Activité 1 : Miroir, mon beau miroir

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2 ctivité : Miroir, mon beau miroir Figure Figure Figure. Observe les trois figures ci-dessus. a. Quel est leur point commun? omment peux-tu le mettre en évidence? b. ans des publicités ou des magazines, trouve des images ou des logos qui ont la même propriété.. À l'aide de papier calque, complète la figure ci-dessous avec un minimum de tracés pour que la droite soit son axe de symétrie. ctivité : Une droite bien connue. Sur la figure ci-contre, quel est le symétrique du point par rapport à l'axe? Trouve les paires de points symétriques par rapport à la droite. écalque-les ainsi que la droite. I N M J. Quel est le symétrique du point J par rapport à l'axe? Y a-t-il un autre point qui a la même particularité?. Sur ton calque, relie les points qui sont symétriques. Que peux-tu dire de la droite pour ces segments? H O K G L F 4. Trace le cercle de centre J passant par et celui de centre K passant par. Que remarques-tu? Trace un autre cercle passant par et G. Où doit se situer son centre? 5. Sur ton calque, place un point T qui n'est pas sur la droite. ropose deux façons de construire son symétrique T' par rapport à sans plier le calque. 6 SYMÉTRI XIL HITR G4

3 ctivité : Un peu de mesure. Symétrique d'un segment a. Trace une droite et un segment []. onstruis le symétrique du segment [] par rapport à la droite. b. ompare les mesures des deux segments. Tes camarades obtiennent-ils la même remarque? c. Romain avait construit le symétrique ''' du triangle par rapport à l'axe. Malheureusement, sa feuille s'est déchirée et il ne reste que la figure ci-contre. Romain doit déterminer le périmètre du triangle. xplique comment il peut faire en utilisant uniquement la règle graduée et sans tracé supplémentaire. ' ' '. Symétrique d'un cercle a. Reproduis la figure ci-contre, place un point M sur le cercle ( ) puis construis les points O' et M' symétriques respectifs de O et de M par rapport à. Quelle est la longueur de [O'M']? Justifie ta réponse. b. onstruis le symétrique du cercle ( ) par rapport à la droite. O ( ) 4 cm M ctivité 4 : Symétrique d'une figure. vec un logiciel de géométrie dynamique a. onstruis un triangle rectangle en. On appelle I le milieu de []. Trace le cercle ( ) de diamètre []. Trace une droite (U). On appelle ', ', ' et I' les symétriques respectifs de,, et I par rapport à l'axe (U). b. Quels sont le centre et le rayon du cercle ( ') symétrique du cercle ( ) par rapport à la droite (U)? Justifie ta réponse. c. Que remarques-tu pour le point '? Que se passe-t-il lorsque l'axe passe par le point I? omment l'expliquer? d. ompare la mesure des angles des triangles et '''.. Le point est un point du cercle ( ) tel que l'angle mesure 5. On appelle ' le symétrique du point par rapport à l'axe (U). Sans construire ', nis dit qu'il est possible de trouver la mesure de l'angle '''. omment fait-il?. Énonce les grandeurs qui sont conservées lors d'une symétrie axiale. HITR G4 SYMÉTRI XIL 6

4 I - Figures symétriques éfinitions eux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage le long de cette droite. ette droite est appelée l'axe de symétrie. xemple : Les figures et se superposent par pliage le long de la droite donc elles sont symétriques par rapport à la droite. On dit également que la figure est le symétrique de la figure dans la symétrie axiale d'axe. eux points sont symétriques par rapport à une droite s'ils se superposent par pliage le long de cette droite. Ici, les points et M sont symétriques par rapport à la droite. II - Symétrique d'un point ex à éfinition Le symétrique d'un point par rapport à une droite est le point M tel que la droite soit la médiatrice du segment [M] (tel que soit la perpendiculaire au segment [M] en son milieu). Remarque : Si un point appartient à une droite alors son symétrique par rapport à cette droite est le point lui-même. xemple : onstruis le point S, symétrique du point par rapport à la droite. a. ans un quadrillage xe de symétrie horizontal ou vertical On part du point vers. Il faut carreaux pour y arriver. xe de symétrie en diagonale nsuite, on reproduit le trajet de carreaux vers la gauche. S S est le symétrique du point par rapport à. 4 4 On part du point vers. Il faut 4 carreaux pour y arriver. 4 nsuite, on descend de 4 carreaux. S S est le symétrique du point par rapport à. Remarque : On peut également compter les carreaux en diagonale. S 64 SYMÉTRI XIL HITR G4

