Chapitre 5.3 Le spectre du corps noir

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1 Chapitre. Le spectre du corps noir La radiation À partir des équations de l électromagnétisme, il est possible de démonter que toutes particules chargées en accélération émettent des ondes électromagnétiques. Cette radiation électromagnétique est une conséquence de la relativité restreinte, car une particule ne déforme pas instantanément le champ électrique qu elle produit autour lorsqu elle change de position. Puisque la lumière est une onde électromagnétique, il faut conclure d une particule chargée en accélération génère de la lumière. Application : Communication radio (oscillation d un courant dans une antenne métallique La température et la radiation thermique La température est une mesure statistique de l agitation moyenne d un groupe de particules. Plus la température est élevée, plus les particules sont en mouvement dans un volume donné. L orientation de chaque particule est considérée comme purement aléatoire et toutes les particules interagissent entre elles par des collisions et des forces électriques. Lorsqu un corps est chaud, les électrons et les protons qui le compose accélèrent continuellement sous des changements de direction. L accélération de ces particules chargées a pour conséquence de produire de la radiation électromagnétique qui porte le nom de radiation thermique. Référence : Marc Séguin, Physique XX Volume C Page

2 L échelle des Kelvin Dans l étude de la radiation, il est préférable d utiliser une autre référence que le point de congélation de l eau ( C pour définir la température zéro. À partir de la graduation des Celsius, William homson a redéfini un nouveau point zéro basé sur la plus petite température observable dans notre univers. Le zéro Kelvin ( 7,6 C fut associée à la température d un groupe de particules où l agitation thermique est absente (particules immobiles par rapport à un référentiel inertiel. Ainsi, il n y aurait pas de radiation thermique pour une substance à zéro Kelvin, car l accélération des particules seraient nulle. Lord Kelvin (8-97 Voici la relation mathématique qui relie l échelle des Celsius avec l échelle des Kelvins : ( K ( C + 7 où ( K : empérature en degré Kelvin (K ( C : empérature en degré Celsius (C Le corps noir Un corps noir est un objet idéalisé qui émet uniquement des radiations électromagnétiques sous forme thermique. Ainsi, le corps noir n émet aucune radiation par réfleion. Un corps noir va absorber toute forme de radiation dirigée vers lui et élèvera sa température par gain d énergie. l perdra graduellement son énergie par radiation thermique. On peut conclure qu un corps noir est % absorbeur (d où le nom corps «noir» et % réflecteur. L epérience démontre qu il y a un lien entre les sortes de longueur d onde émises par radiation thermique d un corps noir (spectre du corps noir et la température du corps noir. Plus le corps noir est chaud, plus il émet de lumière dans le visible. Voici quelques objets qui peuvent être approimés comme étant un corps noir : Etrêmement chaud Chaud Froid Étoile (photo prise dans le spectre de l infrarouge Élément d une cuisinière (quelques longueurs d onde de l infrarouge sont visibles Cube de glace lorsqu on néglige la réfleion (radiation non visible car objet trop froid William homson, ier Baron Kelvin fut honoré du titre de Lord pour l ensemble de ses travau. Référence : Marc Séguin, Physique XX Volume C Page

3 Le spectre du corps noir En 879, Joseph Stefan a démontré epérimentalement que l intensité totale (W/m de radiation d un corps noir est proportionnelle à la ième puissance de la température du corps noir. La température du corps noir doit être mesurée en Kelvin : Joseph Stefan (8-89 En 89, Wilhelm Wien a démontré epérimentalement que la longueur d onde la plus présente dans le spectre de radiation d un corps noir est inversement proportionnelle à la température du corps noir. La température du corps noir doit être mesurée en Kelvin : Wilhelm Wien (86-98 Pour une température donnée, la distribution volumique des intensités lumineuses epérimentales en fonction de la longueur d onde de la lumière est de la forme suivante : Analyse de Stefan et Wien pour une source ( ( W/m, ( W/m (, Comparaison entre deu sources ntensité (W/m empérature chaude empérature froide ( m longueur d onde (m (, : ntensité volumique monochromatique (W/m d un corps noir pour une longueur d onde donnée. Habituellement, on eprime ce résultat sous forme d intensité (W/m à l aide de l epression (, d ( W/m m W/m. : ntensité lumineuse totale du corps noir. Cette valeur s obtient à l aide de l aire sous la courbe (, (analyse epérimentale effectuée par Stefan. : Longueur d onde monochromatique d intensité volumique la plus élevée dans le spectre de radiation d un corps noir (analyse epérimentale effectuée par Wien. Référence : Marc Séguin, Physique XX Volume C Page

