CORRECTION DES EXERCICES SUR LES GRAPHIQUES

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1 1 EXERCICE 1 xi CORRECTION DES EXERCICES SUR LES GRAPHIQUES Ni fréquences absolues ou Fréquences relatives en % effectifs =2570/ % TOTAL % Nombre de ménages ayant moins de 4 personnes à charge : 66.20%*13420 = 8880 Ou Cumul croissant des fréquences relatives en% EXERCICE 2 : Les classes n étant pas d amplitudes égales, il faut rectifier les fréquences CLASSES Amplitude avec Fréquences Fréquences F relatives CUMUL une unité =200 rectifiées Fr relatives rectifiées 300, % , % , % , % Nous avons choisi de fermer le dernier intervalle à 1299 mais il est possible de faire autrement au choix de l étudiant. nombre d appareils ayant une durée de vie < à 900 heures : Pour 699, on a un cumul de 200 appareils Pour 1099, on a un cumul de 475 On fait la différence entre les deux lignes soit : pour 400, on obtient 275 On pose x, pour ( ) heures Et par simple produit en croix, on obtient : (( )*-275)/-400 = 138 On a donc = 338 appareils ayant de 900 heures de durée de vie. EXERCICE 3 : population : entreprises classées par CA Caractère : CA. Critère quantitatif et variable continue puisqu il s agit d intervalles Classes xi Ni Amplitude avec unité = 0.25 Fréquences rectifiées Fréquences relatives en % On part de zéro pour arriver à 100% CUMUL CROISSANT En % 0, , , , , , , Là encore, vous avons fermé le 1 er et le dernier intervalle à notre convenance. Vous devez prendre la borne supérieure pour le cumul croissant et la borne inférieure pour le cumul décroissant. On part de 100% pour arriver à zéro CUMUL DECROISSANT En % EXERCICE 4 : le corrigé ne peut vous être fourni puisque les données sont variables en fonction du moment où vous traiterez l exercice.

2 2 CORRECTION DES EXERCICES SUR LES VALEURS EXERCICE 1 Calculs des fréquences rectifiées avec une unité = Classes modales : il s agit d une distribution bi modale 30,40 et 40,50 Moyenne : Σxini/Σni = 74 Médiane = 50 La fréquence de la médiane est de : CUMUL / 2 SOIT 100/2 =50. Le cumul de 50 est atteint à la borne supérieure du 2 ème intervalle soit 50. EXERCICE 2 Fréquences rectifiées Classes ni CUMUL Fr rectifiées avec unité = , , , , , Classe modale : 40,60 Médiane F(M) = 100/2 = 50 Cela se situe entre les valeurs 11 et 44. Il faut donc faire une interpolation linéaire (simple «produit en croix!) Bornes supérieures Pour Pour Variation = 1 ère ligne 2 ème ligne Cumul pour la borne supérieure X (50-11) = valeur que vous cherchez 50 le 1 er cumul On en tire X = soit une médiane de = Surface moyenne des logements 2 pièces : ( 15*0+25*1+35*6+50*8+70*3)/18 = m2 Investissements dans 10 appartements : surface moyenne = (25*3+70*5+100*2)/10=62.50m * F *10 = F EXERCICE 3 Représentation graphique de la médiane surfaces ni Cumul croissant , , , , La fréquence de la médiane F(M)=80/2 = 40. Cela se situe entre 16 et 46 Pour Pour Variation X (40-16) Donc X = ((40-16)*-10)/-30 = 8 La médiane est de 10+8 = 18 m2

