Exercice n 2 : Le tableau suivant indique la distribution de taille de pores (en µm) parmi une population de 300 céramiques macroporeuses.

Transcription

1 UE GMCH201 - Enoncés des exercices de TD TD n 1 Généralités et distributions à 1 caractère Les piles à combustible sont à l heure actuelle pressenties pour remplacer le pétrole dans les voitures. 19 piles à combustible acides composées de matériaux différents ont fait l objet de tests dans des conditions d utilisation extrêmes (fonctionnement en continu, température de 0 C, sous hydrogène et air secs). La série des durées de vie, mesurées en jours à partir de la date de démarrage des piles jusqu à celle de la chute drastique de leurs performances, est la suivante : 25, 45, 238, 194, 16, 23, 30, 16, 22, 123, 51, 412, 162, 14, 72, 35, 30, 91, 45. Dans l étude de la durée de vie, on définit la fonction de durée de vie empirique H par H(x) = 1 F(x), où F est la fonction de répartition empirique. 1) Définir et/ou calculer la population, l échantillon, l individu, le caractère, les modalités, les effectifs des modalités, les modes, la moyenne et la médiane. 2) Définir et/ou calculer les paramètres de dispersion (étendue, quartiles, écart interquartile, variance, écart-type, coefficient de variation). 3) Construire le diagramme de Tukey (boîte à moustaches), c'est-à-dire le diagramme qui permet de visualiser sur un axe l étendue et les positions des 3 quartiles et de la moyenne. 4) Représenter graphiquement F(x) et H(x). Le tableau suivant indique la distribution de taille de pores (en µm) parmi une population de 300 céramiques macroporeuses. Classe Effectifs [0,65; 0,85[ 22 [0,85; 0,95[ 42 [0,95; 1,05[ 63 [1,05; 1,15[ 75 [1,15; 1,25[ 54 [1,25; 1,35[ 30 [1,35; 1,55[ 14 1) Définir et/ou calculer les paramètres statistiques comme dans l exercice 1. Attention, il s agit ici de variables continues pour lesquelles on peut définir en plus les amplitudes et centres de chaque classe, la classe modale et le mode. 2) Définir et/ou calculer les paramètres de dispersion (notamment le coefficient de dissymétrie de Pearson). 3) Représenter graphiquement la fonction de répartition. On considère une série statistique de 60 masses molaires (/1000, g/mol) chez deux familles de polymères différents (voir données classées par ordre croissant dans le tableau suivant). 1) Quelles informations peut-on obtenir, sans calcul, en examinant les données de l énoncé? 2) On regroupe les données par classes d amplitude 10 (]104 ;114] ). Faire un tableau récapitulatif des données pour les 3 distributions (polymère 1, polymère 2, polymères toutes catégories confondues). 3) Calculer les moyennes et quartiles de ces distributions. 4) Déterminer les étendues de ces distributions. 5) Calculer les écarts interquartiles de ces distributions.

2 6) Tracer les diagrammes de Tukey des 3 distributions. 7) Calculer les variances et écart-types de ces distributions. 8) Faire l étude de la symétrie et de l aplatissement des dispersions avec les coefficients de Fisher. Polymère 1 Polymère 2 105, 110, 112, 112, 118, 119, 120, 120, 125, 126, 141, 144, 146, 148, 149, 150, 150, 151, 153, 153, 127, 128, 130, 132, 133, 134, 135, 138, 138, 138, 153, 154, 155, 156, 156, 160, 160, 160, 163, 164, 138, 142, 145, 148, 148, 150, 151, 154, 154, , 165, 166, 168, 168, 170, 172, 172, 176, 179 TD n 2 Loi normale Soit Z une variable aléatoire de loi N(0,1). 1) Calculer : P(Z<1,34) ; P(Z<-1,72) ; P(Z>-1,53) ; P(1,12<Z<1,57) ; P(-0,75<Z<0,36) ; P(absZ>1,96). 2) Déterminer z tel que : P(Z<z) = 0,683 ; P(Z>z) = 0,239 ; P(Z<z) = 0,486 ; P(Z>z) = 0,812 Un chercheur a étudié l âge moyen auquel les premiers mots du vocabulaire apparaissent chez les jeunes enfants. Une étude effectuée auprès d un millier de jeunes enfants montre que les premiers mots apparaissent, en moyenne, à 11,5 mois avec un écart-type de 3,2 mois. La distribution des âges étant normale, on souhaite : 1) Evaluer la proportion d enfants ayant acquis leurs premiers mots avant 10 mois. 2) Evaluer la proportion d enfants ayant acquis leurs premiers mots après 18 mois. 3) Evaluer la proportion d enfants ayant acquis leurs premiers mots entre 8 mois et 12 mois. En 1955, Wechler a proposé de mesurer le QI des adultes grâce à deux échelles permettant de mesurer les compétences verbales et les compétences non verbales. On compare le score global de la personne testée avec la distribution des scores obtenus par un échantillon représnetatif de la population d un âge donnée, dont les performances suivent une loi normale ayant pour moyenne 100 et pour écart-type 15. 1) Quel est le pourcentage de personnes dont le QI est inférieur à 80? 2) Quelle chance a-t-on d obtenir un QI compris entre 100 et 110, compris entre 90 et 100, compris entre 105 et 110? 3) Un patient obtenant un score de 69 fait-il partie des 5% inférieurs de la population? 4) En dessous de quel QI se trouve le tiers de la population? 5) Quel QI minimum faut-il obtenir pour faire partie des 5% d individus les plus performants? Un enquête est effectuée auprès de familles de 4 personnes afin de connaître leur achat de lait en 1 mois. Sur l ensemble des personnes interrogées, la consommation de ce produit forme une population gaussienne avec une moyenne de 20 L et un écart-type de 6. En vue de la conception d une campagne de publicité, on souhaite connaître le pourcentage des faibles consommateurs (< 10 L/mois) et celui des grands consommateurs (> 30 L/mois). 1) Calculer ces 2 pourcentages. 2) Au-dessous de quel nombre de litres consommés se trouvent 75% des consommateurs? 3) Combien de litres au maximum consomme la moitié des consommateurs? 4) Au-dessus de quelle consommation se trouve 1/3? et 2/3 de la population?

