Cours de recherche opérationnelle I

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1 1 Cours de recherche opérationnelle I Grenoble, Nadia.Brauner@g-scop.inpg.fr

2 Auteurs Ont participé à la rédaction de ce cours (par ordre d arrivée) Nadia Brauner Christophe Rapine Julien Moncel Laurent Beaudou Ont aidé, corrigé, relu et donné des idées Gerd Finke Yann Kieffer Van Dat Cung Ont donné les TD et proposé des exercices Ayse Akbalik Sergei Lenglet 2

3 Formations à Grenoble Formation initiale RO à l UJF (L3 info, M1 Info, L3 Miage, Polytech RICM2) Gestion de la production à l UJF (M1 Miage) Outils Formels et Graphes (Polytech RICM2) RO à l ENSIMAG (1A, 2A, LOSI) RO à l ENSGI (1A, 2A, LOSI) Master 2 Recherche Mathématiques et Informatique, Option Recherche Opérationnelle, Combinatoire et Optimisation Formation continue Recherche opérationnelle (tous les ans, 4 jours) Graphes et optimisation (tous les ans, 3 jours) 3

4 La recherche opérationnelle

5 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Plan 1 La Recherche Opérationnelle 2 Applications 3 Méthodologie 4 Outils 5 Références N. Brauner 5

7 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle ou Science de la Décision Définitions Cambridge Dictionary Operational research UK (US operations research) The systematic study of how best to solve problems in business and industry Wikipedia Operations research, operational research, or simply OR, is the use of mathematical models, statistics and algorithms to aid in decision-making Roadef Recherche Opérationnelle : approche scientifique pour la résolution de problèmes de gestion de systèmes complexes N. Brauner 7

8 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Définitions Méthodes scientifiques pour résoudre des problèmes d optimisation liés aux organisations du monde réel Une discipline à la croisée des mathématiques et de l informatique prolongement de l algorithmique manipulant des structures plus élaborées : graphes, polyèdres... domaine d application de la théorie de la complexité algorithmique Une boite à outils de méthodes, tant positives que négatives, pour aborder sainement et sereinement les problèmes d optimisation N. Brauner 8

10 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Voyageur de commerce (TSP) Un voyageur de commerce, basé à Toulon, doit visiter ses clients à travers la France. Il souhaite effectuer la tournée la plus courte possible. N. Brauner 10

11 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Voyageur de commerce Instance : n villes avec une matrice de distances Solution : tournée visitant chaque ville et revenant à Toulon N. Brauner 11

12 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Algorithme Glouton pour le TSP N. Brauner 12

13 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Applications Feuille de TD : Recherche opérationnelle, Introduction Exercice 1 : Vente de téléphones portables Exercice 2 : Transport de lecteurs MP3 N. Brauner 13

14 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Transport graphe biparti orienté avec pondération quantité d une marchandise aux sommets coûts de transport, distance sur les arcs trouver le meilleur plan de distribution a i i c ij j b j A B min c ij x ij x ij a i j B x ij b j i A x ij 0 N. Brauner 14

15 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Applications Feuille de TD : Recherche opérationnelle, Introduction Exercice 3 : Planification de projet N. Brauner 15

16 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Applications Plus court chemin Quel est le trajet le plus court entre Grenoble et Nice en voiture? N. Brauner 16

17 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle 24h de RO 8h : optimisation de la récolte et du dépôt des déchets recyclables... 15h : placement automatique des véhicules pour une association de partage de voitures 16h : gestion des retards dans les transports publics pour minimiser l impact sur les passagers... N. Brauner 17

18 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Domaines d application Conception, configuration et exploitation de systèmes techniques complexes (réseaux de communication, systèmes d information) gestion de la chaîne logistique (transports, production, stocks... ) gestion stratégique d investissements et aussi santé, instruction publique, voirie, ramassage et distribution de courrier, production et transport d énergie, télécommunications, banques, assurances... N. Brauner 18

19 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Domaines d application Production : maximiser le profit selon disponibilité de la main d œuvre, demande du marché, capacité de production, prix de revient du matériau brut... Transport : minimiser distance totale parcourue selon quantités de matériaux à transporter, capacité des transporteurs, points de ravitaillement en carburant... grande importance dans le milieu industriel : production, transport, emploi du temps, finance... N. Brauner 19

21 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Face à un problème pratique de décision Aspects mathématiques contraintes, objectifs, simplifications Modélisation graphes, programmation linéaire, PPC... Analyse des modèles et résolution étude de complexité : que peut-on espérer pour le temps de résolution imparti? mise au point d algorithmes Implémentation et analyse des résultats valider par rapport à la demande itérer avec le demandeur si nécessaire Déploiement des solutions Intégration logicielle N. Brauner 21

23 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Programmation linéaire min le coût / max le profit min / max c 1 x 1 + c 2 x 2... c n x n satisfaire la demande a 1 x 1 + a 2 x 2... a n x n b 1 avec des ressources limitées a 1 x 1 + a 2 x 2... a nx n b 1 quantités produites x 1, x 2... x n 0 N. Brauner 23

