un système de coordonnées géographiques, un système de coordonnées projetées possède des longueurs, des angles et des surfaces constantes dans les deux dimensions. Un système de coordonnées projetées est toujours basé sur un système de coordonnées géographiques lui-même basé sur une sphère ou un ellipsoïde. Dans un système de coordonnées projetées, des emplacements sont identifiés par des coordonnées x, y sur une grille, dont l origine est située au centre de cette grille. Chaque position possède deux valeurs qui la situent par rapport à cet emplacement central. L une précise sa position horizontale et l autre, sa position verticale. Ces deux valeurs sont appelées la coordonnée-x et la coordonnée y. Avec cette notation, les coordonnées à l origine sont x = 0 et y = 0. Sur une grille composée de lignes horizontales et verticales également espacées, la ligne horizontale au centre est appelée l axe des x et la ligne verticale au centre est appelée l axe des y. Les unités sont constantes et également espacées sur toute la plage des x et des y. Les lignes horizontales au-dessus de l origine et les lignes verticales à droite de l origine ont des valeurs positives; les lignes situées au-dessous ou à la gauche de l origine ont des valeurs négatives. Les quatre quadrants représentent les quatre combinaisons possibles de coordonnées des x et des y positives et négatives. Les signes des coordonnées x, y dans un système de coordonnées projetées. 10 Comprendre les projections

17 QU EST-CE QU UNE PROJECTION CARTOGRAPHIQUE? Que la terre soit considérée comme une sphère ou un ellipsoïde, vous devez transformer sa surface en trois dimensions pour créer une feuille de carte plane. Cette transformation mathématique est généralement appelée projection cartographique. Une méthode facile pour comprendre comment les projections cartographiques modifient les propriétés spatiales consiste à imaginer une lumière projetée à travers la terre sur une surface, appelée la surface de projection. Imaginez que la surface de la terre est transparente mais qu un graticule a été dessiné dessus. Entourez la terre d une feuille de papier. Une lumière projetée au centre de la terre reporte les ombres du graticule sur la feuille de papier. A présent, vous pouvez récupérer le papier et le poser à plat. La forme du graticule à plat sur le papier est très différente de celle dessinée sur la terre. La projection cartographique a déformé le graticule. Un ellipsoïde ne peut être aplati sur un plan, de la même façon qu une peau d orange ne peut être aplatie : elle se déchire. La représentation de la surface de la terre en deux dimensions provoque une distorsion de la forme, de la surface, de la distance et de la direction des données. Une projection cartographique utilise des formules mathématiques pour relier les coordonnées sphériques du globe à des coordonnées planaires plates. Différentes projections provoquent différents types de distorsions. Certaines projections sont conçues pour minimiser la distorsion d une ou deux caractéristiques des données. Une projection peut ainsi conserver la surface d une entité mais en modifier sa forme. Dans le graphique ci-dessous, les données près des pôles sont étirées. Le diagramme de la page suivante montre comment des entités en trois dimensions sont comprimées pour correspondre à une surface plane. Le graticule d un système de coordonnées géographiques est projeté sur une surface de projection cylindrique. Système de coordonnées projetées 11

