Démonstration élémentaire du Théorème de Feuerbach.

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1 Démonstration élémentaire du Théorème de Feuerbach. Autor(en): Sawayama, V. Objekttyp: Chapter Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique Band (Jahr): 7 (1905) Heft 1: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE PDF erstellt am: Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. Die systematische Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber. Haftungsausschluss Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigkeit oder Richtigkeit. Es wird keine Haftung übernommen für Schäden durch die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder durch das Fehlen von Informationen. Dies gilt auch für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot zugänglich sind. Ein Dienst der ETH-Bibliothek ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz,

2 MÉLANGES ET CORRESPONDANCE Sous ce titre nous publions les remarques et renseignements concernani plus ou moins directement l'enseignement mathématique, telles que des descriptions d'instruments ou d'appareils nouveaux, etc. Quant à la corres pondance, elle permet à tout lecteur de présenter sous une forme rapide les idées qui lui semblent utiles, les remarques suggérées par la lecture d'un article, ou les questions sur lesquelles il aurait besoin d'un renseigne La Rédaction. ment. Démonstration élémentaire du Théorème de Feuerbach. Le cercle des neufs points d'un triangle est tangent intérieurement au cercle inscrit et extérieurement au cercle ex-inscrit. II existe de nombreuses démonstrations de ce théorème célèbre. Celle que je présente ci-après est établie uniquement sur les trois premiers livres d'euclide, et, à ce point de vue, offre peut-être quelque intérêt. Il est évident que, dans le cas où le triangle est isoscèle, le cercle des neuf points est tangent au milieu de la base, intérieu rement au cercle inscrit et extérieurement au cercle ex-inscrit de l'angle correspondant, et qu'il coïncide avec le cercle inscrit dans le cas où le triangle est équilatéral. Nous allons donc démontrer le théorème dans le cas général où le triangle a deux côtés diffé rents. Dans le triangle ABC nous supposons que le côté AG est plus grand que le côté AB et soient : A' le milieu du côté BC ; B' CA; D le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet A sur le

3 et Donc A'Q est parallèle à IA

4 L le point de rencontre avec AP de la perpendiculaire pas sant par X de cette perpendiculaire avec A'Q: [F le pied de la perpendiculaire abaissée de I sur PP' ; M U Y X : )> ; En conséquence, on -d^ a Maintenant, dans le triangle PXU, on a Mais Le quadrilatère A'KP'C peut donc être inscrit dans un cercle. Et on a D'ailleurs, dans le triangle rectangle AP'K, mais ou Le point A' est le milieu entre le point X et le point de tangence

5 moins ou plus, suivant qu'il s'agit du cercle inscrit ou du cer ex-inscrit. Joignant résultat la relation (a) et observant que 1, L, V sont sur le môme cercle (PI. PL PU.PY), nous obtenons ce à = Ainsi la distance entre le centre du cercle des neuf points e mi-centre est égale àla différence de leurs rayons ; donc les d cercles sont tangents intérieurement. La distance entre le centre du cercle des neuf points et le centre est é^ale à la somme de leurs ravons: donc les deux cerc sont tangents extérieurement. V. Sawayama (Tokio Sur les racines des équations algébriques. Les remarques présentées par M. Kariya iv. n du 15 sep 1905; p ) au sujet de ma note parue en juillet 1904 (p. et suivantes) reposent sur un malentendu. Il s'agit du théorè suivant : dans un polynôme entier avec tous ses termes positifs ordon par rapport aux puissances décroissantes de x, le rapport d'un c ficient au précèdent ne va pas en croissant, V équation que Von tient en égalant le polynôme à zéro a nécessairement des raci imaginaires. L'erreur de M. Kariya résulte de ce qu'il ne tient pas com de la distinction que nous faisons entre l'ordre des coefficie et l'ordre des rapports de ces coefficients. En disant que le rapp d'un coefficient au précédent ne va, pas en croissant, nous ent dons 1 que dans le polynôme