5 b. vec l'équerre et la règle graduée S On construit la perpendiculaire à passant par le point. On reporte la distance de à de l'autre côté de sur cette perpendiculaire. On obtient ainsi le point S tel que soit la médiatrice de [S]. c. vec le compas () S es deux arcs se coupent en un point qui est le point S. d. vec le compas () M M M N N N On prend deux points distincts quelconques M et N sur la droite. On trace deux arcs de cercle de centres les deux points précédents et passant par. S es deux arcs se coupent en un point qui est le point S. Remarque : ette méthode est plus intéressante que la précédente si on a beaucoup de symétriques de points à construire : il n'y a que deux points sur l'axe de symétrie et non plus un faisceau d'arcs de cercle qui peut induire en erreur. III - Symétrique de figures usuelles et propriétés de la symétrie axiale ex 4 ropriétés Le symétrique d'une droite par rapport à un axe est une droite. La symétrie axiale conserve l'alignement. HITR G4 SYMÉTRI XIL 65

6 ropriétés Le symétrique d'un segment par rapport à un axe est un segment de même longueur. La symétrie axiale conserve les longueurs. Remarque : Le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du segment symétrique. ropriété Le symétrique d'un cercle par rapport à un axe est un cercle de même rayon. Les centres des cercles sont symétriques par rapport à cet axe. xemples : Symétrique d'une droite (a') K (a) Symétrique d'un segment ' F Symétrique d'un cercle G H' ' ' ' G' H F' ropriété La symétrie axiale conserve les mesures des angles, les périmètres et les aires. ropriété our construire le symétrique d'une figure complexe, on la décompose en figures usuelles et on construit le symétrique de chacune d'elles. 66 SYMÉTRI XIL HITR G4

7 Reconnaître et dessiner ans chaque cas, indique si les figures verte et orange sont symétriques par rapport à une droite. ourquoi les figures ocre et verte ne sontelles pas symétriques par rapport à la droite? a. b. a. b. c. c. d. d. e. f. e. f. g. h. ans chaque cas, indique si les figures mauve et bleue sont symétriques par rapport à une droite. 4 Sur du papier calque, trace une droite en rouge. ette droite partage ton calque en deux. essine un motif en t'inspirant du dessin ci-contre sur la première moitié du calque, puis plie ton calque et complète ton dessin pour que ta figure soit symétrique par rapport à l'axe rouge. a. b. e. 5 Trouve les erreurs qui se sont glissées sur ces deux figures pour qu'elles soient parfaitement symétriques par rapport à la droite rouge. c. d. f. g. h. HITR G4 SYMÉTRI XIL 67

