LE CALCUL MENTAL AU CYCLE 3

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1 LE CALCUL MENTAL AU CYCLE 3 1. Introduction a. Historique du calcul mental dans les programmes Le calcul mental est une pratique sociale que chacun utilise sans même s en rendre compte : vitesse, durée, prix, consommation moyenne c est aussi une pratique scolaire et il a toujours fait partie des programmes de l école primaire. Avant les années 70 il fallait calculer vite et bien : les jeunes sortaient de l école élémentaire pour entrer dans la vie active et devaient maîtriser cette pratique pour être autonomes. Avec la réforme des maths modernes et les programmes de 1970 on est passé du concret et de la pratique ritualisée à une approche plus abstraite des concepts. Du coup on a laissé de côté le calcul mental et aussi beaucoup d élèves qui n avaient pas la «bosse des maths». A partir du milieu des années 80, les programmes et les évaluations nationales ont incité les enseignants à reprendre la pratique du calcul mental. En complément des programmes de 2002 un document d accompagnement intitulé «Le calcul mental à l école élémentaire» est publié pour aider les enseignants à mettre en œuvre cet enseignement dans leur classe. En 2007 les programmes organisent la partie calcul en calcul mental (résultats mémorisés, procédures automatisées, calcul réfléchi), calcul en ligne ou posé et calcul instrumenté. Les programmes de 2008 soulignent le caractère indispensable d une pratique quotidienne du calcul mental car elle permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. b. Les fonctions du calcul mental - Une fonction sociale C est d abord un calcul d usage utile dans la vie ordinaire : Soit pour un calcul exact Soit pour un calcul approché Les élèves doivent comprendre que les nombres font partie de leur environnement quotidien, ils doivent donner du sens à l'usage des nombres. Il faut favoriser la prise de conscience des trois fonctions du nombre : désignation, quantification, datation. (D après les travaux de Valérie Barry) Donner du sens aux nombres, c est en reconnaître sa fonction. Le nombre est un outil de désignation : nous numérotons Les rues Les étages L'ascenseur Les façons d'entrer dans un immeuble (digicode) Les places de parkings Les chevaux de course Les voitures de course Les coureurs Les joueurs Les postes de téléphones Les lignes téléphoniques Les automobiles (plaque minéralogique, marque, numéro de série) 1 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009 Principaux types de question : QUI? QUOI? OÙ?

2 Les cartes d'identité La monnaie Les jeux (loto) Les horaires La vitesse (panneaux) Les bus Les trains Le poids La taille, la longueur (des vêtements) La pointure Les caisses de supermarché Les volumes (litre, etc.) Les numéros pour attendre son -tour Les prix Les pages d'un livre Les produits (référence catalogue, code-barres) Les lignes de métro Les codes de carte bancaire Les salles. Les-rois, lés papes - Les parcours des jeux de parcours (jeu de l'oie, etc.) Le nombre est un outil de datation : nous datons La naissance, la mort Les évènements quotidiens - Les rendez-vous Les limites de consommation (date de péremption) Principaux types de question : QUAND? Le nombre comme outil de quantification : nous dénombrons Les populations Le temps Le coût Le poids Principaux types La taille, la longueur de question : L'âge COMBIEN? Le nombre de cartes à jouer par personne dans un jeu de cartes Le nombre de prises de médicaments par jour Le nombre de médicaments à prendre (par prise) Le volume (litre d'essence, recette de cuisine) Les distances kilométriques Les points attribués aux élèves, dans une note sur 5, sur 10, sur 20, etc 2 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

3 - Une fonction pédagogique (Document d accompagnement des programmes : le calcul mental aux cycles 2 et 3) Le calcul mental joue un rôle important dans la compréhension et la maîtrise des notions enseignées. Il permet : De construire et renforcer des connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers naturels D assurer les premières compréhensions des propriétés des opérations De développer les capacités de raisonnement des élèves (calcul«réfléchi») D aider à la résolution de problème par analogie (ramener un problème à un champ numérique dans lequel les opérations deviennent plus familières, permet d avoir une intuition sur le mode de traitement) De fonder 1ers maniements des notions mathématiques sur la proportionnalité, sur les fractions, comme plus tard au collège sur les nombres relatifs (les compétences des élèves se construisent dans le domaine numérique où domine le calcul mental) De renforcer la fiabilité du calcul posé 2. Du côté théorique (Document d accompagnement des programmes : le calcul mental aux cycles 2 et 3) a. Ce que recouvre le terme «Calcul mental» L expression de calcul mental signifie qu entre l énoncé du problème et l énoncé du résultat on renonce à utiliser toute opération posée. Cela ne signifie pas qu aucun support écrit ne puisse intervenir ni dans l énoncé ni dans la formulation du résultat ni au cours du calcul. Le calcul mental nécessite une intuition des nombres ainsi qu une part d initiative de choix. Il opère sur des nombres (et non sur des chiffres comme pour le calcul posé) et permet d enraciner l ordre de grandeur, le sens des opérations et leurs propriétés. b. Les différentes composantes du calcul mental. Il convient de distinguer : - Le calcul mental automatisé C est ce qu'il faut mémoriser ou automatiser : des résultats : les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure,... et des procédures apprises (ex: pour ajouter 9 on ajoute 10 et on enlève 1) quels que soient les nombres utilisés. A aucun moment on a recours à un support papier : le sujet est capable de donner un résultat direct. - Le calcul mental réfléchi (ou raisonné) Il ne s agit plus de récupérer directement dans sa mémoire un résultat ou une procédure apprise mais il faut être capable de reconstruire, d élaborer une procédure adaptée au problème posé : idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais en s'appuyant sur ce qui 3 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

