MODELISATION ET COMPORTEMENT CINEMATIQUE DES SYSTEMES EXERCICES

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1 I1.1 SI2 MODELISATION ET COMPORTEMENT CINEMATIQUE DES SYSTEMES EXERCICES CINEMATIQUE SPATIALE 1 : Camion benne 2 : Centrifugeuse 3 : Etude du mouvement d un tricycle 4 : Moteur Wankel 5 : Mouvement d un manège LOI ENTREE-SORTIE 6 : Scie de marqueterie 7 : Porte de garage 8 : Réducteur épicycloïdal 9 : Scie sauteuse 10 : Volet arrière de Kangoo

2 CINEMATIQUE I1.1 SI2 Camion benne Soit (,,,) un repère lié au châssis 0 d un camion benne. Soient (,,,) et (,,,) deux repères liés respectivement aux corps 1 et à la tige 2 d un des deux vérins hydrauliques. On suppose que le vérin étudié {corps 1 + tige 2} se déplace dans le plan (, ). Le corps 1 a un mouvement de rotation d axe (,) par rapport au bâti 0. On pose =(, ). La tige 2 a un mouvement de translation rectiligne de direction par rapport au corps 1. On pose =., avec λ variant. Questions : 1. Réaliser une figure plane illustrant le paramètre d orientation. 2. En déduire sous la figure, le vecteur rotation. 3. Que dire des bases 1 et 2? En déduire. Ω / 4. Déterminer les trajectoires /, / et /. 5. Déterminer les vecteurs vitesses, / / et. / 6. Déterminer le vecteur accélération Γ. / 1/1

3 CINEMATIQUE I1.1 SI2 Centrifugeuse Considérons une centrifugeuse de laboratoire composée : Sous l effet centrifuge dû à la rotation du rotor, les containers s inclinent et les liquides contenus dans les éprouvettes sont ainsi séparés en fonction de leur masse volumique respective. Soit (,,,) un repère lié au solide. Le solide est animé d un mouvement de rotation autour de l axe (,) par rapport à. Soit (,,, ) un repère lié au solide. Posons =(, ) avec =. ( constante positive en radians par seconde). Le solide est animé d un mouvement de rotation autour de l axe (, ) par rapport à. On donne : =. ( constante positive exprimée en mètres). Soit (,,, ) un repère lié au solide. Posons =(, ) avec une fonction du temps inconnue. Soit le centre d inertie de, tel que : =. ( constante positive exprimée en mètre). Questions : 1. Réaliser le schéma cinématique spatial paramétré, limité à un seul container à éprouvettes. 2. Déterminer / en utilisant les torseurs cinématiques uniquement. 3. Retrouver cette vitesse par dérivation vectorielle. 4. Déterminer Γ / par dérivation vectorielle. 1/1

4 CINEMATIQUE I1.1 SI2 Etude du mouvement d un tricycle Le système étudié est constitué par un tricycle en contact avec le sol horizontal et ayant les particularités suivantes : - Les deux roues arrières sont montées sur l essieu horizontal indéformable de centre, de longueur = 2. - L essieu horizontal de la roue avant est monté sur une fourche qui ne peut que tourner autour d un axe vertical. - Les trois roues roulent sans glisser sur le sol aux points de contact respectifs A, B et C. On introduit : - Le référentiel lié au sol, supposé galiléen, rapporté au repère orthonormé direct (,,, ). Les axes (, ) et (, ) sont tracés sur le sol horizontal. - Le référentiel lié à l ensemble (châssis, essieux) rapporté au repère orthonormé direct (,,, ). - Le référentiel lié à la fourche et rapporté au repère orthonormé direct (,,, ). On notera :, la vitesse angulaire de la roue 2 par rapport au châssis 1, et celle de la roue 3., la vitesse angulaire de la roue avant 5 par rapport à la fourche 5., l angle de braquage de la roue avant. Le châssis qui a un mouvement plan est repéré à l aide de la position de son centre de gravité dans : () et (), et à l aide du paramètre. = ;2 = ; = = ;!"# $% "&% =! Questions : 1. Exprimer Ω /)*,Ω /)*,Ω /)* Ω /)*,Ω /)*, vecteurs instantanés de rotations du châssis, deux 2 roues arrières, de la fourche, et de la roue avant par rapport à. 2. Donner les relations vectorielles qui lient V -/)* à V /)*, V./)* à V /)*,V //)* à V /)*. Exprimer ces relations dans la base. 3. Ecrire les conditions de roulement sans glissement sur le sol des 3 roues. Expliciter la condition de roulement sans glissement pour la roue 2, et montrer que l on en déduit deux relations : 0 1,,,,2 = 0 0 1,,,,!,,2 = 0 Expliciter la condition de roulement pour les 2 autres roues. Montrer que l on obtient un système de 5 équations indépendantes. 1/2

