De l école maternelle Du CE1 Du CM2 L élève est capable de : Résoudre des problèmes portant sur les

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1 De l école maternelle Du CE1 Du CM2 L élève est capable de : Résoudre des problèmes portant sur les Calculer : addition, soustraction Restituer les tables d addition quantités Restituer et utiliser les tables d addition Utiliser les techniques opératoires des quatre Calculer mentalement en utilisant des additions, opérations sur les nombres entiers et décimaux des soustractions simples Calculer mentalement en utilisant les quatre Résoudre des problèmes très simples opérations Estimer l ordre de grandeur d un résultat Utiliser une calculatrice Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures Progressivité des apprentissages CP CE1 CE2 CM1 CM2 Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (tables d addition) Calculer mentalement des sommes et des différences Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations à trous Connaître et utiliser les techniques opératoires de l addition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 100) Résoudre des problèmes simples à une opération Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences Calculer en ligne des suites d opérations Connaître et utiliser les techniques opératoires de l addition et de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 1000) Résoudre des problèmes relevant de l addition, de la soustraction Utiliser les fonctions de base de la calculatrice Calcul sur des nombres entiers Calculer mentalement Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d addition Calculer mentalement des sommes, des différences Effectuer un calcul posé Addition et soustraction Organiser ses calculs pour trouver un résultat par calcul mental, posé ou à l aide de la calculatrice Utiliser les touches des opérations de la calculatrice Problèmes Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations Calcul sur des nombres entiers Calculer mentalement Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers Multiplier mentalement un nombre entier ou un décimal par 10, 100, 1000 Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat Effectuer un calcul posé Addition et soustraction de deux nombres décimaux Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs Problèmes Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes Calcul sur des nombres entiers Calculer mentalement Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux Effectuer un calcul posé Addition et soustraction Utiliser la calculatrice à bon escient Problèmes Résoudre des problèmes de plus en plus complexes

2 Représente un état : entier naturel ou décimal qui exprime une quantité, une mesure ou une position sur une graduation Représente un nombre entier ou décimal, positif ou négatif qui exprime la valeur d une transformation ou d une relation Représente la composition de deux états Représente une transformation (changement d état) Représente une relation (comparaison) entre deux états Catégorie 1 composition de deux états Recherche du composé??? Recherche d une partie Dans un bouquet, il y a 8 roses et 7 iris. Combien y-a-t-il de fleurs? Dans un bouquet de 15 fleurs, composé de roses et d iris, il y a 8 roses. Combien y- a-t-il d iris? Catégorie 2 transformation d un état Recherche de l état final Catégorie 3 Comparaison d états +5 Bernard possède 25 petites? 17? voitures. Il en a 5 de plus que 25 Charles. Combien en a +5? Charles?? Jacques avait 17 billes. Il en a gagné 5. Combien en a-t-il maintenant??? Dans un magasin, un jouet vaut 9,45. Il en vaut 6,60 9,45 Recherche de la transformation Sophie joue au jeu de l oie. Elle était sur la case 17 et se trouve maintenant sur la case 12. De combien de cases a-t-elle reculé? Recherche de l un des états Recherche de la comparaison dans un autre magasin. De? combien est-il moins cher? dans le 2 ème magasin? 6,60 Catégorie 4 Composition de transformation +7 +8?? Recherche de la transformation composée Recherche de l une des composantes Luc a joué deux parties de billes. A la 1 ère, il gagne 7 billes et à la 2 ème, il en gagne 8. Combien en a-t-il gagné au total? Je sais que j ai dépensé 30,65. Ce matin, j ai dépensé 19. Combien ai-je dépensé cet aprèsmidi?

3 Procédures d appuyant sur une figuration de la réalité et sur un dénombrement Les objets évoqués dans les problèmes sont représentés par d autres objets (doigts, cubes, jetons ), par des dessins ou des schémas. A partir de là, l élève peut avoir recours au dénombrement pour répondre (subitizing, comptage un par un ). Problème 2 catégorie 1 Procédures utilisant le comptage en avant ou en arrière Calcul de 1 en 1 en s aidant éventuellement des doigts mais aussi d autres formes : une suite de calculs («sauts successifs» de 10 en 10, 20 en 20 ) qui rendent compte de l élaboration progressive de la solution. Ce type de procédure peut être réalisé de façon purement mentale si les nombres sont petits ou prendre appui sur des traces écrites (droite numérique, suite de nombres ). Problème 1 catégorie 2 Procédures utilisant un calcul sur les nombres, après reconnaissance du calcul à effectuer Recours à une traduction mathématiques de la situation avant d effectuer les calculs nécessaires. Problème 1 catégorie 3 RAISONNEMENT ET ELABORATION DE PROCEDURES Avant de disposer d un schéma de solution pour pouvoir résoudre des opérations sans raisonnement, l élève a recours à des types de raisonnement ou de schémas : Raisonner en s appuyant sur le contexte évoqué Par exemple : «Jacques a gagné des billes», avant il en avait moins donc je fais une soustraction Faire un schéma intermédiaire +5 (gain)? Avant la partie 22 maintenant -5 Traduire l énoncé par une équation Par exemple ici : + 5 = 22 qu il résout par une addition à trou ou par un comptage en avant, ou encore qu il transforme en 22 5 = Procéder par essais en faisant une hypothèse sur la réponse Par exemple : j essaie 12, il en aurait 17, ça ne va pas, c est trop petit