18 Les projections cartographiques sont conçues pour des usages spécifiques. Une projection cartographique peut être utilisée pour des données à grande échelle sur une surface limitée, alors qu une autre peut être utilisée pour réaliser une carte du monde à petite échelle. Les projections cartographiques conçues pour les données à petite échelle sont généralement basées sur des systèmes de coordonnées géographiques sphériques plutôt que sphéroïdaux. Projections conformes Les projections conformes conservent la forme locale. Pour conserver des angles spécifiques décrivant les rapports spatiaux, une projection conforme doit faire apparaître les lignes perpendiculaires du graticule se coupant à un angle de 90 degrés sur la carte. Une projection cartographique y parvient en conservant tous les angles. L inconvénient est que la surface entourée par une série d arcs est donc encline à des distorsions importantes. Aucune projection cartographique ne peut conserver les formes de régions plus grandes. Projections équivalentes Les projections équivalentes conservent la surface des entités affichées. Pour cela, les autres propriétés - forme, angle et échelle - sont déformées. Dans les projections équivalentes, les méridiens et les parallèles peuvent ne pas se couper à angles droits. Dans certains cas, surtout pour les cartes de petites régions, les formes ne sont pas déformées de façon évidente et la distinction entre une projection équivalente et une projection conforme est difficile, à moins de se documenter ou de mesurer. Projections équidistantes Les cartes équidistantes conservent la distance entre certains points. Aucune projection ne conserve l échelle correctement sur la totalité d une carte; cependant, dans la plupart des cas, l échelle est conservée correctement sur une ou plusieurs lignes d une carte. La plupart des projections équidistantes ont une ou plusieurs lignes dont la longueur sur la carte est la même (à l échelle de la carte) que la longueur de la ligne sur le globe, qu il s agisse d un petit cercle ou d un grand, d une ligne droite ou courbe. Ces distances sont dites vraies. Par exemple, dans la projection sinusoïdale, la longueur de l équateur et de tous les parallèles est vraie. Dans d autres projections équidistantes, l équateur et tous les méridiens sont vraies. Toutefois, d autres (par exemple, la projection équidistante à deux points) montrent une échelle vraie entre un ou deux points et un autre point de la carte. Rappelez-vous qu aucune projection n est équidistante d un point à l autre pour tous les points de la carte. Projections à vraies directions La distance la plus courte entre deux points d une surface courbe comme la terre se trouve le long de l équivalent sphérique d une ligne droite sur une surface plane. C est-àdire le grand cercle sur lequel les deux points se trouvent. Les projections à vraies directions, ou azimutales, conservent certains grands arcs, donnant les directions ou les azimuts de tous les points de la carte correctement par rapport au centre. Certaines projections à vraies directions sont également conformes, équivalentes ou équidistantes. 12 Comprendre les projections

19 TYPES DE PROJECTIONS Les cartes étant planes, certaines des projections les plus simples sont réalisées sur des formes géométriques qui peuvent être aplaties sans étirer leur surface. Elles sont appelées surfaces développables. Les exemples les plus courants sont les cônes, les cylindres et les plans. Une projection cartographique projette systématiquement des emplacements depuis la surface d un ellipsoïde en positions représentatives sur une surface plane grâce à l utilisation d algorithmes mathématiques. La première étape pour la projection d une surface sur une autre consiste à créer un ou plusieurs points de contact. Chaque contact est appelé un point (ou une ligne) de tangence. Comme la section intitulée " Projections planaires " le montre ci-après, une projection planaire est tangentielle au globe en un point. Les cônes et les cylindres tangentiels touchent le globe le long d une ligne. Si une surface de projection coupe le globe au lieu de simplement toucher sa surface, la projection résultante est un cas sécant plutôt qu un cas tangent. Que le point soit tangent ou sécant, les points ou lignes de contact sont significatifs car ils définissent les emplacements de non distorsion. Les lignes d échelle vraie sont souvent appelées lignes standard. En général, la distorsion augmente avec la distance depuis le point de contact. De nombreuses projections cartographiques courantes sont classifiées selon la surface de projection utilisée : conique, cylindrique ou planaire. Système de coordonnées projetées 13

20 Projections coniques La projection conique la plus simple est tangente au globe le long d une ligne de latitude. Cette ligne est appelée le parallèle standard. Les méridiens sont projetés sur la surface conique et se rejoignent au sommet, ou point, du cône. Les lignes parallèles de latitude sont projetées sur le cône en anneaux. Le cône est ensuite découpé le long d un méridien pour obtenir la projection conique finale, qui a des lignes droites convergentes pour les méridiens et des arcs concentriques pour les parallèles. Le méridien se trouvant à l opposé de la ligne de découpe devient le méridien central. sont appelées projections sécantes et sont définies par deux parallèles standard. Il est également possible de définir une projection sécante par un parallèle standard et un facteur d échelle. Le motif de distorsion pour les projections sécantes n est pas le même entre les parallèles standard et au-delà. Généralement, une projection sécante a une plus faible distorsion totale qu une projection tangente. Sur des projections coniques encore plus complexes, l axe du cône ne s aligne pas avec l axe polaire du globe. Ce type de projections est appelé oblique. La représentation d entités géographiques dépend de l espacement entre les parallèles. Lorsqu ils sont également En général, plus vous vous éloignez du parallèle standard, plus la distorsion augmente. Ainsi, en découpant le sommet du cône, on obtient une projection plus précise. Vous pouvez y parvenir en éliminant la région polaire des données projetées. Les projections coniques sont utilisées pour les zones de latitude moyenne qui ont une orientation Est - Ouest. espacés, la projection est équidistante Nord - Sud mais elle n est ni conforme ni équivalente. Un exemple de ce type de projection est la projection conique et équidistante. Pour les petites surfaces, la distorsion totale est minime. Sur la projection conique conforme de Lambert, les parallèles centraux sont espacés plus étroitement que les Des projections coniques un peu plus complexes touchent la surface du globe en deux emplacements. Ces projections parallèles se trouvant près de la bordure et les petites formes géographiques sont conservées pour les cartes à 14 Comprendre les projections

