sciences de la nature

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1 ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE Applications en sciences de la nature André Ross Avec laboratoires Maple et Excel

2 Table des sujets XI Optimisation XI des sujets 1 Table CHAPITRE 1 MATRICES 1.0 PRÉAMBULE MATRICES Mise en situation Opérations sur les matrices Propriétés de l addition et de l amultiplication par un scalaire Matrices particulières James Joseph Sylvester (note historique) EXERCICES MULTIPLICATION DE MATRICES Mise en situation (suite) Propriétés de la multiplication des matrices Propriétés associées à la transposition des matrices Mise en situation (suite) Multiplication de matrices carrées Arthur Cayley (note historique) EXERCICES RÉSUMÉ DU CHAPITRE VOCABULAIRE EMPLOYÉ DANS LE CHAPITRE PRÉPARATION À L ÉVALUATION CHAPITRE 2 SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES 2.0 PRÉAMBULE SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES Résolution de systèmes d équations linéaires Systèmes de deux équations à deux inconnues Systèmes de trois équations à trois inconnues Systèmes d équations linéaires et matrices Méthode de Gauss Problème de production et matrices Transformation d équations matricielles Carl Friedrich Gauss (note historique) EXERCICES MÉTHODE DE GAUSS-JORDAN ET APPLICATIONS Méthode de Gauss-Jordan Chaînes de Markov Mise en situation Mise en situation (suite) Recherche du point invariant Andreï Andreïevich Markov (note historique)

3 XII Table des sujets Équations chimiques Débits dans un réseau XII Chapitre 11 Analyse de circuits Analyse par les branches Analyse par les mailles Gustav Robert Kirchhoff (note historique) Georg Simon Ohm (note historique) EXERCICES RÉSUMÉ DU CHAPITRE VOCABULAIRE EMPLOYÉ DANS LE CHAPITRE PRÉPARATION À L ÉVALUATION CHAPITRE 3 DÉTERMINANT ET MÉTHODE DE CRAMER 3.0 PRÉAMBULE DÉTERMINANT Mise en situation Déterminant d ordre Déterminant d ordre n Développement de Laplace Matrice des cofacteurs et matrice adjointe Pierre Simon de Laplace (note historique) EXERCICES PROPRIÉTÉS DES DÉTERMINANTS Énoncé et utilisation des propriétés Calcul du déterminant à l aide des propriétés Propriétés des déterminants et des opérations matricielles Méthode de Cramer Gabriel Cramer (note historique) EXERCICES RÉSUMÉ DU CHAPITRE VOCABULAIRE EMPLOYÉ DANS LE CHAPITRE PRÉPARATION À L ÉVALUATION CHAPITRE 4 MATRICE INVERSE 4.0 PRÉAMBULE INVERSION DE MATRICES Méthode de Gauss-Jordan Mise en situation Matrice inverse et système d équations linéaires Théorèmes et propriétés Méthode de la matrice adjointe Matrice inverse et matrice adjointe d ordre Matrice inverse et matrice adjointe d ordre n Inversion et matrice nilpotente Matrices et déterminants (note historique) EXERCICES MATRICE INVERSE ET APPLICATIONS Cryptographie (mise en situation) Chaînes de Markov Matrice inverse et point invariant Matrice inverse et analyse de circuits

