Logique : le calcul de prédicats
|
|
- Frédéric Boulet
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Logique : le calcul de prédicats Sophie Pinchinat sophie.pinchinat@irisa.fr IRISA, Université de Rennes 1 UE LOG année Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
2 1 Introduction 2 Un exemple 3 Syntaxe du calcul des prédicats 4 Sémantique du calcul des prédicats Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
3 Motivation Le calcul des propositions est bien trop limité pour décrire des situations réelles. Il ne permet que de décrire des phrases dont la vérité ne dépend pas des individus comme par exemple Il pleut. Il ne peut pas représenter des phrases qui mettent en jeu des individus ou des objets comme par exemple Si x est le père de y et si z est le père de x alors z est un grand-père de y Tout individu a un père. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
4 Vue d ensemble du calcul des prédicats Le calcul des prédicats (ou Logique du premier ordre) permet d exprimer de telles relations entre individus. Il est donc bien plus riche que le calcul propositionnel. Il contient : des individus (ou entités) (donnés par des symboles de variables x, y, z,...) des fonctions (f, g,..., s,...) permettant de transformer des entités en autres entités (ex. la fonction x père de x ) des relations (..., P, Q, R,...) permettant de lier les individus entre eux (ex. la relation binaire sont amis ). Les relations appliquées aux entités, ex. R(x, f (y)), peuvent être évaluées à vrai ou faux (selon les interprétations attribuées aux entités, aux fonctions et aux relations) et servent de briques de base à un langage du premier ordre obtenu à l aide des connecteurs logiques du calcul propositionnel et de deux autres connecteurs appelés quantificateurs, notés et (ceux de nos mathématiques). Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
5 Relation avec le calcul propositionnel Le calcul des prédicats hérite des propriétés établies pour celui des propositions. On aura des formules définies inductivement à partir des symboles de prédicats et de fonctions. On les interprétera dans divers mondes possibles et alors elles deviendront vraies ou fausses. Remarque (Différence algorithmique importante) Le calcul des prédicat est indécidable : il est absolument impossible de vérifier qu une formule est valide. Ceci tient au fait que les formules du premier ordre ont une infinité d interprétations. Il devient alors difficile de vérifier qu une formule est valide. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
6 Rappels sur les fonctions Étant donnés un ensemble E et k IN, une fonction k-aire (ou d arité k) sur E est une fonction de E k (= E E... E, k fois) dans E. Exemple 1. E = IN et soit f la fonction d arité 1 définie par f (n) = n E = {1, 2, 3} et soit f la fonction binaire (d arité 2) définie pour tout couple (a, b) E 2 par : f (1, 2) = 1, f (2, 3) = 2, f (3, 1) = 3, et f (a, b) est indéfinie sinon (i.e., pour les couples (1, 1), (2, 2), (3, 3)(3, 2), (2, 1), (1, 3)). Remarque Une fonction d arité 0 sur E est une constante c E. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
7 Rappels sur les relations Étant donnés un ensemble E et k IN, une relation k-aire (ou d arité k) sur E est un sous-ensemble de E k Exemple 1. E = {1, 2, 3} et R est la relation binaire (d arité 2) définie par R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} E E = IN et S est la relation d arité 2 définie par S = {(n, n + 1) n IN}. 3. E = {1, 2, 3} et R est la relation unaire (d arité 1) définie par R = {1, 2}. 4. L ensemble E 0 est un ensemble à UN élément. Par conséquent, les seules relations d arité 0 sur E, c-à-d. les sous-ensembles de E 0 sont soit soit E 0 lui-même. Remarque Si R est une relation d arité n, on note R(a 1,..., a n) pour (a 1,..., a n) R. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
8 Valeur de vérité Exemple Considérons les formules suivantes : 1. ϕ G : x y z(p(x, y) P(y, z)) G(x, z) 2. ϕ P : x yp(y, x) 3. ϕ C : x yg(y, x) 4. ϕ D : x zp(z, f (x)) G(z, x) 5. ϕ F : (ϕ G ϕ P ) ϕ C Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
9 Valeur de vérité Exemple Considérons les formules suivantes : 1. ϕ G : x y z(p(x, y) P(y, z)) G(x, z) 2. ϕ P : x yp(y, x) 3. ϕ C : x yg(y, x) 4. ϕ D : x zp(z, f (x)) G(z, x) 5. ϕ F : (ϕ G ϕ P ) ϕ C Il est impossible (ou presque) de donner une valeur de vérité à ces formules, et ce pour différentes raisons : on ne sait dans quel ensemble les variables x, y, z prennent keur valeur. on ne connaît pas la valeur de la fonction f. on ne sait par interpréter les relations binaires P et G. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
10 Valeur de vérité Exemple Considérons les formules suivantes : 1. ϕ G : x y z(p(x, y) P(y, z)) G(x, z) 2. ϕ P : x yp(y, x) 3. ϕ C : x yg(y, x) 4. ϕ D : x zp(z, f (x)) G(z, x) 5. ϕ F : (ϕ G ϕ P ) ϕ C Il est impossible (ou presque) de donner une valeur de vérité à ces formules, et ce pour différentes raisons : on ne sait dans quel ensemble les variables x, y, z prennent keur valeur. on ne connaît pas la valeur de la fonction f. on ne sait par interpréter les relations binaires P et G. Il est donc nécessaire de choisir une interprétation pour évaluer les formules. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