8 de géométrie dynamique ans un quadrillage 6 Reproduis la figure ci-dessous. 9 Reproduis cette figure puis trace son symétrique par rapport à l'axe rouge. ontinue en répétant au moins une autre fois le motif. a. lace les points ', ' et ', symétriques respectifs des points, et par rapport à. b. Quel est le symétrique du point? c. Trace les segments [], [] et []. ar la symétrie d'axe,... quel est le symétrique de []? Trace-le. quel est le symétrique de []? Trace-le. quel est le symétrique de []? Trace-le. d. Quel est le symétrique du triangle par rapport à la droite? 0 oints symétriques a. Sur la figure ci-dessous, cite les couples de points qui sont symétriques par rapport à l'axe rouge. F J L G 7 Reproduis puis trace le symétrique de chaque triangle par rapport à la droite. H K I b. Écris trois phrases du type : «L'axe rouge est la médiatrice du segment...». c. Reproduis cette figure et complète-la pour que chaque point ait un symétrique. Reproduis la figure ci-dessous. S 8 Reproduis puis trace le symétrique de la figure par rapport à la droite. M a. lace les points T, R et O, symétriques respectifs des points S, et M par rapport à l'axe rouge. b. Trace le triangle SM. Quel est son symétrique par rapport à l'axe rouge? Trace-le. 68 SYMÉTRI XIL HITR G4

9 Reproduis et construis le symétrique de chaque cercle par rapport à la droite. ( ) ( ) Reproduis puis trace le symétrique de la figure par rapport à la droite. Sans quadrillage 6 vec un logiciel de géométrie dynamique a. Trace une droite () et place un point. b. xplique comment construire le symétrique du point par rapport à la droite () sans utiliser l'outil Symétrie. 7 Reproduis une figure semblable à la figure ci-dessous puis construis le symétrique de chaque point, et par rapport à la droite. 4 Reproduis et colorie le minimum de cases pour que l'axe rouge soit un axe de symétrie. a. b. 8 Reproduis une figure semblable à la figure ci-dessous puis construis le symétrique de chaque segment [] et [] par rapport à. 5 Reproduis puis trace le symétrique de chaque figure par rapport à la droite. a. b. 9 Reproduis une figure semblable à la figure ci-dessous puis construis le symétrique de chaque cercle par rapport à la droite. c. d. 0 vec un logiciel de géométrie dynamique a. Trace une droite () puis un cercle de centre passant par. b. onstruis le symétrique de ce cercle par rapport à la droite (). c. éplace les points et observe ce qui se passe. Que remarques-tu? HITR G4 SYMÉTRI XIL 69

10 de géométrie dynamique vec un logiciel de géométrie dynamique a. Trace deux droites sécantes () et (). b. onstruis le symétrique de la droite () par rapport à la droite (). c. Où se coupent la droite () et son symétrique? d. Indique alors une technique pour construire le symétrique d'une droite (sécante à l'axe) en construisant le symétrique d'un seul point. Symétrique d'un triangle a. Reproduis une figure similaire à celle-ci. b. onstruis le symétrique du triangle GHI par rapport à. ans chaque cas, décalque les deux figures puis construis l'axe de symétrie (sans H I G vec les propriétés 5 Symétrique d'un cercle a. Trace un cercle ( ) de centre G et de rayon 5 cm. lace deux points et sur ce cercle, non diamétralement opposés. b. Trace le symétrique du cercle ( ) par rapport à la droite (). c. ar quels points passent les deux cercles? Justifie. d. Que se passe-t-il si les points et sont diamétralement opposés? 6 vec un logiciel de géométrie dynamique a. lace deux points et puis trace la droite (). b. Trace le cercle de centre passant par puis place un point sur ce cercle. c. onstruis le point ' symétrique du point par rapport à la droite (). d. éplace le point. Que remarques tu? eux-tu l'expliquer? 7 À propos des distances a. Reproduis une figure similaire à celle-ci. 4 Observe bien cette cible puis recopie et complète le tableau cidessous. F (d') F b. Trace le symétrique ['F'] du segment [F] par rapport à la droite. Que peux-tu dire de la longueur du segment ['F']? Justifie c. Que peux-tu dire du symétrique de (d') par rapport à? Trace alors ce symétrique. d. Que peux-tu dire du symétrique du cercle de diamètre [F] par rapport à? Justifie. Symétrique de par rapport à la droite () () (F) 8 À propos de l'alignement a. Trace une droite. lace trois points, et alignés et qui n'appartiennent pas à. b. onstruis les points ', ' et ' symétriques respectifs de, et par rapport à. c. Que dire des points ', ' et '? Justifie. 70 SYMÉTRI XIL HITR G4