4 Table des sujets XIII Colin MacLaurin (note historique) Message codé (note historique) Optimisation XIII Tableau de conversion binaire (note) EXERCICES RÉSUMÉ DU CHAPITRE VOCABULAIRE EMPLOYÉ DANS LE CHAPITRE PRÉPARATION À L ÉVALUATION CHAPITRE 5 VECTEURS GÉOMÉTRIQUES 5.0 PRÉAMBULE VECTEURS GÉOMÉTRIQUES Vecteur géométrique Opérations sur les vecteurs géométriques Propriétés des opérations sur les vecteurs géométriques Parallélisme Vecteurs et démonstration de propriétés Lieu géométrique HÉRON d Alexandrie (note historique) EXERCICES COMBINAISONS LINÉAIRES DE VECTEURS GÉOMÉTRIQUES Mise en situation Dépendance linéaire et indépendance linéaire Vecteurs colinéaires et dépendance linéaire Vecteurs coplanaires et dépendance linéaire Base et repère d une droite Base et repère d un plan Base et repère de l espace Vecteurs et forces Polygone des forces Composantes d un mouvement, note historique Roberval et la tangente ISAAC NEWTON (note historique) EXERCICES RÉSUMÉ DU CHAPITRE VOCABULAIRE EMPLOYÉ DANS LE CHAPITRE PRÉPARATION À L ÉVALUATION CHAPITRE 6 VECTEURS ALGÉBRIQUES 6.0 PRÉAMBULE VECTEURS ALGÉBRIQUES Vecteurs algébriques dans R Opérations sur les vecteurs algébriques dans R Propriétés des opérations Localisation d un vecteur géométrique dans R Vecteurs algébriques dans R Module d un vecteur algébrique dans R Vecteurs algébriques dans R n Vecteurs et systèmes de coordonnées Représentations d un vecteur dans R René DESCARTES (note historique) EXERCICES

5 XIV Table des sujets 6.3 COMBINAISONS LINÉAIRES DE VECTEURS ALGÉBRIQUES Combinaison linéaire et vecteur engendré XIV Chapitre 11 Dépendance linéaire et indépendance linéaire Pierre de FERMAT (note historique) EXERCICES RÉSUMÉ DU CHAPITRE VOCABULAIRE EMPLOYÉ DANS LE CHAPITRE PRÉPARATION À L ÉVALUATION CHAPITRE 7 ESPACES VECTORIELS 7.0 PRÉAMBULE STRUCTURE D ESPACE VECTORIEL Espace vectoriel Sous-espace vectoriel Base et dimension d un espace vectoriel Sous-espaces vectoriels engendrés Sous-espace engendré par un vecteur Sous-espace engendré par deux vecteurs Sous-espace engendré par trois vecteurs Description vectorielle de lieux géométriques Description d un parallélogramme Description d un parallélépipède Description d un triangle Description d une pyramide à base triangulaire Hermann GRASSMANN (note historique) EXERCICES TRANSFORMATIONS Translations Transformations linéaires Mise en situation Représentation par une matrice Transformations particulières Sous-epaces associés à une transformation linéaire Noyau d une transformation linéaire Image d une transformation linéaire Algèbre des transformations linéaires Transformation linéaire inversible Giuseppe Peano (note historique) EXERCICES RÉSUMÉ DU CHAPITRE VOCABULAIRE UTILISÉ DANS LE CHAPITRE PRÉPARATION À L ÉVALUATION CHAPITRE 8 NOMBRES COMPLEXES 8.0 PRÉAMBULE NOMBRES COMPLEXES Introduction Opérations sur les nombres complexes Addition de nombres complexes Multiplication par un scalaire Nombre conjugué

