TP pendules. Ce TP est évalué en direct par les observations de l'enseignant.

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1 TP pendules Ce TP est évalué en direct par les observations de l'enseignant. Objectifs : Étudier les oscillations libres et forcées d un pendule élastique (ressort) ; Étudier les oscillations libres non amorties d un pendule simple ; Mesurer l intensité de la pesanteur à l aide d un pendule simple ; Vérifier expérimentalement la formule de Borda (pendule simple non idéal). 1 Théorie : mouvement de la masse M dans différents cas 1.1 Oscillations libres non amorties Equation différentielle du mouvement Ici, l allongement du ressort, noté, est calculé par rapport à la position d équilibre.ainsi, on a. Contrairement au cas où le ressort est horizontal (ce qui a été vu dans le secondaire), la force de rappel du ressort ne s écrit pas : En effet dans le cas du ressort vertical, si.,, puisque le système est dans sa position d équilibre avec un ressort étiré du fait du poids de la masse m. Figure 1 - Force de tension et allongement d'un ressort Donc pour le ressort vertical :

2 Ecrivons la relation fondamentale de la dynamique à l équilibre et hors équilibre : A l équilibre : Hors équilibre : Or d après l équation, d où: Solution Ce type d équation différentielle est bien connu, sa solution est de la forme : Avec la pulsation propre (exprimée en ) des oscillations d expression. Figure 2 - Oscillations périodiques Il y a mouvement d oscillations non amorties à la pulsation. Ainsi, on peut également définir la période (en s) et la fréquence (en Hz) des oscillations: 1.2 Oscillations libres faiblement amorties Equation différentielle

3 Dans ce cas, on doit ajouter au bilan des forces une force de frottement fluide d expression. L équation différentielle obtenue dans ce cas est : On pose souvent où est appelée constante de relaxation ou constante de temps du système (comme en électricité). On pourra aussi rencontrer un facteur d amortissement tel que. L équation différentielle devient donc : Solution Cette équation différentielle est la même que celle rencontrée en électrocinétique pour les oscillations du circuit RLC série. On sait alors que trois régimes sont possibles selon l amortissement du système : Un régime pseudo-périodique si l amortissement est faible ; Un régime apériodique si l amortissement est fort ; Un régime critique entre les deux. Figure 3 - Oscillations pseudopériodiques Si on considère un pendule réel qui oscille librement dans l air, le régime est le plus souvent pseudo-périodique. La solution de l équation différentielle est : avec la pseudo-pulsation des oscillations dont l expression est. On définit aussi la pseudo-période des oscillations : La pseudo-période des oscillations est très proche de la période propre des

4 oscillations pour l oscillateur idéal non amorti. Dans ce TP, on considèrera que. 1.3 Oscillations forcées Imaginons le pendule relié à un dispositif permettant de soumettre l extrémité du ressort à une force de traction sinusoïdale du type. La masse M plonge dans un liquide pour introduire du frottement fluide. Après un régime transitoire assez bref (car le frottement n est pas négligeable), le moteur impose à la masse M des oscillations à la pulsation (régime permanent). Figure 4 - Montage permettant l'étude des oscillations forcées Résonance De plus, si la période d excitation du moteur est proche de la période propre du pendule, celui-ci entre en résonance : l amplitude des oscillations devient importante.on a alors. 2 Etude expérimentale du régime libre 2.1 Dispositif expérimental Oscillations solide-ressort en régime libre : montage complet, oscilloscope numérique et alimentation stabilisée (cliquez pour agrandir) Pour enregistrer le mouvement mécanique de l oscillateur, il faut avoir recours à un transducteur ; ici, il est composé d un ensemble "solution aqueuse+courant": la variation de la résistance d une colonne de solution aqueuse nous permet d enregistrer le mouvement de la masse M. Un transducteur est un dispositif qui permet de transformer un type d énergie en un autre type d énergie. On réalise alors le montage ci-contre : On impose une tension constante entre la surface (A) et le fond (B) de la