4 La catastrophe ultraviolette Afin d epliquer théoriquement les observations effectuées par Stefan et Wien, les physiciens Lord Rayleigh et James Hopwood Jeans ont travaillé au début des années 9 sur un modèle théorique visant à comprendre la distribution du spectre du corps noir. Malheureusement, les arguments physiques de l époque ne permettaient pas de comprendre pourquoi il y avait une chute d intensité chez les ultraviolets. Cet échec théorique fut fortement médiatisé dans la communauté physicienne et fut baptisé «la catastrophe ultraviolette». Lord Rayleigh (8-99 J. H. Jeans ( Voici la distribution de l intensité volumique (, théoriquement par le modèle de Rayleigh-Jeans. Équation de l intensité volumique (, théorique de Rayleigh-Jeans du spectre du corps noir calculé Comparaison graphique entre la courbe epérimentale et la courbe théorique de Rayleigh-Jeans (théorie classique π k (, Bonne distribution de l intensité volumique à grande longueur d onde (petite fréquence Mauvaise distribution de l intensité volumique à petite longueur d onde (grande fréquence. Cette théorie était basée sur des d ondes stationnaires de nature électromagnétique pouvant osciller à l intérieur d un corps noir en équilibre thermodynamique. Le principe d équipartition imposait que toutes les ondes stationnaires oscillaient avec une énergie moyenne commune k. Puisque le corps noir était en équilibre thermodynamique, la température maintenue constante pouvait alimenter en énergie tous les modes d oscillation possible et ainsi augmenter le champ électrique de toutes les ondes stationnaires jusqu à une valeur limite proportionnelle à k. L équilibre était atteint lorsque l énergie libérée de façon continue par le rayonnement électromagnétique du corps noir était égal au gain d énergie fournit par la température constante. Puisqu il y a une infinité d onde stationnaire admissible, un corps noir pouvait alors contenir une quantité d énergie infinie (chaque mode contient une énergie k et il y a un nombre infini ce qui n était pas raisonnable et non valide. Chaque onde stationnaire porte une énergie cinétique de k/ et une énergie potentielle de k/. Référence : Marc Séguin, Physique XX Volume C Page

5 Loi de Planck Afin de résoudre les problèmes théoriques rencontrés par Rayleigh- Jeans, Ma Planck proposa en 9 à l aide des travau effectués par Wien de limiter l énergie pouvant être emmagasinée par chaque mode de vibration (onde stationnaire à / ( hf en fréquence. Cette énergie dépendait de la longueur d onde associée au mode de vibration. l ajouta également les contraintes suivantes : Pour eciter un mode de vibration avec une forte probabilité, il faut que l énergie thermique soit plus élevée que l énergie d ecitation du mode de vibration ( k > /. Un mode de vibration doit évacuer toute son énergie à la fois. Ma Planck (88-97 La perte d énergie porta le nom de «quanta», car chaque mode de vibration désecité produisait une radiation d énergie unique égale à /. La conclusion de Planck fut d accepter qu un corps noir se devait de perdre de l énergie par radiation uniquement par quanta. Voici comment on peut interpréter la distribution des pertes d énergies en fonction des longueurs d onde de chaque mode de vibration : Longueur d onde mode ( est petit est grand Fréquence du mode (f rès élevée Élevée Petite Énergie du mode ( / rès élevée Élevée Faible Probabilité ecitation/ désecitation Faible Élevée Élevée Proportion perte d énergie Faible Élevé Faible ( ( W/m, Forte probabilité et mode très énergétique (/ < k Faible probabilité et mode ultra énergétique (/ > k Forte probabilité et mode peu énergétique (/ < k ( m Référence : Marc Séguin, Physique XX Volume C Page