11 Interprétation 1 Les individus sont les êtres humains, avec tout ce qui en découle. P(x, y) signifie que x est le père de y, G(x, y) signifie que x est un grand-père de y, et f retourne la mère d un individu. ϕ G = x y z(p(x, y) P(y, z)) G(x, z) signifie pour tous êtres humains x, y, z, si x est le père de y et y est le père de z, alors x est un grand-père de z. ϕ P = x yp(y, x) signifie pour tout individu x il existe un individu y tel que y est le père de x c-à-d. tout individu a un père. ϕ C = x yg(y, x) signifie pour tout individu x il existe un individu y tel que y est le grand père de x, c-à-d. tout individu a un grand-père. ϕ D = x zp(z, f (x)) G(z, x) signifie si z est le père de la mère de x, alors z est un grand-père de x. Ces quatre formules sont vraies dans l Interprétation!. L énoncé ϕ F = ((ϕ G ϕ P ) ϕ C ) est donc aussi vraie. Remarque Les deux formules ϕ P et ϕ G sont loin de modéliser toutes les propriétés des relations P et G, respectivement. Par exemple, on n a pas énoncé que le père de chaque individu est unique, ni qu un individu x peut-être le grand-père d un autre z sans qu il existe un individu dont x soit le père et qui soit le père de z. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
12 Interprétation 2 Les individus sont les trois sommets a, b, c du graphe P décrit la relation prédécesseur, donc les couples (a, b), (b, c) et (c, a), et G décrit la relation successeur, donc les couples (b, a), (c, b) et (a, c). La fonction f s interpréte comme a a, b b, c a. ϕ P = x yp(y, x) tout point a un prédécesseur immédiat Elle est vraie dans ce graphe. ϕ G = x y z(p(x, y) P(y, z)) G(x, z) pour tous points x, y, z, si x précède imméd. y et si y précède imméd. z, alors x suit imméd. z Elle est vraie dans ce graphe. ϕ C = x yg(y, x) tout point a un successeur immédiat Elle est vraie dans ce graphe. ϕ F = ((ϕ P ϕ G ) ϕ C ) est donc vraie dans ce graphe. ϕ D = x zp(z, f (x)) G(z, x) pour tout z et pour tout x, si z précède immédiatement f (x), alors z suit immédiatement x. Elle est fausse. b a c Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
13 Interprétation 3 Les individus sont les quatre sommets a, b, c, d du graphe P(x, y) x précède immédiatement y sur le graphe. G(x, y) x suit immédiatement y sur le graphe. ϕ P = x yp(y, x) tout point a un prédécesseur immédiat. Elle est vraie. ϕ G = x y z(p(x, y) P(y, z)) G(x, z) pour tous points x, y, z, si x précède imméd. y et si y précède imméd. z, alors x suit imméd. z. Elle est fausse. ϕ C = x yg(y, x) tout point a un successeur immédiat. Elle est vraie. a d b c ϕ F = ((ϕ P ϕ G ) ϕ C ) est donc vraie dans cette interprétation. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
14 Interprétation 4 Les individus sont les quatre sommets a, b, c, d du graphe P(x, y) x précède imméd. y et G(x, y) pour aller de x à y on rencontre exactement un point z différent de x et de y. ϕ P = x yp(y, x) tout point a un prédécesseur immédiat. Elle est vraie. ϕ G = x y z(p(x, y) P(y, z)) G(x, z) pour tous points x, y, z, si x précède imméd. y et si y précède imméd. z, alors x suit imméd. z.elle est vraie. ϕ C = x yg(y, x) tout point a un successeur immédiat. Elle est vraie. a d b c ϕ F = ((ϕ P ϕ G ) ϕ C ) est donc vraie dans cette interprétation. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
15 Interprétation 5 Les individus sont les éléments de IN, les entiers naturels. P(x, y) x = y + 1. Ex. P(5, 4) est vraie, mais P(4, 5) est fausse. G(x, y) x = y + 2. Ex. G(6, 4) est vraie, mais G(4, 6) est fausse. ϕ P = x yp(y, x) pour tout x IN, il existe y IN tel que y = x + 1. VRAIE. ϕ G = x y z(p(x, y) P(y, z)) G(x, z) pour tous x, y, z IN, si x = y + 1 et z = y + 1 alors z = x + 2. VRAIE. ϕ C = x yg(y, x) pour tout x IN, il existe y IN tel que y = x + 2. VRAIE. ϕ F = ((ϕ P ϕ G ) ϕ C ) est donc vraie dans cette interprétation. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
16 Interprétation 6 Les individus sont les éléments de IN, les entiers naturels. P(x, y) y = x + 1. Ex. P(5, 4) est vraie, mais P(4, 5) est fausse. G(x, y) y = x + 2. Ex. G(6, 4) est vraie, mais G(4, 6) est fausse. ϕ P pour tout xinin, il existe un entier y tel que x = y + 1. FAUSSE. ϕ G pour tous entiers x, y, z, si x = y + 1 et z = y + 1 alors z = x + 2. VRAIE. ϕ C pour tout x IN, il existe z setn tel que x = z + 2. FAUSSE ((ϕ P ϕ G ) ϕ C ) est donc vraie dans cette interprétation. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
