RACINES CARREES. 1 Session du brevet Afrique 96. Besancon 96. Clermont 96. Creteil 96. Grenoble 96. Lille 96. Orleans 96.

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1 1 Session du brevet 1996 Afrique 96 On donne les nombres A = et B = Calculer le carré A 2 en donnant le résultat sous la forme a 5 + b, avec a et b entiers, puis calculer le produit A B en donnant le résultat sous la forme d un nombre entier. Besancon 96 1) Sachant que A = et B = 2 5 4, calculer la valeur exacte de A + B et de A B. 2) On donne C = Ecrire C sous la forme a b, où a est un entier relatif et où b est un entier naturel le plus petit possible. Clermont 96 On donne x = 72 et y = 98. 1) Ecrire x et y sous la forme a b où a et b entiers, a étant le plus grand entier possible. 2) Ecrire sous la forme la plus simple possible x 2 y 2 et x + y. Creteil 96 Calculer B et C, en donnant le résultat sous la forme m p, où m et p sont des nombres entiers, p étant le plus petit possible : B = C = 2 3 ) ) 5 Grenoble 96 On donne A = 2 5 ) 2 et B = ) Ecrire A et B sous la forme a + b c, a, b et c étant des entiers relatifs. 2) En déduire que A B est un nombre entier relatif. Lille 96 En indiquant le détail des calculs, écrire chacun des nombres C et D sous forme d un entier ou d une fraction la plus simple possible. 8 ) 2 C = D = Orleans 96 1) On considère C = Ecrire C sous la forme a b, a et b étant deux nombres entiers, b étant le plus petit possible. 2) A l aide d un calcul, montrer que le nombre D = ) 2 1 ) est un nombre entier. Rouen 96 On pose B = Ecrire B sous la forme a + b 3 avec a et b entiers. D. Le FUR 1/ septembre 2003

2 2 Session du brevet 1997 Amerique 97 1) Calculer B = ) ). 2) Ecrire sous la forme a + b 3 où a et b sont des entiers les expressions Caen 97 C = Ecrire sous la forme a b a et b désignant des entiers) : Caen 97 Développer E = 3 5) 2. Centres Etrangers ) 2 3 D = ) 3 D = Calculer les nombres suivants on demande des valeurs exactes les plus simples possibles et non des valeurs approchées) : E = F = en fonction de 5) G = 6 3 ) 2 en fonction de 2) Creteil 97 Calculer D et E ; on donnera les résultats sous la forme m p, où m et p sont des nombres entiers. D = E = Guadeloupe 97 Ecrire les nombres suivants sous la forme a b, a et b étant deux entiers avec b le plus petit possible. C = D = Lille 97 Ecrire D sous la forme a b où a et b sont des entiers, avec b le plus petit possible. D = Limoges 97 Ecrire sous la forme avec et nombres entiers, le plus petit possible : 1) C = ) D = ) D. Le FUR 2/ septembre 2003

3 3 Session du brevet 1998 Caen 1998 Ecrire les expressions D et E sous la forme a + b 3, où a et b sont des entiers : D = E = 3 5 ) ) Centres étrangers On considère les nombres : C = D = Montrer, en détaillant le calcul, que C D est un nombre entier. Creteil 98 On donne les deux nombres 2 75 et 27. 1) Calculer leur produit P donner le résultat sous la forme d un nombre entier). 2) Calculer leur somme S donner le résultat sous la forme a 3, où a est un nombre entier). Limoges 1998 On considère deux nombres C et D : C = D = 2 ) Ecrire C sous la forme a b, où a et b sont des entiers, b étant le plus petit possible. Ecrire D sous la forme p + q 3, où p et q sont des entiers. Nantes ) Ecrire 75 sous la forme a 3, où a désigne un nombre entier. 2) Calculer 3 1 ) 2. Mettre le résultat sous la forme x + y 3, où x et y désignent deux nombres entiers. D. Le FUR 3/ septembre 2003

4 4 Session du brevet 1999 Asie 1999 On donne C = 12 D = 27 E = 20 1) Exprimer C, D et E sous la forme a b, où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible. 2) Calculer C D. 3) Calculer C + D et C E, donner le résultat sous la forme a b, où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible. Caen 1999 L unité de longueur est le centimètre. On considère trois points A, M, B du plan, tels que AM = 4 45, MB = 2 20, AB = ) Prouver que AM + MB = AB. 2) Que peut-on dire des points A, M, B? Le justifier. Clermont 1999 On donne A = et B = Calculer les valeurs exactes de A + B, A B, A 2 et A B. Creteil 1999 On pose E = ) 5 3 ) ). Ecrire E sous la forme a + b 5 a et b sont des nombres entiers relatifs). Inde 1999 Ecrire les nombres C et D sous la forme a b la plus simple possible. Limoges 1999 C = D = ) Ecrire sous la forme a b, b entier le plus petit possible, les nombres 18 et 12. 2) Développer et simplifier ) 3 2 ). 3) Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité? Polynésie 1999 Ecrire D sous la forme a b, où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible. D = Rennes 1999 On donne les deux nombres p = 2 45 et q = 80 1) a) Calculer p + q. On donnera le résultat sous la forme a b, où b est un entier le plus petit possible. b) Calculer pq. 2) Le nombre p est-il solution de l équation x 2 2x 180 = 12? D. Le FUR 4/ septembre 2003

5 Reunion 1999 Effectuer les calculs suivants si le résultat n est pas un nombre entier, on donnera le résultat sous la forme a b, où a et b sont des entiers, b étant le plus petit possible) A = B = 6 ) 2 ) ) C = D = E = D. Le FUR 5/ septembre 2003