6 Voici la distribution de l intensité volumique (, correspondait à la distribution epérimentale : ( où (, π, / k ( e qui fut proposée par Planck et qui ( ( W/m empérature fie : ntensité volumique de la lumière pour une longueur d onde ( W/m : Longueur d onde de la lumière (m : empérature du corps noir (K Loi de Wien h : Constante de Planck ( h 6,6 J s 8 c : Vitesse de la lumière ( c m/s k : Constante de Boltzmann ( k,8 J/K À partir de l intensité volumique ( de Planck, nous pouvons évaluer théoriquement une epression permettant d évaluer la longueur d onde la plus intense dans le spectre de radiation d un corps noir. Cette epression dépend uniquement de la température du corps noir : où w ( m : Longueur d onde où l intensité lumineuse est imale ( W/m : empérature du corps noir (K w : Constante de Wien ( w,9 m K La loi de Wien nous permet d évaluer une température à la surface du Soleil de 8 K, car le spectre de radiation possède une intensité imale à nm (lumière verte. Les ampoules incandescentes sont constituées d un mince filament de tungstène pouvant atteindre une température de K. À cette température, la longueur d onde d intensité imale est dans le visible et on peut utiliser ce corps chaud pour nous éclairer par radiation thermique. L éclairage au néon n eploite pas la radiation thermique mais plutôt le changement d orbitale des atomes. Chaque saut d orbitale vers un niveau plus bas produit un photon. La démonstration de cette distribution nécessite des arguments de mécanique statistique qui sortent du cadre de ce cours. Référence : Marc Séguin, Physique XX Volume C Page 6

7 Preuve : Afin de démonter la loi de Wien à partir de l intensité volumique (, imisons (, (, par rapport à à zéro : d (, (Maimiser (, d de Planck, pour une longueur d onde. Ceci s obtient en égalisant la dérivée de d π d / k ( e (Remplacer ( d π ( (Sortir les constantes k d e / d d / k ( e d / k ( ( e d / k ( ( e d / k ( ( e d d d d e / k d / k ( ( ( e + / k / k d ( ( ( / k e + e / k / k ( e + e ( / k d d( / d / k ( / + k e e ( / k k / k / k ( e e Effectuons le changement de variable suivant : Ce qui nous donne : / k / k ( e e k k ( e (Diviser par (Appliquer π d ( / Y dy Y / k (Multiplier par ( ( e (Appliquer (Appliquer ( YZ d n dy dz Z + Y n n, Y de Y dy e (Sortir constante et diviser par (Appliquer n (Simplifier n n e (Remplacer e e (soler terme avec, (Équation transcendante Référence : Marc Séguin, Physique XX Volume C Page 7

8 solons maintenant la longueur d onde imale dans l epression de notre changement de variable : k Loi de Stefan-Boltzmann (soler k 8 ( 6,6 ( (Remplacer valeurs num. (,96 (,8,9 (Calcul w (Remplacer w,9 m K À partir de la distribution des intensités volumiques (, de radiation thermique de Planck, Ludwig Boltzmann fut en mesure de démonter théoriquement les résultats obtenus epérimentalement par Joseph Stefan. La loi de Stefan-Boltzmann permet d évaluer l intensité totale de radiation d un corps noir qui dépend uniquement de la température du corps noir : σ Ludwig Boltzmann (8-96 où : ntensité de la radiation thermique du corps noir ( W/m : empérature du corps noir (K 8 σ : Constante de Stefan-Boltzmann ( σ,67 W/m K Preuve : Pour évaluer l intensité totale de radiation d un corps noir, il faut intégrer la distribution des intensités volumiques (, sur toutes les longueurs d onde comprises entre et l infini : (, d π d (Remplacer la loi de Planck ( / k ( e π d (Sortir les constantes / k ( e Effectuons le changement de variable suivant : alors et d k k k Référence : Marc Séguin, Physique XX Volume C Page 8