11 9 À propos des milieux a. ffectue ce programme de construction. Trace un segment [KL] de longueur 7 cm. lace le point M sur [KL] tel que LM cm. lace le milieu I du segment [ML]. lace le milieu J du segment [MK]. Trace la droite, passant par M et perpendiculaire à (KL). Trace le symétrique I' de I par rapport à et le symétrique J' de J par rapport à. b. alcule, en justifiant, la longueur du segment [I'J']. 0 vec un logiciel de géométrie dynamique a. onstruis un triangle. b. onstruis le point ', symétrique du point par rapport à la droite (). c. ctive la trace pour le point ' puis déplace le point. d. Que remarques-tu? eux-tu l'expliquer? Symétrique du milieu a. onstruis un segment [] de longueur 7 cm. lace le milieu de ce segment. b. Trace une droite qui ne coupe pas [] puis construis les symétriques respectifs des points et par rapport à la droite. c. Où se trouve le point ', symétrique du point par rapport à ()? Justifie puis place-le. Symétrique d'une figure a. Reproduis une figure similaire à celle-ci. À propos du périmètre a. Trace un triangle tel que 5 cm, 6 cm et 9 cm. Trace une droite parallèle à (). b. Trace au compas le symétrique du triangle par rapport à la droite. On le note '''. c. Quel est le périmètre du triangle '''? Justifie. 4 Les deux figures ci-dessous sont symétriques par rapport à une droite. F S X U a. Reproduis et complète le tableau suivant. oint F O I S Symétrique, cm 0 Tu justifieras ensuite chaque réponse. O b. Quelle est la longueur du segment [L]? c. Quelle autre longueur peux-tu déterminer? d. Quelle est la mesure de l'angle XU? e. Écris deux autres égalités de mesures d'angles. 5 À propos de l'aire I,7 cm Soit un rectangle d'aire cm² et son symétrique par rapport à une droite. Quelles sont les longueurs possibles, en nombre entier de centimètres, des côtés du rectangle symétrique? 6 vec un logiciel de géométrie dynamique L G I b. onstruis le symétrique de cette figure par rapport à la droite (). c. Quelle est la nature du symétrique du triangle IG? Justifie à l'aide des propriétés. Que dire de l'aire du quadrilatère ''''? Vérifie en faisant afficher son aire. HITR G4 SYMÉTRI XIL 7

12 7 7 Reproduis et colorie le minimum de cases pour que la figure obtenue soit symétrique à la fois par rapport à l'axe rouge et par rapport à l'axe vert. 8 n t'aidant des carreaux de ton cahier, reproduis la figure F puis construis le symétrique F de cette figure par rapport à la droite verte puis le symétrique F de la figure F par rapport à la droite bleue. F 9 onstruction d'un quadrilatère a. Trace deux droites perpendiculaires et (d'). ppelle O leur point d'intersection. b. lace un point sur tel que O cm. c. lace un point sur (d') tel que 4 cm. d. Trace le symétrique de par rapport à (d'). e. Trace le symétrique F de par rapport à. f. Quelle est la nature du quadrilatère F? Justifie. 40 Histoire de rectangles a. onstruis un rectangle tel que 7 cm et 4,6 cm. b. lace le point de [] tel que 5 cm et le point F de [] tel que F 4 cm. c. onstruis le symétrique '''' du rectangle par rapport à l'axe (F). d. alcule l'aire du quadrilatère ''''. Justifie ta réponse. 4 On considère cette figure. On appelle ' le symétrique de par rapport à la droite (). a. Quelle est la longueur du segment [']? Justifie. b. Quelle est la mesure de l'angle '? Justifie. c. onstruis en vraie grandeur le triangle. d. n utilisant ton rapporteur et ton compas, trace le point ' puis construis le symétrique du triangle par rapport à la droite (). 4 Sur feuille blanche a. Reproduis le dessin ci-contre en prenant 8 cm et 5 cm. Le point est le milieu de []. b. onstruis le symétrique de cette figure par rapport à la droite (). c. alcule le périmètre extérieur de la figure obtenue. Justifie. Tu donneras une valeur approchée par excès au millimètre près. 4 On considère la figure constituée du triangle et du demi-cercle de diamètre []. cm 4,9 cm 0 4 cm a. Écris un programme de construction du symétrique de cette figure par rapport à l'axe défini comme suit : les points et sont symétriques par rapport à cet axe ; cet axe passe par le point. b. Reproduis cette figure et son symétrique sans tracer l'axe de symétrie. c. Trace et indique la position (en codant la figure) de l'axe de symétrie. I 7 SYMÉTRI XIL HITR G4