24 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Optimisation Combinatoire Trouver la meilleure solution parmi un nombre fini mais très grand de choix Un problème d OC se caractérise par : La présence de choix, à faire parmi un ensemble fini d alternatives Une notion de coût, ou de gain, ou de perte La nécessité de faire globalement les bons choix, de manière à optimiser la valeur objective exemples : emplois du temps... Combinatoire échiquier tronqué N. Brauner 24

25 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Graphes 5 sommet arête 3 Valuation des arêtes = coûts, temps, distance, capacités... meilleur chemin de i à j meilleurs parcours passant par chaque ville passant par chaque arête... N. Brauner 25

26 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle Autre Files d attente Stochastique Simulation À l interface de Informatique : algorithmique Mathématiques : modélisation Économie : gestion, stratégie N. Brauner 26

28 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Bibliographie de Werra, D., Liebling, T.-M., and Hêche, J.-F. Recherche Opérationnelle pour Ingénieurs, Tome 1. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Sakarovitch, M. Optimisation Combinatoire, Graphes et Programmation Linéaire. Hermann, Enseignement des sciences, Paris, Sakarovitch, M. Optimisation Combinatoire, Programmation Discrète. Hermann, Enseignement des sciences, Paris, Wolsey, L. A. Integer Programming. Wiley-Interscience, N. Brauner 28

29 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Webographie Cours La RO sur wikipedia Poly de cours Compléments au cours Vie de la RO en France Société française de RO Groupe de Recherche en RO du CNRS Séminaire de RO à Grenoble N. Brauner 29

30 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Webographie Collection de ressources pour la RO Logiciels pour la RO Blogs sur la RO Problèmes difficiles N. Brauner 30

31 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Entreprises françaises Des entreprises françaises spécialisées en RO EURODECISION Conseil en optimisation des ressources et planification de la production, outils d aide à la décision ILOG Optimization tools and engines, Visualization software components, Supply chain applications ARTELYS Solutions en optimisation Des entreprises grenobloises qui font de la RO Opti-time Equitime Alma N. Brauner 31

32 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Entreprises françaises Des entreprises françaises qui ont un pôle R&D en RO Airfrance SNCF EDF/GDF France Telecom Bouygues Bouygues Telecom Amadeus N. Brauner 32

33 La Recherche Opérationnelle Applications Méthodologie Outils Références Recherche Opérationnelle En conclusion faire le mieux coût min, meilleur profit, plus courte distance, le plus rapide... avec les ressources disponibles temps machine, postes de travail, mémoire, ressource homme, matière première, camions... N. Brauner 33

34 Programmation par contraintes

35 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Plan 6 Programmation par contrainte 7 Modélisation 8 Résolution N. Brauner 35

36 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Sudoku Précis de Sudoku, N. Jussien N. Brauner 36

37 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Sudoku et PPC Raisonnement par élimination on ne cherche pas directement une valeur pour les variables mais plutôt les valeurs qui peuvent être prises par une variable : réduction du domaine Raisonnement local : contraintes considérées indépendamment vérifier choix cohérents : tests satisfiabilité éliminer valeurs impossibles : filtrage Transmission des déductions aux autres régions les contraintes communiquent et interagissent par l intermédiaire des variables, lorsque le domaine courant d une variable change, toutes les contraintes dans lesquelles elles apparaissent sont réveillées : propagation = principes au cœur de la programmation par contraintes N. Brauner 37

38 Programmation par contrainte Modélisation Résolution On se trouve où? Un problème, une solution : la solution est-elle une solution du problème? simulation, vérification Un problème : trouver une solution du problème programmation par contrainte (CSP) Un problème : trouver la meilleure solution du problème programmation linéaire N. Brauner 38

39 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Un premier exemple Domaine des variables x, y {0, } Contraintes x y = 6 x + y = 5 x > y N. Brauner 39

40 Programmation par contrainte Modélisation Résolution La PPC, qu est-ce que c est? Des idées en vrac Outil informatique pour résoudre des problèmes combinatoires Minimise l étape de conception : modélisation facile, langage proche des concepts des utilisateurs Contraindre = maintenir dans les limites permet d éliminer rapidement des solutions non réalisables Bien séparer modélisation et résolution Notion naturelle de contraintes : affecter stages à étudiants ranger des objets dans une boite planifier le trafic aérien établir un menu équilibré et appétissant N. Brauner 40

41 Programmation par contrainte Modélisation Résolution La PPC, qu est-ce que c est? Définition plus formelle CSP : ensemble de problèmes définis par des contraintes et consistant à chercher une solution les respectant Résolution d un CSP combinatoire : envisager très grand nombre de combinaisons avant d en trouver une qui satisfait toutes les contraintes Trop long introduire des raisonnements ou heuristiques pour réduire la combinatoire et orienter la recherche Solveur de contraintes : on décrit les contraintes et le solveur prend en charge automatiquement la résolution inspiré cours de Christine Solnon N. Brauner 41

42 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Application de la PPC inspiré de Gilles Pesant Modélisation de gestion de projet Puzzle combinatoire Conception de matériel informatique vérification de circuits, connexions des couches de circuits moins efficace que le code dédié, mais plus flexible Placement d objets placement des containers dans un port remplissage des containers N. Brauner 42