9 Les bornes de l intégrale passeront alors au valeurs suivantes : ( k Notre intégrale passera alors à la forme suivante : π d (Équation précédente / k ( e π (Remplacer et d k ( e k π h c k π h c k π k c h π k c h k k h c e e ( e ( e (Sortir les constantes devant (Développer l eposant et réécriture (Sortir les constantes puis simplifier (nverser les bornes de l intégrale π k π (Résoudre l intégrale à l aide d une table c h π k c h (Simplification Pour évaluer numériquement ce résultat, nous devons utiliser une plus grande précision sur nos constantes, car celles-ci sont affectées par des gros eposants : 8 c,998 m/s k,87 J/K h 6,66 J s π k c h π (,87 8 (,998 ( 6,66 9 π (,87 ( 6,998 6,66 ( ( ( ( (Remplacer h, c et k (Séparer les puissances de 8,67 (Simplification σ 8 (,67 W/ ( m K σ Référence : Marc Séguin, Physique XX Volume C Page 9

10 8 Situation : La luminosité du Soleil. Le Soleil a un rayon R 6,96 m et une température de surface 8 K. On désire déterminer la puissance lumineuse (luminosité qu il émet. Évaluons l intensité lumineuse du Soleil à l aide de la loi de Stefan-Boltzmann, car une étoile peut être approimée comme étant un corps noir : σ (,67 8 ( 8 6,6 7 W/m Évaluons la surface du Soleil (approimée comme étant sphérique qui est à une température de 8 K : A 8 πr A π ( 6,96 A 6,87 8 m Évaluons la puissance totale de radiation thermique : P P A (soler P A 7 8 P ( 6,6 ( 6,87 P,9 6 W L absorption d un corps noir dans une enceinte Lorsqu un corps noir est alimenté par des radiations etérieures, celui-ci les absorbe et augmente sa température. l est possible de démonter qu un corps noir qui est situé dans une enceinte (pièce fermée absorbera une intensité radiative proportionnelle à la ième puissance de la température de l enceinte : σ où : ntensité radiative d absorption du corps noir dans une enceinte ( W/m : empérature de l enceinte (K 8 σ : Constante de Stefan-Boltzmann ( σ,67 W/m K Afin d évaluer s il y a augmentation ou diminution de la température du corps noir, il faut comparer les gains d énergie avec les pertes d énergie par radiation : nettte diminution de la température (radiation nette vers l etérieur > nette augmentation de la température (radiation nette vers l intérieur Preuve : < en construction Référence : Marc Séguin, Physique XX Volume C Page

11 Situation : Albert frissonne. Un matin d hiver, les murs, le plafond et le plancher de la salle de bain d Albert sont à 8 o C. Juste avant la douche, la peau d Albert est à o C. On suppose que la surface de la peau d Albert mesure m et on désire déterminer la puissance nette émise par Albert. Supposons qu Albert est un corps noir. Évaluons l intensité d émission et d absorption thermique d Albert à l aide de la loi de Stefan-Boltzmann : σ (,67 8 ( + 7 9,7 W/m (Émission σ (,67 8 ( (Absorption 6,6 W/m Évaluons l intensité radiation nette d Albert : ( 9,7 ( 6,6 nettte nettte nettte 8, W/m Évaluons la puissance de radiation nette d Albert : P P A (soler P A P ( 8,( P 68, W Référence : Marc Séguin, Physique XX Volume C Page