5 solution; on mesure la tension via un oscilloscope entre le point M (équivalent au point M car le ressort à une résistance nulle) et la masse (point B). Lorsque la masse M va osciller, la tension va varier : plus M se rapproche de B plus la tension mesurée est faible est inversement, plus M se rapproche de A, plus la tension mesurée sera grande. Effectuer ce montage. La tension imposée à la colonne de liquide sera réglée à. Figure 5 - Enregistrement des oscillations libres 2.2 Manipulation Enregistrement des oscillations libres du pendule élastique avec un oscilloscope analogique et utilisation d'un oscilloscope numérique (cliquez pour agrandir) L'intérêt de l'oscilloscope numérique réside dans le fait qu'il est capable d'enregistrer des phénomènes lents, telles que ces oscillations du pendule élastique. Après avoir vérifier que le zéro de la voie CH1 a été réglé (avec le mode GND), régler, en mode AC, la sensibilité verticale à. Régler la base de temps à. Etirer ou compresser le ressort du système et le libérer. Observer les oscillations s'affichaient sur l'écran de l'oscilloscope. Recommencer plusieurs fois l'opération jusqu'à un enregistrement de qualité. Appuyer alors sur la touche RUN/STOP pour figer l'enregistrement. 2.3 Exploitation 1. Mesurer la pseudo-période T à l aide de deux méthodes : En utilisant le mode automatique ou les curseurs de l oscilloscope (se débrouiller pour trouver et utiliser ces différents fonctionnalités) ; En utilisant la courbe capturée et imprimée. Dans chaque cas, expliquer consciencieusement le protocole de mesure. 2. En déduire la constante de raideur du ressort dans les deux cas. Calculer un écart relatif entre les deux mesures. Commenter ces résultats. 3 Etude expérimentale du régime forcé

6 3.1 Dispositif expérimental On ajoute moteur et poulie au dispositif expérimental : Figure 6 - Enregistrement des oscillations forcées Faire le montage de façon soignée : le ressort ne doit pas trempé dans la solution, la masse ne doit pas taper le fond de l éprouvette, l ensemble ne doit pas toucher les fils ni les bords de l éprouvette. Pour lire la fréquence imposée par le moteur, on peut utiliser l indication du boîtier moteur ou lire celle-ci à l oscilloscope.les réglages de celui-ci seront les mêmes que précédemment. 3.2 Manipulation Résonance du pendule élastique obtenue à l'aide d'un moteur (cliquez pour agrandir) Modifier la fréquence du moteur pour trouver la fréquence de résonance d élongation : observer directement les oscillations ou bien chercher le maximum des amplitudes sur l oscilloscope. En déduire la période de résonance ; la comparer à la période propre (égale à la pseudo-période quand les oscillations sont faibles) et conclure (relire le paragraphe 1.3 de ce TP). 4 Théorie 4.1 Détermination de l équation différentielle générale Le pendule simple étudié est constitué: d un fil inextensible de masse négligeable et de longueur ; d une masse M ponctuelle accrochée

7 au bout du fil. L amplitude des oscillations est repérée par l angle que fait le fil avec la position verticale. La position d équilibre correspond à. On écarte la masse de sa position d équilibre d un angle et on la lâche sans vitesse initiale. On cherche l équation différentielle vérifiée par, seul degré de liberté du système. Figure 7 - Forces s'exerçant sur le pendule simple et base de projection Il s agit d un problème de mécanique, on définit les bases : Référentiel : Laboratoire supposé galiléen ; Système : masse M ; Bilan des forces : Poids, réaction du fil ; PFD : On projette cette relation sur la base mobile constituée d un vecteur tangentiel dirigé dans le sens du mouvement et d un vecteur normal dirigé vers le point de suspension du pendule : L équation nous permet d obtenir la tension du fil tandis que l équation nous donne l équation différentielle du mouvement : Cette équation différentielle n est pas linéaire puisqu elle ne fait pas intervenir que et ses dérivées. 4.2 Cas de l oscillateur linéaire Pour des petits angles d oscillations, on assimile à. L équation différentielle devient alors, en posant : Cette équation est linéaire et admet une solution du type où et sont des constantes déterminées à l aide des conditions initiales.

