Droites parallèles et perpendiculaires

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1 C H P I T R E Droites parallèles et perpendiculaires 2 Énigme du chapitre. Reproduire la figure suivante : mur Objectifs du chapitre. Tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée. Utiliser différentes méthodes Donner un programme de construction qui permettra de tracer la droite perpendiculaire à la droite (d) passant par sans franchir le mur.

2 I/ Segment, demi-droite, droite, appartenance ctivité. Lignes droites Partie : Droites, demi-droites, segments 1. Placer trois points, et C dans le plan. Peut-on relier les trois points avec une seule ligne? 2. Placer deux points D et E et placer un point F tel que D, E et F sont sur une même droite. On dira que les points D, E et F sont alignés et que F (DE) (lire F appartient à la droite (DE)). 3. Placer trois points R, S et T non alignés. (a) Tracer la droite (RS). (b) Tracer le segment [RT ]. Les extrémités du segment [RT ] sont les points R et T. (c) Tracer la demi-droite [ST ) d origine le point S et passant par le point T. Partie : Des points alignés E D 1. Sur la figure ci-dessus, à vue d oeil, quel point est aligné avec les points et : le point D ou le point E? Comment le vérifier? 2. Recopier et compléter par (appartient à) et / (n appartient pas à) : (a) D [] (b) E [] (c) [] (d) D () (e) E () (f) (E)

3 Remarques 1. La longueur du segment [ST ] se note ST. ST = 2 cm. 2. On ne peut pas parler de longueur d une droite ou d une demi-droite. Définition On dit que trois points (distincts) sont alignés si l un des trois points appartient à la droite définite par les deux autres. (d) D C 1. Les points, et C sont alignés. (d) et C (). 2. Les points, et D ne sont pas alignés, D / (d). Faire les exercices

4 II/ Droites sécantes, droites perpendiculaires et parallèles 1) Droites sécantes ctivité. u-delà des segments D C 1. Reproduire la figure de gauche. Placer le point G qui appartient à la fois aux droites (EF ) et (DC). E 2. On dit que deux droites sont sécantes s ils se croisent. (a) Est-ce que les droites (EF ) et (DC) sont sécantes? F (b) Est-ce que les droites (EF ) et (C) sont sécantes? (c) Est-ce que les droites (D) et (C) sont sécantes? Définition Deux droites qui ont un point commun (un seul) sont des droites sécantes. Ce point commun est appelé le point d intersection des deux droites. D Est-ce que les droites () et (CD) sont sécantes? C 2) Droites perpendiculaires Définition Deux droites sécantes qui forment un angle droit sont perpendiculaires. Les droites (d 1 ) et sont perpendiculaires en (d 1 ) P

5 P. On notera (d 1 ). Définition (Médiatrice d un segment) La médiatrice d un segment est une droite perpendiculaire au segment et qui coupe ce segment en son milieu. (d) La droite (d) est la médiatrice du segment []. 3) Droites parallèles Définition Deux droites qui ne sont pas sécantes sont parallèles. (d 1 ) Les droites (d 1 ) et sont parallèles. On notera (d 1 ) //. Remarque Deux droites passant par le même point peuvent être parallèles. En fait, il s agit de la même droite et les points, et C sont alignés. (faire une figure) Faire les exercices 5 6 7

6 III/ Tracer des droites perpendiculaires et parallèles 1) Droites perpendiculaires Méthode Construire une droite perpendiculaire à la droite (d) passant par le point M. 2) Droites parallèles Méthode Construire une droite parallèle à la droite (d) passant par le point N. Faire les exercices

7 IV/ Propriétés de droites ctivité C. Propriétés sur les droites 1. (a) Tracer une droite (d 1 ), puis deux droites et (d 3 ) parpendiculaires à la droite (d 1 ). Qu observe-t-on pour les droites et (d 3 )? (b) Recopier et compléter la propriété : «Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors......» (c) Utiliser la propriété ci-dessus pour construire, sur une autre figure, deux droites parallèles. 2. (a) Sur une autre figure, tracer une (d 1 ), puis deux droites et (d 3 ) parallèles à la droite (d 1 ). Qu observe-t-on pour les droites et (d 3 )? (b) Recopier et compléter la propriété : «Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors......». 3. (a) Sur une autre figure, tracer deux droites parallèles (d 1 ) et, puis une droite (d 3 ) perpendiculaire à la droite (d 1 ). Qu observe-t-on pour les droites et (d 3 )? (b) Recopier et compléter la propriété : «Si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors elle......». 1) Droites perpendiculaires à une même droite Propriété Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. (d 1 ) (d) Les droites (d 1 ) et sont perpendiculaires à la droite (d), donc les droties (d 1 ) et sont parallèles. 2) Droites parallèles à une même droite Propriété Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles.

8 (d 1 ) (d) Les droites (d 1 ) et sont parallèles à la droite (d), donc les droites (d 1 ) et sont parallèles. 3) Droites parallèles coupées par une droite perpendiculaire Propriété Si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors elle est perpendiculaire à l autre. (d) (d 1 ) Les droites (d 1 ) et sont parallèles et la droite (d) est perpendiculaire à la droite (d 1 ) donc la droite (d) est perpendiculaire à la droite. (d 1 )// Faire les exercices 11 12