43 Programmation par contrainte Mode lisation Re solution Application de la PPC Proble mes de de coupage Minimiser les pertes lors de la de coupe du papier, du verre, du bois, du me tal, etc. La performance de pend du contexte et de la difficulte des contraintes Papier : facile donc la programmation line aire fonctionne bien Pie ces me talliques : plus difficile donc utiliser la PPC Cuir et tissus : trop difficile seules les heuristiques fonctionnent N. Brauner 43

44 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Application de la PPC Allocation d espace Portes pour les avions Quais pour les trains ou les bateaux Allocation de fréquences Trouver des fréquences radio pour les cellulaires, les communications radios, l armée, etc. Ordonnancement de la production Planifier des tâches sur des machines dans une usine Plus important succès de la PPC Librairies dédiés à l ordonnancement (ex. ILOG Scheduler) Conception d horaires académiques Planifier l horaire des cours ou des examens, en tenant compte des différentes ressources (étudiants, professeurs, locaux) N. Brauner 44

45 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Application de la PPC Tournée de véhicules Confection de routes sujet à beaucoup de contraintes. Librairies spécialisées, contraintes dédiées Construction d horaires de personnel Affecter les gens à des tâches précises Santé, commerce de détail, usine, etc. Permet de modéliser les contraintes complexes N. Brauner 45

47 Programmation par contrainte Modélisation Résolution La programmation par contraintes Objectif Trouver une solution réalisable Qui respecte des contraintes faciles à vérifier Formules mathématiques simples, tableaux de valeurs possibles Avec des ensembles de valeurs possibles pour les variables de décision N. Brauner 47

48 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Domaines Définition X 1, X 2... X n les variables de décision Domaine La variable X i doit prendre ses valeurs dans le domaine D i discret fini ou infini N. Brauner 48

49 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Domaines Exercice Sont-ce des domaines? {1, 2, 3, 4} L ensemble des entiers naturels. L ensemble des réels Les entiers naturels impairs L intervalle [ 1, 1] Les points à coordonnées entières du plan N. Brauner 49

50 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Contraintes C est quoi? Variables Domaines } Contraintes Une contrainte restreint les valeurs que l on peut affecter simultanément à des variables Exemples : 2x + 3y = 12 3x 2 = 3 A B C x 3y (ABC) forme un triangle isocèle x, y, z distincts deux à deux N. Brauner 50

51 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Contraintes Déclaration d une contrainte 2 types de déclaration : extension : on énumère les valeurs admises (x = 1 et y = 2) ou (x = 2 et y = 4) ou (x = 3 et y = 0) intension : on utilise les signes mathématiques connus x < y N. Brauner 51

52 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Contraintes Caractéristiques des contraintes Relationnelle : non dirigée comme une fonction qui définit la valeur d une variable en fonction des autres variables x 2y = z permet de déterminer z si x et y sont connues mais aussi x si y et z sont connues et y si x et z sont connues déclarative : spécifie la relation entre les variables, sans donner de procédure pour assurer/vérifier cette relation x 2y = z, on ne s occupe pas de donner un algorithme permettant de résoudre cette équation ordre des contraintes non significatif N. Brauner 52

53 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Contraintes Arité d une contrainte : le nombre de variables dans la contrainte unaire : arité = 1 x x = 4 ou est-un-triangle(y) binaire : arité = 2 x y ou A B = A ternaire : arité = 3 x + y < 3 z 4 ou (non x) ou y ou z = vrai n-aire : arité = n Si n est le nombre de variables : contrainte globale toutesdifférentes(e), où E est un ensemble de variables N. Brauner 53

54 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Contraintes Exemples supplémentaires Contraintes logiques Si x = 4 alors y = 5 x = y ou x = 2y Contraintes globales Toutes les variables sont différentes Méta-contraintes La valeur 5 est utilisée exactement 3 fois N. Brauner 54

55 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Problème de satisfaction de contraintes (X, D, C) tel que X = {X 1, X 2,..., X n } D = {D 1, D 2,..., D n } C = {C 1, C 2,..., C m } l ensemble des variables où D i est le domaine de X i l ensemble des contraintes Exemple X = {a, b, c, d} D(a) = D(b) = D(c) = D(d) = {0, 1} C = {a b, c d, a + c < b} N. Brauner 55

56 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Solution d un CSP Une affectation est le fait d instancier des variables. A = {(X 1, V 1 ), (X 3, V 3 ), (X 4, V 4 )} associe la valeur V 1 de D 1 à la variable X 1... Une affectation est : partielle ou totale consistante ou inconsistante Une solution est une affectation totale consistante N. Brauner 56

57 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Solution d un CSP Problème X = {a, b, c, d} D(a) = D(b) = D(c) = D(d) = {0, 1} C = {a b, c d, a + c < b} A 1 = {(a, 1), (b, 0), (c, 0), (d, 0)} A 2 = {(a, 0), (b, 0)} A 3 = {(a, 1), (b, 0)} A 4 = {(a, 0), (b, 1), (c, 0), (d, 1)} N. Brauner 57

58 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Le jeu du : CSP, pas CSP! Connaissant les pièces de mon porte-monnaie, puis-je rendre exactement 8 euros et 57 centimes? Connaissant les pièces de mon porte-monnaie, quelle est la meilleure façon de rendre 8 euros et 57 centimes? Est-il possible de colorier une carte avec 5 couleurs sans frontière monochrome? Sur un cercle, trouver un point à distance 2 d une droite. N. Brauner 58

