LES TREILLIS. 1 Introduction :

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1 TS1 CM Analyse et Calcul des Structures Page 1 sur 9 LES TREILLIS. 1 Introduction : Un ou système réticulé est un système composé de barres droites articulées à leurs extrémités ; on appelle nœuds les points d articulations communs à plusieurs barres ; Un étant une structure légère, il est généralement utilisé pour des portées relativement longues dans les bâtiments et les ponts. On suppose que les forces extérieures sont appliquées aux nœuds. Il en résulte qu une barre FC du système comprise entre les nœuds F et C est sollicitée par deux forces axiales P F et P C transmises par ces nœuds. La barre isolée doit être en équilibre sous l action de ces deux forces, ce qui exige que celles-ci soient de sens opposé et d intensité égale (figure 1.1). La barre FC supporte donc uniquement un effort normal P FC qui est considéré comme : Positif si la barre FC est tendue (Traction) Négatif si la barre FC est comprimée (Compression) P F P FC P C Figure 1.1 Lorsque toutes les barres ainsi que les forces appliquées sont dans un même plan, le est appelé un plan ; dans le cas contraire, il s agit d un spatial. La cellule de base d un plan est le triangle et les trois barres (figure 1.2a) articulées à leurs extrémités forment une structure stable pour supporter la charge Q. Le de la figure 1.2a peut être agrandi par juxtaposition de triangles, et on obtient ainsi un système triangulé (figure 1.2b) Figure 1.2

2 TS1 CM Analyse et Calcul des Structures Page 2 sur 9 2 Définitions : Un ou système réticulé est extérieurement isostatique si les actions d appui peuvent être déterminées à partir des trois équations d équilibre de la statique ; dans le cas contraire, le est extérieurement hyperstatique ; Par ailleurs, un est intérieurement isostatique si les efforts dans les barres peuvent être déterminés par les équations d équilibre de la statique à partir des charges et des actions d appui préalablement calculées ; dans le cas contraire, le est intérieurement hyperstatique. Le calcul des consiste à déterminer les actions d appuis et les efforts dans les barres. Soit le plan de la figure 1.3a. ce contient n nœuds et b barres. Les forces qui agissent sur les nœuds sont les forces extérieures, les efforts dans les barres et les actions d appuis. Pour chaque nœud, on peut écrire deux équations d équilibre (figure 1.3b) par rapport aux axes x r et y r. r F r F x y r = 0 r = 0 (2.1) Figure 2.1 On définit une poutre à comme étant un système réticulé plan, vertical, qui repose sur des appuis de niveau, qui est soumis à des charges verticales et dont la portée est nettement supérieure à sa hauteur. On désigne les barres supérieures et inférieures orientées suivant la longueur de la poutre par les membrures supérieures et inférieures et les barres orientées obliquement et verticalement par les diagonales et les montants. En première année on ne calculera que les poutres à isostatiques.

3 TS1 CM Analyse et Calcul des Structures Page 3 sur 9 3 Types de poutres à isostatiques : Les poutres à isostatiques les plus utilisées sont montrées à la figure3.1. Elles sont généralement nommées d après le nom des ingénieurs qui les ont conçues et qui les ont fait connaître. On distingue sur la figure 3.1 les poutres à Fink, Howe, Pratt et Warren. Figure 3.1 La différence entre les poutres Pratt et Howe est que dans la poutre Pratt, les diagonales sont descendantes dans la moitié gauche et montantes dans la moitié droite, tandis que dans la poutre Howe, c est l inverse. Dans la poutre Howe, les diagonales sont habituellement comprimées. Les poutres Warren, quant à elles, sont des poutres triangulées comportant des membrures et des diagonales. Elles peuvent aussi être munies de montants pour transmettre les charges aux nœuds supérieurs. On rencontre aussi d autres poutres à comme les poutres en K et les poutres à composées et complexes. 4 Calcul des plans isostatiques par la méthode des nœuds : 4.1 Présentation de la méthode : Les barres sont assemblées aux nœuds d un par des goussets auxquels elles sont boulonnées ou soudées. Les nœuds ne sont donc pas de simples articulations, ils ont une certaine rigidité. En outre, les charges sont souvent réparties le long des membrures supérieures des. Mais pour faciliter les calculs, on suppose que les forces extérieures et les actions d appuis sont appliquées aux nœuds et que ces derniers sont articulés. Par conséquent, chaque nœud doit être un système en équilibre sous l action de forces concourantes qui sont les forces extérieures incluant les actions aux appuis s il y a lieu et les efforts normaux dans les barres qui aboutissent à ce nœud.