21 petite échelle comme pour les cartes à grande échelle. Sur la projection conique équivalente d Albers, les parallèles situés près des segments Nord et Sud sont moins espacés que les parallèles centraux et la projection affiche les surfaces équivalentes. Système de coordonnées projetées 15

22 Projections cylindriques Tout comme les projections coniques, les projections cylindriques peuvent également avoir des cas tangents ou sécants. La projection de Mercator est l une des projections cylindriques les plus courantes et l équateur constitue généralement sa ligne de tangence. Les méridiens sont projetés de façon géométrique sur la surface cylindrique et les parallèles sont projetés de façon mathématique. Cela produit des angles de carroyage de 90 degrés. Le cylindre est découpé le long d un méridien pour obtenir la projection cylindrique. Les méridiens sont également espacés, alors que l espacement entre les lignes parallèles de latitude augmente vers les pôles. Cette projection est conforme et affiche la vraie direction le long des lignes droites. Sur une projection de Mercator, loxodromies, les lignes de relèvement constant sont des lignes droites, contrairement aux grands cercles. Dans toutes les projections cylindriques, la ligne de tangence ou les lignes de sécance ne sont pas déformées et sont donc des lignes d équidistance. D autres propriétés géographiques varient selon la projection spécifique. Pour les projections cylindriques plus complexes, le cylindre est tourné, changeant ainsi les lignes tangentes ou sécantes. Des projections transverses cylindriques telles que la transverse de Mercator utilise un méridien comme contact tangentiel ou des lignes parallèles aux méridiens comme lignes de sécance. Les lignes standard vont ensuite du Nord au Sud, le long desquelles l échelle est vraie. On pivote les cylindres obliques autour d une ligne de grand cercle située n importe où entre l équateur et les méridiens. Dans ces projections plus complexes, la plupart des méridiens et des lignes de latitude ne sont plus droites. 16 Comprendre les projections

23 Projections planaires Les projections planaires projettent les données cartographiques sur une surface plane touchant le globe. Une projection planaire est également appelée projection azimutale ou projection zénithale. Ce type de projection est généralement tangent au globe en un point mais peut être également sécant. Le point de contact peut être le pôle Nord, le pôle Sud, un point sur l équateur ou tout autre point intermédiaire. Ce point définit l aspect et le point central de la projection. Le point central est défini par une longitude centrale et une latitude centrale. Un aspect peut être polaire, équatorial ou oblique. peut être le centre de la terre, un point de surface directement opposé au point central ou un point externe au globe, comme si le point se trouvait sur un satellite ou une autre planète. Les aspects polaires constituent la forme la plus simple. Les parallèles de latitude sont des cercles concentriques centrés sur le pôle et les méridiens sont des lignes droites qui s entrecroisent au pôle avec des angles d orientation vrais. Avec d autres aspects, les projections planaires ont un angle de carroyage de 90 degrés au point central. Les directions depuis le point central sont précises. Les grands cercles passant par le point central sont représentés par des lignes droites ; ainsi, la plus courte distance entre le centre et tout autre point de la carte est une ligne droite. Les motifs de la surface et de la forme sont circulaires autour du point central. Par conséquent, les projections azimutales prennent mieux en compte les régions circulaires que les régions rectangulaires. Les projections planaires sont utilisées le plus souvent pour cartographier les régions polaires. Certaines projections planaires envisagent les données de surface depuis un point spécifique dans l espace. Le point de vue détermine la méthode de projection des données sphériques sur la surface plane. Les perspectives à travers lesquelles tous les emplacements sont vus varient selon les différentes projections azimutales. Le point de perspective Système de coordonnées projetées 17

24 Les projections azimutales sont classées en partie par leur point central et, lorsque cela est nécessaire, par le point de perspective. Le graphique ci-dessous compare trois projections planaires ayant toutes un aspect polaire mais différentes perspectives. La projection gnomonique envisage les données de surface depuis le centre de la terre, alors que la projection stéréographique les envisage d un pôle à l autre. La projection orthographique envisage la terre depuis un point infini, comme s il se trouvait dans l espace lointain. Remarquez comment les différences de perspective déterminent l importance de la distorsion vers l équateur. 18 Comprendre les projections