59 Programmation par contrainte Modélisation Résolution CSP CSP surcontraint : n a pas de solution trouver une affectation totale qui maximise le nombre de contraintes satisfaites = max-csp affecter un poids à chaque contrainte (proportionnel à l importance de cette contrainte) et chercher une affectation totale qui minimise la somme des poids des contraintes violées = CSP valué (VCSP) CSP sous-contraint : admet beaucoup de solutions différentes, préférences entre les différentes solutions (fonction qui associe une valeur numérique à chaque solution) et trouver une solution du CSP qui maximise cette fonction = CSOP (Constraint Satisfaction Optimisation Problem) N. Brauner 59

61 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Un constat Un problème est rarement donné sous la forme d un CSP N. Brauner 61

62 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Le problème des reines Jeu : placer 4 reines sur un échiquier 4 4 sans qu elles ne se menacent Modélisation variables L 1, L 2, L 3, L 4 et C 1, C 2, C 3, C 4 domaines L i {1, 2, 3, 4} et C i {1, 2, 3, 4} contraintes lignes, colonnes et diagonales différentes. N. Brauner 62

63 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Modélisation Attention Il n y a pas qu une modélisation possible! Modélisation variables L 1, L 2, L 3, L 4 domaines L i {1, 2, 3, 4} contraintes i j, L i L j i j, L i + i L j + j L i i L j j N. Brauner 63

64 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Modélisation Autre modélisation pour le problème des reines? N. Brauner 64

65 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Modélisation Quelle est la meilleure modélisation? 1 Celle qui modélise le mieux la réalité du problème 2 Celle qui est la plus facile à trouver 3 Celle qui permettra de résoudre le problème le plus efficacement N. Brauner 65

66 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Exercice : le retour de monnaie On s intéresse à un distributeur automatique de boissons. L utilisateur insère des pièces de monnaie pour un total de T centimes d Euros, puis il sélectionne une boisson, dont le prix est de P centimes d Euros (T et P étant des multiples de 10). Il s agit alors de calculer la monnaie à rendre, sachant que le distributeur a en réserve E 2 pièces de 2=C, E 1 pièces de 1=C, C 50 pièces de 50 centimes, C 20 pièces de 20 centimes et C 10 pièces de 10 centimes. Modélisez ce problème sous la forme d un CSP. N. Brauner 66

67 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Correction : le retour de monnaie N. Brauner 67

68 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Exercice : Send More Money On considère l addition suivante : S E N D + M O R E = M O N E Y où chaque lettre représente un chiffre différent (compris entre 0 et 9). On souhaite connaître la valeur de chaque lettre, sachant que la première lettre de chaque mot représente un chiffre différent de 0. Modélisez ce problème sous la forme d un CSP. N. Brauner 68

69 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Correction : Send More Money N. Brauner 69

71 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Résolution naïve Énumération On génère toutes les affectations totales possibles On vérifie si elles sont consistantes si on en trouve une consistante, c est gagné Avantage : très facile à mettre en œuvre Inconvénient : très gourmand en ressource temps N. Brauner 71

72 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Résolution naïve Un problème à n variables qui peuvent prendre 2 valeurs affectations traitées par seconde. n nb d affectations temps d où l intérêt de bien choisir la modélisation N. Brauner 72

73 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Les remèdes S arrêter quand une affectation partielle est inconsistante backtrack Restreindre les domaines des variables durant l exécution propagation de contraintes Utiliser des heuristiques Utiliser nos connaissances sur le problème étudié... N. Brauner 73

74 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Backtrack Principe : On parcourt l arbre des affectations en profondeur Lorsqu une affectation partielle est inconsistante, on n explore pas le sous-arbre correspondant N. Brauner 74

75 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Backtrack : jeu de dames Exemple d exécution N. Brauner 75

76 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Backtrack Backtrack Moins d affectations considérées Toutes les contraintes sont testées à chaque affectation même partielle Facile à mettre en œuvre Importance de l ordre des variables Méthode naïve Toutes les affectations sont considérées On ne teste les contraintes que sur les affectations totales Très facile à mettre en œuvre N. Brauner 76

77 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Propagation des contraintes Principe : On restreint le domaine d une variable avec les contraintes, on restreint les autres domaines Exemple 0 < x 10 et 3 y 9 contrainte : x > y Alors on peut restreindre le domaine de x à 4 x 10 N. Brauner 77

78 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Propagation des contraintes Idée : à partir d un CSP, on cherche un CSP équivalent avec des domaines plus petits On propage : Quand un domaine est réduit Quand une des bornes du domaine est changée Quand un domaine est un singleton On propage : Une fois : nœud-consistance Deux fois : arc-consistance Ou plus... N. Brauner 78

79 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Propagation des contraintes Nœud-consistance Formellement, un CSP (X, D, C) est consistant de nœud si pour toute variable X i de X, et pour toute valeur v de D(X i ), l affectation partielle (X i, v) satisfait toutes les contraintes unaires de C. Algorithmiquement, pour chaque variable X i non affectée dans A, on enlève de D(X i ) toute valeur v telle que l affectation A {(X i, v)} est inconsistante. N. Brauner 79

80 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Propagation des contraintes Nœud-consistance N. Brauner 80

