Fiche 1 PGCD et Brevet des collèges

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1 2005 Exercice 1 : (Amérique du Sud, novembre 2005) 1. a. Reproduire le tableau ci- dessous et compléter chaque case par oui ou par non est divisible par 774 est divisible par 322 est divisible par b. D après ce tableau, les fractions!!"!"" et sont- elles irréductibles? Pourquoi?!!" 2. Calculer le PGCD de 322 et par la méthode de votre choix. La fraction!"" est- elle irréductible? Exercice 2 : (Groupe Est, 2005) 1. Calculer le PGCD des nombres 135 et Dans une salle de bain, on veut recouvrir le mur situé au- dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible. a. Déterminer la longueur, en cm, du côté d un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur. b. Combien faudra- t- il alors de carreaux? Exercice 3 : (Groupe Est, septembre 2005) 1. Calculer le PGCD des nombres 462 et En déduire la fraction irréductible égale à!"# Exercice 4 : (Groupe Nord, 2005) Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques. 1. Calculer le nombre de tartelettes. 2. Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette. Exercice 5 : (Groupe Sud, 2005) 1. Trouver le PGCD de et de en détaillant la méthode. 2. En utilisant le résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la fraction!!"# n est pas irréductible. 3. Donner la fraction irréductible égale à!!"# Exercice 1 : (Centres étrangers, 2006) 1. Sans calculer leur PGCD, dire pourquoi les nombres 648 et 972 ne sont premiers entre eux. 2. a. Calculer PGCD(972 ;648). En déduire l écriture irréductible de la fraction!"#!"#. b. Prouver que = Exercice 2 : (Groupe Nord, 2006) Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. Etant très généreux, et ayant surtout très peur du dentiste, il décide de les partager avec des amis. Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons. 1. Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant inclus dans ces personnes!)? Expliquer votre raisonnement. 2. Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne? Exercice 3 : (Polynésie française, 2006) Le détail des calculs devra apparaître sur la copie. 1. Calculer le PGCD de 540 et En déduire la forme irréductible de la fraction!"#!!" Exercice 1 : (France métropolitaine - La Réunion, septembre 2007) Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier. 1.!! est un nombre décimal. 2. Les nombres 570 et 795 sont premiers entre eux. 3. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5.

2 Exercice 2 : (Antilles Guyane, septembre 2007) 1. Rendre irréductible le quotient!"# 2. Un commerçant possède 175 boules de Noël rouges et 126 boules bleues. Il a choisi de confectionner des sachets tous identiques. Il voudrait en avoir le plus grand nombre en utilisant toutes les boules. a. Combien de sachets pourra- t- il réaliser? b. Combien de boules de chaque couleur y aura- t- il dans chaque sachet? Exercice 3 : (Amérique du Nord, 2007) 1. Un confiseur reçoit une commande de caramels d un montant de 120,40 euros. Pour fidéliser son client, il décide d accorder une remise de 20%. Calculer le montant de la facture après remise. 2. Quelques jours plus tard, le confiseur répartit 301 caramels et 172 chocolats dans des sachets identiques. a. Calculer le nombre maximal de sachets réalisables. b. Calculer le nombre de caramels et le nombre de chocolats contenus dans un sachet. Exercice 4 : (Centres étrangers, 2007) 1. Déterminer le PGCD des nombres 408 et Ecrire!"# sous forme d une fraction irréductible 2008 Exercice 1 : (Liban, 2008) 1. Sans aucun calcul, expliquer pourquoi on peut simplifier la fraction!""! $ 2. Calculer le PGCD des nombres et avec la méthode de votre choix en détaillant les calculs. 3. Rendre irréductible la fraction!""! en précisant par quel nombre vous simplifiez. 