25 AUTRES PROJECTIONS Les projections précédemment présentées sont créées de façon conceptuelle en projetant une forme géométrique (une sphère) sur une autre (un cône, un cylindre ou un plan). Cependant, de nombreuses projections ne sont pas aussi facilement reliées à un cône, un cylindre ou un plan. Des projections modifiées sont des versions différentes d autres projections (par exemple, la projection Spatiale Oblique de Mercator est une version modifiée de la projection de Mercator). Ces modifications sont réalisées pour réduire la distorsion, souvent grâce à l ajout de lignes standard supplémentaires ou à la modification du motif de distorsion. Les pseudo projections ont certaines des caractéristiques d une autre classe de projections. Par exemple, la projection sinusoïdale est également appelée projection pseudo cylindrique car toutes les lignes de latitude sont droites et parallèles et tous les méridiens sont également espacés. Toutefois, ce n est pas une véritable projection cylindrique car tous les méridiens, à l exception du méridien central, sont courbes. Par conséquent, la carte de la terre a une forme ovale au lieu d une forme rectangulaire. D autres projections sont affectées à des groupes particuliers comme les projections circulaires ou étoilées. Système de coordonnées projetées 19

26 PARAMÈTRES DE PROJECTION Une projection cartographique seule n est pas suffisante pour définir un système de coordonnées projetées. Vous pouvez indiquer qu un jeu de données est en projection transverse de Mercator, mais cette information ne suffit pas. Où se trouve le centre de la projection? Un facteur d échelle a-t-il été utilisé? Sans les valeurs exactes des paramètres de la projection, le jeu de données ne peut pas être reprojeté. Vous pouvez également vous faire une idée de l importance de la distorsion que la projection a ajoutée aux données. Si vous vous intéressez à l Australie tout en sachant qu une projection du jeu de données est centrée à 0,0, intersection de l équateur et du méridien de Greenwich, vous voudrez peut-être changer le centre de la projection. Chaque projection cartographique possède un ensemble de paramètres que vous devez définir. Les paramètres précisent l origine et réalisent une projection sur mesure de votre zone considérée. Les paramètres angulaires utilisent des unités de système de coordonnées géographiques, alors que les paramètres linéaires utilisent des unités de système de coordonnées projetées. Paramètres linéaires Fausse longitude : une valeur linéaire appliquée à l origine des coordonnées x. Fausse latitude : une valeur linéaire appliquée à l origine des coordonnées y. Des valeurs de fausse longitude et de fausse latitude sont généralement appliquées pour faire en sorte que toutes les valeurs de x ou de y sont positives. Vous pouvez également utiliser les paramètres de fausse longitude et de fausse latitude pour réduire la plage des valeurs des coordonnées de x ou de y. Par exemple, si vous savez que toutes les valeurs y sont supérieures à cinq millions de mètres, vous pouvez appliquer une fausse latitude de Hauteur : elle définit le point de perspective au-dessus de la surface de la sphère ou de l ellipsoïde pour la projection perspective verticale proche. Paramètres angulaires Azimut : il définit la ligne centrale d une projection. L angle de rotation mesure de l Est par rapport au Nord. Utilisation avec les cas relatifs aux azimuts de la projection de Mercator oblique d Hotine. Méridien central : il définit l origine des coordonnées x. Longitude de l origine : elle définit l origine des coordonnées x. Les paramètres du méridien central et de la longitude de l origine sont synonymes. Parallèle central : il définit l origine des coordonnées y. Latitude de l origine : elle définit l origine des coordonnées y. Ce paramètre peut ne pas être situé au centre de la projection. En effet, les projections coniques utilisent ce paramètre pour définir l origine des coordonnées y sous la zone considérée. Dans ce cas, vous n avez pas besoin de définir un paramètre de fausse latitude pour faire en sorte que toutes les coordonnées de y soient positives. Longitude du centre : utilisée avec les cas relatifs au centre de la projection de Mercator oblique d Hotine (tant deux-points qu azimutale) pour définir l origine des coordonnées x. Généralement synonyme des paramètres de la longitude de l origine et du méridien central. Latitude du centre : utilisée avec les cas relatifs au centre de la projection de Mercator oblique d Hotine (tant deux-points qu azimutale) pour définir l origine des coordonnées y. Il s agit presque toujours du centre de la projection. Parallèle standard 1 et parallèle standard 2 : ils sont utilisés avec les projections coniques pour définir les lignes de latitude là où l échelle est à 1,0. Lorsque l on définit une projection conique conforme de Lambert avec un parallèle standard, le premier parallèle standard définit l origine des coordonnées y. Pour les autres cas coniques, l origine des coordonnées y est définie par le paramètre de latitude de l origine. Longitude du premier point Latitude du premier point Longitude du second point Latitude du second point Les quatre paramètres ci-dessus sont utilisés avec les projections-de Mercator obliques d Hotine à deux points et équidistantes. Ils précisent deux points géographiques qui définissent l axe central d une projection. 20 Comprendre les projections