81 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Propagation des contraintes Arc-consistance Formellement, un CSP (X, D, C) est consistant d arc si pour tout couple de variables (X i, X j ) de X, et pour toute valeur v i appartenant à D(X i ), il existe une valeur v j appartenant à D(X j ) telle que l affectation partielle {(X i, v i ), (X j, v j )} satisfasse toutes les contraintes binaires de C. Algorithmiquement, pour chaque variable X i non affectée dans A, on enlève de D(X i ) toute valeur v telle qu il existe une variable X j non affectée pour laquelle, pour toute valeur w de D(X j ), l affectation A {(X i, v), (X j, w)} soit inconsistante. N. Brauner 81

82 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Propagation des contraintes Arc-consistance : exemple d exécution N. Brauner 82

83 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Propagation de contraintes Nœud-consistance : Arc-consistance : Moins d affectations considérées Toutes les contraintes sont testées à chaque affectation même partielle Facile à mettre en œuvre Beaucoup moins d affectations considérées Établir l arc-consistance peut prendre beaucoup de temps selon les contraintes. Moins facile à mettre en œuvre N. Brauner 83

84 Programmation par contrainte Modélisation Résolution Systèmes Systèmes basés sur la programmation logique ECLiPSE Prolog GNU Prolog Systèmes basés sur des librairies ILOG soveur (C++) Choco (Java) Facile (Ocaml) N. Brauner 84

85 Exercice : Affectation de stock N entrepôts (coût d ouverture ouvre(i) ) M boutiques coûts d acheminement de chaque entrepôt à chaque boutique transfert(i, j) capacité : chaque entrepôt ne peut fournir qu un certain nombre de boutiques cap(i) Question : avec un budget de mille euros, puis-je subvenir aux besoins de mes boutiques? N. Brauner 85

86 Correction : Affectation de stock N. Brauner 86

87 Programmation linéaire

88 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Plan 9 Introduction à la programmation linéaire 10 Interprétation géométrique 11 Bases et points extrêmes 12 L algorithme du simplexe N. Brauner 88

90 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Cadre de la PL Programmation linéaire nombre fini de variables réelles, contraintes linéaires, objectif linéaire Variables x 1, x 2... x n réelles Contrainte générique (contrainte i) : n a ij x j b i j=1 Fonction-objectif générique (à maximiser / minimiser) : n f (x 1, x 2... x n ) = c j x j j=1 N. Brauner 90

91 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Exemple : culture de courgettes et navets Contraintes concernant les quantités d engrais et d anti-parasites 8l engrais A disponible 2l/m 2 nécessaires pour courgettes, 1l/m 2 pour navets 7l engrais B disponible 1l/m 2 nécessaires pour courgettes, 2l/m 2 pour navets 3l anti-parasites disponible 1l/m 2 nécessaires pour navets Objectif : produire le maximum (en poids) de légumes, sachant que rendements = 4kg/m 2 courgettes, 5kg/m 2 navets N. Brauner 91

92 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Exemple : culture de courgettes et navets Variables de décision x c : surface de courgettes x n : surface de navets Fonction objectif max 4x c + 5x n Contraintes 2x c + x n 8 (engrais A) x c + 2x n 7 (engrais B) x n 3 (anti-parasites) x c 0 et x n 0 N. Brauner 92

93 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Intérêt de la PL Problème général d optimisation sous contraintes AUCUNE méthode GÉNÉRALE de résolution!! Problème linéaire quelconque existence de méthodes de résolution générales et efficaces Ces méthodes sont efficaces en théorie et en pratique existence de nombreux logiciels de résolution : Excel, CPLEX, Mathematica, LP-Solve... Cadre restrictif variables réelles contraintes linéaires objectif linéaire N. Brauner 93

94 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Représentation in extenso max 4x c + 5x n 2x c + x n 8 (engrais A) x c + 2x n 7 (engrais B) x n 3 (anti-parasites) x c 0 et x n 0 Représentation matricielle ( ) xc max (4 5) ( xc x n x n ) x c 0 x n 0 N. Brauner 94

95 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Représentation in extenso max z = s.c. j c jx j j a ijx j = b i i = 1, 2... m x j 0 j = 1, 2... n N. Brauner 95

96 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire second membre b = b 1 b 2. b m matrice de format m n a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn coût (ou profit) c = (c 1, c 2... c n ) n var. de décision X = Représentation matricielle max z = cx s.c. Ax = x 1 x 2. x n b x 0 N. Brauner 96

97 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Vocabulaire x i variable de décision du problème x = (x 1,..., x n ) solution réalisable (admissible) ssi elle satisfait toutes les contraintes ensemble des solutions réalisables = domaine ou région admissible x = (x 1,..., x n ) solution optimale ssi elle est réalisable et optimise la fonction-objectif contraintes inégalité ou égalité linéaire a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a 31 x 1 + a 32 x a 3n x n = b 3 fonction objectif (ou fonction économique) linéaire max / min c 1 x 1 + c 2 x c n x n N. Brauner 97

98 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Applications Feuille de TD : Programmation linéaire, Modélisation Exercice 1 : Production de vins Exercice 2 : Fabrication d huile d olives Exercice 3 : Compagnie aérienne Exercice 4 : Publicité N. Brauner 98