4. En utilisant les résultats des questions précédentes, mettre l expression A suivante sous la forme n 34, où n est un entier relatif, en détaillant les calculs : A = Exercice 2 : (Amérique du Nord, 2008) 1. En précisant la méthode utilisée, calculer le PGCD de 378 et Pour une kermesse, un comité des fêtes dispose de 378 billes et 270 calots. Il veut faire le plus grand nombre de lots identiques en utilisant toutes les billes et tous les calots. a. Combien de lots identiques pourra- t- il faire? b. Quelle sera la composition de chacun de ces lots? Exercice 3 : (Amérique du Sud, novembre 2008) 1. Déterminer le PGCD des nombres et On pose A =. Ecrire A sous la forme d une fraction irréductible. Exercice 4 : (France métropolitaine, septembre 2008) 1. Déterminer le PGCD de 240 et Déterminer la fraction irréductible égale à!"# Exercice 5 : (Polynésie française, septembre 2008) Un vendeur possède un stock de 276 cartes postales et de 230 porte- clés. Il veut confectionner des coffrets «Souvenirs de Tahiti et ses îles», de sorte que : - Le nombre de cartes postales soit le même dans chaque coffret ; - Le nombre de porte- clés soit le même dans chaque coffret ; - Toutes les cartes postales et tous les portes clés soient utilisés. 1. Combien de coffrets contenant chacun 10 porte- clés pourra- t- il confectionner? Combien de cartes postales contiendra alors chacun des coffrets? 2. a. Calculer le PGCD de 276 et 230 en détaillant la méthode utilisée. b. Quel nombre maximal de coffrets le vendeur peut- il confectionner? Combien de porte- clés et de cartes postales contiendra alors chaque coffret? 2009 Exercice 1 : (Amérique du Nord, 2009) 1. Déterminer le PGCD de 186 et 155 en expliquant la méthode utilisée (faire apparaître les calculs intermédiaires). 2. Un chocolatier a fabriqué 186 pralines et 155 chocolats. Les colis sont constitués ainsi : - le nombre de pralines est le même dans chaque colis ; - le nombre de chocolats est le même dans chaque colis ; - tous les chocolats et toutes les pralines sont utilisés.

3 a. Quel nombre maximal de colis pourra- t- il réaliser? b. Combien y aura- t- il de chocolats et de pralines dans chaque colis? Exercice 2 : (Nouvelle- Calédonie, mars 2009) 1. Justifier sans calcul que 850 et 714 ne sont pas premiers entre eux. 2. a. Déterminer par la méthode de votre choix, en détaillant les différentes étapes, le PGCD de 850 et 714. b. En déduire la fraction irréductible égale à!"# Exercice 3 : (Pondichéry, avril 2009) 1. Déterminer le PGCD de 238 et 170 par la méthode de votre choix. Faire apparaître les calculs intermédiaires. 2. En déduire la forme irréductible de la fraction!"# Exercice 4 : (Amérique du Sud, novembre 2009) On considère la fraction!"#.!!" 1. Expliquer pourquoi cette fraction n est pas irréductible. 2. Déterminer le PGCD des nombres 190 et 114 par la méthode de votre choix (faire apparaître les calculs utilisés). 3. En déduire la forme irréductible de la fraction!"#.!!" Exercice 5 : (Centres étrangers, 2009) 1. Comment, sans calcul, peut- on justifier que la fraction!"#" n est pas irréductible?!"#" 2. Calculer le PGCD des nombres et en indiquant la méthode. 3. Simplifier la fraction!"#" pour la rendre irréductible.!"#" Exercice 6 : (Guadeloupe Guyane Martinique, 2009) 1. Déterminer le PGCD de et de Un artisan dispose de graines d açaï et de 255 graines de palmier pêche. Il veut réaliser des colliers identiques, c est- à- dire contenant chacun le même nombre de graines d açaï et le même nombre de graines de palmier pêche. a. Combien peut- il réaliser au maximum de colliers en utilisant toutes ses graines? b. Dans ce cas, combien chaque collier contient- il de graines d açaï et de graines de palmier pêche? Exercice 7 : (Centres étrangers, 2009) 1. Anatole affirme : «Tout nombre entier naturel n, l expression n! 24n est toujours différente de zéro.» A- t- il raison? Justifier votre réponse. 