27 Pseudo parallèle de référence 1 : il est utilisé dans la projection de Krovak pour définir le parallèle de référence du cône oblique. Rotation de plan XY : elle est utilisée en même temps que les paramètres d échelle X et Y pour définir l orientation de la projection de Krovak. Paramètres sans unité Facteur d échelle : une valeur sans unité appliquée au point central ou à la ligne d une projection cartographique. Le facteur d échelle est généralement un peu moins de un. Le système de coordonnées UTM, qui utilise la projection transverse de Mercator, possède un facteur d échelle de 0,9996. Plutôt que 1,0, l échelle le long du méridien central de la projection est de 0,9996. Cela entraîne la création de lignes presque parallèles espacées d environ 180 kilomètres, là où l échelle est de 1,0. Le facteur d échelle réduit la distorsion totale de la projection dans la zone considérée. Echelle X : elle est utilisée dans la projection de Krovak pour orienter les axes. Echelle Y : elle est utilisée dans la projection de Krovak pour orienter les axes. Option : elle est utilisée dans les projections de type cube et de Fuller. Dans une projection de type cube, l option définit l emplacement des faces polaires. Une option dont la valeur est égale à 0 dans la projection de Fuller affiche l ensemble des 20 faces. En indiquant une option dont la valeur est comprise entre 1 et 20, vous affichez une seule face. Système de coordonnées projetées 21

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29 3 Transf ansforma ormations géogr graphiques Ce chapitre aborde les différentes méthodes de transformation de datums, notamment : Translation géocentrique Cadre des coordonnées et Vecteur de position Molodensky et Molodensky abrégée NADCON et HARN National Transformation version 2 (NTv2)

30 MÉTHODES DE TRANSFORMATION GÉOGRAPHIQUE Le déplacement de vos données entre plusieurs systèmes de coordonnées implique parfois une transformation entre les systèmes de coordonnées géographiques. Ceci comprend la méthode de translation géocentrique, la méthode Molodensky et la méthode Cadre des coordonnées. D autres méthodes, par exemple : les méthodes NADCON et NTv2 utilisent une grille de différences et permettent de convertir les valeurs longitude/latitude directement. Comme les systèmes de coordonnées géographiques contiennent des datums basés sur des ellipsoïdes, une transformation géographique entraîne également la modification de l ellipsoïde sous-jacent. Une transformation entre datums peut s effectuer selon plusieurs méthodes avec différents niveaux de précision et diverses plages La précision d une transformation donnée peut varier de quelques centimètres à plusieurs mètres en fonction de la méthode ainsi que de la qualité et du nombre de points de contrôle disponibles pour la définition des paramètres de transformation. Une transformation géographique est toujours définie par une direction. Les paramètres de transformation décrivent comment convertir en allant du système de coordonnées géographiques en entrée au système de coordonnées géographiques en sortie. Toutes les méthodes prises en charge sont réservibles. En fonction de la transformation géographique, vous pouvez l appliquer dans la direction opposée. Généralement, les applications procèdent à une application automatique de la transformation dans la direction appropriée. Par exemple, si vous souhaitez convertir des données de WGS 1984 vers Adindan et qu une liste des transformations géographiques disponibles indique Adindan_To_WGS_1984, vous pouvez choisir cette transformation et l application sera correctement effectuée. Une transformation géographique permet toujours de convertir des coordonnées géographiques (longitudelatitude). Certaines méthodes permettent de convertir les coordonnées géographiques en coordonnées géocentriques (X, Y, Z), de transformer les coordonnées X, Y, Z et de reconvertir les nouvelles valeurs obtenues en coordonnées géographiques. Le système de coordonnées X, Y, Z. 24 Comprendre les projections