4 TS1 CM Analyse et Calcul des Structures Page 4 sur 9 Méthodologie : Pour évaluer les efforts dans les barres, on isole un nœud en coupant les barres qui y aboutissent et l on écrit les équations d équilibre pour ce nœud ; Comme on ne dispose que de deux équations d équilibre pour chaque nœud (équation 2.1), il faut commencer les calculs à un nœud où aboutissent deux barres seulement. C est généralement le cas d un nœud d extrémité ou d appui du. Lorsqu on a calculé les efforts dans les deux barres de ce nœud, on procède progressivement en isolant les autres nœuds et en écrivant les équations d équilibre de ces nœuds, qu il faut choisir dans un ordre tel qu on n ait jamais plus de deux efforts inconnus à déterminer. Ainsi, on avance généralement d une extrémité vers le centre du. Cependant, il faut au préalable calculer les actions aux appuis. Remarque n 1: La convention de signe à utiliser est la suivante : Un effort de compression est négatif et la flèche du vecteur le représentant est orienté vers le nœud. Un effort de traction est positif et la flèche du vecteur le représentant s éloigne du nœud. Remarque n 2 : Lors de la résolution, pour les efforts connus, on utilise leur sens ; pour les efforts inconnus dans les barres, on suppose qu ils agissent en traction (leurs vecteurs représentatifs s éloignent du nœud). On écrit les équations d équilibre pour trouver la valeur de ces efforts. Si le résultat est positif pour un effort, il s agit bien d une traction ; sinon il s agit d une compression. 4.2 Applications : Exemple n 1 : Déterminer les efforts dans les barres du plan montré sur la figure 4.1. Figure 4.1

5 TS1 CM Analyse et Calcul des Structures Page 5 sur 9 Exemple n 2 : Déterminer les efforts dans les barres du plan isostatique montré sur la figure 4.2. Figure Calcul des plans isostatiques par la méthode des sections : 5.1 Présentation de la méthode : Cette méthode consiste à couper le (figure 5.1a) en deux parties par une section qui coupe les barres dont on veut déterminer les efforts. On isole la partie à gauche de la section, on dénote les efforts inconnus des barres comme des forces extérieures et l on tient compte des forces extérieures appliquées aux nœuds ainsi que les actions aux appuis (figure 5.1b). On calcule ensuite les efforts inconnus à partir des équations d équilibre de la statique. Figure 5.1 La coupe idéale est donc celle qui ne sectionne que trois barres, puisqu on n a que trois équations d équilibre. Il faut savoir choisir la coupe appropriée qui permettra les calculs, car ce n est pas n importe quelle coupe qui conviendra. On coupera le en deux parties autant de fois que cela est nécessaire, selon le nombre de barres dont on veut calculer les efforts.

6 TS1 CM Analyse et Calcul des Structures Page 6 sur 9 L avantage de cette méthode est qu elle permet de calculer l effort dans une barre particulière, directement, sans être au préalable obligé de calculer les efforts dans plusieurs autres barres. Méthodologie : Pour les efforts connus, on utilise leur sens ; pour les efforts inconnus dans les barres, on suppose qu ils agissent en traction. Les équations d équilibre sont écrites pour trouver la valeur de ces efforts. Si le résultat est positif pour un effort, il s agit bien d une traction ; sinon, il s agit d une compression. Pour écrire les équations d équilibre de la statique, on utilise les composantes horizontales et verticales des efforts et des forces extérieures suivant les axes x r et y r. On peut aussi employer les distances des forces et des efforts au point p (choisit intelligemment), par r r rapport auquel on écrit l équation d équilibre des moments M r = 0, si cela s avère plus F / p commode et plus rapide pour les calculs. 5.2 Application : Exemple n 1 : Déterminer les efforts dans les barres 4, 5 et 6 du plan isostatique montré sur la figure 5.1. Exemple n 2 : Déterminer les efforts dans les barres 6, 7 et 8 du plan isostatique montré sur la figure 5.2. Figure 5.2