17 Comparaison des interprétations : leurs points communs Les formules possèdent autant d interprétations que l on peut imaginer, de sorte que certains énoncés y sont vrais ou faux. Une interprétation c est la donnée : d un domaine pour les objets, e.g., l ensemble des entiers naturels, l ensemble des étudiants d une classe, l ensemble des sommets d un graphe, l ensemble des graphes, etc. d opérateurs sur le domaine pour les symboles de fonctions Exercice Trouver ces symboles dans les formules de l introduction et les opérateurs qui leur correspondent pour chacune des interprétations. Exercice de relations sur les objets du domaine, Trouver ces symboles de relations dans les formules de l introduction et les relations qui leur correspondent pour chacune des interprétations. Certaines interprétations ont finies (Interprétations 2,3,4), d autres sont infinies (Interprétations 1,5,6). Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
18 Les termes Ils s interprètent comme des objets du domaine de l interprétation choisie. Définition Une signature est un ensemble F = {f, g,...} de symboles muni d une application ar : F IN, appelée arité, qui indique combien d arguments ce symbole de fonction prend. On notera par exemple F = {f (1), g(2),...} pour indiquer que ar(f ) = 1, ar(g) = 2, etc. Si on a c(0) F, le symbole c ne prend pas d argument, on dit que c est une constante. Étant donnés une signature F et un ensemble Var (de variables), l ensemble des termes sur F et Var est le plus petit ensemble noté T F[Var] tel que : x T F[Var] pour toute variable x Var c T F[Var] pour tout symbole d arité 0 (constante) si ar(f ) = n et t 1,..., t n T F[Var], alors f (t 1,..., t n) T F[Var]. Un terme est dit clos s il ne contient aucune variable. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
19 Exemple de termes Exemple On se donne la constante 0, le symbole s d arité 1 les symboles + et d arité 2. Donc la signature F = {0(0), s(1), +(2), (2)}. Soient x, y Var. L expression +( (s(s(0)), x), s(y)) est un terme que l on peut représenter par l arbre suivant : s s 0 + s x y Parfois, nous noterons ABUSIVEMENT (s(s(0)) x) + s(y)) Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
20 Langage/vocabulaire pour les énoncés Définition Un langage (ou vocabulaire) du premier ordre est une paire S = (F, P) où : F est une signature pour les termes. P est une signature pour les formules atomiques/prédicats. Exemple Le langage qu on a envie d utiliser pour la théorie des ensembles est : F = { (0), (2), (2), C(1)} P = {= (2), (2)} et on pourra écrire l énoncé ( (x, C( )), x) (en maths on écrit (x C ) x)) Exercice Quel(s) langage(s) peut-on imaginer pour les entiers naturels? Exercice Quel langage des énoncés ϕ P,..., ϕ F de l introduction? Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
21 Remarque Le rôle des relations et des fonctions est très différent. Les symboles de fonctions (dont les constantes) sont dédiées à la description des termes (i.e., les objets du langage) tandis que les symboles de relations sont dédiées à l expression de formules simples entre les termes (i.e., des propriétés sur ces objets). Exemple est un terme (il désigne un objet) tandis que est une formule. (Sauf mention contraire) chaque langage contient le symbole de relation binaire = et un symbole de relation, sans argument (d arité 0) qui représentera l énoncé toujours faux. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
22 Les formules du calcul des prédicats Étant donné un langage S = (F, P), on construit les formules de la logique du premier ordre en utilisant les connecteurs de la logique propositionnelle et les quantificateurs et. Les formules sont construites à partir des formules atomiques (qui peuvent contenir des termes) : une formule atomique est obtenue en appliquant un symbole de relation à des termes. On se fixe pour toute la suite un ensemble Var = {x, x 0, x 1,..., y, y 0, y 1,..., z, z 0, z 1,...} de variables (du premier ordre). Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
23 Formules Définition Soit S = (F, P) un langage, une formule atomique sur S est une expression de la forme r(t 1,..., t n) où r P et ar(r) = n 1 et t 1, t 2,..., t n T F[Var] sont des termes. Définition Étant donné un langage S, l ensemble F po(s, Var) des formules du premier ordre sur S et Var est le plus petit ensemble tel que : 1. toute formule atomique sur S appartient à F po(s, Var) 2. si ϕ, ψ F po(s, Var) sont deux formules, alors ϕ ψ, ϕ ψ, ϕ ψ, ϕ F po(s, Var) 3. si ϕ F po(s, Var) et x Var, alors xϕ, xϕ F po(s, Var). Exercice Définir par induction sur les formules de F po(s, Var) l ensemble des variables Var(ϕ) d une formule ϕ. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
24 Arbre d une formule Comme pour le calcul propositionnel, on peut voir une formule comme un arbre. Exemple Soit la formule [( xf (x)) ( xk(g(x)) H(f (y, x), g(x)))] [( yg(x, g(y))) F (h(y))] x y F (h(y)) F (x) x H(f (y, x), g(x)) G(x, g(y)) K(g(x)) Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