99 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Forme canonique d un PL maximisation toutes les variables sont non négatives toutes les contraintes sont des inéquations du type max z = j c jx j s.c. j a ijx j b i i = 1, 2... m forme matricielle x j 0 j = 1, 2... n max z = cx s.c. Ax b x 0 N. Brauner 99

100 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Forme standard d un PL maximisation toutes les variables sont non négatives toutes les contraintes sont des équations max z = j c jx j s.c. j a ijx j = b i i = 1, 2... m forme matricielle x j 0 j = 1, 2... n max z = cx s.c. Ax = b x 0 N. Brauner 100

101 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Passage entre les formes équation inéquation ax = b { ax b ax b max min max f (x) = min f (x) inéquation équation : ajouter une variable d écart ax b ax + s = b, s 0 ax b ax s = b, s 0 variable non contrainte variables positives x 0 { x = x + x x +, x 0 N. Brauner 101

102 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Passage entre les formes Feuille de TD : Programmation linéaire, Résolution Exercice 1 N. Brauner 102

103 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Linéariser un problème non linéaire e i : expression linéaire des variables de décision obj : min max{e 1, e 2... e n } { min y y e i i = 1, 2... n obj : max min{e 1, e 2... e n } { max y y e i i = 1, 2... n obj : min e 1 e = max(e, e) min y y e 1 y e 1 min e + + e e 1 = e + e e +, e 0 N. Brauner 103

104 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Linéariser un problème non linéaire Feuille de TD : Programmation linéaire, Résolution Exercice 2 N. Brauner 104

105 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Un peu d histoire années : Kantorovitch, économiste soviétique modèles linéaires pour la planification et l optimisation de la production années : Dantzig, mathématicien américain algorithme du simplexe application historique Opérations Vittles et Plainfare pour ravitaillement de la trizone pendant le blocus de Berlin par pont aérien (23 juin mai 1949) simplexe exécuté à la main (des milliers de variables), jusqu à tonnes de matériel par jour! 1975 : prix Nobel économie Kantorovitch XXIème siècle : logiciels de PL disponibles partout, utilisation de la PL dans tous les domaines industriels... N. Brauner 105

107 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Interprétation géométrique Exemple : culture de courgettes et navets Variables de décision x c : surface de courgettes x n : surface de navets Fonction objectif max 4x c + 5x n Contraintes 2x c + x n 8 (engrais A) x c + 2x n 7 (engrais B) x n 3 (anti-parasites) x c 0 et x n 0 N. Brauner 107

108 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Interprétation géométrique Interpréter les contraintes courgettes et navets 2x + y 8 demi-plan de R 2 x + 2y 7 demi-plan y 3 demi-plan x 0 et y 0 demi-plans Ensemble des solutions réalisables = intersection de ces demi-plans : polyèdre y x N. Brauner 108

109 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Interprétation géométrique Optimiser l objectif Les lignes de niveau {4x + 5y = constante} sont des droites parallèles y 4x 5y=10 4x 5y=18 4x 5y=22 4x 5y=25 x N. Brauner 109

110 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Interprétation géométrique Géométrie d un PL L ensemble des solutions réalisables est toujours un polyèdre (intersection de demi-espaces) Les lignes de niveau {f = constante} de la fonction-objectif f sont des hyperplans affines (n = 2 droite, n = 3 plan...) N. Brauner 110

111 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Interprétation géométrique Géométrie d un PL Optimum atteint au bord L optimum de la fonction-objectif, s il existe, est atteint en (au moins) un sommet du polyèdre. Justification mathématique : les dérivées partielles de f (x) = c.x ne s annulent jamais, et le domaine {x n j=1 a ijx j b i, i = 1,..., m} est compact l optimum est atteint au bord... N. Brauner 111

112 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Programmation linéaire Solutions d un PL La région admissible peut être vide nb solutions optimales : 0 non vide, bornée nb solutions optimales : 1 ou non vide, non bornée nb solutions optimales : 0 ou 1 ou Proposer des exemples de PL pour chacun des cas Feuille de TD : Programmation linéaire, Résolution Exercice 3 N. Brauner 112

114 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Bases et points extrêmes Rappels max z = cx s.c. Ax b x 0 Les contraintes définissent un polyèdre A matrice m n x = (x 1 x 2... x n ) b = (b 1 b 2... b m ) c = (c 1 c 2... c n ) La solution optimale est un sommet du polyèdre Comment énumérer les sommets d un polyèdre? N. Brauner 121

115 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Bases et points extrêmes Passage à la forme standard Forme standard On peut rajouter des variables d écart : n a ij x j b i j=1 n a ij x j + e i = b i, e i 0 j=1 PL standard : max z(x) = c.x s.c Ax = b x 0 On travaille dans un espace de dimension plus grande, mais toutes les contraintes sont des égalités. Manipulations algébriques plus aisées N. Brauner 122

116 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Bases et points extrêmes Passage à la forme standard max z = 4x + 5y s.c. 2x + y 8 x + 2y 7 y 3 x, y 0 y max z = 4x + 5y s.c. 2x + y + e 1 = 8 x + 2y + e 2 = 7 y + e 3 = 3 x, y, e 1, e 2, e points intéressants (intersection de contraintes) 5 points admissibles x énumération de ces 9 points comme solution de la forme standard (solutions de base) N. Brauner 123