8 Les oscillations sont donc périodiques de période propre ou de fréquence propre ; étant la pulsation propre des oscillations. Ainsi le graphe est une sinusoïde pure, on parle d oscillateur harmonique. Dans la pratique, les oscillations sont légèrement amorties par les frottements de l air, mais nous considérons ceux-ci comme négligeables. 4.3 Cas des grands angles Même sans frottement, la solution de l équation page est complexe, les oscillations ne sont plus sinusoïdales. Pour des amplitudes ne dépassant pas les ( ), on peut utiliser la formule de Borda qui donne la période des : où est exprimé en radians. Cette formule est obtenue en utilisant un développement limité (une approximation polynomiale) de la fonction sinus. 5 Etude expérimentale Cette partie demande d être très précautionneux pour obtenir de bons résultats 5.1 Dispositif expérimental Mesure de la demie-période du pendule simple (cliquez pour agrandir) Le pendule est constitué par une masse suspendue à un grand fil. Un barrière chronométrique est disposée à l aplomb du pendule lorsque celui-ci est à l équilibre. Un carton gradué permettra de repérer l angle initial des oscillations. Attention, le barrière chronométrique permet de connaître la valeur d une demiepériode, car ce chronomètre se déclenche au premier passage et s arrête au deuxième passage au niveau du faisceau. Deux réglages importants : pour une meilleure précision, le faisceau IR de la barrière optique doit être

9 coupé par le fil et non la masse M du pendule ; ATTENTION, le réglage de la position de la barrière chronométrique au niveau de la position d équilibre du pendule est capital. Aussi pour palier à un léger biais, on mesurera deux fois la demi-période : en écartant initialement le pendule à droite de la barrière, puis en l écartant à gauche. La mesure considérée sera la moyenne de ces deux temps ère manipulation : mesure de g 1. Noter la longueur du pendule indiquée sur la paillasse ; 2. Réaliser 5 mesures de demi-période (10 mesures puisque chaque mesure est doublée, une positionné à droite de la barrière, l'autre à gauche) avec un angle initial de 2,5. 3. Calculer la moyenne de la demi-période. En déduire la moyenne de la période du pendule : cette valeur sera considérée comme étant la période propre du pendule. 4. Calculer l écart-type (incertitude de type A, statistique) sur la mesure de la demi-période au chronomètre ( ), puis l écart-type sur la mesure de la période ( ). 5. On donne l écart-type sur la mesure de la :. A partir des deux questions précédentes, déterminer une valeur du champ de pesanteur ainsi que l incertitude à 95% sur cette mesure ( ). 6. Connaissant la valeur théorique de ce champ à Rennes ( ), conclure ème manipulation : courbe Ici, nous testons l évolution de la période en fonction de l angle initial des oscillations, on notera la période. 1. Pour différentes valeurs de, de 2,5 en 2,5 et jusqu à 25, mesurer la demi-période des oscillations (deux mesures à chaque fois) comme précédemment. Rentrer les valeurs dans un tableau Regressi. 2. Puis ajouter les valeurs de moyenne correspondantes ainsi que les incertitudes : renseigner celle sur (prendre celle de la manipulation précédente), l incertitude sur est donné :. 3. Se servir du logiciel pour calculer en radians, puis ainsi que. 4. Tracer sous Regressi la courbe avec en radians. Faire apparaître les ellipses d incertitudes, utiliser la méthode du. Ajuster judicieusement l échelle des ordonnées manuellement. 5. Modéliser cette courbe en utilisant la formule de Borda équation : pour cela, on n utilise pas un modèle prédéfini, mais on rentre directement la formule ; sera utilisée pour la pente (c'est à dire pour désigner ), et on veillera également à utiliser les bons noms de paramètres (ceux que l on a donné au logiciel). 6. Cette formule est-elle vérifiée pour les petits angles testés? expliquer. Déduire de la modélisation une valeur de la période propre du pendule et son incertitude. Comparer avec celle trouvée à la question Commenter.

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