25 Occurrences libres et liées d une variable Definition Lorsqu une variable x appartient à une sous-formule précédée d un quantificateur, x ou x, elle est dite liée par ce quantificateur. Si une variable n est liée par aucun quantificateur, elle est libre. Remarque La distinction entre variable libre et variable liée est importante : une variable liée ne possède pas d identité propre et peut être remplacée par n importe quel autre nom de variable qui n apparaît pas dans la formule. Exemple La formule x(x < y) peut aussi s écrire z(z < y). Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
26 Occurrences libres et liées d une variable Définition L ensemble des variables libres ( free variables ) FV (ϕ), et l ensemble des variables liées ( bound variables ) BV (ϕ) d une formule ϕ sont des sous-ensembles de Var(ϕ) définis par induction sur la structure de ϕ : { FV (ϕ) = Var(ϕ) si ϕ est une formule atomique : BV (ϕ) = FV ( ϕ) = FV (ϕ) BV ( ϕ) = BV (ϕ) FV (ϕ ψ) = FV (ϕ ψ) = FV (ϕ ψ) = FV (ϕ) FV (ψ) BV (ϕ ψ) = BV (ϕ ψ) = BV (ϕ ψ) = BV (ϕ) BV (ψ) FV ( xϕ) = FV ( xϕ) = FV (ϕ) \ {x} BV ( xϕ) = BV ( xϕ) = BV (ϕ) {x} Définition Une formule ϕ est close si toutes ses variables sont liées, i.e., BV (ϕ) = Var(ϕ). Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
27 Exemple Exemple x y F (h(y)) F (x) x H(f (y, x), g(x)) G(x, g(y)) K(g(x)) On peut renommer les variables liées x 1 x 3 F (h(y)) F (x 1) x 2 H(f (y, x), g(x)) G(x, g(x 3)) K(g(x 2)) Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
28 Sémantique du calcul des prédicats Les formules n ont encore aucune signification, en partie car nous n avons pas donné de signification aux symboles des langages. Une signature ne donne qu un ensemble de symboles, sans en donner d interprétation. Soit S = (F, P) un langage du calcul des prédicats. On note F n et P n les symboles de fonction et les symboles de relation d arité n, respectivement. On interpréte les formules du calcul des prédicats sur des structures. Définition Une S-structure M est la donnée d un ensemble D M (le domaine) et pour chaque f F n, d une fonction totale f M : D n M D M pour chaque r P n, d une relation r M D n M Remarque Si c F 0 (constante), alors c M D M. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
29 Exemples d interprétations Soit le langage S = ({o(0), f (1)}, {P(2)}). Exemple Soit M la structure/interprétation définie par : D M = IN o M = 0 f M (n) = n + 1 P M = {(n, n ) n n } Exemple Soit M la structure/interprétation définie par : D M = {Paul, Anne, Ida} o M = Paul f M (Paul) = Anne, f M (Anne) = Paul, f M (Ida) = Anne, pour héritier P M = {(Anne, Paul), (Paul, Ida), (Anne, Ida)}, pour est plus âgé que Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
30 Quelques structures importantes Domaine Fonctions Relations Nom IN 0, s, +, =, Arithmétique de Péano IN 0, s, + =, Arithmétique de Presburger IR 0, s, +, =, Théorie des réels IR 0, s, + =, Théorie additive des réels {0} {p 0, p 1, p 2,...} Structure propositionnelle Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
31 Interprétation des variables libres On se donne un moyen de savoir à quel élément du domaine une variable correspond. Définition Une valuation des variables de Var dans une structure M est une fonction ν : Var D M qui associe chaque variable à un élément du domaine. On note Val M (ou plus simplement Val) l ensemble des valuations dans M. Pour ν Val, x Var et d D M, on définit : { d si y = x ν[x := d](y) = ν(y) sinon. Ainsi, ν[x := d] est comme ν sauf pour la variable x qui maintenant est associée à d. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
32 Valeur d une formule On se fixe un langage S = (F, P) et un ensemble de variables Var pour écrire des formules. On se fixe aussi une S-structure M, et ν Val M une valuation pour les variables de Var. Pour savoir ce que vaut la formule x(p(f (x), y) Q(g(x, y))) dans M, il faut savoir 1. ce que vallent les termes f (x), y, et g(x, y) 2. ce que vallent les formules atomiques P(f (x), y) et Q(g(x, y)), dont on déduira ce que vaut P(f (x), y) Q(g(x, y)) 3. et enfin, ce que vaut x(p(f (x), y) Q(g(x, y))) Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
33 Valeur d un terme On a fixé un langage S = (F, P) et un ensemble de variables Var, une S-structure M, et ν Val M une valuation pour les variables de Var. Définition Soit t T F[Var], sa valeur dans M pour la valuation ν est un élément du domaine D M, noté [[ t ]] M,ν, et défini par induction sur t : 1. si t = x est une variable, alors [[ t ]] M,ν = [[ x ]] M,ν = ν(x) 2. sinon t = f (t 1,..., t n), et alors [[ t ]] M,ν = [[ f (t 1, t 2,..., t n) ]] M,ν = f M ([[ t 1 ]] M,ν, [[ t 2 ]] M,ν,..., [[ t n ]] M,ν) Remarque Le cas d une constante c est un cas particulier de 2. pour un symbole d arité 0 : [[ c ]] M,ν = c M D M Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