6 5 Session du brevet 2000 Caen 2000 Ecrire le nombre sous la forme a b, avec a et b entiers. Nantes 2000 On considère le nombre A suivant : A = Démontrer que A = 0. Orléans-Tours 2000 On pose N = Ecrire le nombre N sous la forme p q, avec p entier relatif et q entier le plus petit possible. Paris 2000 K 3 1 L M 1) D = 3 1 et E = a) Développer D 2 et E 2 et donner les résultats sous la forme a + b 3, où a et b sont des nombres entiers. b) Démontrer que D E est un nombre entier. 2) KLM est un triangle rectangle en L. a) Calculer la valeur exacte de la longueur KM. b) Calculer l aire du triangle KLM. Rennes ) Ecrire les nombres C et D ci-dessous sous la forme a 3, où a est un entier : C = ; D = ) Développer et réduire : E = 3 5 ) 2. Inde 2000 En indiquant les différentes étapes, calculer les nombres suivants et donner le résultat sous la forme d un entier relatif ou d une fraction irréductible. A = B = 3 C = 2 ) ) Centres étrangers groupe Iquatro 2000 On donne D = Ecrire D sous la forme a 7, où a est un entier relatif. Europe de l est Voici un rectangle fait à main levée dont on donne la longueur et la largeur. Dans cet exercice, on ne travaillera pas avec des valeurs approchées. 1) La longueur est-elle égale au double de la largeur? Justifier. 2) Exprimer sous la forme a 5, et sous la forme b 10 où a et b sont des nombres entiers). 3) Exprimer l aire du rectangle sous la forme c 2 c étant un entier). 4) Montrer que le périmètre du rectangle peut s écrire sous la forme ). D. Le FUR 6/ septembre 2003

7 Grenoble septembre 1999 Soit A = 10 2 ) En développant A, montrer que A est un entier. Groupement I septembre 1999 Ecrire les nombres C et D suivants sous la forme a b, a et b étant des nombres entiers et b étant aussi petit que possible. C = D = Paris septembre 1999 On donne A = et B = Calculer les valeurs exactes de A + B, A B, A 2 et A B. D. Le FUR 7/ septembre 2003

8 6 Session du brevet 2001 Groupe est 2001 A B E Sur la figure ci-contre qui n est pas en vraie grandeur), ABCD est un carré dont le côté a pour mesure en centimètres) x, ECF est un triangle rectangle en C, le point E étant un point du segment [BC]. On donne FC = 4cm. D C F 1) a) Exprimer l aire, notée A, du carré ABCD en fonction de x. b) Calculer A pour x = On donnera le résultat sous la forme a + b 2, où a et b sont des nombres entiers. 2) On suppose que x est supérieur à 1. a) Sachant que la longueur BE est égale à 0, 5cm, calculer, en fonction de x, l aire, notée A, du triangle ECF. b) On note S la somme, en fonction de x, des deux aires A et A. Vérifier que : S = x 2 + 2x 1. 3) Calculer S pour x = On donnera le résultat sous la forme c + d 2, où c etd sont des nombres entiers. Groupe nord 2001 C = 18 9 D = Ecrire C et D sous forme a 3, où a est un entier. Amérique du nord 2001 Calculer la valeur exacte de l aire du carré ABCD et l aire du rectangle AEFD ci-dessous sachant que : AB 13 1 et BE = 2. A B E D C F Amérique du sud novembre ) Démontrer que : 588 = ) Soit C = Ecrire C sous la forme a 3 où a est un nombre entier. Groupe est septembre ) Ecrire 45 sous la forme a b a et b étant des entiers, b le plus petit possible). 2) En déduire une écriture plus simple du nombre B = sous la forme c b c étant un entier). Groupe ouest septembre 2000 On pose D = et E = 2. Ecrire D et E sous la forme a b où a et b sont des nombres entiers et où b est le plus petit possible. D. Le FUR 8/ septembre 2003

9 Antilles-Guyane septembre 2000 On donne : B = Simplifier l écriture de B et donner le résultat sous la forme a b où a et b sont des entiers, b étant le plus petit possible. Polynésie septembre ) On donne l expression : A = 5 2 ) ). Montrer, par le calcul, que A = 23. 2) On donne le produit suivant : B = Ecrire B sous la forme a 2, où a est un entier. 3) Ecrire sous la forme d une fraction simplifiée : C = Vanuatu septembre 2000 Voici deux expressions : E = et F = Calculer, sous forme la plus simple possible, les valeurs exactes de : E + F ; E F ; E 2 F 2 ; E F. D. Le FUR 9/ septembre 2003

10 7 Session du brevet 2002 Groupe ouest 2002 En indiquant les calculs intermédiaires, écrire A sous la forme d un nombre entier et B sous la forme a 3 avec a entier). A = ) ) 2 2; B = Afrique II ) Ecrire sous la forme a 7 avec a entier : R = ) Montrer, par un calcul, que le nombre U est un entier : U = 2 ) ) 3. 3) Déterminer avec votre calculatrice des valeurs approchées arrondies au millième) des nombres : et D. Le FUR 10/ septembre 2003

11 8 Session du brevet 2003 Groupe ouest ) Ecrire sous la forme a 5 avec a entier : A = B = ) En utilisant les résultats de la question précédente, démontrer que A B et A B sont des nombres entiers. Asie ) Soit A = 5 18 et B = Ecrire A et B sous la forme a b où a et b sont des entiers. Que remarquez-vous? 2) Soit C = 2 2 et D = a) Montrer que C D est entier. b) Calculer C 2 et écrire le résultat sous la forme a + b 2 avec a et b entiers. Martinique septembre 2002 Ecrire sous la forme a b avec a et b entiers, b le plus petit possible : Nouvelle-Calédonie décembre 2002 C = Ecrire sous la forme a b avec a et b entiers, b le plus petit possible : D. Le FUR 11/ septembre 2003