5 CINEMATIQUE I1.1 SI2 Etude du mouvement d un tricycle 2/2

6 CINEMATIQUE I1.1 SI2 Moteur Wankel L invention de Félix Wankel reste liée au principe de la combustion. Le moteur à piston rotatif Wankel réalise sous une forme particulière les quatre opérations fondamentales classiques : 1. Admission 2. Compression 3. Explosion Détente 4. Echappement Le mélange air-essence pénètre par le conduit d aspiration, c est le 1 er temps. Le rotor obture l orifice d aspiration et amorce la compression des gaz carburés, c est le 2 ème temps. L étincelle produite par la bougie provoque l explosion du mélange air-essence au moment où la compression est maximum. La détente provoque la rotation du rotor et fournit l énergie motrice grâce aux forces de pression exercées sur la face du rotor, c est le 3 ème temps. Le rotor démasque l orifice d échappement qui permet aux gaz brûlés de s évacuer, c est le 4 ème temps. L intérêt de ce type de motorisation est que les quatre phases du moteur 4 temps ont lieu en même temps, sans les déperditions énergétiques dues au mouvement alternatif du piston. Le piston rotatif, ayant la forme d un triangle équilatéral curviligne, déplace ses sommets dans un stator suivant une courbe spéciale nommée «épitrochoïde». 1/3

7 CINEMATIQUE I1.1 SI2 Moteur Wankel Modélisation et paramétrage : L analyse du fonctionnement met en évidence la présence de trois solides : La carter moteur, repéré S0, auquel on associe un repère (,0,, ) ; Le vilebrequin, repéré S1, auquel on associe un repère (,,, ) ; Le piston, repéré S2, auquel on associe un repère (,,, ). Le piston de forme triangulaire est en liaison pivot avec le vilebrequin lui-même en liaison pivot avec le carter moteur. D autre part, le piston comporte une roue dentée intérieure qui engrène avec un pignon denté fixe par rapport au carter moteur. Ainsi la roue dentée roule sans glisser sur le pignon. =. ; =.+. ; =. =10 ;=20 ;=100 2/3

8 CINEMATIQUE I1.1 SI2 Moteur Wankel Questions : 1. Tracer les figures de calculs. 2. Exprimer les vecteurs instantanés de rotation Ω / et Ω. / 3. Déterminer le vecteur vitesse V.!/ 4. A partir des résultats précédents, déterminer le vecteur vitesse. V "/ 5. Exprimer la condition de roulement sans glissement au point B. 6. En traduisant cette condition, déterminer la relation #$ =%(&$,,). 7. Les positions angulaires & et # de l arbre et du rotor à l instant '=0( sont choisies telles que & =0 et # =0. Déterminer la relation # =*(&,,). 8. Exprimer le vecteur vitesse, V +/ en fonction des paramètres géométriques,, et du seul paramètre cinématique &$. 9. Exprimer cette vitesse dans le repère, en fonction des paramètres géométriques,,,&(') et du seul paramètre cinématique &$. 10. Soient + et + les coordonnées du point E dans le repère,. Exprimer ces coordonnées en fonction de,,,&('). 3/3

9 CINEMATIQUE I1.1 SI2 Mouvement d un manège Considérons le mécanisme de manège suivant. On se propose de calculer la vitesse du point D. Paramétrage : Quatre repères : =(,,, ) lié au bâti 0. =(,,, ) lié à la potence 1. =(,,, ) lié au balancier 2. =(,,, ) lié à la nacelle 3. Quatre variables : () : position du point A par rapport à avec =().. : angle de précession qui positionne la base 1 par rapport à la base 0. : angle de nutation qui positionne la base 2 par rapport à la base 1. : angle de rotation propre qui positionne la base 3 par rapport à la base 2. Trois constantes : : porte à faux de la potence 1 avec =.. : longueur du balancier 2 avec =.. : longueur de la nacelle 3 avec =.. Questions : 1. Placer les figures de calcul. 2. Exprimer Ω /, Ω / et Ω /. 3. Calculer la vitesse V!/"# de trois manières différentes : a. En dérivant le vecteur position. b. En utilisant la relation de transport liant les vitesses d un solide indéformable. Calculer à l aide de cette relation, successivement V $/"#, V %/"#, V &/"#, V!/"#. c. En utilisant la composition des vitesses. 1/1