6 Table des sujets XV Produit de nombres complexes Quotient de nombres complexes Optimisation XV Résolution d équations dans C Nombres complexes (note historique) EXERCICES MÉTAMORPHOSE DES NOMBRES COMPLEXES Forme trigonométrique des nombres complexes Égalité de nombres complexes sous forme trigonométrique Forme polaire Puissance d un nombre complexe Théorème de Moivre Racines d un nombre complexe Forme exponentielle Abraham DE MOIVRE (note historique) EXERCICES RÉSUMÉ DU CHAPITRE VOCABULAIRE EMPLOYÉ DANS LE CHAPITRE PRÉPARATION À L ÉVALUATION CHAPITRE 9 PRODUITS DE VECTEURS 9.0 PRÉAMBULE PRODUIT SCALAIRE Produit scalaire de vecteurs algébriques Mise en situation Définition du produit scalaire Propriétés du produit scalaire Produit scalaire de vecteurs géométriques Produit scalaire nul Interprétation géométrique du produit scalaire Projection orthogonale d un vecteur Produit scalaire et travail Jérôme CARDAN (note historique) EXERCICES PRODUIT VECTORIEL Produit vectoriel de vecteurs algébriques Propriétés du produit vectoriel Module du produit vectoriel Sens du produit vectoriel RÈGLE DU TIRE-BOUCHON Produit vectoriel nul Interprétation géométrique du produit vectoriel Moments Moment et composantes Pierre VARIGNON (note historique) Résultante de forces coplanaires non concourantes Analyse des forces dans un système en équilibre Induction électromagnétique et courant alternatif (note historique) EXERCICES RÉSUMÉ DU CHAPITRE VOCABULAIRE EMPLOYÉ DANS LE CHAPITRE PRÉPARATION À L ÉVALUATION

7 XVI Table des sujets CHAPITRE 10 XVI Chapitre 11 LA DROITE DANS R PRÉAMBULE ÉQUATIONS DE DROITES DANS R Équation cartésienne d une droite dans R Vecteur normal Équations vectorielles et paramétriques d une droite dans R Vecteur directeur Équations symétriques de droites dans R Positions relatives de droites dans R Droites parallèles Droites concourantes Nicole ORESME (note historique) EXERCICES ANGLES ET DISTANCES DANS R Angle entre deux droites Vecteurs normaux Vecteurs directeurs Distance d un point à une droite de R Le point le plus rapproché Famille de droites et faisceau de droites Équations paramétriques d un segment de droite Jean Robert Argand (note historique) EXERCICES RÉSUMÉ DU CHAPITRE VOCABULAIRE EMPLOYÉ DANS LE CHAPITRE PRÉPARATION À L ÉVALUATION CHAPITRE 11 LE PLAN DANS R PRÉAMBULE ÉQUATIONS DE PLANS DANS R Équation cartésienne d un plan dans R Vecteur normal à un plan Représentations graphiques de plans de R Équation vectorielle et équations paramétriques de plans dans R Vecteur directeur d un plan Produit mixte de vecteurs Calcul du produit mixte Interprétation géométrique du produit mixte Emmy Nœther (note historique) EXERCICES INTERSECTIONS, ANGLES ET DISTANCES Positions relatives de plans dans R Calcul d angles dans R Angle entre deux plans sécants Distance d un point à un plan dans R Distance entre deux plans parallèles Le point le plus rapproché EXERCICES RÉSUMÉ DU CHAPITRE VOCABULAIRE EMPLOYÉ DANS LE CHAPITRE PRÉPARATION À L ÉVALUATION

8 Table des sujets XVII CHAPITRE 12 LA DROITE ET LES SURFACES DANS R 3 Optimisation XVII 12.0 PRÉAMBULE ÉQUATIONS DE DROITES DANS R Équations de droites dans R Un point et un vecteur directeur sont connus Deux points sont connus La droite, intersection de plans Positions relatives de droites dans R Positions relatives d une droite et d un plan dans R Droite et plan parallèles Droite et plan concourants Sofya KOVALEVSKAYA (note historique) EXERCICES ANGLES, DISTANCES ET SURFACES DANS R Calcul d angles Angle entre une droite et un plan Angle entre deux droites Calcul de distances Distance d un point à une droite Le point d une droite le plus près d un point donné Distance entre deux droites Surfaces dans l espace Surfaces comportant ant une génératrice Surfaces sans génératrice EXERCICES RÉSUMÉ DU CHAPITRE VOCABULAIRE EMPLOYÉ DANS LE CHAPITRE PRÉPARATION À L ÉVALUATION CHAPITRE 13 EXERCICES DE SYNTHÈSE PRÉAMBULE EXERCICES A1 ANNEXE 1 ACTIVITÉS DE LABORATOIRE, CHIFFRIER ÉLECTRONIQUE PRÉAMBULE La feuille d Excel Laboratoire 1 : Opérations matricielles sur Excel Laboratoire 2 : Systèmes d équations linéaires Laboratoire 3-A : Déterminant et système d équations Laboratoire 3-B : Déterminant et produit de matrices Laboratoire 4-A : Matrice inverse Laboratoire 4-B : Matrice inverse et circuit électrique