4 est connu. Stratégie et raisonnement sont sollicités.. L'exploitation des diverses procédures mises en œuvre par les élèves pour un même calcul permet de mettre l'accent sur les raisonnements mobilisés et sur les propriétés des nombres et des opérations utilisées " en acte " (certains parlent d'ailleurs à ce sujet de «calcul raisonné») c. La mémorisation, condition essentielle : Certains élèves mémorisent facilement les tables d addition ou de multiplication, d autres ne parviennent pas à une mémorisation suffisante, malgré un entraînement répété. L entraînement n est donc pas le seul ressort de la mémorisation. Une bonne représentation mentale des nombres, la compréhension des opérations en jeu et une élaboration progressive des résultats constituent l autre facette de l aide à la mémorisation. L attendu pour les élèves en début de cycle 3 est de fournir instantanément tous les résultats des tables d addition, mais aussi des différences et des compléments associés ainsi que les résultats de quelques tables de multiplication. La mémorisation fonctionne essentiellement sur un mode verbal (acoustique). Ainsi parmi les résultats symétriques comme 8+9 et 9+8 l un est toujours plus disponible que l autre. Une autre caractéristique réside dans le rôle joué par les doubles et les carrés. Ils sont toujours rappelés de façon plus sûre et plus rapide que les autres résultats, ce qui per met des stratégies efficaces de calcul. Pour les calculs multiplicatifs, la «reconstruction» est plus difficiles que pour les calculs additifs et il faut pourtant viser en fin de cycle 3, une mémorisation complète des tables de multiplication. Utiliser les tables ces répondre à des questions du type : - 8 x 7 - Combien de fois 7 dans divisé par 7 - Décomposer 56 sous forme de produit de 2 nombres inférieurs à 10 Les points d appui pour les calculs multiplicatifs : - Les résultats connus des tables de 2 et de 5 - Le comptage de n en n pour trouver le résultat à partir d un résultat mémorisé. - La connaissance des carrés - La commutativité de la multiplication - Le fait que multiplier par 4 revient à doubler deux fois, que multiplier par 6 revient à tripler puis doubler. Conditions de la mémorisation : Mémoriser les tables est le résultat d un très long processus. Il s agit pourtant de connaissances indispensables pour la vie quotidienne et les apprentissages mathématiques. - La première condition réside dans la compréhension des opérations en jeu. - La seconde condition réside dans la prise de conscience de l intérêt qu il peut y avoir à disposer d un répertoire de résultats. - La troisième condition réside, pour l élève, dans la prise de conscience du fait que certains résultats sont mémorisés et qu un répertoire mental est en train de se constituer. - La quatrième condition réside dans la capacité à utiliser ce qu on sait pour obtenir d autres résultats. 4 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

5 - La cinquième condition réside dans l entraînement des résultats mémorisés. Les équipes de cycle ont donc à examiner soigneusement dans quelle mesure ces différentes conditions de la mémorisation sont prises en charge à l école d. La place du calcul mental dans la résolution de problèmes On entre ici dans le domaine du calcul réfléchi qui est d une autre nature que le calcul automatisé. Il ne s agit plus de récupérer directement en mémoire un résultat ou une procédure directement applicable, mais d élaborer une procédure adaptée au calcul particulier qui est posé. Stratégie et raisonnement sont alors sollicités. En calcul réfléchi, aucune procédure ne s impose à priori et, le plus souvent plusieurs sont possibles. Il suppose la mise en œuvre, souvent implicite, de diverses propriétés des opérations en jeu. Dans tous les cas (calcul automatisé ou réfléchi), les questions peuvent porter directement sur les nombres ou être situés dans le cadre de la résolution de petits problèmes dans des contextes variés : sens des opérations et entraînement au calcul mental sont travaillés simultanément. Exemple : Poser la question : «calculez 25 x 20» (oralement ou par écrit) et le problème «Le pâtissier remplit 25 boites de 20 chocolats» n est pas équivalent. Chacun de ces énoncés active une représentation de la tâche à accomplir. Dans le premier cas elle porte sur les nombres purs, dans le second, elle s appuie sur l évocation d un certain champ de réalité. Et devient un moyen d aider efficacement les élèves à progresser dans la maîtrise du sens des opérations. 5 Sylvie Descazaux et Vincent Lagarde-Circonscription de Tyrosse Côte Sud-mars 2009

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