2. Anatole affirme : «Tout nombre entier naturel pair, compris entre 7 et 19, peut s écrire comme la somme de deux nombres premiers.» A- t- il raison? Justifier votre réponse. 3. Anatole affirme : «La fraction!"# est irréductible.» A- t- il raison? Justifier votre réponse sans rechercher le PGCD!"# des nombres 186 et Anatole affirme : «La somme de deux multiples de 7 est toujours un multiple de 7.» A- t- il raison? Justifier votre réponse Exercice 1 : (Polynésie française, 2010) 1. Déterminer le PGCD de 120 et 144 par la méthode de votre choix. Faire apparaître les calculs intermédiaires. 2. Un vendeur possède un stock de 120 flacons de parfum au tiare et de 144 savonnettes au monoï. Il veut écouler tout ce stock en confectionnant le plus grand nombre de coffrets «Souvenirs de Polynésie», de sorte que : - le nombre de flacons de parfum au tiare soit le même dans chaque coffret ; - le nombre de savonnettes au monoï soit le même dans chaque coffret ; - tous les flacons et savonnettes soient utilisés. Trouver le nombre de coffrets à préparer et la composition de chacun d eux. L évaluation de cette question tiendra compte des observations et étapes de recherche, même incomplètes ; les faire apparaître sur la copie. 3. L algorithme des soustractions successives permet de trouver le PGCD de deux entiers donnés. Il utilise la propriété suivante : «a et b étant deux entiers positifs tels que a supérieur à b, PGCD(a ; b)=pgcd(b ; a b).» Sur un tableur, Heiarii a créé cette feuille de calcul pour trouver le PGCD de et

4 A B C 1 a b a- b Sujet 1 complémentaire Calculer le PGCD des nombres et Rendre la fraction!"!# Sujet 2 complémentaire 2010 a. En utilisant sa feuille de calcul, dire quel est le PGCD de et b. Quelle formule a- t- il écrite dans la cellule C2 pour obtenir le résultat indiqué dans cette cellule par le tableur? On donne l écriture fractionnaire F =!,!"#. On souhaite écrire cette fraction sous forme irréductible.!,!!" 1. Peut- on chercher le PGCD du numérateur et du dénominateur de cette écriture fractionnaire? Pourquoi? 2. a. Ecrire F sous forme du quotient de deux entiers. b. Déterminer alors le PGCD du numérateur et du dénominateur. c. En déduire l écriture de F sous forme de fraction irréductible. Sujet 3 complémentaire 2010 On considère la fraction F =!"#. Ecrire F sous la forme d une fraction irréductible. Pour ce faire, il est +!""!"#!!" vivement conseillé d écrire d abord les deux fractions F! =!"# et F!"#! =!""!!" sous forme de fractions irréductibles. Sujet 4 complémentaire 2010 Monsieur Abou Teilledeau, commerçant spécialisé dans la vente de bouteilles d eau minérale, souhaite agrandir son magasin. Pour ce faire, il daoit écouler le plus rapidement possible son stock de bouteilles d eau et fermer son magasin «pour travaux». son stock est composé de 415 bouteilles d eau «Kibull» et de 581 bouteilles d eau «Nobull». Monsieur Abou Teilledeau décide de préparer des packs comprenant des bouteilles d eau «Kibull» et des bouteilles d eau «Nobull», en respectant les contraintes suivantes : - Le nombre de bouteilles d eau «Kibull» doit être le même dans chaque pack ; - Le nombre de bouteilles d eau «Nobull» doit être le même dans chaque pack ; - Chaque bouteille d eau doit être affectée à un pack. a. Quel est le nombre maximum de packs que Monsieur Abou Teilledeau peut préparer? b. Dans ce cas, combien y aura- t- il de bouteilles d eau «Kibull» et de bouteilles d eau «Nobull» dans chaque pack? Sujet 5 complémentaire seconde 2010 Joseph Leure dispose de 283 roses et 397 tulipes. Il décide de confectionner le plus grand nombre de bouquets identiques : chaque bouquet doit contenir le même nombre de rose et aussi le même nombre de tulipes. Après la confection des bouquets, il reste à Joseph Leure 3 roses et 5 tulipes. 