117 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Bases et points extrêmes s.c. 2x + y + e 1 = 8 x + 2y + e 2 = 7 y + e 3 = 3 x, y, e 1, e 2, e 3 0 x y e 1 e 2 e 3 sol de base admiss. pt extrême (0,0) (0,3) (4,0) (3,2) (1,3) {points extrêmes} {solutions de base admissibles} N. Brauner 124

118 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Bases et points extrêmes Système linéaire Ax=b A format m n, rang A = m n Base de A : sous-matrice B(m m) inversible de A A = (B, N) ( ) xb (B, N) = b ou Bx B + Nx N = b x N x B = B 1 b B 1 Nx N Solution de base associée à B : x N = 0 variables hors base x B = B 1 b variables de base N. Brauner 125

119 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Bases et points extrêmes Base et solution de base 2x + y + e 1 = 8 x + 2y + e 2 = 7 y + e 3 = 3 x, y, e 1, e 2, e 3 0 Base initiale? {e 1, e 2, e 3 } par exemple : 2x + y + e 1 = 8 x + 2y + e 2 = 7 y + e 3 = 3 e 1 = 8 2x y e 2 = 7 x 2y e 3 = 3 y e 1, e 2, e 3 = variables de base, x, y = variables hors base N. Brauner 126

120 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Bases et points extrêmes Base et solution de base e 1 = 8 2x y e 2 = 7 x 2y e 3 = 3 y on met les variables hors base à 0 on en déduit les valeur des variables de base e 1 = 8 2x y = 8 x = y = 0 e 2 = 7 x 2y = 7 e 3 = 3 y = 3 N. Brauner 127

121 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Bases et points extrêmes Ax = b, x 0 (x B, 0) associée à B est une solution de base admissible si x B 0 {points extrêmes du polyèdre} {solutions de base admissibles du système linéaire correspondant} nombre de points extrêmes C m n = n! m!(n m)! solution de base dégénérée : certaines variables de base sont nulles si A est inversible : solution de base unique N. Brauner 128

122 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Bases et points extrêmes Base voisine et pivotage Bases voisines Deux sommets voisins correspondent à deux bases B et B telles qu on remplace une variable de B pour obtenir B passer à un sommet voisin = changer de base (base voisine) principe du pivotage N. Brauner 129

123 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe Bases et points extrêmes Qui faire entrer dans la base? Essayons avec y : quelle est la valeur max que pourra avoir y? e 1 = 8 2x y 0 y 8 e 2 = 7 x 2y 0 y 3.5 e 3 = 3 y 0 y 3 Bilan : y max = 3, pour y = y max on a e 1 = 5 2x, e 2 = 1 x, et e 3 = 0 candidat pour une nouvelle base : {e 1, e 2, e 3 } {y} \ {e 3 } = {e 1, e 2, y} (x, y, e 1, e 2, e 3 ) = (0, 3, 5, 1, 0) N. Brauner 130

125 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Vers un algorithme de résolution Méthode de résolution naïve : énumérer tous les sommets, calculer f sur ces points, prendre le sommet pour lequel f est optimisé : fonctionne : nombre fini de sommets limitation : ce nombre peut être très grand en général... L algorithme du simplexe (G. B. Dantzig 1947) Algorithme itératif permettant de résoudre un problème de programmation linéaire. N. Brauner 132

126 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Principe d amélioration locale À partir d un sommet, chercher un sommet voisin qui améliore l objectif. Principe d amélioration locale (maximisation) : Soit x 0 sommet non optimum. Alors il existe x, un sommet voisin de x 0, tel que f (x) > f (x 0 ). Méthode de résolution : on part d un sommet x 0 quelconque, on passe à un sommet voisin pour lequel f augmente, et ainsi de suite. Remarque : on passe d un problème continu (variables réelles) à un problème discret (nombre fini de sommets)... N. Brauner 133

127 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Illustration 2D : courgettes et navets x 0 = (0, 0), z = 0 x = (0, 3), z = 15 x 0 = (0, 3), z = 15 x = (1, 3), z = 19 x 0 = (1, 3), z = 19 x = (3, 2), z = 22 y z = 4x + 5y x = 3,2, z =22 x plus d amélioration locale possible optimum N. Brauner 134

128 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Illustration concrète Standardisation : Maximiser z = 4x + 5y 2x + y 8 x + 2y 7 s.c. y 3 x, y 0 Maximiser z = 4x + 5y 2x + y + e 1 = 8 x + 2y + e s.c. 2 = 7 y + e 3 = 3 x, y, e 1, e 2, e 3 0 Base initiale? {e 1, e 2, e 3 } par exemple : 2x + y + e 1 = 8 x + 2y + e 2 = 7 y + e 3 = 3 e 1 = 8 2x y e 2 = 7 x 2y e 3 = 3 y e 1, e 2, e 3 = variables de base, x, y = variables hors base N. Brauner 135

129 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Solution de base associée on met les variables hors base à 0 on en déduit : valeur des variables de base valeur de z e 1 = 8 2x y = 8 ici : x = y = 0 e 2 = 7 x 2y = 7 e 3 = 3 y = 3 et z = 4x + 5y = 0 N. Brauner 136