34 Valeur d une formule atomique (de la forme r(t 1, t 2,..., t n )) On a fixé un langage S = (F, P) et un ensemble de variables Var, une S-structure M, et ν Val M une valuation pour les variables de Var. Définition La valeur de r(t 1, t 2,..., t n) dans M pour ν, notée [[ r(t 1, t 2,..., t n) ]] M,ν, est dans {0, 1} et est donnée par : [[ r(t 1, t 2,..., t n) ]] M,ν = 1 ssi ([[ t 1 ]] M,ν, [[ t 2 ]] M,ν,..., [[ t n ]] M,ν) r M Exemple Considérons la formule atomique P(f (x), y) que l on évaluer dans la structure N de domaine les entiers naturels IN, et pour laquelle f N (n) = n + 1 et P N est la relation, et pour la valuation ν définie par [x := 42, y := 3, z :=...]. Par définition pour les formules atomiques, [[ P(f (x), y) ]] M,ν = 1 dès lors que (ν(f (x)), ν(y)) P N, ce qui se lit qui est bien vraie. Exercice Trouver une structure M et une valuation ν pour lesquelle [[P(f (x), y)]] M,ν = 0. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
35 Valeur d une formule Maintenant que l on connaît les valeurs des formules atomiques, on peut définir les valeurs de formules plus complexes. Définition Soit ϕ F po une formule non atomique. La valeur de ϕ dans M pour la valuation ν, notée [[ ϕ ]] M,ν, est dans {0, 1} et est définie par (induction) : [[ ϕ ψ ]] M,ν = 1 ssi [[ ϕ ]] M,ν = 1 et [[ ψ ]] M,ν = 1 [[ ϕ ψ ]] M,ν = 1 ssi [[ ϕ ]] M,ν = 1 ou [[ ψ ]] M,ν = 1 [[ ϕ ]] M,ν = 1 ssi [[ ϕ ]] M,ν = 0 [[ ϕ ψ ]] M,ν = 0 ssi [[ ϕ ]] M,ν = 1 et [[ ψ ]] M,ν = 0 [[ xϕ ]] M,ν = 1 ssi il existe d D M tel que [[ ϕ ]] M,ν[x:=d] = 1 [[ xϕ ]] M,ν = 1 ssi pour tout d D M, [[ ϕ ]] M,ν[x:=d] = 1 Lorsque [[ ϕ ]] M,ν = 1, on dit que ϕ est vraie..., et on note M, ν = ϕ. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
36 Prenons un peu de temps pour... Définition Soit ϕ F po une formule non atomique. La valeur de ϕ dans M pour la valuation ν, notée [[ ϕ ]] M,ν, est dans {0, 1} et est définie par (induction) :. [[ xϕ ]] M,ν = 1 ssi il existe d D M tel que [[ ϕ ]] M,ν[x:=d] = 1 [[ xϕ ]] M,ν = 1 ssi pour tout d D M, [[ ϕ ]] M,ν[x:=d] = 1 Des exemples au tableau... Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
37 Remarques [[ xϕ ]] M,ν = 1 ssi il existe d D M tel que [[ ϕ ]] M,ν[x:=d] = 1 [[ xϕ ]] M,ν = 1 ssi pour tout d D M, [[ ϕ ]] M,ν[x:=d] = 1 Remarque On a vu que les valeurs [[ xϕ ]] M,ν et [[ xϕ ]] M,ν sont indépendantes de ν(x). Plus généralement, les valeurs [[ ϕ ]] M,ν et [[ ϕ ]] M,ν ne dépendent pas des valuations des variables x BV (ϕ) (variables liées), mais de celles de variables libres. Remarque Lorsque ϕ est une formule close (i.e. pas de variables libres), sa valeur [[ ϕ ]] M,ν ne dépend pas de la valuation ν. Lorsque ϕ est close, on note [[ ϕ ]] M sa valeur dans M, et on écrit M = ϕ lorsque [[ ϕ ]] M = 1. La notion pertinente est celle de formule close, les formules non closes ne servent qu à donner la sémantique. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
38 Exemple d application de la sémantique : Ordre des quantificateurs Avec notre sémantique des formules, on peut montrer que l ordre dans lequel sont écrits certains quantificateurs est important : par exemple, les formules y xp(x, y) et x yp(x, y) ne signifient pas la même chose puisqu il existe une structure dans laquelle y xp(x, y) est vraie, mais x yp(x, y) est fausse. On choisit la structure des entiers ordonnées N = (IN, ), dans laquelle P s interprète comme. [[ y xp(x, y) ]] N = 1 ssi pour tout n IN, [[ xp(x, y) ]] N,[y:=n] = 1 ssi pour tout n IN, il existe m IN, [[ P(x, y) ]] N,[y:=n,x:=m] = 1 ssi pour tout n IN, il existe m IN, ([[ x ]] N,[y:=n,x:=m], [[ y ]] N,[y:=n,x:=m] ) P N ssi pour tout n IN, il existe m IN, m n c est VRAI! [[ x yp(x, y) ]] N = 1 ssi il existe m IN t.q, [[ yp(x, y) ]] N,[x:=m] = 1 ssi il existe m IN, pour tout n IN, [[ P(x, y) ]] N,[x:=m,y:=n] = 1 ssi il existe m IN, pour tout n IN, ([[ x ]] N,[x:=m,y:=n], [[ y ]] N,[x:=m,y:=n] ) P N ssi il existe m IN, pour tout n IN, m n c est FAUX! Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
39 Notions sémantiques Comme pour le calcul propositionnel, on définit les notions de : modèles d une formule close thérorème validité/satisfaisabilité conséquence logique équivalence etc. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
40 Modèles, théorèmes, et tout et tout... Soit S un langage du premier ordre. Définition Soit M une S-structure. Soit ϕ F po une formule close sur S. La structure M est un modèle de ϕ si M = ϕ (c-à-d. [[ ϕ ]] M = 1). Soit Γ F po un ensemble de formules closes sur S. La structure M est un modèle de Γ si M = ϕ, pour tout ϕ Γ. Définition Une formule close ϕ F po est insatisfaisable si elle n a pas de modèle, sinon elle est satisfaisable. Une formule close ϕ F po sur S est valide (ou une tautologie), noté = ϕ, si M = ϕ, pour toute S-structure M. Définition Deux formules closes ϕ et ψ de F po sont dites équivalentes (noté ϕ ψ) si pour toute S-structure M, on a M = ϕ ssi M = ψ. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
41 Equivalences classiques (1/2) Loi de conversion des quantificateurs xϕ x ϕ xϕ x ϕ Loi de distribution des quantificateurs x(ϕ ψ) ( xϕ xψ) x(ϕ ψ) ( xϕ xψ) Lois de permutation des quantificateurs de même sorte x yϕ y xϕ x yϕ y xϕ Exercice Utiliser la sémantique de et celle des formules pour démontrer ces équivalences. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