31 TRANSFORMATIONS GÉODÉSIQUES BASÉES SUR LES ÉQUATIONS Méthodes à trois paramètres La méthode de transformation de datums la plus simple consiste en une transformation géocentrique ou à trois paramètres. La transformation géocentrique permet de modéliser les différences entre deux datums dans le système de coordonnées X, Y, Z. Un datum se définit par son centre en 0, 0, 0. Celui de l autre datum est défini à une certaine distance d éloignement ( X, Y, Z) calculée en mètres. Les valeurs de rotation sont données en secondes décimales, tandis que le facteur d échelle est en parts par million (ppm). Les valeurs de rotation peuvent être définies de deux manières différentes. Il est possible de définir des angles de rotation positifs dans le sens horaire ou inverse quand vous regardez l origine des systèmes X, Y, Z. Généralement, les paramètres de transformation sont définis comme partant d un datum local vers WGS 1984 ou un autre datum géocentrique. X X X Y = Y + Y Z Z Z new original Les trois paramètres sont des translations linéaires et se définissent toujours en mètres. Méthodes à sept paramètres Une transformation de datums plus complexe et plus précise est possible en ajoutant quatre paramètres supplémentaires à une transformation géocentrique. Ces sept paramètres comprennent trois translations linéaires ( X, Y, Z), trois rotations angulaires autour de chaque axe (r x,r y,r z ) et un ou plusieurs facteurs d échelle. X X 1 rz r y X Y = Y + ( 1 + s) rz 1 rx Y Z Z r r Z new y x 1 original La définition du cadre des coordonnées (ou Bursa Wolf) relative aux valeurs de rotation. L équation de la colonne précédente correspond à la méthode de définition des équations utilisée aux Etats- Unis et en Australie et s appelle la transformation par rotation du cadre des coordonnées. Les rotations sont positives en sens horaire. L Europe suit une convention différente appelée la transformation par vecteur de position. Ces deux méthodes sont parfois désignées sous le nom de méthode Bursa Wolf. Dans le moteur de projection, les méthodes Cadre des coordonnées et Bursa Wolf sont identiques. Les méthodes Cadre des coordonnées et Vecteur de position sont gérées et la conversion des valeurs de transformation s effectue facilement d une méthode à l autre, en changeant simplement les signes des trois valeurs de rotation. Par exemple, les paramètres de conversion du datum WGS 1972 en datum WGS 1984 par la méthode Cadre des coordonnées sont (dans l ordre : X, Y, Z,r x,r y,r z,s) : (0.0, 0.0, 4.5, 0.0, 0.0, , 0.227) Pour utiliser les mêmes paramètres avec la méthode Vecteur de position, changez le signe de la rotation pour obtenir les nouveaux paramètres suivants : (0.0, 0.0, 4.5, 0.0, 0.0, , 0.227) Transformations géographiques 25

32 Sauf mention explicite, il est impossible, à partir des seuls paramètres, de déterminer la convention utilisée. Si vous employez la mauvaise méthode, vos résultats peuvent vous donner des coordonnées erronées. Le seul moyen de déterminer le mode de définition de ces paramètres consiste à effectuer une vérification à partir d un point de contrôle dont les coordonnées sont connues des deux systèmes. Méthode Molodensky La méthode Molodensky permet d effectuer une conversion directe entre deux systèmes de coordonnées géographiques sans aboutir réellement à une conversion en un système X, Y, Z. La méthode Molodensky nécessite l utilisation de trois translations ( X, Y, Z), des différences entre les demi-grands axes ( a) et les aplatissements ( f) des deux ellipsoïdes. Le moteur de projection permet de calculer automatiquement les différences d ellipsoïdes en fonction des datums concernés. M et N représentent, respectivement, le rayon méridien et la Grande Normale pour une latitude donnée. Les équations correspondant à M et N sont les suivantes : 2 a(1 e ) M = 2 2 (1 e sin ϕ) a N = 2 2 ( 1 e sin ϕ) 3/ 2 1/ 2 Vous déterminez λ et ϕ. Le moteur de projection ajoute automatiquement les résultats. Méthode Molodensky abrégée La méthode Molodensky abrégée est une version simplifiée de la méthode Molodensky. Les équations sont les suivantes : ( M + h) ϕ = sin ϕ cos λ X sin ϕ sin λ Y 2 e sin ϕ cosϕ + cosϕ Z / 2 (1 e sin ϕ) + sin ϕ cosϕ( M a b + N ) f b a a M ϕ = sin ϕ cos λ X sin ϕ sin λ Y + cosϕ Z + ( a f + f a) 2 sinϕ cosϕ ( N + h) cosϕ λ = sin λ X + cos λ Y N cosϕ λ = sin λ X + cos λ Y h = cosϕ cos λ X + cosϕ sin λ Y + sin ϕ Z + ( a f + f a) sin 2 ϕ a h = cosϕ cos λ X + cosϕ sin λ Y + sin ϕ Z (1 e sin a(1 f ) (1 e sin ϕ) 1/ ϕ) 1/ 2 sin ϕ f a h ϕ λ a b f e hauteur de l ellipsoïde (en mètres) latitude longitude demi-grand axe de l ellipsoïde (en mètres) demi-petit axe de l ellipsoïde (en mètres) aplatissement de l ellipsoïde excentricité de l ellipsoïde 26 Comprendre les projections