10 LOI ENTREE-SORTIE I1.1 SI2 Scie de marqueterie Nous allons étudier une scie de marqueterie. La marqueterie est un décor réalisé avec des placages de bois découpés suivant un dessin, et collés sur un support (un meuble, en général). Cette technique nécessite des découpes de bois précises ; le mécanisme étudié ici est une scie de marqueterie électrique. Le plan A3 fourni représente le plan de cette scie de marqueterie. Fonctionnement : La poulie 11 entraîne l arbre 4. Un excentrique 23 est monté serré sur l arbre 4. Cet excentrique est en liaison avec la pièce 18 par l intermédiaire de la pièce 22. Cette liaison autorise une rotation selon et 2 translations selon et (voir la coupe C-C). Le mouvement de l excentrique entraîne la pièce 18, elle-même en liaison complète avec la scie 5. La scie est en liaison pivot glissant avec le bâti. On prendra comme modélisation de ce système le schéma équivalent de la figure ci-dessous. Questions 1. Donner le nom complet des pièces suivantes : pièce 7, pièce 14, pièce 16, pièce Faire le graphe de liaison de ce système. Ajouter des points sur le schéma cinématique de la figure 1 pour définir complètement les liaisons. 3. Faire le schéma cinématique de ce système dans le plan (,) (plan du document A3 fourni). Utiliser une couleur par solide. 4. Effectuer le paramétrage du système sur le schéma cinématique de la figure 1. Indiquer clairement les paramètres fixes et les paramètres variables. 5. Exprimer les conditions de fermeture angulaire et géométrique. En déduire la loi entrée-sortie de ce système. 1/1

11 x y z

12 LOI ENTREE-SORTIE I1.1 SI2 Porte de garage Le portail ci-contre est articulé par rapport au mur grâce à 2 bras. Ces 2 bras pivotent par rapport au mur en et et par rapport au panneau en A en A. Le panneau coulisse sur 2 rails fixés au plafond en B et B grâce à 2 galets. Le repère est lié au mur, au panneau 2 et au bras 3. =. = 1 = 2.. ; =. ;. =, =, =, varie de 0 à -180 pendant la phase d ouverture., =, = Questions 1. Etablir le graphe des liaisons de ce système. 2. Tracer les 2 figures planes définissant, dans les bases concernées, les 2 paramètres angulaires variables associés aux mouvements des solides 2 et 3 par rapport à Ecrire l équation vectorielle issue d une fermeture géométrique de ce système en exprimant chaque vecteur dans la base du solide auquel il appartient. 4. Exprimer cette équation vectorielle dans. 5. En déduire : = ; = ;! = ",!# 6. Nommer la trajectoire de A du solide 3 par rapport au solide Soit G le centre d inertie du panneau 2 avec $ =.%. Déterminer & '/ en fonction de et de. 1/1

13 LOI ENTREE-SORTIE I1.1 SI2 Réducteur épicycloidal Le schéma ci-dessous représente un train épicycloïdal comprenant : Un planétaire, de rayon =, de vitesse angulaire par rapport au bâti :. Un satellite, de rayon = =, de vitesse angulaire par rapport à :. Une couronne fixe, de rayon =. Un porte-satellite, de vitesse angulaire par rapport au bâti :. 4 3 J C O 2 I 1 Rotor Moteur 3 Questions 1. En utilisant le roulement sans glissement en I de sur, en J de sur, déterminer la loi entrée-sortie. 2. En utilisant une autre méthode, vérifier cette loi entrée-sortie. 1/1

14 LOI ENTREE-SORTIE I1.1 SI2 Scie sauteuse Questions 1. Etablir le graphe des liaisons de ce système. Préciser les mobilités dans les liaisons. 2. Faire le schéma cinématique dans le plan (,). 3. Définir un repère par solide sur le schéma cinématique. 4. Préciser sur le schéma cinématique les paramètres variables et constants. 5. Ecrire les équations de fermeture géométrique et angulaire. 6. Déterminer la loi entrée-sortie. 1/1

15 LOI ENTREE-SORTIE I1.1 SI2 Mécanisme d ouverture du volet arrière de la Kangoo La Kangoo est un modèle du constructeur automobile français Renault. La Kangoo est une fourgonnette compacte monovolume (la caisse arrière n est pas rapportée sur un avant de berline). A l origine, la Kangoo apparaît pour remplacer des fourgonnettes obsolètes, dont la conception remonte aux années quatre-vingt. Nous allons nous intéresser au système d ouverture-fermeture du volet arrière, voir schéma cinématique suivant. Questions 1. Faire le graphe de liaison. 2. Faire le paramétrage du système. Préciser les paramètres fixes et les paramètres variables, choisis de manière à être orientés positivement. 3. En déduire les 3 équations de fermeture angulaire et géométrique. 4. En déduire la loi entrée-sortie du mécanisme. 5. On veut un débattement de 90. En déduire la course nécessaire du vérin, sachant que =70 et =20. 1/2

16 LOI ENTREE-SORTIE I1.1 SI2 Mécanisme d ouverture du volet arrière de la Kangoo 2/2