42 Equivalences classiques (2/2) Lois de réalphabétisation (renommage) des variables. On peut toujours renommer une variable liée et la variable du quantificateur au sein d une formule. Cependant, le nouveau nom ne doit pas être un nom déjà utilisé pour une variable libre ou liée de la formule. Exemple Dans x( xf (x, y) (G(x) q)), on peut opérer deux renommages : z( tf (t, y) (G(z) q)) Lois de passage : si x / FV (ψ), x(ϕ ψ) ( xϕ) ψ x(ϕ ψ) ( xϕ) ψ x(ϕ ψ) ( xϕ) ψ x(ϕ ψ) ( xϕ) ψ x(ϕ ψ) ( xϕ) ψ x(ϕ ψ) ( xϕ) ψ x(ψ ϕ) ψ ( xϕ) x(ψ ϕ) ψ ( xϕ) Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
43 Conséquence logique Définition Une formule close ϕ est conséquence logique d un ensemble de formules closes Γ si tout modèle de Γ est un modèle de ϕ. On écrit alors Γ = ϕ. Une théorie est l ensemble des conséquences logiques d un ensemble de formules closes. Exemple La théorie des groupes est l ensemble des conséquences logiques de l ensemble de formules suivantes, appelées axiomes de la théorie des groupes : Par exemple, Associativité x y z[(x y) z = x (y z)] (Ass) Élément neutre x[(x e = x) (e x = x)] (EN) Inverse x[(x i(x) = e) (i(x) x = e)] (Inv) {Ass, EN, Inv} = x y[(x y = e) (y = i(x))] qui exprime que l inverse à droite de tout élément est unique. Sophie Pinchinat Logique : le calcul de prédicats UE LOG année /41
Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailCalculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables. http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/
Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/ Problèmes et classes de décidabilité Problèmes et classes de décidabilité Nous nous intéressons aux problèmes
Plus en détailBases de données Cours 5 : Base de données déductives
Cours 5 : ESIL Université de la méditerranée Odile.Papini@esil.univmed.fr http://odile.papini.perso.esil.univmed.fr/sources/bd.html Plan du cours 1 Introduction 2 approche sémantique approche axiomatique
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailQuelques algorithmes simples dont l analyse n est pas si simple
Quelques algorithmes simples dont l analyse n est pas si simple Michel Habib habib@liafa.jussieu.fr http://www.liafa.jussieu.fr/~habib Algorithmique Avancée M1 Bioinformatique, Octobre 2008 Plan Histoire
Plus en détailLogique : ENSIIE 1A - contrôle final
1 Logique : ENSIIE 1A - contrôle final - CORRIGÉ Mardi 11 mai 2010 - Sans documents - Sans calculatrice ni ordinateur Durée : 1h30 Les exercices sont indépendants. Exercice 1 (Logique du premier ordre
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailMIS 102 Initiation à l Informatique
MIS 102 Initiation à l Informatique Responsables et cours : Cyril Gavoille Catherine Pannier Matthias Robine Marc Zeitoun Planning : 6 séances de cours 5 séances de TD (2h40) 4 séances de TP (2h40) + environ
Plus en détail1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles)
1/4 Objectif de ce cours /4 Objectifs de ce cours Introduction au langage C - Cours Girardot/Roelens Septembre 013 Du problème au programme I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d
Plus en détailAlgorithmique des Systèmes Répartis Protocoles de Communications
Algorithmique des Systèmes Répartis Protocoles de Communications Master Informatique Dominique Méry Université de Lorraine 1 er avril 2014 1 / 70 Plan Communications entre processus Observation et modélisation
Plus en détailIUT de Laval Année Universitaire 2008/2009. Fiche 1. - Logique -
IUT de Laval Année Universitaire 2008/2009 Département Informatique, 1ère année Mathématiques Discrètes Fiche 1 - Logique - 1 Logique Propositionnelle 1.1 Introduction Exercice 1 : Le professeur Leblond
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailUEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailCours 1 : Qu est-ce que la programmation?
1/65 Introduction à la programmation Cours 1 : Qu est-ce que la programmation? Yann Régis-Gianas yrg@pps.univ-paris-diderot.fr Université Paris Diderot Paris 7 2/65 1. Sortez un appareil qui peut se rendre
Plus en détailManuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
Plus en détailLe chiffre est le signe, le nombre est la valeur.
Extrait de cours de maths de 6e Chapitre 1 : Les nombres et les opérations I) Chiffre et nombre 1.1 La numération décimale En mathématique, un chiffre est un signe utilisé pour l'écriture des nombres.
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailObjectifs du cours d aujourd hui. Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet. Complexité d un problème (2)
Objectifs du cours d aujourd hui Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet Complexité des problèmes Introduire la notion de complexité d un problème Présenter
Plus en détailQu est-ce qu une probabilité?
Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailFondements de l informatique Logique, modèles, et calculs
Fondements de l informatique Logique, modèles, et calculs Cours INF423 de l Ecole Polytechnique Olivier Bournez Version du 20 septembre 2013 2 Table des matières 1 Introduction 9 1.1 Concepts mathématiques........................