13 44 Sur la figure ci-dessous, les points ' et ' sont les symétriques respectifs des points et par rapport à un axe invisible. ll ll ' ' 47 Mandala a. Trace un cercle de rayon 6 cm. Trace deux diamètres perpendiculaires. Ils coupent le cercle en quatre points. Trace les axes de symétrie de cette figure, ils coupent le cercle en quatre autres points. b. Quel polygone obtiens-tu en reliant tous ces points? ombien a-t-il d'axes de symétrie? Trace-les tous. c. oursuis la construction en traçant un cercle de rayon cm de même centre que celui de 6 cm. Reproduis le motif comme indiqué sur la figure puis termine la construction et le coloriage en faisant des symétries successives par rapport aux axes (voir figure ). a. n reportant la longueur au compas, reproduis le segment [''] sur ton cahier. b. n prenant les mesures nécessaires sur la figure, construis les symétriques du cercle orange et du quadrilatère bleu par rapport à l'axe invisible sans tracer la figure de départ. 45 Un élève a tracé un triangle sur sa feuille mais a maladroitement coupé une partie de ce triangle. a. Reproduis le morceau de figure de cet élève. Figure Figure 48 vec un logiciel de géométrie dynamique a. Trace un triangle. b. Trace la droite (d ), parallèle à la droite () passant par. c. Trace le triangle, symétrique de par rapport à (d ). b. Trouve une méthode pour connaître la longueur et la longueur sans sortir du quadrillage. 46 Reproduis puis poursuis cette frise en utilisant à chaque fois une symétrie par rapport à un axe vertical. HITR G4 SYMÉTRI XIL 7

14 R R R R4 Le symétrique d'une droite par rapport à une droite est... une droite parallèle une droite perpendiculaire à cette droite une droite une droite de même longueur Le symétrique d'un cercle par rapport à une droite passant par son centre... est un cercle est le cercle lui-même n'existe pas est un cercle de même rayon Sur quelle(s) figure(s) les points et sont-ils symétriques par rapport à? 4 K L M et K sont symétriques par rapport à est le symétrique de M par rapport à et KLM sont symétriques par rapport à KL 5 Le carré de côté 5 cm a pour symétrique '''' donc... '''' est un carré '''' a une aire de 5 cm '''' a un périmètre de 0 cm '' 6 ans quel(s) cas les triangles sont-ils symétriques par rapport à un axe? 7 O M Les cercles noir et rouge sont symétriques par rapport à Le cercle rouge est son propre symétrique par rapport à Les cercles vert et rouge sont symétriques par rapport à Les cercles bleu et noir sont symétriques par rapport à Optimisation de trajectoire ans un jeu vidéo, tu dois diriger ton héros mais les déplacements sont très longs. Ta mission est de partir de la ville V, de passer remplir ta gourde à la rivière et ensuite de rejoindre l'entrée du donjon. Trace le trajet le plus court pour effectuer ta mission. (Indication : la distance la plus courte entre deux points reste la ligne droite.) i-contre : la carte qui t'est donnée. 74 SYMÉTRI XIL HITR G4