Chapitre 1 : CALCUL NUMERIQUE

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1 Introduction. Ce chapitre a pour but de faire une révision complète et rapide sur l ensemble des connaissances calculatoire de l élève, supposées déjà acquises. Il est fondamental de maîtriser chaque règle de calcul, qui sont des bases pour l enseignement à venir. Il appartiendra à chaque élève de travailler en fonction de ses besoins. Des liens vers des ressources de travail sont précisés à chaque compétence. 1 ) Ensembles de nombres. a) Entiers naturels. Ensemble des nombres entiers positifs, b) Entiers relatifs. Ensemble des nombres entiers négatifs et positifs, c) Nombres décimaux. Ensemble des nombres dont l écriture décimale se termine, d) Nombres rationnels. Ensemble des nombres admettant une écriture fractionnaire et dont l écriture décimale ne se termine pas toujours, e) Nombres réels. Ensemble complet de tous les nombres réels. La droite des réels n admet pas de trous. Propriété amusante : sur la droite des réelles, il y a autant de nombres sur ; et pourtant, n a-t-on pas inclusion de dans? que sur f) Schéma récapitulatif. Page 1 sur 11

2 2 ) Priorités de calcul. a) Succession d additions. Règle de calcul : dans une succession d additions, je peux déplacer les termes et calculer dans l ordre que je préfère. b) Successions de soustractions. Règle de calcul : dans une succession de soustractions, je suis obligé de calculer de gauche à droite. c) Succession d additions et de soustractions. Règle de calcul : dans une succession d additions et de soustractions, je peux : Calculer de gauche à droite Déplacer les termes en déplaçant le signe qui le précède avec le terme (technique des étiquettes) d) Succession de multiplications. Règle de calcul : dans une succession de multiplications, je peux déplacer les termes et calculer dans l ordre que je préfère. e) Succession de divisions. Règle de calcul : dans une succession de divisions, je suis obligé de calculer de gauche à droite. f) Succession de multiplication et de divisions. Règle de calcul : dans une succession de multiplications et de divisions, je peux : Calculer de gauche à droite Faire intervenir l écriture fractionnaire (attention!!! risque d erreurs élevé) g) Expressions numériques avec succession d opérations. Règle de calcul : la multiplication et la division sont prioritaires sur l addition et la soustraction. h) Expressions avec des parenthèses. Règle de calcul : les calculs entre parenthèses sont prioritaires. Dans le cas où l on a une expression avec plusieurs niveaux de parenthèses, ce sont les parenthèses les plus internes qui sont prioritaires. Livre de mathématiques, niveau, Maths en Poche : cahier d activités (cliquer sur le lien), pages à Manuels Sésamaths (cliquer sur le lien), pages à Page 2 sur 11

3 3 ) Calcul fractionnaire : simplification d une fraction et produit en croix. a) Inverse d un nombre. Définition : soit un nombre réel non nul. L inverse de est le nombre qui, multiplié par, donne 1. On le note. b) Quotient, fraction. Définition : on appelle quotient de par le résultat de la division de par. Ce quotient peut s écrire sous forme fractionnaire, par exemple se note. Ce quotient est appelé fraction lorsque le numérateur et le dénominateur sont deux nombres entiers, par exemple est une fraction. est un quotient, et c) Simplification de fractions. Règle de calcul : on peut multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre réel non nul sans modifier la valeur du quotient. Autrement dit, si est un nombre réel, et deux nombres réels non nuls : Définition : lorsque l on ne peut plus simplifier une fraction, on dit qu elle est irréductible. Conseils pour la rédaction : il faut toujours préciser par combien on a simplifié ou par combien on a multiplié. Ce n est pas au correcteur de d) Comparaison de fractions. Remarque : Pour comparer deux fractions, il convient de commencer par les mettre sous le même dénominateur. Comparer deux nombres signifie indiquer qui est supérieur, inférieur, ou s il y a égalité. (utilisation des symboles ) e) Produit en croix. Règle de calcul : pour Page 3 sur 11

4 4 ) Calcul fractionnaire : additions et soustractions de fractions. Rédaction mathématique : on rappelle qu en mathématiques française, un seul signe = doit être utilisé par ligne, il convient de faire les calculs en colonne et non en lignes. a) Addition ou soustraction entre deux fractions de même dénominateur. Règle de calcul : on ajoute les numérateurs et le dénominateur reste inchangé. Pour réels et b) Addition ou soustraction entre une fraction et un nombre. Règle de calcul : pour transformer un nombre en fraction, il suffit de rajouter 1 comme dénominateur. Pour et c) Addition ou soustraction entre deux fractions de dénominateurs multiples. Règle de calcul : avant de pouvoir faire l addition ou la soustraction, on doit avoir un dénominateur commun. Exemple : d) Addition ou soustraction entre deux fractions de dénominateurs différents. Règle de calcul : avant de pouvoir faire l addition ou la soustraction, on doit avoir un dénominateur commun. On trouvera le dénominateur commun le plus simple par recherche du PGCD (voir page). Une option peut être de multiplier les dénominateurs entre eux. Pour et e) Successions d additions ou de soustractions de fractions, expressions avec des parenthèses. Règle de calcul : on appliquera les mêmes règles de calcul que dans la partie 2 (page 2) Page 4 sur 11