130 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Changement de base Observation essentielle : z = 4x + 5y = 0 on peut augmenter z si x ou y rentre dans la base. Essayons avec y : quelle est la valeur max que pourra avoir y? e 1 = 8 2x y 0 y 8 e 2 = 7 x 2y 0 y 3.5 e 3 = 3 y 0 y 3 Bilan : y max = 3, pour y = y max on a e 1 = 5 x, e 2 = 1 x, et e 3 = 0 candidat pour une nouvelle base : {e 1, e 2, e 3 } {y} \ {e 3 } = {e 1, e 2, y} N. Brauner 137

131 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Nouvelle base {e 1, e 2, y} e 1 = 8 2x y e 2 = 7 x 2y e 3 = 3 y e 1 = 8 2x y = 5 2x + e 3 e 2 = 7 x 2y = 1 x + 2e 3 y = 3 e 3 Exprimons z en fonction des variables hors base z = 4x + 5y = x 5e 3 Solution de base associée e 1 = 5 2x + e 3 = 5 x = e 3 = 0 e 2 = 1 x + 2e 3 = 1 y = 3 e 3 = 3 et z = 15 N. Brauner 138

132 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Itération z = x 5e 3 peut encore augmenter si x entre dans la base Si x entre, qui sort? Valeur max de x : e 1 = 5 2x + e 3 0 x 2.5 e 2 = 1 x + 2e 3 0 x 1 y = 3 e 3 0 aucune contrainte sur x Bilan : x max = 1 et e 2 sort. Nouvelle base {e 1, y, x} e 1 = 3 + 2e 2 3e 3 x = 1 e 2 + 2e 3 y = 3 e 3 z = 19 4e 2 + 3e 3 N. Brauner 139

133 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Itération (suite) z = 19 4e 2 + 3e 3 peut encore augmenter si e 3 entre dans la base Si e 3 entre, qui sort? Valeur max de e 3 : e 1 = 3 + 2e 2 3e 3 0 e 3 1 x = 1 e 2 + 2e 3 0 aucune contrainte sur e 3 y = 3 e 3 0 e 3 3 Bilan : e 3max = 1, e 1 sort. Nouvelle base {e 3, y, x} : e 3 = 1 + 2/3e 2 1/3e 1 x = 3 + 1/3e 2 2/3e 1 y = 2 2/3e 2 + 1/3e 1 z = 22 2e 2 e 1 N. Brauner 140

134 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Terminaison On a z = 22 2e 2 e 1, donc z 22 Or la solution de base x = 3, y = 2, e 3 = 1 donne z = 22 optimum La condition de terminaison concerne les coefficients de z exprimée avec les variables hors base. N. Brauner 141

135 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe max z = 20x x 2 s.c. x 1 + 2x x 1 + x x 1 70 x 2 50 x 1, x 2 0 forme standard max z s.c. z 20x 1 10x 2 = 0 x 1 + 2x 2 + s 1 = 120 x 1 + x 2 + s 2 = 100 x 1 + s 3 = 70 x 2 + s 4 = 50 N. Brauner 142

136 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Forme standard max z s.c. z 20x 1 10x 2 = 0 x 1 + 2x 2 + s 1 = 120 x 1 + x 2 + s 2 = 100 x 1 + s 3 = 70 x 2 + s 4 = 50 Forme tableau z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 z s s s s N. Brauner 143

137 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Coûts réduits B, une base de Ax = b la fonction objectif : z = cx = c B x B + c N x N = c B B 1 b (c B B 1 N c N )x N n = z 0 (c B B 1 a j c j )x j = z 0 j=1 n (z j c j )x j j=1 z j c j = c B B 1 a j c j est le coût réduit de la variable hors base x j N. Brauner 144

138 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe à chaque itération z x N x B z 1 coûts réduits 0 z 0 0 x B.... Id + 0 à l optimum z x N x B z z0 0 x B.... Id + 0 N. Brauner 145

139 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Principe heuristique : faire rentrer en base la variable avec le coefficient le plus négatif x 1 z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 z s s s s Qui faire sortir? N. Brauner 146

140 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe Principe du quotient minimal colonne pivot x 1 second membre 0 quotient a 1 0 b 1 - b a 2 > 0 b 2 2 a 2 b a 3 > 0 b 3 3 a 3 a 4 = 0 b 4 - { } ligne r = min bi a i a i > 0 faire sortir s 3 b r a r z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 z s s s s N. Brauner 147

141 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe exprimer la contrainte z avec les variables hors base x 2 et s 3 z 10x s 3 = 1400 diviser la ligne pivot par le coefficient de la variable entrante x 1 + s 3 = 70 supprimer x 1 des autres contraintes 2x 2 + s 1 s 3 = 50 c a.. ligne pivot p b colonne pivot x 2 + s 2 s 3 = 30 = a a b p c N. Brauner 148

142 Programmation linéaire Interprétation géométrique Bases et points extrêmes L algorithme du simplexe L algorithme du simplexe z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 z s s x s x 1, s 1, s 2, s 4 en base et x 2, s 3 hors base sol de base (70, 0, 50, 30, 0, 50) de valeur 1400 Faire rentrer x 2 quotient min faire sortir s 1 N. Brauner 149

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