Plus en détailCours d introduction à l informatique. Partie 2 : Comment écrire un algorithme? Qu est-ce qu une variable? Expressions et instructions
Cours d introduction à l informatique Partie 2 : Comment écrire un algorithme? Qu est-ce qu une variable? Expressions et instructions Qu est-ce qu un Une recette de cuisine algorithme? Protocole expérimental
Plus en détailChap 4: Analyse syntaxique. Prof. M.D. RAHMANI Compilation SMI- S5 2013/14 1
Chap 4: Analyse syntaxique 1 III- L'analyse syntaxique: 1- Le rôle d'un analyseur syntaxique 2- Grammaires non contextuelles 3- Ecriture d'une grammaire 4- Les méthodes d'analyse 5- L'analyse LL(1) 6-
Plus en détailIN 102 - Cours 1. 1 Informatique, calculateurs. 2 Un premier programme en C
IN 102 - Cours 1 Qu on le veuille ou non, les systèmes informatisés sont désormais omniprésents. Même si ne vous destinez pas à l informatique, vous avez de très grandes chances d y être confrontés en
Plus en détailALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION En C
Objectifs ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION Une façon de raisonner Automatiser la résolution de problèmes Maîtriser les concepts de l algorithmique Pas faire des spécialistes d un langage Pierre TELLIER 2
Plus en détailTS 35 Numériser. Activité introductive - Exercice et démarche expérimentale en fin d activité Notions et contenus du programme de Terminale S
FICHE Fiche à destination des enseignants TS 35 Numériser Type d'activité Activité introductive - Exercice et démarche expérimentale en fin d activité Notions et contenus du programme de Terminale S Compétences
Plus en détailIntelligence Artificielle Planification
Intelligence Artificielle Planification Bruno Bouzy http://web.mi.parisdescartes.fr/~bouzy bruno.bouzy@parisdescartes.fr Licence 3 Informatique UFR Mathématiques et Informatique Université Paris Descartes
Plus en détailINITIATION AU LANGAGE C SUR PIC DE MICROSHIP
COURS PROGRAMMATION INITIATION AU LANGAGE C SUR MICROCONTROLEUR PIC page 1 / 7 INITIATION AU LANGAGE C SUR PIC DE MICROSHIP I. Historique du langage C 1972 : naissance du C dans les laboratoires BELL par
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détailCompression Compression par dictionnaires
Compression Compression par dictionnaires E. Jeandel Emmanuel.Jeandel at lif.univ-mrs.fr E. Jeandel, Lif CompressionCompression par dictionnaires 1/25 Compression par dictionnaire Principe : Avoir une
Plus en détailCours 1 : La compilation
/38 Interprétation des programmes Cours 1 : La compilation Yann Régis-Gianas yrg@pps.univ-paris-diderot.fr PPS - Université Denis Diderot Paris 7 2/38 Qu est-ce que la compilation? Vous avez tous déjà
Plus en détailCours de Probabilités et de Statistique
Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailINF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies
INF 232: Langages et Automates Travaux Dirigés Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies Année Académique 2013-2014 Année Académique 2013-2014 UNIVERSITÉ JOSEPH
Plus en détailchoisir H 1 quand H 0 est vraie - fausse alarme
étection et Estimation GEL-64943 Hiver 5 Tests Neyman-Pearson Règles de Bayes: coûts connus min π R ( ) + ( π ) R ( ) { } Règles Minimax: coûts connus min max R ( ), R ( ) Règles Neyman Pearson: coûts
Plus en détailSTAGE IREM 0- Premiers pas en Python
Université de Bordeaux 16-18 Février 2014/2015 STAGE IREM 0- Premiers pas en Python IREM de Bordeaux Affectation et expressions Le langage python permet tout d abord de faire des calculs. On peut évaluer
Plus en détailUtilisation des tableaux sémantiques dans les logiques de description
Utilisation des tableaux sémantiques dans les logiques de description IFT6281 Web Sémantique Jacques Bergeron Département d informatique et de recherche opérationnelle Université de Montréal bergerja@iro.umontreal.ca
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailChapitre 5 : Flot maximal dans un graphe
Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d
Plus en détailCalculs de probabilités
Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailLa NP-complétude. Johanne Cohen. PRISM/CNRS, Versailles, France.
La NP-complétude Johanne Cohen PRISM/CNRS, Versailles, France. Références 1. Algorithm Design, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Addison-Wesley, 2006. 2. Computers and Intractability : A Guide to the Theory of
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailCours d initiation à la programmation en C++ Johann Cuenin
Cours d initiation à la programmation en C++ Johann Cuenin 11 octobre 2014 2 Table des matières 1 Introduction 5 2 Bases de la programmation en C++ 7 3 Les types composés 9 3.1 Les tableaux.............................
Plus en détailRéalisabilité et extraction de programmes
Mercredi 9 mars 2005 Extraction de programme: qu'est-ce que c'est? Extraire à partir d'une preuve un entier x N tel que A(x). π x N A(x) (un témoin) (En fait, on n'extrait pas un entier, mais un programme
Plus en détailTP3 : Manipulation et implantation de systèmes de fichiers 1
École Normale Supérieure Systèmes et réseaux Année 2012-2013 TP3 : Manipulation et implantation de systèmes de fichiers 1 1 Répertoire de travail courant Le but de l exercice est d écrire une commande
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailAnalyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I
Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Roxane Duroux 1 Cadre de l étude Cette étude s inscrit dans le cadre de recherche de doses pour des essais cliniques
Plus en détailReprésentation des Nombres
Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailProbabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de
Plus en détailThéorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France
Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailLes nombres entiers. Durée suggérée: 3 semaines
Les nombres entiers Durée suggérée: 3 semaines Aperçu du module Orientation et contexte Pourquoi est-ce important? Dans le présent module, les élèves multiplieront et diviseront des nombres entiers concrètement,
Plus en détailThéorie des Graphes Cours 3: Forêts et Arbres II / Modélisation
IFIPS S7 - informatique Université Paris-Sud 11 1er semestre 2009/2010 Théorie des Graphes Cours 3: Forêts et Arbres II / 1 Forêts et arbres II Théorème 1.1. Les assertions suivantes sont équivalentes
Plus en détailInitiation à la programmation en Python
I-Conventions Initiation à la programmation en Python Nom : Prénom : Une commande Python sera écrite en caractère gras. Exemples : print 'Bonjour' max=input("nombre maximum autorisé :") Le résultat de
Plus en détailAlgèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailLE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN
LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN Dans cette leçon nous définissons le modèle de plus court chemin, présentons des exemples d'application et proposons un algorithme de résolution dans le cas où les longueurs
Plus en détailAlgorithmique et Programmation, IMA
Algorithmique et Programmation, IMA Cours 2 : C Premier Niveau / Algorithmique Université Lille 1 - Polytech Lille Notations, identificateurs Variables et Types de base Expressions Constantes Instructions
Plus en détailDéfinitions. Numéro à préciser. (Durée : )
Numéro à préciser (Durée : ) On étudie dans ce problème l ordre lexicographique pour les mots sur un alphabet fini et plusieurs constructions des cycles de De Bruijn. Les trois parties sont largement indépendantes.