3 EXERCICE 4 Nombre moyen des enfants = 220/110 = 2 enfants Mode = 1 et 2 Médiane = CORRECTION DES EXERCICES SUR l AJUSTEMENT EXERCICE 1 : Xi TOTAL xi Yi TOTAL yi 3308 Xi yi 400* *484 etc TOTAL XIYI = Xi² etc TOTAL XI²= Yi² etc TOTAL YI²= Prix de vente permettant de «toucher» 50% de la clientèle La population étant de 500, 50% représente 250 étudiants. On détermine en premier lieu une tendance à partir de la méthode des moindres carrés : N=12 Moyenne des xi = 11400*1/12 = 950 Moyenne des yi = 3308/12 = Coefficient directeur A=(Σxiyi-n*x*y)/(Σxi²-nx²) a = Constante b = On a donc : y= ax+b Y= -0.46x Vous pourrez alors répondre à un bon nombre de questions à partir de cette équation où x représente le budget de publicité et où y représente le nombre d étudiants. Si nous remplaçons y par 250, on obtient : 250=0.46*x On a alors x=1005 qui correspond à un prix de vente permettant de captiver 250 personnes Lancement rentable avec 200 logiciels à 1100 Vérifions en remplaçant x par 1100 : y=-0.46* = 206 C est donc rentable puisque > à 200 Si le prix de vente = 990, il faut en vendre : y=-0.46* = 263 logiciels Ventes de CD rom si le budget de pub est nul : il faut réaliser un ajustement par la méthode des moindres carrés et vous devez trouver y= 2.85x Si x= 0 alors y=274 CD (arrondi) Si la publicité est de Si X = 50 alors x= 132 CD (arrondi) Ventes de 350 CD Si y=350, alors x=76.82 K de publicité EXERCICE 2 L exercice est un peu particulier car vous devez exploiter un tableau à double entrée. Pas de panique! il suffit juste de pondérer les calculs. xi ni yi ni xini yini Xi²ni Yi²ni N=5 Moyenne des xi = 7965/128 = Moyenne des yi = /128 = Σxiyini = 155*45*9+165*45*5+175*45*1+155*55*4+165*55*34+.= Coef directeur a = ( *62.22*171.64)/( *62.22²) = 0.65 Constante b = (0.65*62.22) = Y= 0.65*x

4 4 EXERCICE 3 Moyenne des CA = Σxini/Σni = /148 = F (prenez les centres de classes comme xi) Classe modale : 700,900 car la fréquence rectifiée est la plus importante Fréquence rectifiée avec unité = Ecart type : il faut d abord déterminer la variance Variance = Σxi²ni/Σni - x² = /148 - ( )² Ecart type = Moindres carrés avec une tendance exponentielle : il vous suffit de remplacer les yi soit par log yi soit par ln(yi). xi Yi = log y xiyi Xi² etc etc 4 9 ΣXI =45 ΣYi= ΣxiYi= Σxi² = 285 Toutes les formules restent les mêmes. Il suffit de remplacer les yi par les Yi que vous venez de trouver Moyenne des xi = 45/9= 5 Moyenne des Yi=30.274/9=3.364 Coef directeur A = (9*5*3.364)/(285-9*5²) = Constante B = *5 = On sait que A=log a donc a= = 1.18 B = log b donc b= = Remarque : si vous avez pris les logarithmes népériens au lieu des log, il vous suffit à présent de faire : e A et e B On obtient alors y=1.18 x * Prévisions pour l année 2003 : x=13 donc y =8 384 La prévision sera fiable si la tendance des années passées se reproduit. CORRECTION DES EXERCICES SUR LES SERIES CHRONOLOGIQUES EXERCICE 1 : On vous fournit les coefficients saisonniers ; il s agit donc d un mouvement saisonnier de type «multiplicatifs». La 1 ère étape du travail est donc de déterminer une droite d ajustement par la méthode des moindres carrés. TRIMESTRES xi Σxi 78 QTES VENDUES yi Σyi 2786 Xi yi 25 etc Σxiyi Xi² etc Σxi² 650 Moyenne des xi = 78/12=6.5 Moyenne des yi = 2786/12= Coefficient directeur a = ( *6.5*232.16)/(650-12*6.5²) = Constante b = On a donc la droite de régression de y en x : y=36.29x 3.74 Prévisions pour le 1 er trimestre 2003 : il s agit de la 13 ème variable : Y=36.29 * = 468 La 2 ème étape du travail serait de déterminer les «rapports à la tendance» puis les coefficients. La travail est donc simplifié puisqu on vous donne les coefficients. Prévisions pour le 1 er trimestre 2003 en tenant compte du mouvement saisonnier : 468* 0.74 (coef du 1 er trimestre) = 346