3 TD n 3 Estimation et intervalles de confiance On a mesuré la teneur en oxygène (en %at.) dans des films minces de type organosilicié obtenus par CVD. On suppose que cette teneur suit une distribution normale de moyenne µ et d écart-type σ. On a obtenu les valeurs suivantes : 5,42 ; 5,55 ; 5,61 ; 5,93 ; 6,15 ; 6,20 ; 6,79 ; 7,07 ; 7,37. 1) Déterminer un intervalle de confiance de µ avec un niveau de confiance 1-α = 95% si l on suppose : a) σ = 0,6% ; b) σ inconnu. 2) Déterminer un intervalle de confiance de σ 2 avec un niveau de confiance 1-α = 95% si l on suppose : a) µ = 6,2% ; b) µ inconnu. 3) Quel est le pourcentage d observations contenues dans l intervalle de confiance établi à la question 1.b)? Cela vous surprend-il? Des mesures de diamètre de pores (en Å) de matériaux mésoporeux pour la catalyse ont donné les résultats suivants : 42,70 ; 43,01 ; 42,76 ; 41,60 ; 42,95 ; 43,18 ; 43,10 ; 42,56 ; 43,48 ; 43,06 ; 42,87 ; 42,78 ; 43,20 ; 43,39. Ces données suivent une loi normale N(m,σ). 1) Donner un intervalle de confiance de m au seuil 0,05 en supposant que σ = 0,5. 2) Combien de mesures faudrait-il avoir au minimum pour obtenir, à ce même seuil, un intervalle de confiance pour m de longueur maximale 0,10? On note p la proportion de déchets nucléaires présentant une radioactivité perceptible. On extrait par tirage au sort un échantillon de 100 individus de la population. On constate que sur ces 100 sujets, 15 présentent une radioactivité. 1) Donner un intervalle de confiance pour p au seuil 0,01. 2) Avec cette observation, à quel seuil faudrait-il se placer pour obtenir un intervalle de confiance pour p de longueur 0,10? On considère un échantillon de 300 polluants atmosphériques dont la durée de vie en années est donnée dans le tableau suivant : Classe Effectifs [18,75; 21,25[ 4 [21,25; 23,75[ 12 [23,75; 26,25[ 47 [26,25; 28,75[ 72 [28,75; 31,25[ 77 [31,25; 33,75[ 47 [33,75; 36,25[ 24 [36,25; 38,75[ 12 [38,75; 41,25[ 5 1) Déterminer une estimation ponctuelle non biaisée de la moyenne et de la variance de la population. 2) Au risque de 5%, donner un intervalle de confiance de la moyenne de cette population. 3) En supposant que la distribution suit une loi normale, donner pour un risque de 0,001 un intervalle de confiance pour la variance et l écart-type de la population.