Plus en détailCours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application
Université de Provence Licence Math-Info Première Année V. Phan Luong Algorithmique et Programmation en Python Cours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application 1 Ordinateur Un
Plus en détailConception des bases de données : Modèle Entité-Association
Conception des bases de données : Modèle Entité-Association La modélisation d un problème, c est-à-dire le passage du monde réel à sa représentation informatique, se définit en plusieurs étapes pour parvenir
Plus en détailAnne Tasso. Java. Le livre de. premier langage. 10 e édition. Avec 109 exercices corrigés. Groupe Eyrolles, 2000-2015, ISBN : 978-2-212-14154-2
Anne Tasso Java Le livre de premier langage 10 e édition Avec 109 exercices corrigés Groupe Eyrolles, 2000-2015, ISBN : 978-2-212-14154-2 Table des matières Avant-propos Organisation de l ouvrage..............................
Plus en détailGlossaire des nombres
Glossaire des nombres Numérisation et sens du nombre (4-6) Imprimeur de la Reine pour l'ontario, 008 Nombre : Objet mathématique qui représente une valeur numérique. Le chiffre est le symbole utilisé pour
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailLEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.
LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,
Plus en détailExo7. Probabilité conditionnelle. Exercices : Martine Quinio
Exercices : Martine Quinio Exo7 Probabilité conditionnelle Exercice 1 Dans la salle des profs 60% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailModèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques
Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés
Plus en détailDistribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités
Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements
Plus en détail1.1 Codage de source et test d hypothèse
Théorie de l information et codage 200/20 Cours 8février20 Enseignant: Marc Lelarge Scribe: Marc Lelarge Pour information Page webdu cours http://www.di.ens.fr/~lelarge/info.html Notations Pour des variables
Plus en détailTP n 2 Concepts de la programmation Objets Master 1 mention IL, semestre 2 Le type Abstrait Pile
TP n 2 Concepts de la programmation Objets Master 1 mention IL, semestre 2 Le type Abstrait Pile Dans ce TP, vous apprendrez à définir le type abstrait Pile, à le programmer en Java à l aide d une interface
Plus en détailExpression des contraintes. OCL : Object C o n t r a i n t L a n g u a g e
P r o b l é m a t i q u e OCL : O b j e c t C o n s t r a i n t L a n g u a g e Le langage de contraintes d UML Les différents diagrammes d UML permettent d exprimer certaines contraintes graphiquement
Plus en détailFeuille TD n 1 Exercices d algorithmique éléments de correction
Master Sciences, Technologies, Santé Mention Mathématiques, spécialité Enseignement des mathématiques Algorithmique et graphes, thèmes du second degré Feuille TD n 1 Exercices d algorithmique éléments
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailArchitecture des ordinateurs TD1 - Portes logiques et premiers circuits
Architecture des ordinateurs TD1 - Portes logiques et premiers circuits 1 Rappel : un peu de logique Exercice 1.1 Remplir la table de vérité suivante : a b a + b ab a + b ab a b 0 0 0 1 1 0 1 1 Exercice
Plus en détailASR1 TD7 : Un microprocesseur RISC 16 bits
{Â Ö Ñ º ØÖ Ý,È ØÖ ºÄÓ Ù,Æ ÓÐ ºÎ ÝÖ Ø¹ ÖÚ ÐÐÓÒ} Ò ¹ÐÝÓÒº Ö ØØÔ»»Ô Ö Óº Ò ¹ÐÝÓÒº Ö» Ö Ñ º ØÖ Ý»¼ Ö½» ASR1 TD7 : Un microprocesseur RISC 16 bits 13, 20 et 27 novembre 2006 Présentation générale On choisit
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailCours No 3 : Identificateurs, Fonctions, Premières Structures de contrôle.
Université Montpellier-II UFR des Sciences - Département Informatique - Licence Informatique UE GLIN302 - Programmation Applicative et Récursive Cours No 3 : Identificateurs, Fonctions, Premières Structures
Plus en détailProbabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Plus en détailLangage SQL (1) 4 septembre 2007. IUT Orléans. Introduction Le langage SQL : données Le langage SQL : requêtes
Langage SQL (1) Sébastien Limet Denys Duchier IUT Orléans 4 septembre 2007 Notions de base qu est-ce qu une base de données? SGBD différents type de bases de données quelques systèmes existants Définition
Plus en détailMaster IMA - UMPC Paris 6 RDMM - Année 2009-2010 Fiche de TP
Master IMA - UMPC Paris 6 RDMM - Année 2009-200 Fiche de TP Préliminaires. Récupérez l archive du logiciel de TP à partir du lien suivant : http://www.ensta.fr/~manzaner/cours/ima/tp2009.tar 2. Développez
Plus en détailÉvaluation et implémentation des langages
Évaluation et implémentation des langages Les langages de programmation et le processus de programmation Critères de conception et d évaluation des langages de programmation Les fondations de l implémentation
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailChapitre 10 Arithmétique réelle
Chapitre 10 Arithmétique réelle Jean Privat Université du Québec à Montréal INF2170 Organisation des ordinateurs et assembleur Automne 2013 Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne 2013
Plus en détailL exclusion mutuelle distribuée
L exclusion mutuelle distribuée L algorithme de L Amport L algorithme est basé sur 2 concepts : L estampillage des messages La distribution d une file d attente sur l ensemble des sites du système distribué
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailUne introduction aux codes correcteurs quantiques
Une introduction aux codes correcteurs quantiques Jean-Pierre Tillich INRIA Rocquencourt, équipe-projet SECRET 20 mars 2008 1/38 De quoi est-il question ici? Code quantique : il est possible de corriger
Plus en détailCHAPITRE 1. Suites arithmetiques et géometriques. Rappel 1. On appelle suite réelle une application de
HAPITRE 1 Suites arithmetiques et géometriques Rappel 1 On appelle suite réelle une application de dans, soit est-à-dire pour une valeur de la variable appartenant à la suite prend la valeur, ie : On notera
Plus en détail