5 5 EXERCICE 2 Il s agit là encore d un «mouvement multiplicatif» Méthode des moindres carrés xi yi xiyi Xi² etc Σ xi =136 Σyi =31.2 Σxiyi =302.2 Σxi²=1496 Moyenne des xi = 136/16 = 8.5 Moyenne des yi = 31.2/16 =1.95 Coef directeur a = (16*8.5*1.95)/( *8.5²) = constante b = y = 0.108x La 2 ème étape consiste à déterminer les rapports à la tendance en remplaçant x dans la droite par 1 puis par 2, puis par 3,., jusqu à 16. 2EME ETAPE : RAPPORTS A LA TENDANCE ,133 1,241 1,349 1, ,565 1,673 1,781 1, ,997 2,105 2,213 2, ,429 2,537 2,645 2,753 RAPPORT 1ER TRIMESTRE 99 0,108 *1 + 1,025 Je remplace x par 1 puis par 2 etc RAPPORT 2EME TRIMESTRE 99 0,108 * 2 + 1,025 jusqu' 16 3EME ETAPE : CALCUL DES COEFFICIENTS VALEURS OBSERVEES/VALEURS DU TREND ,9709 0,9670 0,6672 1, ,9585 0,8368 0,6176 1, ,8513 0,9501 0,7230 1, ,8646 0,8277 0,7561 1,3440 MOYENNE 0,9113 0,8954 0,6910 1,5189 Pour déterminer la moyenne des coefs, je totalise les colonnes et je divise par le nombre de variables exemple : (0,9709+0,9585+0,8513+0,8646)/4 = 0,9113 pour le 1er trimestre EXERCICE 3 : il s agit ici d un mouvement «additif» 1ère étape : détermination des moyennes mobiles 1 2 je ne peux pas calculer de moyennes 1998 sur les deux premières et les 2 dernières ,5 8,4375 ATTENTION, à lire le tableau dans ,375 10,25 l'ordre chronologique 2001 exemple : (8,5*0,5+4+10,5+5,5+11,5*0,5)4 2ème étape : détermination des écarts = données de départ-moyennes mobiles ,9375 7,5 coef du 1er semestre ,125-1,75 somme des moyennes moyenne 2,5625-2, , , , ECART 2, , La somme doit être nulle ; on va donc partager le résidu en deux semestres soit

6 0,21875/2 = 0, Pour obtenir un chiffre égal à zéro, je dois enlever le résidu 6 3ème étape : série désaisonnalisée : données de départ-écarts saisonniers , , exemple 8,5-2, = 6, , , , , , , ème étape : moindres carrés 1 6, je détermine y = ax +b 2 6, a =0, , b= 4, , donc y =0,884x + 4, , , Prévisions du 1er semestre , je remplace x par la 11ème variable 8 11, y = 0,884 *11 + 4, ,5 = 14,696 CORRECTION DES EXERCICES SUR LES INDICES EXERCICE 1 : Le prix du BORDEAUX a quadruplé : 100*4 = 400 Puis, il a baissé de 40% : 400*0.60 = *1.013*1.012 = Cela signifie que les prix ont augmenté de 4.26% Le taux trimestriel de 4.26% trouvé précédemment correspond au taux annuel suivant : (1.0426) soit 18.16%/an EXERCICE 2 : Nous avons converti tous les prix de vente en. On aurait pu faire l exercice avec tous les prix exprimés en francs. Ip 99/97 = 350/ * 100 = Les prix ont donc baissé de 11.7% EXERCICE 3 : Indice des prix de LASPEYRES : IpL(ΣP1Qo)/(ΣPoQo)=(4.2*2+70*0.4+5* *0.3)/(3.8*2+53* * *0.3)*100 = Les prix ont augmenté de 31.35% selon le calcul en pondération fixe Indice des prix de PAASCHE : IpP(ΣP1Q1)/(ΣPoQ1)=(4.2*1.5+70*0.6+5* *0.5)/(3.8*1.5+(53* * *0.5)*100= Les prix ont augmenté de 32.67% selon le calcul en pondération variable Indice des prix de FISCHER : (IpL*IpP) = (131.35*132.67)=132 EXERCICE 4: Indice des quantités de LASPEYRES : IpL(ΣQ1Po)/(ΣQoPo) = (2.8*120+18*55+21*8)/(2.6*120+28*55+22*8) *100 = Les quantités ont baissé de 26.33% selon le calcul en pondération fixe Indice des prix de PAASCHE : IpP(ΣP1Q1)/(ΣPoQ1)=(170*2.8+60*18+18*21)/(120*2.8+55*18+8*21)*100= Les prix ont augmenté de 29.45% selon le calcul en pondération variable