4 La taille des nombres et leur écart La configuration des nombres (ronds ou décimaux) La mise à disposition ou non d outils de calcul Structure relationnelle du problème et place de l inconnue dans cette structure Difficulté des calculs liée à la taille et à la nature des nombres Ordre d apparition des données dans le texte Présence de mots souvent inducteurs d une opération déterminée (gagné, plus, total, augmente addition ; perdre, moins, différence, reste soustraction) Le symbolisme signes + et - Au niveau sémantique A + B et A B sont, pour certains élèves, liés seulement à des problèmes d augmentation ou de diminution, ce qui rend difficile la compréhension du fait que, par exemple permet de trouve ce que possédait un individu qui vient de dépenser 23 et à qui il reste 58 Pour l addition Les termes «plus», «addition» et «somme» sont à connaître Au niveau syntaxique Comprendre que pour la soustraction, seule l écriture est possible alors que pour l addition, les deux écritures et sont possibles. Les écritures lacunaires du type 3 + = 15 ou - 8 = 5 conduisent parfois à 13 et 3, l élève considérant que la présence de + et de indique qu il faut additionner ou soustraire les nombres données Les expressions verbales Pour la soustraction Les termes «moins», «soustraction» et «différence» sont à connaître Le répertoire additif Mémorisation du répertoire additif La maîtrise du répertoire additif suppose de connaître l équivalence de certains résultats comme = 12 donc 12 5 = 7 et 12 7 = 5 Les résultats du répertoire additif doivent être mis en relation pour être plus facilement mémorisés. Si je connais 7 + 7, je peux retrouver facilement 7 + 8

5 Apprentissage du répertoire additif L ajout ou le retrait de 1 ou 2 à un nombre inférieur ou égal à 10 : 8 2 ; La connaissance des doubles : d abord pour les nombres jusqu à 5 puis pour les nombres jusqu à 10 La connaissance des décompositions faisant intervenir le nombre 5 : 8, c est Les compléments à 10 : de 7 à 10, il y a 3 La commutativité de l addition : si = 11 est connu, = 11 l est aussi Pour l addition posée de nombres entiers, pas de difficultés importantes mise à part le principe des retenues Différentes méthodes pour la soustraction posée Méthode «par emprunt» ou par «cassage de la dizaine, de la centaine» Comme pour les unités, on ne peut pas soustraire 6 de 4, on «casse» une des deux dizaines pour en faire 10 unités. Méthode par «complément» Méthode «traditionnelle» On remplace le calcul de par celui de 56 + = 724 Comme pour les unités on ne peut pas soustraire 6 de 4, on ajoute simultanément 10 unités au premier terme et une dizaine au deuxième terme Connaissances sous-jacentes - Repérage des chiffres de chaque nombre - Equivalence entre 1 millier et 10 centaines - Connaissances des différences entre nombres inférieurs à 20 et inférieurs à 10 Connaissances sous-jacentes - Repérage des chiffres (u, d, c) de chaque nombre - Equivalence entre a b = et b + = a - Connaissances des compléments des nombres inférieurs à 20 et inférieurs à 10 Connaissances sous-jacentes - Repérage des chiffres de chaque nombre - Propriété de la soustraction selon laquelle, en ajoutant un même nombre aux deux termes d une différence, on obtient le même résultat - Connaissances des différences des nombres inférieurs à 20 et inférieurs à 10

6 L addition et la soustraction des nombres décimaux Certains élèves effectuent 7,24 4,3 en positionnant les nombres décimaux «à partir de la droite» sans prendre en compte la virgule : Autre exemple avec 134,7 52,834, les élèves n imaginent pas les «0» non écrits et reproduisent simplement 3 et 4 : Le calcul mental réfléchi Mise en jeu des propriétés des opérations sous-jacentes Pour calculer 75 67, il est possible de : Remplacer ce calcul par celui du complément de 67 à 75 Enlever d abord 70, puis ajouter 3 «a (b c) = (a b) + c» Remplacer ce calcul par celui de en ajoutant simultanément 3 à chacun des termes de la différence