Chap 5 Suites arithmético-géométriques

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1 Chap 5 Suites arithmético-géométriques Terminale ES Chap 5 - Suites arithmético-géométriques I. Suite arithmético-géométrique (TES.230)...4 1) Etude d'un exemple...4 2) Définition...4 II. Représentation graphique d'une suite arithmético-géométriques...5 III. Exercices vers le bac (TES.231, TES.232, TES.233, TES.234)...5 A. Gniady Chap 5 Suites arithmético-géométriques 1 / 5

2 A. Gniady Chap 5 Suites arithmético-géométriques 2 / 5

3 Activités : I-1 étude d'un exemple TES.23 Chap6 - Suites arimético-géométriques Exercices TES.230 TES.231 TES.232 TES.233 TES.234 Modéliser une situation par une suite arithméticogéométrique. Conjecturer le sens de variation et la limite d'une suite arithmético-géométrique. Déterminer la limite d'une suite arithmético-géométrique Mobiliser ses compétences sur les suites pour résoudre un problème. Algo : Recherche du n-ième terme d'une suite arithméticogéométrique Ex 36 p 24 Ex 69, 70 p 27 Feuille : 50, 51, 52, 54, 55 Calculatrice : 73 p 27, 74 p 27 (graphe donné) AP : 24 à 27 p 23 Ex 72 p 27 (à la main) Feuille : 56 Ex 76, 77 p 27 Feuille : 60 Seuil : 56, 57, 58 Exercices bilan Ex 75 p 27 Exercices bilan : Feuille : 73, 79, 80, 81, 83, 85 Algo : Tableur : 99 p 35 TP : 81 p 30 Une approche : parts de marché p 163 (conjecture de la limite à l'aide d'un algo boucle algobox) 4 p 164, 6 p 165 plus petit entier... A. Gniady Chap 5 Suites arithmético-géométriques 3 / 5

4 I. Suite arithmético-géométrique (TES.230) 1) Etude d'un exemple Exercice 1 : Dans un journal, on considère que le nombre de nouveaux abonnés, chaque année, est de 3000 et que, d'une année sur l'autre, 85 % des abonnés prolongent leur abonnement. On suppose que le 1 er janvier 2011, il y a abonnés. Si les perspectives décrites ci-dessus se poursuivent, on aimerait déterminer le nombre d'abonnés qu'il y aura le 1 er janvier a. Déterminer le nombre d'abonnés à ce journal le 1 er janvier 2012 et le 1 er janvier b. On décide de modéliser la situation décrite par une suite (u n ) où u n représente le nombre d'abonnés au journal au 1 er janvier de l'année n. Préciser le premier terme de la suite (u n ). Justifier que la suite (u n ) suit le relation de récurrence : pour tout n N, u n+1 =0,85 u n Pour déterminer le nombre d'abonnés au 1 er janvier 2021, il nous faut calculer u 10. Pour cela, on utilise une nouvelle suite (v n ) appelée «suite auxiliaire». c. On considère la suite (v n ) définie sur N par v n =u n Exprimer v n +1 en fonction de v n. Que peut-on en déduire quant à la nature de la suite (v n )? En déduire l'expression de v n en fonction de n, puis l'expression de u n en fonction de n. Répondre à la question posée. 2) Définition On appelle suite arithmético-géométrique, toute suite (u n ) définie par son premier terme et par une relation de récurrence de la forme u n+1 =a u n +b où a et b sont deux réels. Cas particuliers: Si b=0, alors la suite (u n ) est géométrique de raison a ; Si a=1, alors la suite (u n ) est arithmétique de raison b. Remarque : Nous verrons dans plusieurs exemples (comme ci-dessus) que l'étude d'une suite arithméticogéométrique peut être ramenée à l'étude d'une suite géométrique. Exercice 2 : Une entreprise du secteur du BTP doit réduire la quantité de déchets qu'elle rejette. Elle s'engage, à terme, à rejeter moins de tonnes de déchets par an. En 2007, l'entreprise rejetait tonnes de déchets. Depuis cette date, l'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de 5 % par rapport à la quantité rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités. On note r n la quantité, en tonnes, des déchets rejetés pour l'année 2007+n. 1) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a r n+1 =0,95 r n ) Soit (s n ) la suite définie pour tout entier naturel n par s n =r n a. Démontrer que la suite (s n ) est une suite géométrique de raison 0,95. Donner son premier terme. En déduire l'expression de s n en fonction de n. b. Prouver que, pour tout entier naturel n, on a : r n = ,95 n c. Le contexte restant le même, déterminer à l'aide de la calculatrice, l'année à partir de laquelle l'entreprise réussira à respecter son engagement. (Indice page 17) A. Gniady Chap 5 Suites arithmético-géométriques 4 / 5

5 II. Représentation graphique d'une suite arithmético-géométriques (u n ) est une suite définie par u 0 et pour tout n de N, u n+1 = a u n + b. Pour représenter graphiquement cette suite dans un repère orthonormé : 1) On trace la droite D d'équation y = x. On trace la droite Δ d'équation y = a x + b 2) On place u 0 sur l'axe des abscisses 3) On utilise la droite Δ pour placer u 1 = au 0 + b sur l'axe des ordonnées On utilise la droite D pour placer u 1 sur l'axe des abscisses On recommence l'étape (3) pour placer u 2, u 3 sur l'axe des abscisses. Exemple : u 0 = 10 u n+1 = 0,5u n + 2 faire le tracé pour u 0 = 1 u n+1 = 0,5u n + 2 III. Exercices vers le bac (TES.231, TES.232, TES.233, TES.234) A. Gniady Chap 5 Suites arithmético-géométriques 5 / 5