1. Quel est le nombre de bouquets préparés par Joseph Leure? 2. Combien chaque bouquet comporte- t- il de roses? de tulipes? Chaque réponse doit être justifiée. Sujet 6 complémentaire seconde 2010 Soient les deux fractions A =!"!#$!""!" et B =. Ces deux fractions sont- elles égales? Vous pourrez, pour %%!!"!! répondre à cette question, suivre la méthode suivante : 1. Rechercher le PGCD des deux nombres et Ecrire alors A sous forme de fraction irréductible. 2. Rechercher le PGCD des deux nombres et Ecrire alors B sous forme de fraction irréductible. 3. Répondre alors à la question posée au début de l exercice Exercice 1 : (Nouvelle- Calédonie, mars 2011) 1. Calculer le PGCD de et Justifier votre réponse. 2. Ecrire la fraction sous la forme irréductible.!"## 3. Un collectionneur de coquillages (un conchyliologue) possède cônes et porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques c est- à- dire comportant le même nombre de coquillages et la même répartition de cônes et de porcelaines. a. Quel est le nombre maximum de lots qu il pourra réaliser? b. Combien y aura- t- il, dans ce cas, de cônes et de porcelaines par lot?

5 Exercice 2 : (Polynésie Française, 2011) 1. Déterminer le PGCD de 260 et 90 en détaillant les calculs. 2. Pour réaliser un «tifaifai», (genre de couvre- lit), Tina doit découper des carrés dans un tissu de soie blanc rectangulaire de 260 cm de long sur 90 cm de large. Tout le tissu doit être utilisé. Chaque carré doit avoir le plus grand côté possible. a. Montrer que la longueur du côté d un carré est 10 cm. b. Combien de carrés pourra- t- elle obtenir? 3. Sur certains carrés, elle veut faire imprimer un «tiki» et sur d autres un «tipanier». La société «Arii porinetai» lui propose le devis suivant créé à l aide d un tableur : A B C D 1 Impression du motif Prix unitaire en F Quantité Prix total en F 2 Tiki Tipanier Total Pour obtenir le prix total des impressions des carrés, quelle formule doit- on saisir dans la cellule D5? Parmi les 4 formules proposées, recopier sur votre copie la bonne formule. =SOMME(D2 :D3) D2+D3 =SOMME(D2 :D5) Exercice 3 : (Polynésie française, septembre 2011) PREMIERE PARTIE : 1. Calculer PGCD(78 ;130), en précisant la méthode employée et vos calculs. 2. Manuarii est un pâtissier confiseur, il veut vendre tous ses chocolats et ses biscuits dans des boîtes identiques. Chaque jour il peut fabriquer 78 chocolats et 130 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes contenant chacune, d une part le même nombre de chocolats et d autre part le même nombre de biscuits. a. Justifier que 26 est le maximum de boîtes qu il peut obtenir. b. Quel est alors le nombre de chocolats et le nombre de biscuits dans chaque boîte? DEUXIEME PARTIE : Un pâtissier dispose de 165 pêches et 182 abricots pour fabriquer des tartes. - Le nombre de pêches doit être le même dans chaque tarte. - Le nombre d abricots doit être le même dans chaque tarte. - Toutes les pêches et tous les abricots doivent être utilisés. Quel sera le nombre maximum de tartes ainsi préparées? Justifier clairement votre réponse Exercice 1 : (Pondichéry, avril 2012) Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante : «Découpe dans ces plaques des carrés tous identiques, dont les longueurs des côtés sont un nombre entier de centimètres et de façon à ne pas avoir de perte». 1. Peut- il choisir de découper des plaques de 10 cm de côté? Justifier votre réponse. 2. Peut- il choisir de découper des plaques de 11 cm de côté? Justifier votre réponse. 3. On lui impose désormais de découper des carrés les plus grands possibles. a. Quelle sera la longueur du côté d un carré? b. Combien y aura- t- il de carrés par plaque?