9 XVIII Table des sujets A2 ANNEXE 2 XVIII Chapitre 11 ACTIVITÉS DE LABORATOIRE, LOGICIEL DE CALCUL SYMBOLIQUE PRÉAMBULE La feuille de Maple Laboratoire 1 : Opérations matricielles sur Maple Laboratoire 2 : Systèmes d équations linéaires Laboratoire 3 : Déterminant et matrice inverse Laboratoire 4 : Vecteurs engendrés et indépendance linéaire Laboratoire 5 : Nombres complexes Laboratoire 6 : Produit de vecteurs Laboratoire 7 : Plans dans R 3 (équations cartésiennes) Laboratoire 8 : Plans dans R 3 (équations paramétriques) Laboratoire 9 : Droites dans R Laboratoire 10 : Surfaces de l espace RÉPONSES AUX EXERCICES BIBLIOGRAPHIE INDEX

10 L ouvrage permettra au lecteur d apprendre à appliquer les méthodes de l algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle à la résolution de problèmes. L organisation de la matière, les exemples, les applications, les exercices ainsi que les laboratoires sont adaptés à la clientèle du programme de sciences de la nature. Outre les illustrations abondantes, l approche visuelle novatrice, les mises en situation et les multiples applications font que l élève comprend mieux les aspects les plus abstraits de la matière et favorisent le transfert de connaissances. Les exercices sont nombreux, pertinents et en cohérence avec les objectifs du cours. Des exercices de synthèse permettent de vérifier la compréhension de l ensemble des notions présentées. L ouvrage a été expérimenté en classe par plusieurs enseignants. De plus, le texte, les exemples et les exercices ont été validés par une imposante équipe de réviseurs compétents. Professeur au Cégep de Lévis-Lauzon depuis 1973, André Ross est titulaire d un baccalauréat en pédagogie de l Université Laval, d un baccalauréat en mathématiques de l Université du Québec à Trois-Rivières et d une maîtrise en mathématiques de l Université de Sherbrooke. Il est l auteur de plus de 15 livres consacrés aux mathématiques, tous parus aux éditions Le Griffon d argile. Membre du Groupe Modulo L ouvrage contient 10 laboratoires à réaliser avec le logiciel de calcul symbolique Maple et 6 laboratoires à réaliser avec le tableur Excel. SOMMAIRE Matrices Systèmes d équations linéaires Méthode de Gauss-Jordan et applications Déterminant et méthode de Cramer Matrice inverse et applications Vecteurs géométriques Combinaisons linéaires de vecteurs géométriques Vecteurs algébriques Combinaisons linéaires de vecteurs algébriques Espaces vectoriels et transformations linéaires Nombres complexes Produits de vecteurs La droite dans R 2 Le plan dans R 3 La droite et les surfaces dans R 3 Exercices de synthèse Réponses Laboratoires Maple Opérations matricielles sous Maple Systèmes d équations linéaires Déterminant et matrice inverse Vecteurs engendrés et indépendance linéaire Nombres complexes Produits de vecteurs Plans dans R 3 (équations cartésiennes) Plans dans R 3 (équations paramétriques) Droites dans R 3 Surfaces de l espace Laboratoires Excel Opérations matricielles sous Excel Systèmes d équations linéaires Déterminant et système d équations Déterminant et produit de matrices Matrice inverse Matrice inverse et circuit électrique Applications Chaînes de Markov, point invariant, équations chimiques, débits dans un réseau, analyse de circuits électriques, cryptographie, vecteurs et forces, travail, moment, etc. ISBN