33 TRANSFORMATION GÉODÉSIQUE BASÉE SUR UNE GRILLE Méthodes NADCON et HARN Les Etats-Unis utilisent une méthode par grille pour effectuer une conversion entre des systèmes de coordonnées géographiques. Les méthodes par grille permettent de modéliser les différences entre les systèmes et constituent potentiellement la méthode la plus précise. La zone considérée est divisée en cellules. Le National Geodetic Survey (NGS) publie des grilles de conversion entre le NAD 1927 et autres systèmes de coordonnées géographiques plus anciens et le NAD Ces transformations sont regroupées dans la méthode NADCON. La principale grille NADCON, CONUS, permet de convertir les 48 états contigus. Les autres grilles NADCON permettent de convertir des systèmes de coordonnées géographiques plus anciens en NAD 1983 pour : l Alaska, les îles Hawaii, Porto Rico et les îles Vierges, les îles Saint-Georges, Saint-Laurent et Saint-Paul en Alaska. Le niveau de précision est à 0,15 mètre près pour les états contigus, à 0,50 pour l Alaska et ses îles, à 0,20 pour Hawaii et à 0,05 pour Porto Rico et les îles Vierges. Les différents degrés de précision peuvent varier en fonction de l exactitude des données géodésiques pour la zone concernée lors du calcul des grilles (NADCON, 1999). Les îles Hawaii n ont jamais figuré sur le NAC Elles ont été cartographiées à l aide de plusieurs datums regroupés sous le nom de Anciens datums des îles Hawaii. Les nouvelles techniques d arpentage ou satellitaires ont permis au NGS et aux différents états de mettre à jour leurs réseaux de points de contrôle géodésiques. Chaque fois que le traitement d un état est terminé, le NGS publie une grille de conversion entre les données NAD 1983 et les coordonnées plus précises des points de contrôle. A l origine, cet effort portait le nom de High Precision Geodetic Network (HPGN). Celui-ci est à présent désigné sous le nom de High Accuracy Reference Network (HARN). Plus de 40 états ont publié des grilles HARN depuis septembre Les transformations HARN ont un degré de précision à 0,05 mètre près (NADCON, 2000). Les valeurs des différences obtenues en secondes décimales sont enregistrées dans deux fichiers : un fichier pour la longitude, un autre pour la latitude. Une interpolation bilinéaire permet de calculer la différence exacte entre les deux systèmes de coordonnées géographiques utilisés pour un point donné. Les grilles sont des fichiers binaires, mais un programme du NGS nommé NADGRD permet de convertir ces grilles au format ASCII (American Standard Code for Information Interchange). En bas de page, figurent l en-tête et la première ligne du fichier CSHPGN.LOA. Il s agit de la grille de longitude du sud de la Californie. Le format de la première ligne de nombres correspond, dans l ordre, au nombre de colonnes, au nombre de lignes, au nombre de valeurs z (toujours une), à la longitude minimum, à la taille de la cellule, à la latitude minimum, à la taille de la cellule et valeur non utilisée. Les 37 valeurs suivantes (dans ce cas) correspondent aux translations en longitude de -122 à -113 à 32 N pour des intervalles de 0,25 en longitude. REGION EXTRAITE DE NADCON NADGRD Partie d un fichier de grille HARN. Transformations géographiques 27