5 5 ) Calcul fractionnaire : produits et quotients de fractions. a) Produit entre deux fractions. On multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux On cherche à simplifier avant de multiplier (et on rédige proprement) b) Produit entre un nombre et une fraction. On multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux On cherche à simplifier avant de multiplier (et on rédige proprement) Un nombre se met sous forme fractionnaire en ajoutant 1 au dénominateur. c) Produit entre plusieurs fractions. On simplifie avant de multiplier en décomposant les nombres. Dans une succession de multiplications, il n y a pas d ordre. d) Divisions de fractions. Règle de calcul : diviser par une fraction, c est multiplier par son inverse. Définition : l inverse de la fraction est le nombre qui, multiplié par, donne 1. Ce nombres est. Page 5 sur 11

6 6 ) Somme et différence entre deux nombres relatifs. a) Addition entre deux nombres de même signe. Règle de calcul : le signe de la somme est le signe des deux termes, la distance à zéro de la somme est la somme des distances à zéro. b) Addition entre deux nombres de signes contraires. Règle de calcul : le signe de la différence est le signe du terme qui a la plus grande distance à zéro, et la distance à zéro de la différence est la différence des distances à zéro entre les deux termes. c) Soustraction entre deux nombres relatifs. Règle de calcul : soustraire un nombre relatif à un autre, c est ajouter son opposé. Définition : l opposé d un nombre négatif est le nombre qui a la même distance à zéro, mais pas le même signe. d) Simplification d expressions Règle de calcul : pour calculer une expression composée de successions d additions et de soustractions entre les nombres relatifs, on peut : Transformer les soustractions en additions. Calculer de gauche à droite. e) Les nombres relatifs sur une droite graduée. Règle/définition : on peut représenter sur une droite graduée, d origine O, les nombres relatifs. A chaque nombre relatif correspond un point de cette droite. On appelle abscisse du point le nombre relatif permettant de repérer le point sur la droite. f) Calcul d une distance sur une droite graduée. Règle de calcul : la distance entre deux nombres relatifs inscrits sur une droite graduée est égale à la distance entre le nombre relatif le plus à droit et le nombre relatif le plus à gauche. g) Comparaison entre deux nombres relatifs. Règle de calcul : si deux nombres sont positifs, ils sont rangés par ordre croissant de distance à zéro. Si deux nombres sont négatifs, ils sont rangés par ordre décroissant de distance à zéro. Si deux nombres sont de signe contraire, c est le nombre négatif qui est inférieur au nombre positif. Page 6 sur 11

7 7 ) Produits et quotients entre deux nombres relatifs. a) Produit entre deux nombres de même signe Le produit entre deux nombres de même signe est un nombre positif. La distance à zéro du produit entre deux nombres relatifs est égal au produit des distances à zéro des deux facteurs du produit. b) Produit entre deux nombres de signe contraire Le produit entre deux nombres de signe contraire est un nombre négatif. La distance à zéro du produit entre deux nombres de signe contraire est égal au produit des distances à zéro des deux facteurs du produit. c) Quotients entre deux nombres relatifs Le quotient entre deux nombres de signe contraire est un nombre négatif. Le quotient entre deux nombres de même signe est un nombre positif. La distance à zéro du quotient entre deux nombres relatifs est égal au quotient des distances à zéro des deux facteurs du produit. d) Succession de multiplications et divisions Il n y a pas d ordre à respecter dans une succession de multiplications. Dans une succession de quotients, ou de multiplications et divisions, il faut calculer de gauche à droite. Page 7 sur 11

8 8 ) Calcul du PGCD. a. Définition intuitive. Le PGCD entre deux nombres (Plus Grand Commun Diviseur) est le plus grand nombre entier naturel pouvant diviser chacun de ces deux nombres. Lorsque le PGCD entre deux nombres est égal à 1, on dit que les deux nombres sont premiers entre eux. b. Décomposition des nombres en produit de facteurs premiers. Méthode : si l on décompose les nombres en produit de facteurs premiers, le PGCD est le produit des facteurs communs aux deux nombres. c. Algorithme des soustractions successives. Règle de calcul : ; le est le dernier reste non nul. d. Algorithme d Euclide. Règle de calcul : ; où est le reste de la division euclidienne de par ; on a alors est le dernier reste non nul. e. Applications du PGCD. Exemples d application : Pour simplifier une fraction, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Si le PGCD entre le numérateur et le dénominateur d une fraction est égal à 1, alors la fraction est irréductible. Page 8 sur 11

9 9 ) Calcul du PPCM. a. Définition intuitive. Le PPCM entre deux nombres et (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit nombre qu il existe qui soit à la fois multiple de et de. b. Décomposition des nombres en produit de facteurs premiers. Si on décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers, le PPCM est le plus petit nombre que l on peut former en s assurant que tous les facteurs de chacun des deux nombres soit facteur du PPCM. c. Autre technique Page 9 sur 11

10 10 ) Développement. a. Développement simple. b. Développement double. Règle de calcul : c. Utilisation d une identité remarquable. Page 10 sur 11

11 11 ) Factorisations. a. Factorisation simple. b. Utilisation d une identité remarquable. c. Factorisations par étapes Méthode : Voir si on peut mettre en évidence un facteur commun, dans toute ou partie de l expression. Voir si on peut utiliser une identité remarquable, dans toute ou partie de l expression. Recommencer. Page 11 sur 11