7 TS1 CM Analyse et Calcul des Structures Page 7 sur 9 6 Nœuds particuliers : 6.1 Explications : Souvent, l analyse d un peut être accélérée en identifiant au préalable les barres où l effort est nul. Dans les deux cas suivants, on trouvera des barres à effort nul : Si aucune force extérieure n est appliquée à un nœud où aboutissent deux barres (nœuds F et J sur la figure 6.1), les efforts dans les barres doivent être nuls ; Cela résulte du fait que s il n y a pas de force extérieure, le polygone des forces ne peut être fermé à ce nœud. Si aucune force extérieure n est appliquée à un nœud où aboutissent trois barres dont deux sont colinéaires (nœud D sur la figure 6.1), l effort dans la barre qui n est pas colinéaire est nul. Cela résulte du fait que s il n y a pas de force extérieure, le polygone des forces ne peut être fermé à ce nœud et que les efforts dans les barres colinéaires s équilibrent. Figure 6.1 Dans les barres FA, FG, IJ, JB et HD du de la figure 6.1, l effort est nul. Il est évident que si les conditions de chargement du changent, ces barres seront soumises à des efforts. Si l on ajoute des forces extérieures horizontale et verticale aux nœuds F et J et une force extérieure verticale au nœud D du de la figure 6.1, les efforts dans les barres aboutissant à ces nœuds ne seront pas nuls. Il ne faut donc pas éliminer une barre où l effort est nul pour un chargement donné car l effort peut être non nul pour un autre chargement. 6.2 Applications : Exemple n 1 : On donne le montré sur la figure Déterminer les barres dans lesquelles l effort normal est nul. 2- Trouver l effort normal dans les barres 3 et 4 par la méthode des nœuds. 3- Trouver l effort normal dans les barres 6, 7 et 8 par la méthode des sections.

8 TS1 CM Analyse et Calcul des Structures Page 8 sur 9 Figure Analogie entre une poutre à et une poutre prismatique : Une poutre à avec des membrures supérieures et inférieures droites et parallèles se comporte comme une poutre prismatique (figure 7.1). En effet, sous l action des charges verticales, les membrures supérieures sont comprimées et les membrures inférieures sont tendues, comme c est le cas pour les fibres supérieures et inférieures d une poutre. Dans une poutre simplement appuyée, comme on le sait, le moment est maximal au milieu ou dans la partie centrale de la portée et l effort tranchant est maximal près des appuis. On constate que pour une poutre à, la compression et la traction dans les membrures supérieures et inférieures sont aussi maximales au milieu ou près du milieu de la portée et que l effort dans les diagonales et les montants est maximal près des appuis comme pour l effort tranchant dans une poutre. A partir de ces considérations, on peut déduire les relations suivantes : En supposant que sur la figure 7.1, les droites qui montrent les membrures supérieures et inférieures du représentent les axes ou le lieu géométrique des centres de gravité des sections de ces membrures, on peut trouver l effort de compression dans la barre HI en divisant le moment M D (dû aux forces extérieures) par la distance e entre les axes des membrures supérieures et inférieures du. De la même façon, on peut trouver l effort de traction dans la barre DE en divisant le moment M I par la distance e entre les axes des membrures supérieures et inférieures du. C est le procédé que l on a utilisé dans la méthode des sections. En une section donnée d une diagonale, la composante verticale de l effort est égale à l effort tranchant de la poutre en cette section. L effort dans un montant est égal à l effort tranchant de la poutre à l endroit du montant.

9 TS1 CM Analyse et Calcul des Structures Page 9 sur 9 On utilise souvent des poutres à simplement appuyées comme structure pour supporter une toiture de grande portée. Selon le matériau et les aires des sections des profilés qu on désire employer comme membrures, on peut rapidement vérifier la hauteur e requise pour les poutres à. Pour cela, on divise le moment maximal dû aux forces extérieures sollicitant les poutres à par la valeur de l effort de compression C ou de traction T que l aire des membrures peut supporter. Application : figure 7.1 Déterminer la hauteur e requise pour la poutre à de la figure 7.1. On suppose que la section choisie pour la membrure supérieure peut résister à un effort de compression de C = 270 kn en tenant compte de son élancement. La section de la membrure inférieure est adéquate. Commentaires : Pour le calcul des poutres à, on a supposé que les charges étaient appliquées aux nœuds. En réalité, ce n est pas toujours le cas. Lorsque les poutres à supportent les charges uniformément réparties des toitures, les membrures supérieures sont sollicitées par un effort normal de compression et un moment fléchissant. Il faut donc dimensionner ces membrures en tenant compte de l effort de compression, du moment fléchissant et surtout du danger de flambement. Pour un dimensionnement optimal, il faut essayer d avoir des membrures et des diagonales comprimées de longueur telle que l élancement des ces éléments ne soit pas grand.