4 TD n 4 Tests paramétriques On veut comparer la durée de vie de deux types de matériaux différents A et B. Pour cela, on prélève aléatoirement deux échantillons, l un parmi les matériaux de type A, l autre parmi les matériaux de type B. Les durées de vie en centaines d heures sont consignées dans le tableau suivant. On suppose qu elles sont normalement distribuées. Y a-t-il une différence de durée de vie entre les deux matériaux avec un risque de 5%? Type A Type B Exercice 2 : On a obtenu les données suivantes pour deux méthodes différentes de séchage du ciment. On suppose que les taux de séchage sont normalement distribués. Comparer les résultats obtenus avec les deux méthodes en supposant qu il s agit d échantillons appariés (option 1) ou d échantillons non appariés (option 2). Taux de séchage avec pré-chauffage (%) Taux de séchage sans pré-chauffage (%) Pour comparer la masse molaire de polymères élaborés en réacteur pilote (population 1) et industriel (population 2), deux groupes de polymères, d effectifs 16 et 14 respectivement, ont été caractérisés. Les données sont rassemblées dans le tableau suivant. On donne par ailleurs : µ 1 = 493,2875, µ 2 = 517,1571, S 1 2 = 175,139, S 2 2 = 829,756. En supposant que les populations sont normales, tester l égalité des variances, puis celle des moyennes. Population 1 Population 2 487,5 ; 519,8 ; 485,2 ; 503,1 ; 505,1 ; 500,1 ; 480,3 ; 494,0 ; 486,1 ; 534,5 ; 521,8 ; 479,8 ; 470,3 ; 499,4 ; 504,9 ; 494,5 ; 473,3 ; 480,3 ; 496,9 ; 528,6 ; 540,3 ; 532,6 ; 558,2 ; 547,2 ; 500,2 ; 499,7 ; 480,7 ; 488,3 553,8 ; 486,1 On dispose de deux traitements thermiques pour céramiques, notés T 1 et T 2. On a obtenu 49 frittages sur 80 cas pour le traitement T 1 et 75 frittages sur 105 cas pour le traitement T 2. Y a-t-il une différence entre les deux traitements? TD n 5 Tests non paramétriques Lors du championnat de France de ligue 1 de football (saison ), on a relevé le nombre moyen de buts marqués par équipe et par match lors de l ensemble des rencontres qui ont eu lieu pendant les 38 journées de championnat. En tout, 824 buts ont été marqués lors des 380 matchs disputés. Le tableau suivant donne la distribution du nombre des buts marqués par équipe au cours d un match.

5 Buts marqués par équipe et par match Equipes ayant marqué ce nombre de buts Total : 760 1) Si l on suppose que le nombre de buts marqués par une équipe au cours d un match est distribué suivant une loi de Poisson de paramètre λ, donner une estimation de λ. 2) On veut tester le caractère poissonnien de la distribution du nombre de buts marques par une équipe lors d un match de championnat. Quelle est l hypothèse que l on veut tester? Quelle est l alternative? 3) Dans l hypothèse où le nombre de buts marqués par une équipe et par match suit une loi de Poisson, quel est le nombre théorique d équipes à avoir marqué 0, 1, 2, 8 buts? 4) Tester le caractère poissonnien de la distribution du nombre de buts marqués par une équipe au cours d un match. Conclure. On a demandé à 30 personnes d indiquer, parmi 5 chocolats noirs du marché, leur chocolat préféré. Le tableau suivant donne le nombre de personnes ayant préféré chacun des chocolats. Peut-on considérer que chacun des chocolats est préféré par la même proportion de personnes? Chocolat Excellence Amer Amazonie Pâtissier Supérieur Nb personnes ayant préféré ce chocolat Total : 30 1) Quelle est l hypothèse que l on veut tester? Quelle est l alternative? 2) Pour résoudre de problème, on veut utiliser un test d ajustement à une distribution. Quelle est la loi de cette distribution? 3) Calculer la statistique du teste puis conclure. 4) Refaire l exercice en multipliant les effectifs par 10. Conclure. On veut vérifier si la consommation de beurre salé est liée au fait d être breton. Une enquête auprès de 30 individus a donné les résultats suivants. Breton Non breton Total Consomme du beurre salé Consomme du beurre doux Total

6 1) Quelles sont les variables et leurs types? 2) Le type de beurre consommé est-il indépendant de la région du consommateur? On veut comprendre ce qui incite les individus à fumer et plus particulièrement si l environnement familial et le sexe de l individu influent sur le choix de fumer ou non. Pour cela, on a recueilli des données auprès de 123 étudiants. Les données sont résumées dans le tableau suivant : Homme Femme Total Père et mère fumeurs Père fumeur et mère non fumeuse Père non fumeur et mère fumeuse Père et mère non fumeurs Fumeur Non fumeur Total ) Fumer est-il indépendant du sexe? 2) Fumer est-il indépendant de comportement des parents? 3) Fumer est-il interdépendant entre mari et femme chez les parents? 4) Fumer est-il interdépendant entre mère et fille? père et fils? Total